Document

y
o
c u -tr a c k
.c
Buktikan bahwa jika matriks B dapat bertukar tempat, maka AB1
B1A jika dan hanya jika AB
.d o
BA.
Sumber: Elementary Linear Algebra
D. Penerapan Matriks dalam Sistem Persamaan
Linear
Pada bab sebelumnya telah dibahas tentang penyelesaian sistem
persamaan linear dengan menggunakan metode grafik, metode eliminasi,
dan metode substitusi. Pada bab ini, kita akan menyelesaikan sistem
persamaan linear tersebut dengan menggunakan matriks.
Misalkan, sistem persamaan linear berikut.
ax by e
cx dy f
Sistem persamaan linear tersebut dapat kita tuliskan dalam persamaan
matriks berikut.
§ a b · § x · § e ·
¨¨
¸¸ ¨¨ ¸¸ ¨¨
¸¸
© c d ¹ © y ¹ © f ¹
Persamaan matriks ini dapat kita selesaikan dengan menggunakan sifat
berikut.
1. Jika AX
2. Jika XA
B, maka X
B, maka X
A1B, dengan |A| z 0
BA1, dengan |A| z 0
Contoh
Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut!
3x 4y 5
5x 6y 1
Jawab:
Terlebih dahulu, ubah sistem persamaan linear tersebut menjadi
persamaan matriks berikut.
§ 3 4 · § x · § 5 ·
¨¨
¸ ¨ ¸ ¨ ¸
6 ¸¹ ¨© y ¸¹ ¨© 1 ¸¹
© 5
A
X
B
Kemudian, tentukan determinan matriks A, yaitu :
§ 3 4 ·
¨¨
¸ 18 (20) 38
6 ¸¹
© 5
Penyelesaian sistem persamaan linear tersebut dapat kita tentukan
dengan cara berikut.
_$_
76
76
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
m
o
w
w
w
.d o
C
lic
k
to
bu
y
bu
to
k
lic
C
w
w
w
N
O
W
!
h a n g e Vi
e
N
PD
!
XC
er
O
W
F-
w
m
h a n g e Vi
e
w
PD
XC
er
F-
c u -tr a c k
.c
h a n g e Vi
e
w
N
y
bu
to
k
lic
c u -tr a c k
1 § 6
¨
38 ¨© 5
A1
§ x ·
¨¨ ¸¸
© y ¹
4·
¸
3 ¸¹
1 § 6
¨
38 ©¨ 5
X
4 ·
¸
3 ¹¸
§ 5 ·
¨¨ ¸¸
© 1 ¹
A 1
Jadi, x
B
.d o
§ 17 ·
¨ 19 ¸
¨
¸
¨ 11 ¸
¨ ¸
© 19 ¹
17
dan y 11 .
19
19
Selain dengan cara di atas, sistem persamaan linear dapat juga
diselesaikan dengan menggunakan aturan Cramer berikut.
B maka x1 Jika AX
A1
, x2
A
A2
A
, …, xj Aj
A
.
Aj adalah matriks yang didapat dengan mengganti elemen-elemen
pada kolom-j dari matriks A dengan elemen-elemen matriks B.
Contoh
Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan
aturan Cramer!
3x 4y 5
5x 6y 1
Jawab:
Terlebih dahulu, tentukan A , A1 , dan A2
A
3 4
5 6
38
A1
5 4
1 6
34
A2
3 5
5 1
22
Jadi, x A1
A
34
38
A
17
dan y 2
19
A
22
38
11
.
19
Dengan demikian, penyelesaian sistem persamaan linear tersebut
adalah x
Bab 3 Matriks
17
dan y
19
11
.
19
77
o
.c
m
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
XC
er
O
W
F-
w
PD
h a n g e Vi
e
!
XC
er
PD
F-
c u -tr a c k
.c
y
o
c u -tr a c k
.c
ASAH KEMAMPUAN
4
Waktu : 60 menit
1. Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan
menggunakan invers matriks dan aturan Cramer.
a.
b.
c.
d.
­ x y ®
¯ x y e.
3y 0
4 x 12
f.
­4x
®
¯3y
­3y
®
¯x
2x
3
­y 3
®
¯x y
0
6
g.
h.
5
­ 3 y x ®
¯ x 6 y 14
­x 5
®
¯9 x 0
­2 x y 1
®
¯x 3y 8
­°x 1
®
°̄x y
2 y 1
5 x y 3
2. Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan
menggunakan invers matriks dan aturan Cramer.
a.
­x y 2 z 9
°
®2 x 4 y 3z 1
° 3x 6 y 5 0
¯
b.
­x z 1
°
®2 y z 1
°2 x y 2
¯
c.
­x z 1
°
®2 x y z 3
° y 2 z 4
¯
d.
­x y 2 x 9
°
®2 x 4 y 3z 1
° 3x 6 y 5 z 0
¯
e.
­x y 2 z 8
°
®x 2 y 3z 1
°3x 7 y 4 z 10
¯
f.
­x 2 y 3z 2
°
®x 5y z 9
° 3x 6 y 9 z 6
¯
Bobot soal: 40
Bobot soal: 60
0
78
78
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
.d o
m
o
w
w
w
.d o
C
lic
k
to
bu
y
bu
to
k
lic
C
w
w
w
N
O
W
!
h a n g e Vi
e
N
PD
!
XC
er
O
W
F-
w
m
h a n g e Vi
e
w
PD
XC
er
F-
c u -tr a c k
.c