Untitled

1
0
Himpunan Kritis Pada Graph Caterpillar
Chairul Imron, Budi Setiyono†,
R. Simanjuntak, Edy T. Baskoro‡
{imron-its,budi}@matematika.its.ac.id,
{rino,ebaskoro}@dns.math.itb.ac.id
Unnes, Semarang, 24–27 Juli 2006
Abstrak
Himpunan kritis adalah suatu himpunan yang beranggotakan elemen yang
dapat menentukan elemen lain dari suatu himpunan label. Himpunan label
ajaib adalah himpunan yang elemennya berupa pasangan terurut dari posisi
dan label. Dengan mengetahui himpunan kritis dari suatu graph, khususnya graph caterpillar, maka dapat dikonstruksi ulang pelabelan dari graph
tersebut beserta label yang lain sehingga graph ajaib (tetap ajaib). Dari
hasil analisa pembahasan ditemukan himpunan kritis dari graph yang dicari,
bahwa banyaknya anggota himpunan kritis graph caterpillar tergantung pada
banyaknya daun.
Kata Kunci: Graph Caterpillar, Total Sisi Ajaib, Himpunan Kritis
1
Pendahuluan
Bujursangkar latin adalah matriks berukuran n×n dengan elemen-elemennya dipilih
dari himpunan bilangan asli dengan n elemen. Setiap elemen terdapat pada setiap baris dan setiap kolom sehingga setiap elemen yang sama tidak pernah terjadi
pada baris atau kolom yang sama. Konsep tersebut yang digunakan untuk mencari himpunan kritis. Salah satu aplikasi dari himpunan kritis adalah pada bidang
kriptograpi.
Pada paper ini akan mencari himpunan kritis pada pelabelan suatu graph. Graph
yang akan dikaji adalah graph caterpillar. Pelabelan pada sebuah graph diberi
tanda dengan sejumlah label pada simpul dan sisi graph, sehingga setiap label sisi
pada graph tersebut tergantung kepada label kedua simpul yang menempel pada
∗
Didukung oleh Hibah Pekerti DIKTI TA 2006
Jurusan Matematika ITS
‡
Departemen Matematika ITB
†
1
sisi tersebut. Biasanya, label yang digunakan adalah bilangan bulat positif atau
bilangan asli.
Pelabelan graph G adalah pemetaan satu-satu yaitu memetakan semua elemen
(simpul dan sisi) dari graph tersebut ke suatu bilangan yang biasanya merupakan
bilangan bulat positif. Dengan kata lain, pelabelan graph adalah pemberian label
pada simpul-simpul dan sisi-sisi dari graph, sehingga setiap simpul dan setiap sisi
mempunyai label yang berbeda. Pelabelan yang domainnya berupa himpunan simpul, himpunan sisi, atau keduanya yang biasanya disebut dengan pelabelan simpul,
pelabelan sisi, dan pelabelan total [4]. Pada penelitian ini, akan dibahas pelabelan
total, khususnya pelabelan total sisi ajaib yakni pelabelan dimana jumlah label sisi
dan label simpul-simpul yang menempel pada sisi tersebut selalu sama untuk setiap sisi. Jumlah tersebut disebut angka ajaib, yang biasa dilambangkan dengan
huruf k. Ide pelabelan ini dikenalkan pertama kali oleh Sedláček [6] pada 1960-an,
selanjutnya diformulasikan oleh Kotzig dan Rosa [7] pada tahun 1970-an.
Pada paper ini, hanya membahas pelabelan total sisi ajaib yang didefinisikan
sebagai berikut:
Definition 1.1 [4, 8, 1, 2] Pelabelan total sisi ajaib pada graph G adalah pemetaan
satu-satu λ dari V ∪ E kepada himpunan bilangan bulat {1, 2, 3, . . . , v + e} dengan
v = |V | dan e = |E|, sedemikian sehingga ada suatu bilangan konstan k dimana
λ(x) + λ(xy) + λ(y) = k
(1)
untuk setiap sisi xy ∈ E
Untuk lebih mudah, sebut λ(x) + λ(xy) + λ(y) sebagai penjumlahan sisi xy, dan
k adalah angka ajaib dari graph G. Suatu graph disebut ajaib jika graph tersebut
dapat dikenakan pelabelan total sisi ajaib.
Suatu graph mempunyai total sisi-ajaib, maka jumlah angka ajaib pada setiap
sisinya adalah jumlahan yang memuat semua label pada simpul dan sisi ditambah
dengan di − 1 kali simpul yang mempunyai derajat di atau
k|E| = 1 + 2 + 3 + . . . + (v + e) + Σ(di − 1)xi
(2)
Himpunan kritis pelabelan pada suatu graph adalah subhimpunan label dan
posisi label tersebut yang bila dilengkapi akan menghasilkan pelabelan tersebut secara tunggal. Secara sederhana, jika diberikan subhimpunan label suatu graph dan
posisinya, apakah himpunan tersebut hanya membangun graph yang sama dengan
pelabelannya tersebut secara tunggal ? Jika ya, maka himpunan tersebut adalah
himpunan kritis[3].
Himpunan kritis awalnya diterapkan pada persegi latin. Berikut ini contoh himpunan dari kritis persegi latin L dengan ukuran 3 × 3 :
Pada paper ini akan ditentukan himpunan kritis dari suatu graph dengan pelabelan total sisi ajaibnya, khususnya graph caterpillar, dengan mengadaptasi sifatsifat himpunan kritis pada persegi latin.
2
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
Gambar 1: Persegi Latin L
2
Gambar 2: Himpunan Kritis L
Diberikan graph G dengan pelabelan λ yang dikenakan padanya. Misalkan Qλ =
{Q1 , Q2 , Q3 , . . . , Qc }, |Qλ | = c, pada pelabelan λ dari graph G, adalah himpunan
Qi = (j, xj ) dengan j menunjukkan posisi dari suatu simpul atau sisi dengan label
ajaib xj . Qλ (G) adalah himpunan kritis untuk pelabelan λ pada graph G dan, jika
memenuhi[3] :
1. Qλ (G) hanya dapat membangun λ pada G
2. Setiap subset dari Qλ (G) tidak memenuhi sifat (1)
Jika suatu himpunan kritis memiliki c anggota maka himpunan kritis tersebut
berukuran c. Himpunan kritis Qλ dikatakan minimal jika ukuran setiap himpunan
kritis lainnya lebih dari atau sama dengan Qλ .
Pada paper ini akan dikaji, bagaimana melabeli dan menentukan himpunan kritis
pada graph caterpillar Cn .
2
Hasil
Pada bagian ini akan dibahas bagaimana melabeli graph caterpillar sesuai dengan
Definisi 1.1, perhatikan teorema dibawah ini.
Theorem 2.1 [1, 2] Setiap Graph caterpillar Cn ajaib.
Gambar 3: Graph Caterpillar
3
Bukti. Pandang graph caterpillar Cn dengan V = {S1 , S2 , . . . , Sn } dimana
Si = {vi0 , vi1 , vi2 , . . . , vip1 } dan pi adalah banyaknya daun pada Si dan vi0 adalah
simpul pusat star ke i, dengan i = 1, 2, · · · , n
Jumlah simpul pada graph caterpillar Cn adalah jumlah semua daun pada setiap
star ditambah dengan jumlah simpul pusat star atau
v=
n
X
i=1
|Si | =
n
X
(pi + 1) = n +
i=1
n
X
pi
i=1
sedangkan jumlah sisi pada graph caterpillar Cn adalah e = v − 1 sehingga jumlah
bilangan integer yang dibutuhkan untuk melabeli caterpillar adalah
v + e = 2(n +
n
X
pi ) − 1
i=1
Pelabelan graph caterpillar tergantung pada jumlah star yang ada, apakah ganjil
atau genap dan jumlah daun pada setiap star. Perhatikan pelabelan berikut ini:
¤ Pelabelan Simpul Untuk n gasal

n+1
2

 n+i X


+
p2l−1


2


l=1


i


2
X

i


+
p2l−1



2 l=1



i−1
n+1


2
2

X
X

n
+
i


p
+
+
p2t
2l−1


2


t=1
l=1


i−1

j+
λ(vij ) =
2

n+1


2
X

n
−
1
+
i



j
+
+
p2l−1


2

l=1


i−1


2

X

i−1


+
p2l−1
j
+


2


l=1


n+1
i−2

2
2

X
X

n
−
1
+
i


j
+
+
p
+
p2t

2l−1


2

l=1
l=1

4
untuk i = 1 dan j = 0
untuk i = 2, 4, genap dan j = 0
untuk i = 3, 5, gasal dan j = 0
untuk i = 1, dan
j = 1, 2, . . . pi
untuk i = 2, dan
j = 1, 2, . . . pi
untuk i = 3, 5, . . .
j = 1, 2, . . . pi
untuk i = 4, 6, . . . n − 1, dan
j = 1, 2, . . . pi
Pelabelan Simpul Untuk n genap

n
2

 n+1+i X


+
p2l−1


2


l=1


i


2
X

i


p2l−1
+



2 l=1



i−1
n


2
2

X
X

n
+
1
+
i


+
p2t
p
+
2l−1


2


t=1
l=1


i−1

j+
λ(vij ) =
2
n


2

X

n
+
i


+
p2l−1
j+


2


l=1


i−1


2
X

i
−
1



p2l−1
+
j+


2

l=1


i−2
n


2
2

X
X

n
+
i


j
+
p
+
p2t
+
2l−1


2


l=1
l=1

untuk i = 1 dan j = 0
untuk i = 2, 4, genap dan j = 0
untuk i = 3, 5, gasal dan j = 0
untuk i = 1, dan
j = 1, 2, . . . pi
untuk i = 2, dan
j = 1, 2, . . . pi
untuk i = 3, 5, . . .
j = 1, 2, . . . pi
untuk i = 4, 6, . . . n − 1, dan
j = 1, 2, . . . pi
Pelabelan Sisi Untuk n gasal atau genap


2 +v+e−j−i
utk i = 1, dan j = 1, 2, . . . , pi ,


i
X
λ(vi0 vij ) =

pl−1
utk i = 2, 3, . . . , n, dan j = 1, 2, . . . , pi .

 2 +v+e−j−i−
l=2
λ(vi0 vi+10 ) = 1 + v + e − i −
i
X
pl
untuk i = 1, 2, . . . , n − 1
l=1
sesuai dengan Definisi 1.1 bahwa λ(vi0 ) + λ(vi0 vij ) + λ(vij ) = k, maka nilai k untuk
n gasal adalah:
n+1
2
X
n+3
+v+e+
k=
p2l−1
2
l=1
dan n genap adalah:
n
2
X
n+4
k=
+v+e+
p2l−1
2
l=1
¥
Dalam suatu graph yang mempunyai sedikitnya sebuah daun, maka paling sedikitnya graph tersebut mempunyai dua cara, yaitu dengan cara mengubah label pada
5
sisi dengan label pada simpul daun tanpa mengubah label-label yang lainnya. Perhatikan teorema berikut ini:
Theorem 2.2 Minimal ada 2p pelabelan total sisi-ajaib yang berbeda untuk graph
Caterpillar Cn dengan p adalah banyaknya daun.
Bukti.
Telah diketahui bahwa graph caterpillar adalah graph terhubung yang
disusun oleh graph lintasan dengan setiap simpulnya merupakan graph star.
Telah dibuktikan graph star dengan pi daun akan mempunyai kombinasi yang
memperhatikan isomorphisma sebanyak 2pi . Jika Graph caterpillar terdiri dari
n star dan setiap star terdiri dari pi daun dengan i = 1, 2, . . . , n, maka jumlah
kombinasi yang dapat dibangun tanpa mengubah label pada lintasan yang ada
sebanyak 2s dimana s = Σni=1 pi .
¥
Sebelum menerapkan konsep himpunan kritis pada pelabelan suatu graph, telah
diketahui bahwa himpunan kritis dari suatu persegi latin tidak hanya dipengaruhi
oleh posisi, namun juga oleh entrynya. Sekarang yang akan dicari adalah himpunan
kritis dari graph caterpillar. Perhatikan lemma berikut ini.
Lemma 2.3 [5] λ pelabelan total sisi ajaib dari graph G. jika r adalah jumlah daun
pada G, maka banyak elemen dari himpunan kritis dari graph G adalah |Qλ (G)| ≥ r.
Jika x label daun dan y label sisi yang ajacent dengan x, maka himpunan kritisnya
mengandung x, y atau keduanya.
Bukti. Misalkan {v1 , v2 , . . . , vr } adalah daun dari graph G dan {e1 , e2 , . . . , en }
adalah sisi yang menempel pada daun. Misalkan λ(vi ) = xi dan λ(ei ) = yi dimana
ci = {xi , yi } dengan i = 1, 2, . . . , r. Andaikan |Qλ | < r. Maka ada suatu i, misal
i = k, sehingga Qλ tidak memuat xk dan yk sekaligus. Dengan menukarkan posisi xk
dan yk akan diperoleh pelabelan total sisi ajaib yang lain. Maka Qλ bukan himpunan
Xk
X3
Y3
Y2
X2
Y3
Yk
X3
Y1
X2
X1
Y2
Yk
Xk
X1
Y1
Gambar 4: G Dengan Dua Macam Pelabelan
kritis dari G, sehingga |Qλ | ≥ r
¥
6
Corollary 2.4 Misalkan n adalah banyak daun yang dimiliki oleh pohon Tr maka
|Qλ (Tr )| ≥ n untuk setiap pelabelan total sisi ajaib λ.
Graph caterpillar dibangun dari gabungan graph lintasan dan graph star, yaitu
setiap simpul dari lintasan merupakan pusat star. Lihat Gambar 3 dan dengan
mengacu lemma diatas dapat ditulis teorema berikut:
Theorem 2.5 Misal λn adalah pelabelan total sisi ajaib pada Cn maka ada suatu
n
X
Qλi (Cn ) dimana |Qλi (Cn )| =
pi .
i=1
Bukti. Telah diketahui diatas bahwa jumlah simpul pada graph caterpillar Cn
n
n
X
X
adalah n +
pi dengan rincian ada n simpul pusat star dan
pi simpul daun
i=1
i=1
dari semua star.
Telah diketahui diatas bahwa |Qλ1 (Sn )| = n mempunyai arti bahwa sebuah graph
star yang mempunyai n daun, himpunan kritisnya beranggotakan n, sedangkan
anggota himpunan kritis pada graph lintasan tergantung pada posisi dan label.
Sedangkan graph caterpillar merupakan gabungan dari graph lintasan dan graph
n
X
star, maka |Qλ1 (Cn )| =
pi .
¥
i=1
Pustaka
[1] Chairul Imron, Variasi Pelabelan Graph Lintasan dan Star, Seminar Nasional
Matematika ITS, 4 Desember 2004.
[2] Chairul Imron, Several Ways to Obtain Edge-Magic Total Labelings of Caterpillars, International Workshop on Graph Labeling, Batu, Malang, 6-9 Desember
2004.
[3] M.T. Adithia Himpunan kritis suatu pelabelan graph, Tesis, 2000.
[4] E.T. Baskoro, Pelabelan Total Sisi Ajaib Prosiding Konferensi Nasional
Matematika XI Bagian I (2002) 281-285.
[5] E.T. Baskoro, Critical Sets in Edge-Magic Total Labelings. 2005.
[6] J. Sedlacek, problem 27, Theory of Graphs and it’s Applications (Smolenice,
1963), 163-164, Publ. House Czechoslovak Acad. Sci.,Prague, 1964).
[7] A. Kotzig and A. Rosa, Magic Valuations of Finite Graph, Canad. Math. Bull.
13 (1970), 451-461.
[8] W.D. Wallis, Magic Graphs, Birkhauser Boston, 2001.
7