lingkaran - mangherman

KOMPETENSI 4
Siswa mampu menyusun persamaan lingkaran dan menentukan persamaan garis
singgung pada lingkaran.
Ruang Lingkup
Lingkaran
a. Persamaan Lingkaran
b. Persamaan garis singgung pada lingkaran
Ringkasan Materi
A. Persamaan lingkaran
a. Persamaan lingkaran yang berpusat di O (0, 0) dengan jari-jari r adalah
x2 + y2 = r2
b. Persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dengan jari-jari r adalah
(x − a)2 +(y – b)2 = r2
c. Bentuk umum persamaan lingkaran adalah
x2 + y2 + Ax + By + C = 0,
1 ⎞
⎛ 1
pusatnya ⎜ − A,− B ⎟ dan jari-jari R =
2 ⎠
⎝ 2
A2 B 2
+
−C
4
4
B. Jari-jari lingkaran
a. Lingkaran menyinggung sumbu x maka jari-jari R = b
b. Lingkaran menyinggung sumbu y maka jari-jari R = a
49
c. Lingkaran menyinggung garis Ax + By + C = 0, maka jari-jari
Aa + Bb + C
R=
A2 + B 2
d. Titik P(c, d) pada lingkaran, maka jari-jari R =
(c − a )2 + (d − b )2
e. Titik A(a, b) dan B (c, d) pada lingkaran, maka jari-jari
R=
1
2
(c − a ) + ( d − b)
2
2
C. Kedudukan garis terhadap lingkaran
a. Garis memotong lingkaran di dua titik berlainan, maka D > 0
50
b. Garis menyinggung lingkaran, maka D = 0
c. Garis tidak memotong lingkaran, maka D < 0
D. Persamaan Garis Singgung Lingkaran
a. Persamaan garis singgung lingkaran melalui suatu titik pada lingkaran.
Persamaan garis singgung di titik (x1, y1 ) pada lingkaran
•
x2 + y2 = r2 adalah
xx1 + yy1 = r2
•
(x − a)2 +(y − b)2 = r2 adalah
(x − a)(x1 − a) + (y1 − b)(y − b) = r2
•
x2 + y2 + Ax + By + C = 0 adalah
xx1 + yy1 +
1
1
A(x + x1) + B(y + y1 ) + C = 0
2
2
b. Persamaan garis singgung dengan gradien tertentu. Persamaan garis singgung
dengan gradien m pada lingkaran
•
x2 + y2 = r2 adalah
y = mx ± r 1 + m 2
•
(x − a)2 +(y − b)2 = r2 adalah
y − b = m(x − a) ± r 1 + m 2
•
x2 + y2 + Ax + By + C = 0 adalah
y + B2 = m ( x +
A
2
) ± (1 + m2 )( 14 A2 + 14 B 2 − C )
51
c. Persamaan garis singgung dari suatu titik di luar lingkaran
Contoh:
Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (–1, 7) pada lingkaran
x2 + y2 = 25
Jawab :
Persamaan garis yang melalui (–1, 7) dengan gradien m adalah :
y − 7 = m(x + 1) → y = mx + m + 7
Persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran x2 + y2 = 25
adalah y = mx ± 5 1 + m 2
↔ mx + m + 7 = mx ± 5 1 + m 2
↔ m + 7 = ± 5 1 + m2
↔ (m + 7)2 = 25 (1 + m2)
↔ m2 +14m +49 −25 −25m2 = 0
↔ 24m2 −14m −24 = 0
↔ 12m2 −7m −12 = 0
↔ (4m + 3) (3m – 4) = 0
↔ m1 =
4
3
atau m2 = −
3
4
Jadi persamaan garis singgungnya adalah
∴4x −3y +25 = 0 atau 3x + 4y −25 = 0
52
Latihan dan Pembahasan
1. Persamaan lingkaran yang melalui titik (3, 4) dengan pusat (−4, 1) adalah ….
a. x2 + y2 −8x −2y −41 = 0
d. x2 + y2 +8x +2y −41 = 0
b. x2 + y2 +8x −2y −41 = 0
e. x2 + y2 +8x −2y +41 = 0
c. x2 + y2 −8x +2y −41 = 0
Pembahasan :
R =
=
(− 4 − 3)2 + (1 − 4)2
49 + 9 = 58
Persamaan lingkaran:
(x + 4)2 + (y −1)2 = 58
↔ x2 + 8x +16 + y2 − 2y +1− 58 =0
↔ x2 + y2 + 8x − 2y − 41 = 0
Jawaban: B
2. Persamaan lingkaran dengan pusat (1, 2) dan menyinggung garis
x − 2y + 8 = 0 adalah ….
a. (x +1) 2 +(y − 2)2 = 5
d. (x −1)2 +(y + 2)2 = 5
b. (x +1)2 +(y + 2)2 = 5
e. (x +1)2 − (y − 2)2 = 5
c. (x −1)2 + (y − 2)2 = 5
Pembahasan :
53
Jari-jarinya adalah R =
1 ⋅1 + 2(−2) + 8
5
=
= 5
1+ 4
5
Persamaan lingkaran dengan pusat (1, 2) dengan jari-jari R =
5 adalah
(x −1)2 +(y − 2)2 = 5
Jawaban: C
3. Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 −2x −10y +17 = 0 yang
sejajar dengan garis 3x + 4y + 2 =0 adalah ….
a. 3x + 4y = 38
d. 3x – 4y = 8
b. 3x + 4y = –8
e. 3x – 4y = –8
c. 3x – 4y = 38
Pembahasan :
Jari-jari lingkaran adalah R = 12 + 52 − 17 = 3 dan pusat (1, 5). Sedangkan
3
gradien garis garis 3x + 4y + 2 = 0 adalah m1 = − sehingga gradien yang
4
sejajar garis singgung adalah m2 = m1 = −
3
4
Persamaan garis singgung yang sejajar garis 3x + 4y + 2 = 0 pada lingkaran
dengan pusat (1, 5) dan R = 3 adalah
y −b =m(x −a) ± r 1 + m 2
↔ ( y − 5) = −
3
(x − 1) ± 3 1 + 9
4
16
↔ 4 y − 20 = −3 x + 3 ± 15
↔ 4 y = −3 x + 38 atau 4 y = −3 x + 8
Jawaban: A
54