BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Teori-teori Dasar / Umum
Teori – teori dasar / umum yang akan dibahas dalam bab 2 ini adalah teori
matlab dan teori motor DC yang diterapkan dalam penelitian ini.
2.1.1 MATLAB (Matrix Laboratory)
MATLAB singkatan dari MATRIK LABORATORY. Aplikasi matlab
banyak digunakan dalam bidang yang membutuhkan perhitungan matematika
yang rumit, dimana seluruh operasi perhitungan dalam matlab berupa operasi
matrik. Matlab dapat menampilkan hasil perhitungan dalam bentuk plot grafik
dan dapat juga dirancang mengunakan GUI ( Graphical User Interface ) yang
kita rancang. Pada software MATLAB terdapat beberapa bagian penting yang
digunakan dalam menjalankan program yaitu :
•
Command window digunakan untuk mengetik fungsi yang diinginkan,
•
command history berfungsi agar fungsi yang telah digunakan sebelumnya
dapat digunakan kembali, dan
•
workspace digunakan untuk membuat variabel yang ada dalam MATLAB.
MATLAB dapat juga digunakan untuk melakukan pemrograman dengan
menggunakan m-file, dimana cara kerja dari m-file itu sendiri sama dengan jika
mengetik langsung pada command window.
2.1.2 Motor DC
Motor DC atau motor arus searah adalah salah satu penggerak utama
yang sering digunakan dalam dunia industri. Motor DC lebih sering digunakan
oleh orang dari pada motor ac karena karakteristik dari motor ac adalah non
linier karena ada phase pada motor ac sehingga lebih sulit dalam hal analistis
(Kuo, Benjamin C., 1995, ppl-124).
Teknologi motor dc pada saat ini terdiri dari bermacam-macam jenis,
maka untuk dapat mengendalikan motor dc dengan baik, perlu diketahui
persamaan matematika dan cara kerjanya dari motor dc itu sendiri. Pada sub bab
ini akan dibahas tentang pengenalan motor dc, cara kerja dari motor dc dan
persamaan matematik dari motor dc.
2.1.2.1 Cara Kerja Motor DC
Pada dasarnya motor dc merupakan sebuah transducer yang
bekerja sebagai aktuator atau alat yang merespon suatu energi listrik
menjadi energi mekanik, dimana kekuatan dari gaya putarnya disebut
dengan torsi. Torsi yang dihasilkan berbanding lurus dengan besarnya
arus pada kumparan dan berbanding lurus dengan besarnya fluks pada
medan magnetik. Hubungan antara torsi yang dihasilkan, fluks bernilai
konstan dan arus adalah sebagai berikut :
T = K. Ф . ia ........................................2.1
Keterangan :
T = torsi yang diberikan oleh motor (NM).
ia = arus armature (ampere).
K = Konstanta proportional motor
Ф = fluks magnetic (webers)
2.1.2.2 Persamaan Matematika Motor DC
Motor dc sering digunakan pada sistem kendali, untuk tujuan
analitik, dimana diperlukan model matematis motor dc dalam
penggunaan aplikasi pada sistem kendali.
Gambar 2.1 Model motor dc yang dieksitasi terpisah
Keterangan :
Ra = tahanan armature (Ohm).
La = induktansi armature (Henry).
Va = Tegangan armature (Volt).
ia = arus armature (Ampere).
if = arus medan magnet (Ampere).
eb = gaya gerak listrik balik (Volt).
θ = perpindahan sudut dari poros motor (Radian).
Tm = torsi yang diberikan oleh motor (N.M).
J = momen inersia (S2/Rad)
B = koefisien gesekan viskos
Untuk fluks yang konstan, tegangan induksi eb berbanding lurus
dengan kecepatan sudut dθ/dt sesuai dengan persamaan dibawah ini :
eb(t) = K b
dθ
(t ) dilaplace menjadi : Eb(s) = Kb.s.θ(s) ………….2.2
dt
Persaman diferensial rangkaian kumparan magnet adalah :
Va(t) = Ra ia (t ) + l a
dia (t )
+ eb (t ) dilaplace menjadi :
dt
Va(s) = (La.s + Ra)Ia(s) +eb(S)
…..................................................2.3
Arus armature magnet menghasilkan torsi yang bekerja terhadap
inersia dan gesekan maka persamaanya menjadi :
d 2θ
dθ
T = KaIa = J 2 + B
dilaplace menjadi : KaIa(s) = (J s2 + B s)θ(s)
dt
dt
….2.4
Asumsikan syarat awal = 0 dan persamaan transformasi laplace 2.2 ,
2.3 , dan 2.4 dimana Va (s) adalah input dan θ (s) adalah output,
sehingga blok diagram untuk motor dc dapat digambarkan sebagai
berikut :
Gambar 2.2 Blok diagram motor dc
Persamaan matematika dari motor dc (dalam transformasi
laplace) yang diturunkan dari gambar 2.2 yaitu :
θ (s)
Va ( s )
=
ka
…………………2.5
s ( s La J + sRa J + La B) + Ra B + k a .k b
2
Persamaan diatas merupakan pengontrolan motor DC dengan
kumparan magnet pada motor yang searah dengan pengontrolan
armature magnet motor DC. Jika kumparan magnet berputar, maka
tegangan akan sebanding dengan kecepatan induksi dari kumparan
magnet. Kecepatan armature magnet motor DC dikontrol oleh
tegangan kumparan magnet. Arus armature akan menghasilkan torsi
yang bekerja terhadap inersia dan gesekan. Armature magnet motor
DC merupakan sistem umpan balik. Induktansi dalam kumparan
magnet biasanya kecil dan dapat diabaikan sehingga fungsi alih dapat
menjadi :
θ ( s)
Ea ( s )
=
Km
……………………………………..2.6
s (Tm s + 1)
Dimana :
Km = konstanta penguatan motor
Tm = konstanta waktu motor
2.2 Teori-teori Khusus yang Berhubungan dengan Topik Yang Dibahas
Teori – teori khusus yang berhubungan dengan topik yang akan dibahas
adalah Metode PID Controller Auto-Tuning menggunakan konsep Multiple
Integrations.
2.2.1 Jenis – jenis Sistem Kontrol
Jenis – jenis sistem kontrol terdiri dari 2 macam sistem kontrol yaitu
sistem kontrol terbuka (open-loop) dan sistem kontrol tertutup (closed-loop).
1. Sistem kontrol terbuka (open-loop)
Sistem kontrol terbuka adalah sistem yang tidak memiliki umpan balik.
Sistem ini terdiri dari 2 bagian kontrol dan proses yang ingin dikendalikan.
Suatu sinyal masukan diberikan ke sistem kontrol dimana keluarannya bertindak
sebagai sinyal penggerak dimana sinyal penggerak ini yang kemudian
mengendalikan proses yang akan dikendalikan sehingga menghasilkan output
yang diinginkan. Contoh pengendali dapat berupa op-amp atau transistor.
Gamabar 2.3 Sistem kontrol terbuka (open-loop)
2. Sistem kontrol tertutup (closed-loop)
Sistem kontrol tertutup (closed-loop) adalah sistem kontrol yang memiliki
umpan balik, output yang dihasilkan dan sinyal input dimasukan kedalam sistem
akan diselisih dimana hasil selisih dari sinyal output dengan sinyal input
tersebutlah yang disebut dengan umpan balik. Sinyal error yang dihasilkan
merupakan hasil dari selisih antara sinyal output dengan sinyal input atau
masukan.
Gamabar 2.4 Sistem kontrol tertutup (closed-loop)
2.2.2 Kontroler
Kontroler digunakan sebagai komponen penambah pada suatu sistem
untuk mendapatkan sinyal keluaran plant sesuai dengan sinyal setting. Salah
satu kontroler adalah kontroler PID yaitu suatu sistem kontrol umpan balik atau
sistem pengendali loop tertutup yang digunakan untuk memperkecil error
dengan cara membandingkan error yang diinginkan dengan error yang
dihasilkan. PID ( proportional-integral-derivative ) merupakan kombinasi
kontroler proposional, integral dan diferensial.
2.2.2.1 Kontroler Proportional
Keluaran kontroler proposional adalah perkalian antara konstanta
proposional dengan nilai error-nya. Perubahan yang terjadi pada sinyal
masukan akan menyebabkan sistem secara langsung mengubah
keluarannya sebesar konstanta pengalinya.
U(t) = Kp e(t)....................................................2.7
Pada diagram blok kontroler proposional menggambarkan bahwa error
merupakan selisih antara besaran yang diatur dengan besaran sebenarnya
yang mempengaruhi kontroler untuk mengeluarkan output yang
diinginkan.
Gambar 2.5 Diagram blok kontroler proporsional
Sumber: http://www.elektroindonesia.com/elektro/tutor12.html
Efek kontroler proposional pada suatu sistem adalah sebagai
berikut :
¾ Bila nilai Kp kecil maka menghasilkan respon sistem yang lambat.
¾ Bila nilai Kp besar maka sistem bekerja tidak stabil.
¾ Bila nilai Kp dinaikan maka respon sistem akan cepat mencapai
keadaan stabil.
2.2.2.2 Kontroler Integral
Respon integral akan meningkat secara kontinu terus menerus
kecuali error-nya adalah sama dengan 0 (nol), agar steady-state error
menjadi 0 (nol). Steady-state error adalah perbedaan akhir diantara
analog input atau variabel proses dan setpoint. Kejadian ini disebut hasil
akhir penyelesaian dari integral dimana integral terhadap kontroler,
tanpa kontroler tersebut harus menghilangkan signal error. Output dari
kontroller integral sangat dipengaruhi oleh perubahan yang
sebanding dengan nilai sinyal error dimana output ini merupakan
penjumlahan yang terus menerus dari perubahan masukannya. Jika
signal error tidak mengalami perubahan maka keluaran akan menjaga
agar keadaan seperti sebelum terjadinya perubahan masukan.
Keluaran kontroler integral adalah perkalian antara nilai error yang
diintegralkan dengan batasan 0 sampai t dengan konstanta integral.
U(t) = Ki t∫0 e(t) dt...........................................2.8
Fungsi alih dari kontroler integral adalah:
U(s) / E(s) = Ki / s..............................................2.9
Pada diagram blok kontroler integral menunjukan hubungan antara nilai
error dengan output, kontroler integral membantu menaikan respon
sehingga menghasilkan output yang diinginkan.
Gambar 2.6 Blok diagram kontroler Integral
Sumber: http://www.elektroindonesia.com/elektro/tutor12.html
Efek kontroler integral pada suatu sistem adalah sebagai berikut :
¾ kontroler
integral
memperlambat
membutuhkan selang waktu.
respon
karena
output-nya
¾ Bila nilai sinyal error sama dengan nol, maka keluaran kontroler
tetap seperti sebelumnya tetapi jika nilai sinyal error tidak sama
dengan nol, maka output akan menghasilkan nilai yang dipengaruhi
oleh nilai error dan konstanta integral.
¾ Bila nilai Ki besar, maka akan mempercepat hilangnya offset.
2.2.2.3 Kontroler Diferensial
Komponen derivatif menyebabkan output menjadi menurun jika
variable prosesnya meningkat dengan cepat. Respon derivatif adalah
proporsional terhadap perubahan dari input analog atau variabel proses.
Dengan meningkatkan time derivative (Td) maka akan menyebabkan
kontrol sistem untuk beraksi lebih kuat dalam mengubah error dan
meningkatkan kecepatan dari respon kontrol sistem secara keseluruhan.
Kebanyakan sistem kontrol praktis menggunakan nilai time derivative
(Td) yang sangat kecil karena respon derivatif adalah sangat sensitif
terhadap noise dalam sinyal variabel proses. Jika sensor sinyal umpan
balik adalah noise atau jika laju perubahan adalah sangat kecil maka
respon derivatif dapat membuat kontrol sistem menjadi tidak stabil.
Jika sinyal input tidak mengalami perubahan maka keluaran
kontrolernya juga tidak akan mengalami perubahan sedangkan jika
signal inputan-nya mengalami perubahan secara mendadak dan menaik (
berbentuk fungsi step ) maka akan menghasilkan output berbentuk
impuls tetapi jika sinyal inputan-nya berubah naik secara perlahan (
fungsi ramp ) maka outputnya akan berbentuk fungsi step yang besar
magnitudenya yang dipengaruhi oleh kecepatan naik dari fungsi ramp
dan faktor konstanta differensialnya Td.
Keluaran kontroler diferensial adalah perkalian antara nilai error
yang di-diferensialkan dengan konstanta diferensial.
U(t) = Kd . Td . (de(t)/ dt)..............................2.10
Fungsi alih dari kontroler diferensial adalah
U(s) / E(s) = Kd (Td . s).................................2.11
Pada diagram blok kontroler diferensial yang menggambarkan hubungan
antara sinyal error dengan keluaran kontroler.
Gambar 2.7 Blok diagram kontroler Diferensial
Sumber: http://www.elektroindonesia.com/elektro/tutor12.html
Efek Kontroler differensial pada suatu sistem adalah sebagai berikut :
¾ Kontroler differensial tidak akan menghasilkan keluaran bila tidak
ada masukannya yang berupa sinyal error
¾ Keluaran yang dihasilkan Kontroler differensial tergantung pada
nilai Td dan perubahan nilai error, jika error berubah terhadap
waktu.
2.2.2.4 Kontroler PID
Suatu metode sistem pengatur umpan balik ( feedback ) yang
digunakan pada komponen kontroler standar di industri yang dapat
bekerja secara otomatis. Komponen dengan sistem PID ( proportionalintegral-derivative ) dinamakan kontroler PID.
Kontroler PID ( proportional-integral-derivative ) digunakan
dalam sebuah sistem dengan loop tertutup yang dimana melibatkan
umpan balik dari output sistem guna mencapai respon yang diinginkan.
Sistem PID dapat mengontrol variabel inputan sistem dengan
memanipulasi variabel output sistem sehingga diperoleh variabel input
baru agar menghasilkan output yang sesuai.
Contoh dapat dilihat dari blok diagram dibawah :
Gambar 2.8 Blok diagram sistem kontrol closed-loop
Blok diagram diatas merupakan sistem kontrol closed loop
dimana kontroler bekerja sebagai penggerak plant ( objek fisik yang
digerakkan dalam sistem ) dan mengontrol sifat plant. Sistem PID (
proportional-integral-derivative ) sebagai kontroler akan bekerja untuk
menggerakkan plant sebagaimana ia seharusnya menghasilkan respon
yang diinginkan. Yang dikontrol oleh sistem PID adalah variabel output
sistem yaitu Y. Agar diperoleh variabel Y yang sesuai maka sistem PID
akan memanipulasi variabel input R. Variabel yang dimanipulasi (R
baru) merupakan hasil komputasi dari variabel R, Y (feedback) dan
sinyal error (e). Sinyal error ini dihasilkan oleh output Y yang dibawa
dalam komponen feedback untuk dikirim ke PID kontroler sehingga
dapat dijadikan pengukuran error output. Dari variabel manipulasi
inilah, diperoleh output yang sesuai dengan error yang minimum.
Keadaan sistem jika digambarkan ke dalam grafik :
Gambar 2.9 Grafik Keadaan sistem
Steady state error : merupakan variabel kemiringan dari nilai actual
state (keadaan sebenarnya).
Rise time : waktu naik yang diperlukan oleh respon untuk mencapai
lebih dari nilai biasa yang didapat.
Rise time : waktu naik yang diperlukan oleh respon untuk mencapai
lebih dari nilai biasa yang didapat.
Waktu rise time diperoleh dari respon untuk naik dari 10% menjadi 90%
dari nilai akhir.
Settling time : waktu yang diperlukan oleh respon untuk mencapai
setengah nilai akhir saat pertama.
Overshoot : nilai puncak respon diukur dari satuan yang menunjukkan
kestabilan relatif dari sistem.
Keluaran PID kontroler merupakan penjumlahan dari kontroler
proportional-integral-derivative,
dengan
menggubah
konstanta
proportional-integral-derivative yang akan memberikan pengaruh
terhadap respon sistem secara keseluruhan.
U(t)= [ Kp . e(t)] + [ ( Kp / Ti ).( t∫0 e(t) dt) ] + [Kp . Td . (de(t)/ dt)]
.....................................................................................................2.12
Maka fungsi alih dari pengendalian ini adalah
U(s) / E(s) = Kp .[ 1+ ( 1 / Ti . s) + (Td . s) ]........................2.13
PID kontroler terdiri dari 3 jenis cara pengaturan yang saling
dikombinasikan, yaitu kontroler P (Proportional) , kontroler D
(Derivative), dan kontroler
I (Integral). Masing-masing memiliki
parameter tertentu yang harus diset untuk dapat beroperasi dengan baik,
yang disebut sebagai konstanta.
Diketahui konstanta Kp, Kd dan Ki yaitu :
¾ Kp berguna untuk mengurangi rise time tetapi kelemahannya sistem
masih memiliki steady state error.
¾ Ki berguna untuk menghilangkan steady state error tetapi membuat
respon transient menjadi kurang bagus.
¾ Kd berguna untuk menambah efek kestabilan dari sistem.,
mengurangi overshoot, dan memperbaiki respon transient.
Efek (karakteristik) dari perubahan parameter
pada masing-masing kontroler
Settling
Parameter
Rise Time
Overshoot
Steady State Error
Time
Sedikit
Proporsional
Berkurang
Bertambah
Berkurang
perubahan
Integral
Berkurang
Bertambah
Bertambah
Hilang
Sedikit
Derivative
Berkurang
Berkurang
Sedikit perubahan
perubahan
Tabel 2.1 Efek perubahan kontroller PID
2.2.3 Automatic - Tuning
Auto–tuning adalah sebuah metode dimana kontrolernya aktif secara
otomatis atas permintaan dari user. Biasanya user akan menekan tombol atau
mengirimkan instruksi ke kontroler untuk mengaktifkan fungsi auto-tuning.
Prosedur tuning otomatis terdiri dari 5 step yaitu
1. Mengaktifkan mode auto – tuning.
2. Pembangkitan proses gangguan.
3. Evaluasi dari respon gangguan.
4. Perhitungan pada parameter kontroler.
5. Memperbarui parameter kontroler.
2.3 Metode Auto-Tuning dengan Magnitude Optimum Multiple Integration
Prosedur tuning untuk kontoler PID adalah dapat diberikan dengan
pendekatan fungsi alih yaitu :
G p ( s ) = K PR
1 + br s + b2 s 2 + ... + bm s m − sTdel
e
......................................................2.14
1 + a1 s + a 2 s 2 + ... + a n s n
Dimana KPR adalah proses steady-state dan a1 sampai an dan b1 sampai bm adalah
parameter yang merespon dari proses fungsi alih dimana m ≤ n, dan Tdel
merepresentasikan proses time delay. Parameter b1 sampai bm merupakan koefisien
numerator (pembilang) dan parameter a1 sampai an merupakan koefisien
denumerator (penyebut) dari persamaan fungsi alih sistem.
Fungsi alih dari Kontroler PID adalah :
Gc( s ) =
⎛
⎞
U ( s)
1
= K ⎜⎜1 +
+ sTd ⎟⎟ .......................................................................2.15
E ( s)
⎝ sTi
⎠
Dimana U dan E adalah transformasi laplace pada kontroler output dan kontrol
error (e=w-y). Secara berurutan, parameter kontroler K (penguatan proporsional)
,Ti (konstanta waktu integral) ,Td (konstanta waktu derivatif).
Konfigurasi Kontroler PID dalam closed-loop dengan plant dimana D adalah
gangguan.
Gambar 2.10 Konfigurasi PID kontroler dalam kontrol closed-loop
Proses tuning diatas dilakukan untuk memperoleh sebuah kontroler yang dapat
memberikan respon magnitude frekuensi dalam proses closed-loop yang setingkat
dengan plant. Syarat yang diperlukan dapat diekspresikan oleh persamaan berikut :
GCL ( jω ) =
G P ( jω )GC ( jω )
Y ( jω )
=
≈ 1 ……………………………… 2.16
W ( jω ) 1 + G P ( jω )GC ( jω )
Persamaan diatas dapat dikatakan sebagai persamaan optimasi magnitude ( MO )
yang dapat memberikan respon untuk berbagai model proses kelas tinggi.
Untuk mendapatkan parameter PI dan PID kontroler berdasarkan kriteria MO, hal
pertama yang harus dilakukan adalah dengan mendirikan waktu delay dalam
persamaan 2.14 kedalam Taylor series :
e − sTDEL = 1 − sTdel +
( sTdel ) 2 ( sTdel ) 3
−
+ ⋅ ⋅ ⋅. ……………..……………………2.17
2!
3!
Fungsi alih dalam sistem open-loop dapat diekspresikan sebagai berikut, dimana
parameter ci dan di adalah fungsi-fungsi dari fungsi alih :
d 0 + d1 s + d 2 s 2 + d 3 s 3 + ⋅ ⋅ ⋅
GC ( s)G P ( s) =
…………………………………...2.18
c0 s + c1 s 2 + c 2 s 3 + c3 s 4 + ⋅ ⋅ ⋅
Dimana parameter ci dan di pada 2.18 dapat dihitung dari 2.14 dan 2.15 serta 2.17
dan 2.18
...........................................................2.19
.........................................................2.20
.........................................................2.21
.........................................................2.22
.........................................................2.23
...........................................................2.24
..........................................................................................................2.25
......................................................................................2.26
.............................................2.27
......2.28
....................................2.29
.
..............................2.30
atau dapat disimpulkan dengan persamaan di bawah ini :
2 n +1
∑ (−1) i d i c2n+1−i =
i =0
1 2 n +1
∑ (−1) i ci c2n−1 …………………………...………………2.31
2 i =0
Untuk mendapatkan 3 parameter PID (K,Ti dan Td), dari ketiga persamaan
(n=0...2) dalam persamaan 2.31 maka :
2
d1c0 − d 0 c1 +
c0
= 0 ...........................................................................................2.32
2
2
− d1c 2 − d 3 c0 + d 0 c3 + d 2 c1 − c0 c 2 +
c1
= 0 ........................................................2.33
2
2
d1c 4 + d 3 c 2 + d 5 c0 − d 0 c5 − d 2 c3 − d 4 c1 + c 4 c 0 − c1c3 +
c2
= 0 ..........................2.34
2
ketika persamaan 2.25 – 2.30 dimasukan kepersamaan 2.32, 2.33, 2.34 maka
persamaannya menjadi :
K=
Ti
...............................................................................2.35
2 K PR (Ti − a1 + b1 − Tdel )
2
3
⎛
Tdel
Tdel ⎞
⎜
⎟
(a1 − b1 ) +
2 KK PR ⎜ a1b1 − a 2 b1 + a3 − b3 − Tdel (a1b1 − a 2 − b2 ) +
⎟
2
6
⎝
⎠ ......
Ti =
2
⎛
T ⎞
2
2 KK PR ⎜⎜ Td (a1 − b1 + Tdel ) + a1b1 − a 2 − b2 − Tdel (a1 − b1 ) − del ⎟⎟ + a1 − 2a 2
2 ⎠
⎝
................2.36
2 KK PR (Ti (a1b3 − a 2 b2 + a3 b1 − a 4 − b4 ) + a1b4 − a 2 b3 + a3 b2 − a 4 b1 + a5 − b5 )
−
2
3
⎛
Tdel
Tdel ⎞
⎟
(a1 − b1 ) +
2 KK PR Ti ⎜⎜ a1b2 − a 2 b1 + a3 − b3 − Tdel (a1b1 − a 2 − b2 ) +
⎟
2
3
!
⎝
⎠
Tdel (Ti (a1b2 − a 2 b1 + a3 − b3 ) + a1b3 − a 2 b2 + a3 b1 − a 4 − b4 )
+
2
3
⎛
Tdel
Tdel ⎞
⎟
(a1 − b1 ) +
2 KK PR Ti ⎜⎜ a1b2 − a 2 b1 + a3 − b3 − Tdel (a1b1 − a 2 − b2 ) +
⎟
2
3
!
⎝
⎠
Td = −
2
Tdel
(Ti (a1b1 − a 2 − b2 ) + a1b2 − a 2 b1 + a3 − b3 )
2
−
2
3
⎛
Tdel
Tdel ⎞
⎟
(a1 − b1 ) +
2 KK PR Ti ⎜⎜ a1b2 − a 2 b1 + a3 − b3 − Tdel (a1b1 − a 2 − b2 ) +
⎟
2
3
!
⎝
⎠
3
4
5
Tdel
(Ti (a1 − b1 ) + a1b1 − a 2 − b2 ) + Tdel (Ti − a1 + b1 ) − Tdel
3!
4!
5!
+
2
3
⎛
Tdel
Tdel ⎞
⎟
(a1 − b1 ) +
2 KK PR Ti ⎜⎜ a1b2 − a 2 b1 + a3 − b3 − Tdel (a1b1 − a 2 − b2 ) +
2
3! ⎟⎠
⎝
(
2
Ti 2a1 a3 − a 2 − 2a 4
)
2
3
⎛
T
T ⎞
2 KK PR Ti ⎜⎜ a1b2 − a 2 b1 + a3 − b3 − Tdel (a1b1 − a 2 − b2 ) + del (a1 − b1 ) + del ⎟⎟
2
3! ⎠
⎝
................2.37
Hasil dari persamaan 2.35, 2.36, 2.37 didapatkan persamaan parameter
kontroler PID yang diekspresikan kedalam suatu proses :
⎤
⎡
⎢a13 − a12 b1 + a1b2 − 2a1 a 2 + a 2 b1
⎥
⎢
⎥
⎢+ a3 − b3 + Tdel (a12 − a1b1 − a 2 + b2 )⎥
⎢
⎥
2
3
⎢+ Tdel (a − b ) + Tdel
⎥
1
1
⎢⎣ 2
⎥⎦ …......………..……………….2.38
6
K=
⎡
⎤
⎢− a12 b1 + a1 a 2 + a1b1 2 − a3 − b1b2 ⎥
⎢
⎥
2
2 K PR ⎢+ b3 + Tdel (a1 − b1 ) 2 + Tdel (a1 − b1 )⎥
⎢
⎥
3
⎢+ Tdel − T (a − b + T ) 2
⎥
d
del
1
1
⎥⎦
⎢⎣ 3
.........
⎤
⎡
⎥
⎢a13 − a12 b1 + a1b2 − 2a1 a 2 + a 2 b1
⎥
⎢
⎢+ a3 − b3 + Tdel (a12 − a1b1 − a 2 + b2 )⎥
⎥
⎢
2
3
⎥
⎢+ Tdel (a − b ) + Tdel
1
1
⎢ 2
6
⎦⎥ ...…………………………….2.39
⎣
Ti =
2
⎡ 2
Tdel ⎤
⎢a1 − a1b1 − a 2 + b2 + Tdel (a1 − b1 ) +
⎥
2 ⎥
⎢
⎢⎣− Td (a1 − b1 + Tdel )
⎥⎦
Td = f (a1 ⋅ ⋅ ⋅ a5 , b1 ⋅ ⋅ ⋅ b5 , Tdel ) …........………………………………………….2.40
Untuk menggunakan metode ini kedalam sebuah aplikasi, diperlukan identifikasi
parameter-parameter KPR, a1, a2, a3, a4, a5, b1, b2, b3, b4, b5, dan Tdel dari fungsi alih.
Parameter-parameter tersebut diperoleh dari hasil pengukuran pada keadaan asli.
Masalah utama yang akan dihadapi yaitu didapatkannya hasil pengukuran yang
sama dengan yang digunakan pada keadaan sebenarnya. Untuk menghindari
masalah tersebut, digunakan solusi dengan metode multiple integrations. metode ini
dapat diekspresikan dengan mengintegralkan proses open-loop model step-response
(y(t)), setelah memasukkan step-change ΔU pada proses input. Proses integrasi
ditunjukkan pada saat proses mulai memasuki proses closed-loop dengan waktu
interval t = [t0,t1]. Proses integrasi model step-respon (y(t)) merupakan integrasi
awal yang menghasilkan suatu luas daerah integrasi (An) yang dimana dapat
direpresentasikan sebagai daerah fungsi yn(t). Selanjutnya dilakukan proses
integrasi terhadap daerah An dan diperoleh daerah integrasi berikutnya yaitu An+1
dengan fungsi yn+1(t) yang akan mengalami proses integrasi kembali. Dalam proses
multiple integrations, daerah integrasi yang diperoleh adalah dari daerah A1 sampai
A5. Dalam persamaan matematik, integrasi ini dapat diekspresikan sebagai berikut:
A1 = y1 (∞ ) = K PR (a1 − b1 + Tdel ) ………………………………………………2.41
2
⎡
Tdel ⎤
A2 = y 2 (∞ ) = K PR ⎢b2 − a 2 − Tdel b1 +
⎥ + A1 a1 …………………………….2.42
2! ⎦⎥
⎣⎢
2
3
⎡
Tdel b1 Tdel ⎤
+
A3 = y 3 (∞ ) = K PR ⎢a3 − b3 + Tdel b2 −
⎥ + A2 a1 − A1 a 2 ……………2.43
2
3! ⎥⎦
⎣⎢
2
3
4
⎡
T b T b T ⎤
A4 = y 4 (∞ ) = K PR ⎢b4 − a 4 − Tdel b2 − del 2 − del 1 + del ⎥ + A3 a1 − A2 a 2 + A1 a3
2
3!
4! ⎥⎦
⎢⎣
……..2.44
2
3
4
5
⎡
Tdel b3 Tdel b2 Tdel b1 Tdel ⎤
A5 = y5 (∞) = KPR ⎢a4 − b4 + Tdelb3 −
+
−
+
⎥ + A4 a1 − A3a2 + A2 a3 − A1a4
2
3!
4!
5! ⎦⎥
⎣⎢
……………..2.45
atau dapat disimpulkan dengan persamaan di bawah ini :
i
k
k −1
⎛
k +1
k +1 Tdel bk −1 ⎞
⎟ + ∑ (−1)
AK = y k (∞ ) = K PR ⎜⎜ (− 1) (a k − bk ) + ∑ (− 1)
i! ⎟⎠ i =1
i =1
⎝
k +1
Ai a k −i …...2.46
dari persamaan diatas maka didapatkan daerah fungsi dari y1 (t ) − y 5 (t ) :
y (t ) − y (0)
……………………………………………………………..2.47
ΔU
y 0 (t ) =
t
y1 (t ) = ∫ [K PR − y o (τ )]dτ …………………………………………………….....2.48
0
t
y 2 (t ) = ∫ ( A1 − y1 (τ ))dτ …………………………………………………………2.49
0
t
y 3 (t ) = ∫ ( A2 − y 2 (τ ))dτ …….…………………………….....................……….2.50
0
t
y 4 (t ) = ∫ ( A3 − y 3 (τ ))dτ ……..……………………………………...................2.51
0
t
y 5 (t ) = ∫ ( A4 − y 4 (τ ))dτ …….……………………………………..................2.52
0
atau dapat disimpulkan dengan persamaan di bawah ini :
t
y k (t ) = ∫ [Ak −1 − y k −1 (τ )]dτ ………………………………….............…….…2.53
0
Berikut merupakan grafik representasi dari luas daerah A1 sampai A3 berdasarkan
persamaan-persamaan diatas :
Gambar 2.11 Area integrasi A1 sampai A5
Dengan memasukkan persamaan 2.41, 2.42, 2.43, 2.44 dan 2.45 yang
didapatkan dari proses open-loop step response kedalam persamaan 2.38,
2.39 dan 2.40,maka didapatkan hasil sebagai berikut :
Td =
A3 A4 − A2 A5
2
A3 − A1 A5
…………………………………………………...2.54
K=
Ti =
(
A3
2 A1 A2 − A3 K PR −T d A1
2
) ………………………………………..2.55
A3
…......………………………………………………..2.56
A2 − Td A1