Grup USp(2n ,ℂ)

Grup USp(2n ,ℂ)
Kevin Frankly Samuel Pardede1
1
Institut Teknologi Bandung
Definisi beserta pembuktian sifat grup USp(2n , ℂ) akan diberikan. Untuk kasus
n=1 , pembuktian bahwa grup USp(2, ℂ) adalah sebuah grup Lie yang kompak
beserta dengan parameterisasi dan generator dari grup bersangkutan akan
diberikan. Untuk kasus lebih umum, pendefinisian alternatif yang berhubungan
dengan bilinear form yang skew-symmetric dan nondegenerate diberikan, dan
akan digunakan untuk membuktikan bahwa USp(2n , ℂ) adalah grup matriks
Lie.Kemudian, isomorfisma USp(2n , ℂ)≃Sp (n ) akan dibuktikan, dan akan
digunakan untuk membuktikan bahwa USp(2n , ℂ) adalah grup matriks Lie
yang kompak. Beberapa sifat terkait grup Sp (2n ) akan diberikan. Terakhir,
hubungan antara spinor dan USp(2, ℂ) akan ditunjukkan.
1. Definisi dan Parameterisasi Grup USp ( 2, ℂ )
Pada awal bagian ini, kita akan mendefinisikan beberapa grup matriks yang nantinya akan kita
gunakan untuk mendefinisikan grup USp(2, ℂ) . Lebih jauh lagi, kita akan memberikan
pembuktian formal mengenai sifat grup dari himpunan USp(2, ℂ) (pembaca yang tidak tertarik
dapat melewatkan bagian ini). Untuk itu, kita akan menggunakan beberapa teorema berikut :
Teorema 1.1
Sebuah himpunan bagian tidak kosong A dari sebuah grup G adalah sebuah subgrup dari G jika
untuk setiap x , y ∈ A , xy−1 ∈ A .
Teorema 1.2
Jika A , B adalah subgrup dari G , maka G∩ H adalah subgrup dari G .
Secara umum, grup symplectic Sp ( 2n , F ) adalah grup matriks (dengan operasi berupa
perkalian matriks) An ×n dengan elemen dari medan F , yang memenuhi :
T
A Ω A=Ω ,
(1)
dengan
(
Ω=
0n I n
−I n 0n
)
.
(2)
Dengan mendefinisikan 1F dan 0 F sebagai identitas operasi perkalian dan penjumlahan secara
berturut-turut di medan F , kita dapat mendefinisikan matriks identitas dan matriks 0 penyusun Ω
seperti berikut :
I n=diag ⏟
( 1 F , 1 F , ... , 1F ) ,
(3)
n
dan
1
(4)
(0 n)ij =0 F
untuk semua pasangan i , j . Dengan definisi tersebut kita dapat melihat bahwa Ω2=−I n dan
det(Ω)=1 .
Sekarang akan dibuktikan bahwa himpunan Sp (2n , F ) , adalah sebuah grup matriks. Dari
definisi (1) dapat dilihat bahwa det ( A)=±1 , sehingga Sp (2n , F )⊂GL (n , F ) , dan karena
I n ∈Sp( 2n , F ) , maka himpunan
Sp (2n , F )
tidaklah kosong. Ambil sembarang
A , B ∈Sp(2n , F ) , perhatikan bahwa
(AB−1 )T Ω AB−1 =( B−1)T AT Ω A B−1
,
=( B−1)T Ω B−1
=Ω
yang berakibat AB −1 ∈S p ( 2n , F ) sehingga dari teorema 1, terbukti bahwa Sp (2n , F ) adalah
subgrup dari GL( n , F ) .
Sebagai contoh, perhatikan bahwa Sp (2, ℂ) adalah grup yang beranggotakan matriks 2x2 yang
mempunyai determinan 1.
Grup unitary U (n) adalah grup matriks kompleks (dengan operasi berupa perkalian matriks)
An ×n , yang memenuhi :
AA*= I n ,
(5)
dengan A* adalah matriks yang merupakan hasil kompleks konjugasi sekaligus transposisi dari
matriks A . Dari definisi diketahui bahwa U (n)⊂GL( n , ℂ) , dan karena I n ∈U (n) , maka
himpunan U (n) bukanlah himpunan kosong . Ambil sembarang A , B ∈U (n) , perhatikan bahwa
( A B−1 )( AB−1)* = AB−1 ( B−1 )* A*
A(B * B)−1 A*
,
= A A*
=In
mengakibatkan AB−1 ∈U (n) , sehingga dari teorema 1, terbukti bahwa U (n) adalah subgrup dari
GL( n ,ℂ) .
Pada kasus khusus dimana medan F =ℂ pada grup symplectic, kita dapat mendefinisikan grup
USp(2n ,ℂ) sebagai himpunan matriks yang memenuhi sifat (1) dan (5) , yang berarti :
USp(2n ,ℂ)≡Sp( 2n , ℂ)∩U (2n) ,
(6)
sehingga karena USp(2n ,ℂ) merupakan irisan dari dua buah grup yang tidak menghasilkan
himpunan kosong (karena I n ∈Sp(2n , ℂ)∩U ( 2n) ), jelaslah dari teorema 2 bahwa USp(2n ,ℂ)
merupakan grup.Pada kasus n=1 , A∈USp(2, ℂ) jika matriks A= a b memenuhi :
c d
( )
2
ad −bc=1
∣a∣2 +∣b∣2=1
∣c∣2+∣d∣2 =1 .
a c+b d =0
(7)
Dapat diperiksa bahwa syarat (7) adalah syarat yang sama didapat untuk grup SU ( 2) , sehingga
pastilah USp(2, ℂ) isomorfik dengan SU ( 2) .Dengan menyelesaikan persamaan (7), kita
mendapatkan syarat berikut :
(
A=
a b
−b a
)
.
(8)
Sebagaimana SU ( 2) , USp(2, ℂ) mempunyai generator berupa :
( )
( )
(
)
i σ1=i 0 1 , i σ2=i 0 −i , i σ 3=i 1 0 ,
1 0
i 0
0 −1
(9)
dengan σ1, σ 2, σ3 adalah matriks-matriks Pauli.Didapat berbagai parameterisasi dari grup
USp(2, ℂ) adalah sebagai berikut :
(
)
ei ϕ 0
cos
φ
i
sin
φ
A1 (φ)=
, A2 (ϕ)=
, A3 (θ)= cos θ sin θ .
−i ϕ
sin θ cos θ
i sin φ cos φ
0 e
(
)
(
)
(10)
Sekarang kita membuktikan bahwa USp(2, ℂ) adalah grup Lie yang kompak. Sebagai ilustrasi ,
perhatikan parameterisasi A2 (φ) .Dari parameterisasi tersebut dapat dilihat bahwa :
(
A(φ)=
)(
)
ei φ 0
ei (φ+2 π k) 0
=
= A(φ+2 π k ) ,
0
e−i φ
0
e−i (φ+2 π k)
(11)
yang memberikan kita dugaan bahwa topologi yang mendasari parameterisasi ini adalah topologi
S 1 (1-sphere).Terlebih juga, kita dapat mendefinisikan operasi grup (perkalian matriks) melalui
pemetaan smooth f : S 1×S 1 → S 1 yang didefinisikan f (φ1 , φ 2)=φ 1+φ 2 , beserta operasi invers
melalui pemetaan smooth g (φ)=−φ . Dengan cara serupa, untuk parameterisasi lainnnya kita
dapat mendefinisikan operasi grup dan invers melalui pemetaan smooth, dengan topologi yang sama
yaitu S 1 . Karena bentuk khusus dari M ∈USp(2,ℂ) adalah M = A1 A2 A3 dapat disimpulkan
bahwa USp(2, ℂ) adalah grup Lie yang diparameterisasi oleh S 3 (3-sphere).
Selanjutnya untuk membuktikan bahwa S 3 adalah topologi yang kompak kita memerlukan
teorema-teorema berikut ini :
Teorema 1.3
Daerah hasil pemetaan kontinu dari suatu ruang topologi kompak merupakan topologi kompak.
Teorema 1.4
Produk kartesian dari ruang topologi kompak adalah kompak.
(untuk pembuktian mengenai teorema 1.3 dan khususnya teorema 1.4, bisa dilihat di teorema 26.5
dan 26.7 secara berurutan di [4] )
3
Sekarang, dari teorema Heine Borel kita tahu bahwa interval tertutup [a , b]∈ℝ adalah kompak.
Dengan memandang [a , b] sebagai order topology kita bisa mendefinisikan pemetaan kontinu
f : [a , b]→ S 1 sebagai f ( x )=x . Berdasarkan teorema 1.3 disimpulkan S 1 adalah topologi
kompak, dan karena S 3 adalah produk dari S 1 maka dari teorema 1.4 disimpulkan bahwa S 3
adalah topologi kompak.
Dengan demikian, karena topologi yang mendasari USp(2n ,ℂ) adalah kompak, disimpulkan
bahwa USp(2, ℂ) adalah grup Lie yang kompak.
2. Grup USp ( 2n ,ℂ ) dan hubungannya dengan grup Sp(n)
Sebelumnya, dengan memanfaatkan parameterisasi,telah ditunjukkan bahwa USp(2, ℂ) adalah
sebuah grup Lie. Untuk kasus yang lebih umum USp(2n ,ℂ) , akan lebih sulit memberikan
pembuktian mengenai sifat grup USp(2n ,ℂ) sebagai sebuah grup Lie, karena kita tidak dapat
dengan mudah melihat parameterisasi eksplisitnya. Sebelumnya kita memerlukan definisi berikut :
Definisi 2.1
Grup matriks Lie G , adalah sebuah subgrup dari GL( n ,ℂ) yang memenuhi persyaratan berikut :
Jika Am adalah sembarang barisan matriks di G yang konvergen ke matriks A , maka A∈G atau
A∉GL(n ,ℂ) . [3]
Dari definisi, tidaklah jelas bahwa sebuah grup matriks Lie merupakan sebuah grup Lie (konvers
tidak berlaku). Untuk itu, fakta tersebut kita angkat menjadi sebuah teori berikut :
Teorema 2.2
Jika G adalah sebuah grup matriks Lie maka G adalah sebuah grup Lie.
Untungnya, kita dapat membuktikan bahwa USp(2n ,ℂ) adalah sebuah grup matriks Lie .
Untuk itu kita memerlukan pendefinisian berikut. Definisikan sebuah billinear form yang skewsymmetric dan nondegenerate B di ℂ2n sebagai berikut :
n
B[ x , y ]=∑ x k y n+k − x n+k y k ,
(12)
k=1
dengan x , y adalah sembarang vektor berelemen bilangan kompleks.Akan ditunjukkan bahwa
M ∈GL( 2n , ℂ)
Sp (2n ,ℂ)
matriks
adalah anggota dari
jika dan hanya jika
B[ Mx , My]= B[ x , y ] atau dengan kata lain matriks M mempertahankan B.
Perhatikan bahwa dari definisi (2),
B[ x , y ]=⟨ x , Ω y ⟩ .
Misalkan bahwa A∈Sp (2n ,ℂ) sehingga persamaan (1) terpenuhi, dengan demikian :
B[ Ax , Ay] = ⟨ Ax , Ω A y ⟩
=( Ax)T Ω A y
= xT Ω y
=⟨ x ,Ω y⟩
= B [ x , y].
Pernyataan sebaliknya dapat dibuktikan dengan cara serupa.
4
(13)
Keuntungan yang kita dapat dari cara pendefinisian tersebut adalah, bahwa kita dapat
membuktikan bahwa Sp (2n ,ℂ) adalah grup matriks Lie. Sketsa pembuktiannya adalah seperti
berikut, perhatikan bahwa fungsi inner product f (x )=⟨ x , y ⟩ adalah transformasi linear. Karena
semua transformasi linear adalah terbatasi/bounded (untuk kasus ini misalnya, melalui
pertidaksamaan Cauchy-Schwarz didapat bahwa ⟨ x , y ⟩⩽∣x∣∣ y∣ ), dapat dibuktikan bahwa f
adalah fungsi yang kontinu (untuk pembuktian bisa dilihat di [5]), sehingga Sp (2n ,ℂ) dan juga
USp(2n ,ℂ) adalah grup matriks Lie.
Berikut akan didefinisikan grup yang erat kaitannya dengan grup USp(2n ,ℂ) .Grup kompak
symplectic Sp (n) adalah grup beranggotakan matriks A dengan elemen dari quaternion, yang
memenuhi
A* A=I n=AA * ,
(14)
dengan A* adalah matriks hasil transpos konjugasi quaternion dari A . Perlu diingat bahwa
terlepas dari penamaan yang mirip, Sp (n) dan Sp (2n ,ℂ) tersebut memberi pengertian symplectic
yang berbeda. Terlebih juga Sp (n) adalah grup kompak, sedangkan Sp (2n ,ℂ) bukanlah grup
kompak.Walaupun begitu, faktanya Sp (n) dan USp(2n ,ℂ) adalah grup yang “sama”, dalam arti
bahwa kedua grup adalah isomorfik. Melalui penerapan teorema 1.1, kita dapat dengan mudah
membuktikan bahwa Sp (n) adalah sebuah grup.Selanjutnya kita akan coba memberikan
pembuktian mengenai isomorfisma diantara grup tersebut .
Untuk kasus n=1 , definisikan pemetaan f : Sp(1) → USp(2,ℂ) yang membawa bilangan
a +i a 2 a 3+i a 4
∈USp(2, ℂ) [2] .Dapat
quaternion z=a 0+a 1 i+a 2 j+a 3 k
ke matriks Z= 1
i a 4−a 3 a1 −i a 2
diperiksa bahwa pemetaan ini merupakan homorfisma, dengan kata lain f ( z 1 z 2 )= f ( z 1 ) f (z 2) .
Pemetaan f juga satu-satu karena jika Z 1=Z 2 , yang berarti kedua matriks memiliki entri yang
sama, pastilah kedua matriks memiliki prapeta yang sama. Terlebih juga, berdasarkan
parameterisasi (8) dapat dilihat bahwa f pada/surjektif. Dengan demikian disimpulkan bahwa f
adalah isomorfisma dan S p ( 1)≃USp( 2, ℂ) .
Sebelum meninjau kasus n⩾1 , perhatikan bahwa sembarang matriks Y ∈M 2n (ℂ) dapat
dituliskan seperti berikut
(
(
Y= A
C
B
D
)
,
)
(15)
Dengan A , B , C , D ∈ M n (ℂ) .Dengan penulisan seperti itu, kita mempunyai parameterisasi
ekivalen syarat (8) untuk Y ∈USp (2n ,ℂ) dengan n>1 :
(
Y=
A
−B *
B
A*
)
,
(16)
dimana A , B adalah matriks hermitian (seperti sebelumnya, subscript * menandakan matriks A*
merupakan hasil transpos beserta kompleks konjugat dari matriks A ) .Kembali ke kasus n>1 , kita
bisa mendefinisikan pemetaan serupa g :Sp (n)→ USp( 2n , ℂ) yang membawa matriks X ∈Sp (n)
ke matriks Y = A B ∈ USp(2n ,ℂ) . Dari aturan perkalian di quaternion kita dapat menuliskan
C D
X st = p st +q st j , dengan p st , q st ∈ℂ . Dengan demikian, g
sembarang entri di X sebagai
memetakan X ke Y dengan aturan pada Y seperti berikut :
(
)
5
A st
B st
C
D
= p st
= q st
.
=−B*
= A*
(17)
Dapat diperiksa, bahwa pemetaan dengan aturan (17) adalah sebuah isomorfisma, sehingga
USp(2n ,ℂ)≃Sp(n) .
Isomorfisma diantara kedua grup tersebut memberikan kita keleluasaan untuk bekerja di grup
Sp (n) dalam meninjau grup USp(2n ,ℂ) .Sebagai ilustrasi kita akan memeriksa Sp (1) yang
mempunyai elemen bilangan quaternion berbentuk z=a 0+a 1 i +a 2 j+a 3 k
yang dapat
a +i a 1 a 2+i a 3
direpresentasikan sebagai matriks Z= 0
.Dengan memandang Sp (1) sebagai
i a3−a 2 a0 −i a 1
USp(2, ℂ) , syarat (7) memberikan restriksi untuk Z , yang jika dituliskan secara eksplisit :
(
2
2
)
2
2
a 0+a1 +a 2+a 3=1 ,
(18)
Dapat dilihat, bahwa kondisi (18) adalah persamaan serupa yang didapat dengan menerapkan
kondisi (14) ke z .
Pada kondisi n=1 , telah kita buktikan bahwa USp(2, ℂ) adalah grup kompak. Pada kondisi
tersebut, kita mempunyai keuntungan dengan bekerja secara eksplisit dengan parameterisasi dari
anggota grup USp(2, ℂ) , sehingga kita dapat menentukan manifold yang memparameterisasi
operasi grup USp(2, ℂ) , sehingga kita bisa menyimpulkan sifat kompak dari grup tersebut
berdasarkan sifat kompak dari manifold bersangkutan.
Untuk kasus lebih umum, tanpa mengetahui parameterisasi anggota matriks dari suatu grup, sifat
kompak dari suatu grup dapat diperiksa melalui teorema berikut [3] :
Teorema 2.3
Sebuah grup matriks Lie G dikatakan kompak, jika G memenuhi :
1. Jika Am adalah sembarang barisan dari matriks di G , dan Am menuju ke sebuah matriks A ,
maka A∈G .
2. Terdapat sebuah konstanta C , sehingga untuk semua A∈G , ∣Aij∣⩽C untuk setiap 1⩽i , j ⩽n .
Secara intuitif, kita dapat memahami teorema tersebut seperti berikut. Kita akan mengambil
kasus himpunan M n (ℝ) yang berisi semua matriks n×n beranggotakan elemen riil. Dari teorema
Heine-Borel, diketahui bahwa sembarang interval tertutup [a , b]⊂ℝ adalah kompak. Lebih jauh
dapat dibuktikan juga bahwa jika A⊂ℝ n dan B⊂ℝm adalah kompak, maka A× B⊂ℝ n+m adalah
kompak, sehingga dapat dibuktikan bahwa sembarang closed rectangle di Rn adalah kompak.
Akibatnya, sembarang subhimpunan dari ℝn yang tertutup dan terbatasi (bounded), adalah
kompak. Sekarang jika kita memandang sembarang grup G⊂M n (ℝ) sebagai ℝn , teorema 2.3
dapat dilihat sebagai interpretasi ulang dari teorema dasar analisis mengenai sifat kompak yang
telah kita sebutkan sebelumnya.
Perhatikan bahwa dari definisi Sp (n) , sembarang matriks A∈Sp (n) , memenuhi
2
n
∑∣Aij∣=1
,
(19)
j=1
untuk sembarang 1⩽i ⩽n . Karena ∣Aij∣⩾0 disimpulkan dari persamaan (19) bahwa haruslah
∣Aij∣⩽1 , sehingga syarat 2 dari teorema 2.3 terpenuhi. Sedangkan syarat 1 terpenuhi, karena dari
6
teorema 2.3, USp(n) adalah sebuah grup matriks Lie. Dengan demikian, karena grup Sp (n)
isomorfik dengan USp(2n ,ℂ) , sehingga kedua syarat tersebut juga terpenuhi oleh USp(2n ,ℂ) ,
disimpulkan bahwa USp(2n ,ℂ) adalah grup kompak.
7
3.Beberapa sifat dari grup Sp(n)
Di bagian ini, kita akan mencoba membuktikan beberapa sifat mengenai grup Lie terkait Sp (n)
dan jika memungkinkan, kita dapat membuktikan sifat yang sama untuk USp(2n ,ℂ) menggunakan
sifat isomorfisma diantara kedua grup tersebut. Berikut adalah salah satu definisi penting dalam
kajian mengenai grup Lie.
Sebelumnya, seperti kita tahu pemusat Z (G) dari suatu grup G , didefinisikan sebagai
himpunan a ∈G , sehingga ag =ga untuk semua g ∈G . Karena bilangan kuarternion commute
dengan bilangan real pastilah matriks identitas 1n dan hasil negatifnya (−1 ) n merupakan anggota
dari pemusat Sp (n) . Dapat ditunjukan bahwa Z ( Sp( n))={−1,1 } , yang sesuai dengan dugaan
kita bahwa Sp (n) adalah grup nonabelian.
Definisi 3.1
Grup Lie yang simple adalah grup Lie yang hanya memiliki subgrup normal berupa subgrup trivial
dan grup itu sendiri.
Perhatikan bahwa dari diskusi sebelumnya, (−1)n ∈Z ( Sp( n)) . Karena pemusat dari sebuah
grup, adalah sebuah subgrup normal, maka disimpulkan bahwa Sp (n) bukanlah grup simple.
Pembuktian bahwa isomorfisma mempertahankan sifat normal dari suatu subgrup ke peta nya
tidaklah begitu jelas. Misalnya, homomorfisma f : A → B tidak menjamin subgrup normal di A
f (A) normal di B . Dengan fakta tersebut, karena isomorfisma
menyebabkan
g :Sp (n)→ USp(2n , ℂ) , menyebabkan g ((−1)n )≠I (karena g adalah pemetaan satu-satu,
sehingga ker ( g ) hanya berisi identitas di Sp (n) ) adalah anggota dari subgrup normal di
USp(2n ,ℂ) , disimpulkan bahwa USp(2n ,ℂ) bukanlah grup Lie yang simple.
Seperti yang kita tahu, pada dasarnya sebuah grup Lie adalah manifold yang memiliki struktur
grup. Pada kajian mengenai manifold, biasanya diawali dengan pendefinisian tangent vector secara
μ
abstrak di manifold. Dengan melihat bahwa ada korespondensi satu-satu diantara sebuah vektor v
μ
dengan operator turunan berarahnya ∂μ v , kita mendefinisikan tangent vector sebagai “operator
turunan” yang bekerja pada fungsi, yang memenuhi aturan Leibnitz. Kajian mengenai tangent
vector di manifold sangatlah penting, karena dengan definisi tersebut kita dapat mendefinisikan
tangent space yang pada akhirnya membawa kita untuk mendefinisikan basis dan 1-forms di
manifold.
Seperti manifold yang memiliki pengertian bebas sebagai ruang yang secara lokal merupakan
ruang Euclidean, grup Lie G, secara lokal dapat direpresentasikan sebagai ruang tangen T 1 (G) di
identitas 1 . Ruang tangen T 1 (G) didefinisikan sebagai kumpulan vektor tangen A ' (t) dari
smooth path A(t ) di G yang melewati identitas ( A(0)=1 )[6]. Perhatikan bahwa dari definisi
grup Sp (n) , A(t )∈Sp(n) memenuhi
*
d ( A A)
1
A ' * A+A* A' =
=d =0 .
dt
dt
Sehingga, jika dievaluasi saat t=0 diperoleh X ∈T 1 (G) jika
X * + X =0 .
(20)
Dengan demikian sesuai definisi dari aljabar Lie, sp(n)={ X ∈ Sp(n): X *+ X =0 } . Aljabar lie
sp( n) mempunyai n (2n+1) parameter riil bebas. Salah satu sifat penting dari Sp (n) adalah
bahwa Sp (n) adalah grup Lie yang connected. Adapun definisi dari connected adalah sebagai
berikut :
8
Definisi 3.2
Sebuah grup Lie matriks G dikatakan connected jika untuk dua matriks sembarang A , B ∈G ,
terdapat path kontinu T :[a , b ]→ G , sehingga A( a)= A dan T (b)= B .
Definisi connected pada grup berkaitan erat dengan definisi path connected pada topologi yang
menyatakan bahwa suatu topologi M dikatakan path-connected jika untuk sembarang x , y ∈M ,
terdapat fungsi riil kontinu di M , f :[a , b] → M , sehingga f (a )=x dan f (b)= y . Kita dapat
melihat bahwa S n adalah topologi yang path-connected ,karena fungsi f =x /∣∣x∣∣ di S n
merupakan fungsi yang surjektif. Dengan demikian Sp (n) adalah grup Lie yang connected.
4. Spinor dan hubungannya dengan USp(2, ℂ)
Misalkan vektor ⃗x =(x 1, x 2, x 3 )∈ℝ3 adalah sebuah vektor isotropik, sehingga memenuhi :
2
2
2
(21)
x 1+ x 2+x 3 =0
Dapat diperiksa bahwa salah satu parameterisasi solusi yang mungkin dari (21) adalah seperti
berikut :[1]
x 1 = ξ02−ξ12
x 2 = i(ξ20 +ξ21 ) .
x 3 =−2 ξ 0 ξ1
(22)
Dengan menyelesaikan (22) di dalam ξ 0 dan ξ1 , didapat :
ξ 0=±
√
√
x 1−i x 2
−x 1−ix 2
dan ξ1=±
.
2
2
(23)
Perhatikan bahwa terhadap rotasi x 1−ix 2 → e 2 πi ( x1−ix 2) , terjadi transformasi , ξ 0 → ξ0 e πi =−ξ0 ;
begitu juga dengan ξ1 terhadap rotasi −x1 −i x 2 .
Pasangan (ξ 0 , ξ1 ) membentuk sebuah spinor yang didefinisikan sebagai kuantitas (nantinya akan
dibuktikan bahwa (ξ 0 , ξ1 ) membentuk tensor) yang berubah tanda terhadap 1 rotasi penuh. Untuk
membuktikan bahwa (ξ 0 , ξ1 ) membentuk tensor Euclidean, kita cukup menunjukkan bahwa
transformasi ⃗x → x⃗'= A ⃗x , berimplikasi transformasi linear (ξ 0 , ξ1 )→(ξ' 0, ξ ' 1) .
Dari persamaan (22) didapat :
ξ 0 x 3+ξ1 ( x 1−i x 2) = 0
,
ξ0 ( x 1+ix 2 )−ξ 1 x 3 = 0
(24)
yang dapat dituliskan sebagai berikut :
()
X ξ0 =0 ,
ξ1
9
(25)
dengan X yang disebut sebagai matriks terasosiasi sebuah vektor ⃗x =( x 1, x 2, x 3)∈ℝ3 , yang secara
eksplisit dituliskan
(
X=
x3
x 1+ix 2
)
x 1−i x 2
.
−x 3
(26)
Salah satu fakta menarik, adalah bahwa X dapat diartikan sebagai operator spin di ruang
Hilbert, dengan kata lain :
X =σ1 x 1+σ 2 x 2+σ3 x 3=⃗
σ . ⃗x ,
(27)
dengan σi adalah matriks – matriks Pauli seperti pada persamaan (9). Bagaimana hal ini
berhubungan ?
Persamaan (21) dapat diartikan bahwa ⃗x tegak lurus terhadap dirinya sendiri. Kita tahu juga,
bahwa sebuah skew-scalar product [,]: K 2n → K pada sebuah ruang vektor symplectic K 2n
(seperti persamaan (12) pada ℂ2n ) yang didefinisikan sebagai
[a , b]=−[b , a ] ,
berimplikasi bahwa [a , a ]=0 untuk setiap a ∈K 2n . Dengan demikian setiap a ∈K 2n “tegak
lurus” dengan dirinya sendiri.
Sekarang, perhatikan bahwa iX ∈USp( 2, ℂ) , sehingga iX memenuhi :
[iXa ,iXb ]=[a , b] ,
untuk semua a , b∈ℂ . Hal ini dapat kita lihat sebagai kasus lebih umum dari :
2
[iX ξ ' ,iX ξ ]=[ξ' , ξ] ,
dengan (ξ , ξ ' ) merupakan spinor yang didefinisikan melalui persamaan (21).
10
(28)
Daftar Referensi
1: Cartan, Elie. The Theory of Spinors. 1966
2: Gilmore, Robert. Lie Groups, Physics, and Geometry. 2008
3: Hall, Brian. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations. 2003
4: Munkres,James. Topology. 2000
5: Spivak, Michael. Calculus on Manifolds. 1965
6: Stillwell,John. Naive Lie Theory. 2008
11