Ketelitian Pengukuran dan Angka Penting

A. BESARAN DAN SATUAN
Teori Singkat :
Di dalam Fisika gejala alam diamati melalui
pengukuran.
Pengukuran adalah membandingkan suatu
besaran dengan besaran sejenis yang
disepakati sebagai patokan (standart).
Besaran adalah sesuatu yang dapat diukur
dan dinyatakan dengan angka.
Satuan adalah sesuatu yang menyertai
besaran
Contoh : besaran panjang satuannya meter,
besaran waktu, satuannya detik dan lain
sebagainya
Dimensi adalah cara besaran itu disusun
dari besaran pokok
Besaran dibagi 2 macam : Besaran Pokok
dan Besaran Turunan
Besaran Pokok
1. Panjang
2. Massa
3. Waktu
4. Suhu
5. Kuat arus
6. Kuat cahaya
7. Jumlah zat
Satuan
meter (m)
kilogram (kg)
detik (s)
kelvin (k)
ampere (A)
kandela (cd)
mol (n)
Dimensi
[L]
[M]
[T]
[θ]
[I]
[J]
[N]
1. Mistar
Mistar mempunyai skala terkecil dalam
milimeter (mm) dan memiliki ketelitian = 1
mm atau 0,1 cm . Ketelitian mistar adalah
1
setengah dari skala terkecilnya. Jadi x 1
2
mm = 0,5 mm atau 0,05 cm
2. Jangka Sorong
Jangka sorong mempunyai dua skala yaitu
skala utama dan skala nonius. Skala nonius
terdiri dari 10 bagian yang panjangnya 9
mm. Selisih satu skala utama dengan satu
skala nonius sama dengan 1 mm – 0,9 mm
= 0,1 mm. Ketelitian jangka sorong adalah
1
setengah dari skala terkecilnya. Jadi x 0,1
2
mm = 0,05 mm atau 0,005 cm
Skala nonius
Selain besaran pokok diatas adalah besaran
turunan
Contoh : gaya, berat, massa jenis, volume
dan lain sebagainya
Tips Soal Dimensi :
Langkah penyelesaian jika menghadapi soal
yang menanyakan tentang dimensi :
1. Mengetahui rumusnya
2. Menerjemahkan rumus ke dalam
besaran pokok
3. Mengubah satuan ke dimensi
Ketelitian Pengukuran dan Angka
Penting
Di dalam pengukuran kita mengenal
berbagai perangkat ukur dan hasil
pengukuran yang berujud angka-angka.
Diantara alat ukur panjang yang perlu
diketahui adalah :
1. Mistar
2. Jangka sorong
3. Mikrometer sekrup
Skala utama
Sebagai contoh pada pengukuran diatas,
kita dapatkan 2,3 cm + 0,2 mm = 2,32 cm
3. Mikrometer Sekrup
Mikrometer Sekrup mempunyai dua skala
yaitu skala utama dan skala nonius. Skala
nonius terdiri dari 50 skala. Setiap kali skala
nonius diputar 1 kali, maka skala nonius
bergerak maju atau mundur sejauh 0,5 mm.
Sehingga satu skala nonius sama dengan
0,5 mm
= 0,01 mm. Ketelitian mikrometer
50
sekrup adalah setengah dari skala
1
terkecilnya. Jadi x 0,01 mm = 0,005 mm
2
atau 0,0005 cm
1
Skala Utama
Benda yang diukur
Pemutar
Skala nonius
Sebagai contoh pada pengukuran diatas,
kita dapatkan 9,5 mm + 0,40 mm = 9,90
mm
Angka Penting
Penulisan angka penting mengikuti aturan :
1. Semua angka bukan nol merupakan
angka penting
Contoh :
564,9 m empat angka penting
76,824 kg lima angka penting
2. Angka nol yang terletak diantara angka
bukan nol merupakan angka penting
Contoh :
20,7 m tiga angka penting
96, 04 kg empat angka penting
3. Angka nol yang terletak disebelah
kanan angka bukan nol tanpa koma
desimal adalah bukan angka penting,
sedangkan angka nol di sebelah kanan
angka bukan nol dengan koma desimal,
merupakan angka penting
Contoh :
340 m dua angka penting
54,80 kg empat angka penting
4. Angka nol yang terletak disebelah kiri
angka bukan nol, baik yang disebelah
kiri maupun sebelah kanan koma
desimal, bukan merupakan angka
penting
Contoh :
0,67 m dua angka penting
0,007 kg satu angka penting
5. Angka yang diberi garis bawah atau
garis di atasnya merupakan batas angka
penting dihitung paling kiri penulisan
angka
Contoh :
6987 m tiga angka penting
9,047 kg dua angka penting
Aturan operasi angka penting:
1. Penjumlahan dan pengurangan
Hasil penjumlahan dan pengurangan
hanya diperbolehkan mengandung satu
angka taksiran (angka terakhir suatu
angka penting)
Contoh :
45,67 (4 angka penting)
12,4 (3 angka penting)
+
70,17 (ditulis 70,2 memiliki 3 angka
penting)
2. Perkalian, Pembagian dan akar pangkat
dua atau lebih
Hasil akhir operasi diatas, hanya boleh
memiliki angka penting paling sedikit
dari
komponen-komponen
operasi
tersebut
Contoh :
4,38 x 1,2 = 5,256 (ditulis 5,3 memiliki
2 angka penting, karena komponen
pengali terkecil adalah 2 angka penting)
Aturan pembulatan angka dibelakang koma
1. Jika angka dibelakang koma yang akan
dibulatkan kurang dari 5, maka angka
dibulatkan ke bawah
Contoh :
36,632 → 36,63 atau 36,6
78,73 → 78,7
2.
Jika angka dibelakang koma yang akan
dibulatkan 5 atau lebih, maka angka
dibulatkan ke atas
Contoh :
92,676 → 92,68 atau 92,7
23,45 → 23,5
Kesalahan dalam Pengukuran
Pengukuran dalam fisika dapat berupa :
1. Pengukuran tunggal
2. Pengukuran berulang
1. Pengukuran Tunggal
Hasil pengukuran yang dilakukan dengan
sekali percobaan dinyatakan oleh :
X = X1 ± X
Dengan :
X1 = hasil pengukuran tunggal
X = nilai ketidakpastian
X = 1/2 X skala terkecil
2
Contoh : Hasil satu kali pengukuran sebuah
tongkat dengan mistar adalah 23,56 cm,
maka penulisan hasil yang benar adalah …
L = (23,56 ± 0,01) cm
55,6 + 55,7 + 55,9 + 55,1 + 55,4
5
= 55,54 cm
L=
(
1
∆L =
N
Yakni dengan mengingat
X = 1/2 x 1 mm
= 0,5 mm
X = 0,005 cm = 0,01 cm
) cm
N ΣL2i - (ΣL i )2
N -1
1 5 (15423,83) - (277,7 )
∆L =
5
5 -1
2
2. Pengukuran Berulang
Hasil pengukuran yang dilakukan dengan
beberapa kali percobaan dinyatakan oleh :
X = X ± X
X = nilai rata-rata
X = nilai ketidakpastian
∆X
Ketidakpastian relatif =
x 100 %
X
Nilai rata-rata :
Σ X i X 1 + X 2 + X 3 + .... X n
X=
=
⋅
N
N
= 0,136 cm
∆L
x 100 %
L
= 0,24 %
Karena ketidakpastian sekitar 1%, maka
hasil laporan pengukuran ditulis dalam 3
angka
Ketidakpastian relatif =
Jadi L = ( 55,5 ± 0,1) cm
Besaran Vektor dan Besaran
Skalar
Besaran dapat pula dibagi menjadi Besaran
Vektor dan Besaran Skalar
N = Banyaknya pengukuran
∆X =
1
N
N ΣX i2 - (ΣX i )
N -1
2
Ketidakpastian relatif sekitar 10 %
berhak atas 2 angka penting
Ketidakpastian relatif sekitar 1 %
berhak atas 3 angka penting
Ketidakpastian relatif sekitar 0,1 %
berhak atas 4 angka penting
Banyak desimal hasil pengukuran
harus sama dengan banyak desimal
ketidakpastian
Contoh :
Seorang anak mengukur panjang sebuah
meja dengan hasil berturut-turut 55,6 cm,
55,7 cm, 55,9 cm, 55,1 cm dan 55, 4 cm.
Tentukan hasil pengukuran beserta ketidak
pastiannya !
Pengu
kuran
1
2
3
4
5
L (cm)
L2 (cm2)
55,6
55,7
55,9
55,1
55,4
∑L = 277,7
3091,36
3102,49
3124,81
3036,01
3069,16
2
∑ L = 15423,83
Besaran Vektor
adalah besaran yang
memiliki nilai (magnitude) dan arah.
Notasi vektor biasa ditulis dengan huruf
tebal atau dengan memberi tanda panah
kecil diatas huruf atau hanya memberi tanda
garis diatas huruf
r
Contoh : V (=kecepatan), a (= percepatan),
F (= gaya), dan lain sebagainya
Besaran Skalar adalah besaran yang hanya
memiliki nilai (magnitude)
Contoh : suhu, waktu, laju, perlajuan dan
lain sebagainya
Resultan Vektor adalah operasi-operasi
yang terjadi dari 2 besaran vektor atau lebih
Vektor satuan adalah suatu vektor yang
nilainya 1 satuan dan memiliki arah searah
dengan sumbu koordinat. Pada koordinat
kartesian 2 dimensi dinyatakan oleh i dan j,
sedang pada koordinat 3 dimensi dinyatakan
oleh i, j dan k
2 dimensi
Y
j
i
X
3
i dan j vektor posisi pada sumbu X dan
Y
Penjumlahan 2 vektor
r r r
a+b= R
3 dimensi
Besar :
r
R = a 2 + b 2 + 2 ab cos θ
Z
Arah :
k
r
a
j
r
R
Y
i
X
i , j dan k vektor posisi pada sumbu X,Y
dan Z
θ
r
b
Contoh :
1. Jika θ = 00
Dua vektor searah
Metode Resultan Vektor :
1. Metode poligon
2. Metode jajaran genjang
3. Metode menguraikan vektor
F1
F2
FR
1. Metode poligon
FR = F1 + F2
Metode ini dilakukan dengan cara
menyambung kepala vektor dengan ekor
vektor lain dan resultan vektor tersebut
adalah menghubungkan ekor vektor
pertama dengan kepala vektor yang
terakhir.
Contoh :
F1
F2
Bukti : FR =
F12 + F22 + 2F1 F2 cos 0
(
FR
= F1 + F2
= F1 + F2
2. Jika θ = 900
F3
)
2
terbukti
Dua vektor tegak lurus
F2
FR
FR = F1 + F2 + F3
F1
F2
F3
FR =
F1
F1 + F2
FR
Catatan : Tanda (-) negatif menunjukkan
arah vektor berlawanan dengan arah semula
Contoh :
F1
F2
F3
Bukti : FR =
FR =
F12 + F22 + 2F1 F2 cos 90
F12 + F22
terbukti
3. Jika θ = 1800
berlawanan arah
Dua vektor
1800
FR = F1 - F2 + F3
F2
F1
F2
F3
FR = F1 - F2
F1
FR
Bukti : FR =
2. Metode jajaran genjang
Metode ini dilakukan dengan cara
menyatukan
ekor
vektor,
sehingga
membentuk sudut θ dan resultan vektor
tersebut adalah diagonal jajaran genjang
kedua vektor tersebut
F12 + F22 + 2F1 F2 cos 180 0
(
FR
= F1 - F2
= F1 - F2
)
2
terbukti
4
4. Jika 0 < θ < 900 (atau sembarang θ)
FR
F2
A . B = AB cos θ
Jika A = Ax i + Ay j + Az k dan
B = Bx i + By j + Bz k
maka
θ
F1
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
FR =
F + F + 2F1 F2 cos θ
2
1
2
2
Dengan mengingat :
Catatan :
Resultan gaya berada pada Interval :
i .i = j.j = k.k = 1
2. Perkalian Silang Vektor
F1 – F2 ≤ FR ≤ F1 + F2
3. Metode menguraikan vektor
Paduan lebih dua vektor dapat dihitung
besar dan arah resultannya melalui
koordinat kartesius, yaitu masing-masing
vektor diproyeksikan terhadap sumbu-x dan
sumbu-y sehingga resultannya dapat
ditentukan.
Y
F1y
F1
Hasil perkalian silang dua besaran vektor
merupakan besaran vektor yang arahnya
tegak lurus terhadap kedua vektor dengan
besarnya adalah AB sin θ
C
B
θ
A
Besar :
A X B = AB sin θ
F2
θ2
F2y
Arah :
θ1
X
F2x
F3
F
F1
F2
F3
AXB=C
F1x
Sumbu x
F1x = F1 cos θ1
F2x = F2 cos θ2
--
Sumbu y
F1y = F1 sin θ1
F2y = F2 sin θ2
F3
∑ Fx = F1x - F2x
Catatan :
a. Arah perkalian silang vektor memiliki
kaidah "putaran sekrup".
Z
k
j
Resultan
FR =
ΣFX2 + ΣFY2
∑ Fy = F1y +F2y –F3
Arah Resultan tan θ =
Y
i
X
ixj=k ;
jxk=i;
kxi=j;
ΣFy
jxi=-k
kxj=-i
ixk=-j
ΣFX
Perkalian Vektor :
1. Perkalian Titik Vektor
2. Perkalian Silang Vektor
Dengan demikian secara umum :
AxB≠BxA
1. Perkalian Titik Vektor
Hasil perkalian titik dua besaran vektor
merupakan besaran skalar
b. Penyelesaian persamaan untuk tiga
dimensi dapat digunakan dengan
persamaan matriks sebagai berikut :
A = Ax i + Ay j + Az k
AXB=?
B
θ
B = Bx i + By j + Bz k
A
5
AXB =
i
j
k
Ax Ay Az
Bx By Bz
Y
C>0
X
Bentuk Grafik
A X B = + i (AyBz – AzBy)
– j (AxBz – AzBx)
+ k (AxBy – AyBx)
C<0
Contoh :
1. S = Vo t + ½ a t2 ===>GLBB
s (m)
=====O0O=====
t (dt)
Interpretasi Grafik
Teori Singkat :
Di dalam fisika, disamping kemampuan
menganalisis soal berbentuk uraian diperlu
kan pula keterampilan menganalisa soal
berbentuk grafik. Langkah penyelesaian jika
menghadapi soal yang menanyakan bentuk
grafik dari suatu perumusan adalah :
1. Mengetahui rumusnya
2. Dapat menginterpretasikan rumus dalam
bentuk grafik
Secara umum perlu diketahui 4 bentuk
interpretasi grafik sebagai berikut :
2. Ep = ½ k x2 ===> Energi potensial
pegas
Ep (J)
x (m)
3. Berbanding terbalik linear
Y
1. Berbanding lurus linear
Bentuk rumus
C
X
Bentuk Rumus Y =
Y=CX
Bentuk Grafik
X
Y
Bentuk Grafik
α)
X
tg α = c = gradien grafik
contoh :
1. S = V t ===> GLB
f
λ
S
t
2. P V = n R T ===> Gas ideal
Pada volume tetap (proses isochorik)
nR
P=
T ===> P = C T
V
P
T
2. Berbanding lurus kuadratis
Bentuk rumus
Contoh :
1. f = v/ λ ===> frekuensi
Y = C X2
2. P V = n R T ===> Gas ideal
Pada suhu tetap (proses isothermis)
nR
C
P=
T ===> P =
V
V
P
V
4. Berbanding terbalik kuadratis
Bentuk Rumus Y = C2
X
6
Y
2. F =
dp
dt
3. P =
dW
dV
Bentuk Grafik
X
Masing-masing dapat diuraikan satu
diantara dua kemungkinan, kalau bukan
berbicara gradien, pasti luasan.
Contoh :
1. F =
q1 q 2
===> Gaya Coulomb
4 πεοr 2
Catatan :
Bangun yang sering keluar dalam soal
adalah luasan bangun trapesium :
F
a
r
b
L=½c(a+b)
2. F = G
m1 m 2
r2
c
===> Gaya Gravitasi
Contoh Soal dan Pembahasan :
F
1.
r
Disamping ke empat konsep grafik diatas,
masih terdapat interpretasi yang lain sebagai
berikut :
Tipe : 1
Tinjau V = dS/dt ===> V merupakan
gradien grafik S – t.
S
α
t
tg α = V = dS/dt
Tipe : 2
Tinjau V = dS/dt, ===> dS = V dt, maka :
S = ∫ V dt ===> Artinya S (jarak) dapat
ditentukan dengan menghitung besarnya
luasan di bawah kurva V – t.
Misal :.
V
S = luasan segitiga
t
Hal ini berlaku pula untuk semua
perumusan lain yang memiliki tipe
perumusan sebagai mana diatas.
Contoh yang lain :
1. a =
dV
dt
4. I =
dq
dsb
dt
Besaran-besaran di bawah ini yang TIDAK
merupakan besaran besaran turunan
adalah:
A. momentum
D. gaya
B. volume
E. massa
C. kecepatan
Jawaban : E
(Lihat teori singkat)
2. Meter2 kilogram per detik adalah satuan
D. momen kelembaman
A. energi
B. daya
E. momentum sudut
C. momen gaya
Jawaban : E
A. Energi (w) =
1. ½ m v2 = m g h
= kg m2/dt2 = Joule
2. q V (energi listrik)
= elektron-volt
3. P t
= watt-detik
= kilowatt-jam (Kwh)
= daya kuda (Hp)
w
B. Daya (P) = = kg m2/dt3
t
C. Kelembaman (I) = ∑ m r2 = kg m2
D. Momen gaya (τ ) =d x F = kg m2/dt2
E. Momentum sudut (L) = I ω = kg m2/dt
3. Besaran di bawah ini yang memiliki
dimensi [ M ] [ L ]-1 [ T ] –2 adalah
A. gaya
D. momentum
B. tekanan
E. percepatan
C. energi
Jawaban : B
7
Dari dimensi [ M ] [ L ]-1 [ T ] –2 di dapat
satuannya kg/ms2
Analisa :
A. Gaya ===> F = m a
= kg m/s2
= [ M ] [ L ] [ T ] –2
B. Tekanan ===> P = F/A = mg / A
= kg m/s2 / m2
= [ M ] [ L ]-1 [ T ] –2
C. Energi ===> W = m g h
= kg m/s2
= [ M ] [ L ] 2[ T ] –2
D. Momentum ===> P = m v
= kilogram m/dt
= [ M ] [ L ] [ T ] –1
E. Percepatan ===> a = v/t
= kilogram m/dt 2
= [ M ] [ L ] [ T ] –2
4. Rumus dimensi momentum adalah :
A. [ M ] [ L ] [ T ] –2
B. [ M ] [ L ] -2[ T ] –2
C. [ M ] [ L ]-1 [ T ] –1
D. [ M ] [ L ] [ T ] –1
E. [ M ] [ L ]-1 [ T ]
Jawaban : D
Rumus : P = mv
(satuan) = kgm/s
(dimensi) = [ M ] [ L ] [ T ]-1
5. Untuk mengukur diameter lubang botol
bagian dalam, agar teliti harus digunakan
alat yaitu…
A. penggaris dengan skala cm
B. jangka sorong
C. respirometer
D. mistar dengan skala mm
E. mikrometer sekrup
Jawaban : B
Untuk mengukur diameter lubang botol
bagian dalam alat ukur yang tepat adalah
jangka sorong
6. Hasil pengukuran tebal sebuah buku adalah
0,02540 m. Banyaknya angka penting pada
hasil pengukuran tersebut adalah …
A. dua
D. lima
B. tiga
E. enam
C. empat
Jawaban : C
Angka nol yang terletak disebelah kiri
angka bukan nol, baik yang disebelah kiri
maupun sebelah kanan koma desimal,
bukan merupakan angka penting
7. Sebuah pita diukur ternyata lebarnya 12,3
mm dan panjangnya 125,5 cm. Luas pita
mempunyai angka penting sebanyak …
D. lima
A. dua
B. tiga
E. enam
C. empat
Jawaban : B
Hasil akhir operasi diatas, hanya boleh
memiliki angka penting paling sedikit dari
komponen-komponen operasi tersebut
8. Dua buah gaya yang besarnya 10 N dan 5 N
bekerja pada satu titik tangkap dan
keduanya membentuk sudut α. Agar
dihasilkan gaya resultan sebesar 25 Newton,
maka nilai cos α adalah …
A. 4
D. 7
B. 5
E. 8
C. 6
Jawaban : B
FR =
F12 + F22 + 2 F1 F2 cos α
25 = 10 2 + 5 2 + 2 (10) (5) cos α
625 = 125 + 100 cos α
500
cos α =
cos α = 5
100
9.
Jika sebuah vektor dari 12 N diuraikan
menjadi dua buah vektor yang saling tegak
lurus dan yang sebuah dari padanya
membentuk sudut 300 dengan vektor itu,
maka besar masing-masing vektor adalah
A. 6 N dan 6 3 N
B.
C.
D.
E.
6 N dan 6
6 N dan 3
3 N dan 3
3 N dan 3
2N
2N
2N
3N
Jawaban : A
Perhatikan grafik berikut !
Fy
F = 12 N
30
Fx
Fx = 12 cos 300 N
Fx = 6
Fy = 12 sin 300 N
Fx = 6 N
3 N
8
10. Dua vektor A = -2i + 3j - 4k dan B = 2i +
2j - 3k, maka A x B adalah …
A. i + 14j + 10k
B. -i - 14j - 10k
C. i - 14j + 10k
D. -i + 10j - 14k
E. -i + 10j + 14k
Jawaban : B
AXB =
i
-2
2
j
3
2
k
-4
-3
= i(-9 + 8) – j(6 + 8) + k (-4 – 6)
A X B = -i - 14j - 10k
=====O0O=====
Soal-soal :
1. Satuan kuat medan listrik dinyatakan dalam
1. Newton/coulomb
3. Volt/meter
2. Joule/newton
4. Coulomb/volt
Pernyataan diatas yang sesuai adalah :
A. 1, 2 dan 3
D. 4
B. 1 dan 3
E. semua salah
C. 2 dan 4
2. KWh adalah satuan dari …
A. kuat arus listrik
D. daya listrik
B. hambatan listrik
E. energi listrik
C. potensial listrik
3. Satuan tekanan dalam S.I. adalah :
A. Atmosfer
D. Newton
B. Pascal
E. Mm Hg
C. Cm Hg
4. Pada hukum Boyle PV = k ; k mempunyai
dimensi :
A. daya
D. momentum linear
B. usaha
E. konstanta pegas
C. suhu
5. Dalam sistem SI, satuan kalor adalah :
A. kalori
D. derajat kelvin
B. joule
E. derajat celcius
C. watt
6. Yang bukan besaran vektor diantara besaran
berikut ini adalah …
A. kecepatan
D. gaya
B. laju
E. pergeseran
C. percepatan
7. Lintasan sebuah partikel dinyatakan dengan
x = A + Bt + Ct2. Dalam rumus itu x
menunjukkan tempat kedudukan dalam cm,
t waktu dalam sekon, A, B, dan C masingmasing merupakan konstanta. Satuan C
adalah …
A. cm/s
D. s/cm
2
B. cm/s
E. cm
C. cm.s
8. Permitivitas hampa mempunyai dimensi :
A. [ M ] [ L ] [ T ] –2[ I ]–1
B. [ M ] [ T ] –2[ I ] –1
C. [ M ]2[ L] [ T ] –2[ I ] –1
D. [ M ] [ L ]–1 [ T ] –3[ I ]2
E. [ M ]-1 [ L ]-3 [ T ]4[ I ]2
9. Dimensi konstanta Planck adalah
A. [ M ] [ L ]2 [ T ] –3
B. [ M ] [ L ]2 [ T ] –1
C. [ M ] [ L ]2 [ T ] –2
D. [ M ] [ L ]–2 [ T ] –3
E. [ M ] [ L ]3 [ T ] –3
10. Meter kubik adalah …
A. besaran pokok
B. besaran tambahan
C. besaran turunan
D. satuan besaran turunan
E. satuan besaran pokok
11. Alat ukur jangka
ketelitian …
A. 0,01 cm
B. 0,01 mm
C. 0,1 cm
sorong
mempunyai
D. 0,001 cm
E. 1 mm
12. Pada pengukuran pelat logam diperoleh
hasil panjang 1,75 m dan lebar 1,30 m. Luas
pelat menurut aturan penulisan angka
penting adalah …
A. 2,275 m2
D. 2 m2
2
B. 2,28 m
E. 2,2750 m2
2
C. 2,3 m
13. Tiga buah gaya F1, F2 dan F3 memiliki arah
dan besar seperti pada gambar. Pernyataan
yang benar adalah …
F3
A. F1 + F2 = F3
B. F2 + F3 = F1
C. F1 + F2 + F3 = 0
F2
F1
D. F1 – F2 = F3
E. F3 + F1 = F2
14. Dua vektor besarnya masing-masing 6
satuan dan 8 satuan. Besarnya vektor
resultan yang tidak mungkin adalah …
A. 1 satuan
D. 10 satuan
9
B. 2 satuan
C. 9 satuan
E. 14 satuan
15. Dua
buah
vektor
masing-masing
mempunyai nilai atau harga sama dengan
resultannya apabila kedua vektor tersebut
saling mengapit sudut …
A. 300
D. 900
B. 450
E. 1200
0
C. 60
16. Besaran berikut yang berdimensi sama
adalah …
A. massa dan berat
B. kecepatan dan percepatan
C. energi potensial dan usaha
D. energi kinetik dan tekanan
E. gaya dan daya
20. Hukum coulomb dapat dinyatakan melalui
qq
persamaan F = k 1 2 2 grafik berikut yang
r
menggambarkan persaman tersebut adalah
A. F
D. F
r2
r2
B. F
E. F
r2
r2
C. F
17. Pada gambar berikut ini B x A adalah
vektor
C
B
r2
=====O0O=====
A
A. –A
B. – C
C. – B
B. GERAK
D. C
E. A
Gerak Lurus
18. Hasil pengukuran massa sebuah kelerang
adalah 54 gram. Jumlah massa sembilan
kelereng yang sejenis dan seukuran dengan
kelereng pertama adalah …
D. 500 gram
A. 486 gram
B. 490 gram
E. 400 gram
C. 480 gram
19. Pada GLBB, grafik yang menyatakan
hubungan antara energi kinetik suatu benda
dengan waktunya adalah :
A. Ek
Secara umum gerak lurus dibagi menjadi 2 :
1. GLB
2. GLBB
1. GLB
(Gerak Lurus Beraturan)
Teori Singkat :
Perumusan gerak lurus beraturan (GLB)
S=Vt
t
Grafik untuk GLB berupa :
D Ek
V
S
t
t
B. Ek
E. Ek
t
C. Ek
t
t
t
t
Yang perlu diperhatikan pada GLB :
(1). Resultan gaya yang bekerja pada benda
nol (∑ F = 0), maka akibatnya adalah :
a. Percepatannya nol (a = 0)
b. Usaha yang dilakukan pada benda
nol (w = 0)
(2). Kecepatan benda tetap (V = tetap),
maka akibatnya adalah :
a. Energi kinetis benda tetap (Ek = c)
b. Momentum yang bekerja pada
benda tetap (P = c)
10
2. GLBB
(Gerak Lurus Berubah Beraturan)
Gerak Vertikal
Gerak vertikal dibagi menjadi 2 :
1. GJB
2. GVA
Rumus-rumus GLBB:
Vt = Vo ± a t
Vt2 = Vo2 ± 2a S
S = Vo t ± ½ a t2
1. GJB
(Gerak Jatuh Bebas)
Teori Singkat :
Gerak jatuh bebas (GJB) adalah merupakan
GLBB dalam keadaan khusus, yaitu : a = g
(gravitasi bumi)
Keterangan :
S = Jarak yang ditempuh (m)
Vt = kecepatan akhir (m/s)
Vo = kecepatan mula-mula (m/s)
Vo = 0
g (tanda g + searah
dengan gerak benda)
a = percepatan (+) dan perlambatan (-)
(m/s2)
t = lama benda bergerak (s)
h
Grafik untuk GLBB berupa :
V
V
V0 α
tg α = a =
t
dV
dt
rumus – rumus GJB mirip GLBB dengan
percepatan a = g dan S = h :
Vt = Vo + g t
Vt2 = Vo2 + 2 g h
h = Vo t + ½ g t2
t
Vo ≠ 0
a>0
Vo = 0
a>0
Karena pada GJB Vo = 0, maka :
V
a
Vt = g t
Vo
t
Vo ≠ 0
a<0
S
Vt = 2 g h
h = ½ g t2
t
a = konstan
Catatan :
Tinjau kasus saat benda jatuh bebas, maka
benda akan memiliki 3 keadaan sebagai
berikut :
a>0
a<0
t
Yang perlu diperhatikan pada GLBB :
(1). Resultan gaya yang bekerja pada benda
adalah tetap
(Σ F = C), maka
akibatnya adalah
a. Percepatannya tetap (a = C)
b. Usaha yang dilakukan pada benda
tetap (w = C)
(2). Kecepatan benda sebagai fungsi waktu
v = f (t), maka akibatnya adalah :
a. Energi kinetis benda berbanding
lurus terhadap t2
b. Momentum benda berbanding
lurus terhadap waktu
=====O0O=====
(1) Epmaks = mgh
Ekmin = 0
h
(2) Ep ≠ 0
Ek ≠ 0
Em = Ep + Ek
= tetap
(3) Epmin = 0
Ekmaks = 1/2 mV2
1. Energi mekanik (Em) benda disepanjang
jalur lintasan saat jatuh adalah konstan,
karena pengurangan energi potensial
(Ep)
selalu
diimbangi
dengan
penambahan energi kinetik (Ek),
sehingga energi mekaniknya (Em) selalu
tetap
2. Benda yang jatuh bebas dari ketinggian
h ketika mencapai tanah seluruh energi
potensialnya berubah menjadi energi
kinetik
11
3. Waktu yang dibutuhkan oleh dua buah
benda yang mengalami GJB pada
ketinggian yang sama, jika gesekan
udara diabaikan adalah sama.
2. GVA
(Gerak Vertikal ke Atas)
pernyataan dan alasan benar ===> tidak
berhubungan
2. Grafik di bawah ini menunjukkan hubungan
antara jarak yang di tempuh S dengan waktu
t, untuk sebuah benda yang bergerak dalam
suatu garis lurus
S
Vt = 0
g (tanda g – berla
wanan arah dengan
Vo gerak benda)
rumus – rumus Gerak Vertikal ke Atas
(GVA) mirip perumusan GJB dengan
percepatan a = - g dan S = h
:
Vt = Vo - g t
Vt2 = Vo2 - 2 g h
h = Vo t - ½ g t2
t
Dari grafik terlihat bahwa :
1. kecepatan benda tetap
2. percepatan benda nol
3. selang waktu yang sama benda
menempuh jarak yang sama
4. pada saat t = 0, kecepatan benda nol
Pernyataan yang benar ...
A. 1,2 dan 3
D. 4 saja
B. 1 dan 3
E. Semuanya
C. 2 dan 4
Jawaban : A (1, 2, 3, benar)
Ingat ! Pada saat t = 0, kecepatan benda
tetap ( V = c) sehingga V ≠ 0
Karena pada GVA Vt = 0, maka :
3. Grafik di bawah ini menghubungkan
kecepatan (V) dan waktu (t) dari dua mobil
A & B pada lintasan dan arah yang sama.
Jika tg α = 0,5 m/s2, maka :
Vo = g t
Vo = 2 g h
h = Vo t - ½ g t2
V
Catatan :
1. Waktu yang dibutuhkan untuk naik sama
dengan waktu yang dibutuhkan untuk
turun
2. Pada ketinggian yang sama, besar
kecepatan naik sama dengan kecepatan
turun.
=====O0O=====
Contoh Soal dan Pembahasan :
1. Gerak
lurus
dipercepat
beraturan
mempunyai persamaan perpindahan yang
kuadratis terhadap waktu
Sebab
Pada gerak lurus dipercepat beraturan selalu
terjadi percepatan atau perlambatan
Jawaban : B
Rumus GLBB
Grafiknya : s (m)
S = Vo t + ½ a t2
t (dt)
B
A
40
α)
30
t
1. Setelah 20 detik kecepatan ke dua mobil
sama
2. Percepatan mobil B = 2 m/s2
3. Setelah 40 detik mobil B menyusul
mobil A
4. Jarak yang di tempuh pada waktu
tersusul 800 meter
Pernyataan yang benar ...
A. 1,2 dan 3
D. 4 saja
B. 1 dan 3
E. Semuanya
C. 2 dan 4
20
Jawaban : A (1, 2, 3, benar)
1. Pada saat t = 20 detik, tampak dari
grafik kecepatan ke dua mobil sama
2. Kemiringan garis B, menyatakan
percepatan mobil B (aB) = 2 m/s2
3. Pada saat mobil B tepat menyusul mobil
A berlaku SA = SB, sehingga di dapat :
VoA t + ½ aA t2 = VoB t + ½ aB t2
30 t + ½ (0,5) t2 = 0 + ½ (2) t2
12
0,75 t = 30 ===> t = 40
4. Jarak yang ditempuh pada
tersusul :
SA = SB = ½ (2) (40)2 = 1600 m
4.
St = L I + L II + L III = 188 m
waktu
Y
Perhatikan grafik di se
belah kiri. Besaran yang
X (dt) sesuai untuk sumbu Y
adalah :
1. Laju gerak benda oleh gaya konstan
2. Jarak tempuh benda dengan laju konstan
3. Kecepatan benda jatuh bebas
4. Percepatan benda jatuh bebas
Pernyataan yang benar ...
A. 1,2 dan 3
D. 4 saja
B. 1 dan 3
E. Semuanya
C. 2 dan 4
Jawaban : A (1, 2, 3, benar)
analisa :
(1) Jika Y = V, maka jawaban benar, (lihat
teori singkat soal 13)
(2) Jika Y = S, maka jawaban benar, (lihat
teori singkat soal 11)
(3) Pada benda jatuh bebas berlaku
persamaan Vt = g t, dengan Vo = 0
(4) Percepatan benda jatuh bebas adalah (a)
= g = konstan (jawaban salah)
5. Grafik di bawah menunjukkan kecepatan
terhadap waktu untuk mobil yang bergerak
menurut garis lurus selama 7 detik. Dari
grafik dapat ditentukan jarak yang ditempuh
dalam waktu 7 detik, yaitu …m
50
V (m/s)
30
18
t (s)
2
5
7
A. 72 m
B. 80 m
C. 108 m
D. 152 m
E. 188 m
6. Jika suatu benda jatuh bebas, maka :
1. Energi mekaniknya tetap
2. Energi potensialnya tetap
3. Gerakannya dipercepat beraturan
4. Energi kinetiknya tetap
Pernyataan yang benar ...
A. 1,2 dan 3
D. 4 saja
B. 1 dan 3
E. Semuanya
C. 2 dan 4
Jawaban : (1,3 benar) → B
Pada GJB berlaku Em = Ek + Ep = tetap,
artinya penurunan Ep selalu diimbangi oleh
penambahan Ek sehingga energi potensial
nya selalu tetap. Adapun gerakannya ada
lah gerakan dipercepat beraturan oleh
percepatan gravitasi g.
7. Dua buah benda A dan B yang bermassa
masing-masing m, jatuh bebas dari
ketinggian h meter dan 2h meter. Jika A
menyentuh tanah dengan kecepatan V m/s,
maka benda B akan menyentuh tanah
dengan energi kinetis sebesar :
C. 1/4 mv2
A. ½ mv2
B. mv2
D. 3/2 mv2
2
C. ¾ mv
Jawaban : B
(Lihat teori singkat GJB catatan no. 2)
Saat tiba di tanah seluruh Ep berubah
menjadi Ek, sehingga :
EpA = EkA ==> m g h = ½ m v2
Jadi untuk benda B :
EkB = 2 m g h = 2 (½ m v2) = m v2
8. Bila sehelai bulu ayam dan sebutir batu
kerikil dijatuhkan pada saat yang sama di
dalam suatu ruang hampa dari ketinggian
yang sama dan tanpa kecepatan awal, maka
batu akan sampai di bawah lebih dulu
sebab
massa jenis batu lebih besar dari pada massa
jenis bulu ayam
Jawaban : E
50
Jawaban : D
V (m/s)
(Lihat teori singkat GJB catatan no. 3)
30
I
II
18
III
2
5
t (s)
7
•) Luasan I : L I = ½ (2) (30 + 50) m = 80 m
•) Luasan II : L II = ½ (3) (18 + 30) m = 72 m
•) Luasan III : L III = (2) (18) m = 36 m
Jadi jarak yang ditempuh selama 7 detik :
Pernyatan salah, sebab waktu yang
dibutuhkan tidak tergantung pada massa
jenis benda, namun hanya bergantung pada
ketinggian h dan percepatan gravitasi g,
perhatikan :
h = 1/2 g t 2 →
t = 2h/g
13
Adapun alasan benar
9. Sebuah benda jatuh bebas dari tempat yang
tingginya 80 meter. Jika energi potensialnya
mula-mula besarnya 4000 Joule dan g = 10
m/s2, maka :
1. Massa benda itu 5 kg
2. Benda sampai di tanah setelah 4 detik
3. Tepat sebelum sampai di tanah kecepa
tan benda itu 40 m/s
4. Tepat sebelum sampai di tanah energi
kinetiknya 4000 Joule
Pernyataan yang benar ...
A. 1,2 dan 3
D. 4 saja
B. 1 dan 3
E. Semuanya
C. 2 dan 4
2. Grafik di bawah ini menyatakan hubungan
antara kelajuan dan waktu suatu benda yang
bergerak. Jarak yang ditempuh selama
benda dipercepat adalah …
V (m/s)
10
4
t (s)
1
3
4
A. 1,0 m
B. 4,0 m
C. 5,0 m
D. 10,0 m
E. 20,0 m
3.
X (m)
c
b
Jawaban : (1,2,3,4 benar) ==> E
a
e
1. Ep = m g h ==> 4000 = m (10) (80)
m = 5 kg
2. t =
2 h / g => t =
3. V = g t ==> V = 10 (4) m/dt = 40 m/dt
4. Ek = ½ mV2 ==> Ek = ½ (5) (40)2 J
= 4000 Joule
4.
X (m)
X2
2
sebab
Pada saat berhenti bola tidak
percepatan
t (s)
Gerak suatu benda digambarkan dengan
grafik kedudukan x terhadap waktu t.
Bagian grafik yang menunjukkan kecepa
tan benda nol adalah :
C. c
E. e
A. a
B. b
D. d
2 (80) / 10 = 4 dt
10.Bila sebuah bola dilemparkan secara vertikal
ke atas, maka pada titik tertinggi bola itu
berhenti sesaat
d
X1
1
mengalami
X0
t1
t2
t3 t (s)
A. Benda mulai bergerak dengan kecepatan
awal nol
B. Kecepatan maksimal di dapat pada saat t
= t2
C. Pada saat t = t2 kecepatan benda nol
D. Arah kecepatan benda pada saat t = t1
sama dengan arah garis singgung pada
lengkung di titik 1
E. Pada saat t = t3 kecepatan benda nol
Jawaban : C
Pernyataan benar, pada titik tertinggi gerak
vertikal keatas Vt = 0. Alasan salah, sebab
bola masih merasakan percepatan gravitasi g
=====O0O=====
5.
Soal-soal :
1. Benda A dikatakan bergerak terhadap benda
B jika benda A …
A. memiliki kecepatan
B. memiliki kelajuan
C. memiliki percepatan
D. panjang lintasannya setiap saat berubah
E. jaraknya terhadap B berubah
V (m/s)
b
c
a
e
d
t (s)
Grafik di atas ini menunjukkan hubungan
kecepatan (V) dan waktu t dari suatu gerak
lurus. Bagian grafik yang menunjukkan
gerak lurus beraturan adalah :
14
A. a
B. b
C. c
D. d
E. e
6. Pada GLBB, grafik yang menyatakan
hubungan antara energi kinetik suatu benda
dengan waktunya adalah :
A. Ek
D. Ek
10. Gerak benda P dan Q memiliki grafik x – t
seperti pada gambar
X (km)
P
Q
300
t (jam)
Ketika P telah menempuh jarak 200 m, saat
itu Q menempuh jarak ...
A. 150 m
D. 230 m
B. 180 m
E. 260 m
C. 200 m
9
t
B. Ek
t
E. Ek
t
t
C. Ek
12
11. Sebuah bola 50 gram dilemparkan vertikal
ke atas. Setelah 2 detik kembali ke asal. Jika
g = 10 m/s2, maka kecepatan awal bola :
A. 0,25 m/s
D. 20 m/s
B. 10 m/s
E. 5 m/s
C. 1 m/s
t
7. Perhatikan ngambar berikut :
V (m/s)
12
t (s)
Jarak yang ditempuh dalam selang waktu t
= 4 s dan t = 12 s adalah ...
A. 144 m
D. 60 m
B. 116 m
E. 48 m
C. 96 m
4
12. Grafik kecepatan terhadap waktu untuk
suatu bola yang dilempar vertikal ke atas
dan kembali pada pelempar setelah
mencapai ketinggian tertentu adalah :
A. V
B. V
12
8. Mobil A dan B memiliki grafik x – t seperti
pada gambar di bawah ini
X (km)
B
A
t
t
C. V
D. V
t
t
E. V
100
t
2 4
6
t (jam)
Perbandingan kecepatan mobil A dan mobil
B adalah ...
A. 1 : 1
D. 2 : 5
B. 1 : 3
E. 5 : 2
C. 3 : 1
9. Panjang lintasan yang ditempuh mobil A
dengan percepatan 2 m/s2 selama 10 sekon,
adalah sama dengan yang ditempuh oleh
mobil B dengan percepatan 5 m/s2 dalam
waktu ...(anggap A dan B mula-mula diam)
A. 2 s
D. 3 √2 s
B. 2 √10 s
E. 4 √10 s
C. 3 s
13. Sebuah benda massanya 2 kg terletak
diatas tanah. Benda tersebut ditarik ke atas
dengan gaya 30 N selama 2 detik, lalu
dilepaskan. Jika g = 10 m/s2, maka tinggi
maksimum yang dicapai benda adalah :
A. 10 m
D. 18 m
B. 12 m
E. 20 m
C. 15 m
14. Sebuah benda massanya 2 kg terletak
diatas tanah. Benda tersebut ditarik ke atas
dengan gaya 25 N selama 2 detik, lalu
dilepaskan.Jika g = 10 m/s2, maka energi
kinetik benda saat mengenai tanah adalah :
A. 150 J
C. 25 J
15
B. 125 J
C. 100 J
D. 50 J
15. Sebuah benda dilempar vertikal ke atas
dengan kecepatan awal 10 m/s dari
ketinggian 40 m seperti pada gambar.
Bila g = 10 m/s2, maka
kecepatan
benda
saat
menyentuh
tanah
adalah
:
Vo
40 m
A. 40 m/s
B. 45 m/s
C. 30 m/s
dilempar ke bawah dengan kelajuan 5 m/s
dari ketinggian h. Nilai h adalah ...
A. 0,8 m
D. 2,4 m
B. 1,2 m
E. 3,0 m
C. 1,8 m
=====O0O=====
C. 30 m/s
D. 35 m/s
GERAK PELURU
Teori Singkat :
16. Benda yang jatuh bebas memilki
1. kecepatan awal nol
2. percepatan tetap
3. geraknya dipercepat beraturan
4. kecepatan tergantung pada massa benda
Yang benar adalah pernyataan …
A. 4 saja
D. 1, 2 dan 3
B. 2 dan 4
E. 1, 2, 3, dan 4
C. 1 dan 3
17. Dua buah benda masing-masing massanya
m1 dan m2, jatuh bebas dari ketinggian yang
sama pada tempat yang sama. Jika m1 = 2
m2, maka percepatan benda pertama adalah
…
A. 2 kali percepatan benda kedua
B. 1/2 kali percepatan benda kedua
C. sama dengan percepatan benda kedua
D. 1/4 kali percepatan benda kedua
E. 4 kali percepatan benda kedua
18. Bola A dilemparkan vertikal ke atas dengan
kelajuan 20 m/s. Dua sekon kemudian dari
tempat yang sama bola B dijatuhkan bebas.
Dua sekon setelah B dijatuhkan,
perbandingan kelajuan bola A terhadap bola
B adalah …
A. 1 : 1
D. 2 : 3
B. 1 : 2
E. 3 : 2
C. 2 : 1
19. Jika benda jatuh bebas, maka
1. energi mekaniknya tetap
2. energi potensialnya tetap
3. gerakannya dipercepat beraturan
4. energi kinetiknya tetap
Yang benar adalah pernyataan …
A. 1, 2, 3
B. 1 dan 3
C. 2 dan 4
D. 4 saja
E. 1, 2, 3, dan 4
20. Bola basket menumbuk lantai secara tegak
lurus dengan kelajuan 7 m/s setelah
Y
Vy = 0
Vy = Vo sin α
Vo
hmaks
α
X
Vx = Vo cos α
Xmaks
Gerak parabola terdiri
komponen gerak yaitu :
dari
dua
A. Gerak horisontal berupa GLB
B. Gerak vertikal berupa GLBB
A.Gerak horisontal
berupa GLB
(searah
sumbu-x)
X = Vx t → X = Vo cos α t
dengan Vx = Vo cos α
B.Gerak vertikal (searah sumbu-y) berupa
GLBB
Vty = Vo sin α ± g t
Vty2 = Vo2 sin2 α ± 2 g h
h = Vo sin α t ± ½ g t2
• Tanda positif jika gerakan
menuju ke bawah
• Tanda negatif jika gerakan
menuju ke atas
benda
benda
Catatan :
1. Kecepatan dititik tertinggi :
• Vy = 0
• Vx = Vo cos α (tetap)
Secara umum :
V = Vx2 + Vy2
16
Vy = 0
V = Vx = Vo cos α
Vx
Y
Vy V
Vx
V
Vy
X
-g
6. Perbandingan antara Xmaks dan hmaks adalah :
Vo 2 sin 2 α
X maks
g
=
= 4 ctg α
2
h maks
Vo sin 2 α
2g
X maks
= 4 ctg α
h maks
+g
2. Dari perumusan :
Vty2 = Vo2 sin2 α – 2 g h, di titik tertinggi
kita dapatkan Vty = 0, maka diperoleh :
h = hmaks
hmaks
Vo2 sin 2 α
=
2g
7. Dua benda yang menjalani lintasan parabola
akan jatuh tepat berimpit pada jarak terjauh
yang sama jika jumlah sudut elevasi
keduanya 900. Pada gambar di bawah α + β
= 900
Y
hmaks = tinggi maksimum
3. Dari perumusan :
Vty = Vo sin α – g t, di titik tertinggi Vy =
0, maka didapat :
Vo sin α
=
thmaks =
g
2 h maks
g
2 Vo sin α
=2
txmaks =
g
2 h maks
g
Jika nilai txmaks ini dimasukkan ke
dalam nilai t pada X = Vo cos α t, maka
akan diperoleh :
Vo 2 sin 2α
g
Xmaks = Jauh maksimum
4. Energi kinetik pada titik tertinggi :
Ek = ½ m Vx2 = ½ m ( Vo cos α )2
Ek = Eko cos2 α
5. Energi potensial pada titik tertinggi :
Ep = mghmaks = m g
X
=====O0O=====
padahal txmaks = 2 thmaks, sehingga :
Xmaks =
berimpit
α
β
Vo 2 sin 2 α
2g
Ep = Eko sin2 α
GERAK MELINGKAR
Teori Singkat :
Gerak melingkar dibagi menjadi 2 :
1. GMB
2. GMBB
Sebelum membahas lebih jauh perumusan
gerak melingkar, perlu diingat terdapat
konversi awal hubungan antara gerak lurus
(linear) dengan gerak melingkar (rotasi)
V=ωR
a=αR
S=θR
Keterangan :
ω = Kecepatan sudut / anguler (rad/det)
α = Percepatan sudut (rad/s2)
θ = Jarak lintasan sudut (rad)
1. GMB
(Gerak Melingkar Beraturan)
Perumusan GMB mirip GLB, sehingga
diperoleh persamaan sebagai berikut :
1. Dari GLB → S = V t, maka :
θ R = ω R t, diperoleh :
θ =ωt
17
2. Dari GLB → V = tetap, maka :
ω R = tetap, diperoleh :
2. GMBB
(Gerak Melingkar Berubah Beraturan)
Perumusan GMBB mirip dengan GLBB, dan
dengan konversi sebagaimana yang terdahulu
diperoleh persamaan sebagai berikut :
ω = tetap
3. Dari GLB → a = 0, maka
α R = 0 diperoleh :
1. Vt = Vo ± a t, dikonversi menjadi :
ωt = ωo ± α t
α=0
2. Vt2 = Vo2 ± 2 a S, dikonversi menjadi :
Catatan :
1. Gerak Melingkar Beraturan (GMB)
adalah gerak yang lintasannya berupa
lingkaran dengan kelajuan konstan
(
ωt2 = ωo2 ± 2 α θ
3. S = Vo t ± ½ a t2, dikonversi menjadi :
v = konstan )
θ = ω o t ± ½ α t2
VB
VA ≠ VB
VA = VB
R
θω
S
R
VA
Kecepatan pada GMB tidak sama di
setiap lintasannya, sebab kecepatan
adalah
besaran
vektor
yang
mensyaratkan adanya besar (magnitude) dan arah. Namun lajunya tetap
Catatan :
1. Gerak Melingkar Berubah Beraturan
(GMBB) adalah gerak yang lintasannya
berupa lingkaran dengan percepatan
sudut konstan (α = konstan)
2. Percepatan linear total (at) adalah
merupakan
resultan
percepatan
dan
percepatan
tangensial
(aT)
sentripetal (asp)
2. Penyebab gerak melingkar adalah
percepatan sentripetal (asp) atau
percepatan radial (ar) yang arahnya
menuju ke pusat lingkaran
R
θω a
asp
aT
2
asp = ar =
V
= ω2R
R
Secara vektor :
3. Gaya Sentripetal :
V2
Fsp = m
= mω 2 R
R
4. 1 putaran = 3600 = 2 π radian
Keterangan :
V = Kecepatan linear (m/s)
S = Jarak (m)
asp = Percepatan sentripetal / radial
(m/s2)
aT = Percepatan tangensial(m/s2)
a = Percepatan linear / total(m/s2)
Fsp = Gaya sentripetal (N)
r r
r
a = a T + aasp
Secara skalar :
at =
2
2
aT + a sp , karena
asp = ω 2 R dan aT = α R, maka
at = α 2 R 2 + ω 4 R 2
at = R
α 2 +ω4
=====O0O=====
18
Aplikasi Gerak Melingkar
•
mg – N = m ω2 R
1. (Benda diputar vertikal)
•
1
T
Kondisi pada nomor 2.
mg cos θ – N = m ω2 R
3. (Benda bergerak di dalam bola)
mg
1
T
θ
T
2
Kondisi pada nomor 1.
3
θ
N
mg
mg cos θ
mg
mg
2
N
N
mg cos θ
Ketentuan :
1. Gaya berat selalu berarah ke bawah
2. Gaya tegangan tali selalu menuju pusat
lingkaran
3. Dalam perumusan, arah gerak ke pusat
lingkaran di beri tanda positif, sedang
gaya yang menjauhi pusat negatif.
3
mg
Dari persamaan : ∑Fsp = m ω 2 R
• Kondisi pada nomor 1.
mg + N = m ω2 R
Dari persamaan : ∑Fsp = m ω 2 R
•
Kondisi pada nomor 2.
N - mg cos θ = m ω2 R
1. Kondisi di titik tertinggi :
•
Kondisi pada nomor 3.
N – mg = m ω2 R
T + W = m ω2 R
4. (Hubungan roda-roda)
2. Kondisi di titik terendah :
1. Roda A dan roda B sesumbu :
2
T-W=mω R
3. Kondisi di titik yang membentuk sudut θ
terhadap vertikal
ωA = ωB
VA
V
= B
RA RB
ωA
ωB
2
T - W cos θ = m ω R
2. Roda A dan roda B bersinggungan :
2. (Benda bergerak di luar bola)
N
ωB
ωA
1
mg
2
θ
RA
N
θ
RB
VA = VB
ωA R A = ωB R B
mg cos θ
mg
Catatan :
Persamaan untuk kondisi ini sesuai dengan
persamaan untuk benda diputar vertikal dengan
mengganti T dengan N (gaya normal)
Dari persamaan : ∑Fsp = m ω 2 R
3. Roda A dan roda B dihubungkan tali
ωB
ωA
RA
RB
19
•) Gaya pada arah sumbu –y :
VA = VB
ωA R A = ωB R B
T cos θ = m g ..................................(2)
•) Persamaan (1) jika dibagi persamaan (2) :
4. (Kecepatan di sepanjang Lingkaran)
V = g R tg θ
6. (GMB pada bidang datar kasar)
R
VA = 5 g R
A
Keterangan :
•) VA = Kecepatan minimum agar benda
dapat
bergerak
satu
kali
lingkaran penuh
=
V2
→
gR
B
VB = g R
•)VB
tg θ =
Kecepatan di titik tertinggi
sedemikian
sehingga
gaya
normal / gaya tegang tali nol
Fsp
m
Fges
•) Fges = gaya gesekan, berfungsi sebagai
gaya sentrifugal (menjauhi pusat)
Fsp =
m V2
, dan Fges = µ N = µ mg
R
Dari skema diperoleh Fsp = Fges, maka
diperoleh hubungan :
•) Bukti VB = g R
Σ Fsp = m V2/R
W – N = m V2/R → mg = m V2/R
m V2
= µ mg →
R
V = υgR
V = gR
=====O0O=====
•) Bukti VA = 5 g R , dapat diperoleh
sebagai berikut :
Dari hukum kekekalan energi :
EpA + EkA = EpB + EkB
0 + 1/2 m VA2 = m g h + 1/2 m VB2
Dengan mengingat hB = 2 R, maka :
VA2 = 2 g (2R) + g R = 5 g R
VA = 5 g R
5. (Benda di putar horizontal / ayunan
konis)
θ θ
T
T cos θ
Contoh Soal dan Pembahasan :
1. Terhadap koordinat x horisontal dan y
vertikal, sebuah benda yang bergerak
mengikuti gerak peluru mempunyai
komponen-komponen kecepatan yang :
A. Besarnya tetap pada arah x dan berubahubah pada arah y
B. Besarnya tetap pada arah y dan berubahubah pada arah x
C. Besarnya tetap baik pada arah x maupun
pada arah y
D. Besarnya berubah-ubah baik pada arah x
maupun pada arah y
E. Besar dan arahnya terus-menerus
berubah-ubah terhadap waktu
Jawaban : A
l
Vx = Vo cos α (tetap)
T sin θ
R
R = l sin θ
Fsf
Vy = Vo sin α – g t (berubah-ubah
tergantung waktu)
W = mg
•) Gaya pada arah sumbu –x :
V2
T sin θ = m
...............................(1)
R
2. Bila besar sudut antara horisontal dan arah
tembak
suatu
peluru
450,
maka
perbandingan antara jarak tembak dalam
20
arah datar dan tinggi maksimum peluru
adalah :
A. 8
D. 0,25
B. 4
E. 0,125
C. 1
gesekan udara diabaikan, jarak horisontal
yang ditempuh peluru tergantung pada :
Vo
h
Jawaban : B
(Lihat catatan no.6)
x
Xmaks
= 4 ctg 450 = 4
hmaks
3. Peluru A dan B ditembakkan dari senapan
yang sama dengan sudut elevasi yang
berbeda. Peluru A dengan sudut 300 dan
peluru B dengan sudut 600. Perbandingan
antara tinggi maksimum yang dicapai
peluru A dan B adalah :
A. 1 : 2
D. 1 : √3
B. 1 : 3
E. √3 : 1
C. 2 : 1
1. Kecepatan awal V
2. Ketinggian h
3. Percepatan gravitasi
4. Massa peluru
Pernyataan yang benar ...
A. 1,2 dan 3
D. 4 saja
B. 1 dan 3
E. Semuanya
C. 2 dan 4
Jawaban : (1, 2, dan 3 benar) → A
(Lihat catatan no. 3)
Jarak horisontal yang dapat ditempuh
peluru pada posisi hmaks adalah :
Jawaban : B
X=Vt→X=V
hmaks.A sin 2 30 1
=
=
hmaks.B sin 2 60 3
4. Sebuah peluru bergerak mengikuti lintasan
parabolik seperti tergambar. Sumbu tegak h
menyatakan tinggi sedangkan sumbu
mendatar s jarak yang ditempuh peluru
dalam arah horisontal. Pada kedudukan A
dan B masing-masing :
(1) Energi potensial peluru sama besar
(2) Laju peluru sama besar
(3) Energi total peluru sama besar
(4) Besar momentum peluru sama
Pernyataan yang benar ...
A. 1,2 dan 3
D. 4 saja
B. 1 dan 3
E. Semuanya
C. 2 dan 4
h
A
α // h
2 h maks
g
6. Setiap benda yang bergerak secara
beraturan dalam suatu lintasan bentuk
lingkaran ...
A. vektor kecepatannya tetap
B. vektor percepatannya tetap
C. gaya radialnya tetap
D. momentum linearnya tetap
E. semua jawaban diatas salah
Jawaban : E
Pilihan A,B,C dan D merupakan besaran
vektor, sedang besaran vektor mensyaratkan
adanya besar (magnitude) dan arah. Pada
pilihan A,B,C,D besar/magnitude nya tetap,
namun arah pada gerak melingkar berubahubah sehingga pilihan tersebut semua salah.
B
// h
S
Jawaban : (semua benar) → E
Dua titik dengan lintasan parabolik pada
posisi yang berbeda, namun memiliki
ketinggian sama, akan mempunyai nilai
yang sama untuk :
- Energi potensial
- Laju
- Energi total
- momentum
7. Sebuah peluru ditembakkan dengan arah
horisontal dengan kecepatan V pada
ketinggian h dari permukaan tanah. Jika
7. Suatu benda bergerak melingkar beraturan,
maka :
1. Benda mendapat gaya yang besarnya
sebanding dengan lajunya
2. Kecepatan benda tetap
3. Benda mempunyai percepatan radial
yang besarnya sebanding dengan
lajunya
4. Benda mempunyai percepatan radial
menuju pusat lingkaran
Pernyataan yang benar ...
A. 1,2 dan 3
D. 4 saja
B. 1 dan 3
E. Semuanya
C. 2 dan 4
21
•) aT = α R → aT = 1,5 m/s2
Jawaban : (4 saja benar) → D
Analisa :
1. (salah, lihat perumusan GMB) Gaya
sebanding kuadrat lajunya
Σ Fsp = m V2/R
2. (salah, lihat catatan 3) kecepatan tidak
tetap, karena besaran vektor yang
arahnya berubah-ubah
3. (salah, lihat perumusan GMB) besar
percepatan radial sebanding dengan
kuadrat lajunya asp = V2/R
4. (benar. lihat catatan 1) percepatan
sentripetal arahnya selalu menuju ke
pusat lingkaran
8. Sebuah benda bermassa 5 kg bergerak
secara beraturan dalam lintasan yang
melingkar dengan kelajuan 2 m/s. Bila jarijari lingkaran itu 0,5 m, maka :
1. Waktu putarnya adalah 0,5 π detik
2. Percepatan sentripetalnya 8 m/s2
3. Gaya sentripetalnya 40 Newton
4. Vektor kecepatannya tidak tetap
Pernyataan yang benar ...
A. 1,2 dan 3
D. 4 saja
B. 1 dan 3
E. Semuanya
C. 2 dan 4
Jawaban : (1,2,3,4 benar) → E
(Lihat teori singkat soal no.51, perumusan
GMB)
Analisa :
1. (benar) Rumus kecepatan :
2 π (0,5)
V=2πR/T→ T=
= 0,5πs
2
2. (benar) rumus percepatan :
asp = V2/R → asp = (2)2/0,5 = 8 m/s2
3. (benar) Rumus gaya sentripetal :
Σ Fsp = m asp → Σ Fsp = (5) (8) = 40 N
4. (benar) vektor kecepatannya tak tetap,
karena arahnya berubah-ubah
9. Dari keadaan diam, benda tegar melakukan
garak rotasi dengan percepatan sudut 15
rad/s2. Titik A berada pada benda tersebut,
berjarak 10 cm dari sumbu putar. Tepat
setelah benda berotasi selama 0,4 sekon, A
mengalami percepatan total (dalam m/s2)
sebesar :
A. 1,5
D. 3,9
B. 2,1
E. 5,1
C. 3,6
Jawaban : D
•) α = 15 rad/s2, t = 0,4 dt, ωo = 0 (diam)
•) ωt = ωo + α t → ωt = α t → ωt = 6 rad/s
•) asp = ω2 R → asp = 3,6 m/s2
•) a total = (a T ) 2 + (a sp ) 2
•) a total = (1,5) 2 + (3,6) 2 m/s 2 = 3,9 m/s 2
10. Sebuah batu dengan massa 2 kg diikat
dengan tali dan diputa, sehingga lintasannya
berbentuk lingkaran vertikal dengan jari-jari
0,5 m. Jika kecepatan sudut batu 6 rad/s dan
g = 10 m/s2, maka tegangan tali pada saat
batu di titik tertinggi adalah :
A. 36 N
D. 124 N
B. 144 N
E. 56 N
C. 16 N
Jawaban : C
Pada kondisi di titik tertinggi :
T = m ω2 R – mg
T=
(2) (6)2 (0,5) –(2) (10) N = 16 N
=====O0O=====
Soal-soal :
1. Sebuah benda dijatuhkan dari pesawat
terbang yang sedang melaju horisontal 720
km/jam pada ketinggian 490 m. Benda itu
akan jatuh pada jarak horisontal sejauh
...meter (diketahui g = 9,8 m/s2)
A. 1000
D. 2900
B. 2000
E. 4000
C. 2450
2. Pada tendangan bebas suatu permaian
sepakbola, lintasan mencapai titik tertinggi
45 m di atas tanah. Berapa lama harus
ditunggu sejak bola ditendang sampai bola
kembali di tanah. Abaikan gesekan udara
dan ambil g = 10 m/s2
A. 3 detik
D. 9 detik
B. 4,5 detik
E. 10 detik
C. 6 detik
3. Sebuah peluru ditembakkan dengan
kecepatan awal tertentu, maka jarak tembak
yang sama akan dihasilkan oleh pasangan
sudut :
A. 300 dan 450
D. 530 dan 370
0
0
B. 45 dan 60
E. 600 dan 350
C. 750 dan 250
4.
E (Joule)
400
Ek
300
Ep
t detik
Grafik hubungan antara energi terhadap
waktu dari gerak parabola seperti pada
22
gambar. Dari grafik
disimpulkan
bahwa
penembakan adalah :
A. 300
B. 450
C. 750
tersebut dapat
sudut
elevasi
D. 900
E. 600
5. Agar suatu lemparan sebuah bola dapat
mencapai jarak terjauh, maka besar sudut
lemparan terhadap bidang horisontal
sebesar ...
A. 300
D. 900
B. 450
E. 600
0
C. 75
6. Tentukan besar tan α bila benda tiba di B
setelah 2 detik
Vo = 50 m/s
A
B
A. 0,2
B. 0,3
C. 0,4
D. 0,5
E. 0,6
7. Pada tendangan bebas suatu permainan
sepakbola, bola ditendang melayang di
udara selama 4 detik. Jika gesekan udara
diabaikan dan g = 10 m/s2, maka bola
mencapai tinggi sebesar ...
A. 12 m
D. 30 m
B. 16 m
E. 48 m
C. 20 m
8. Sebuah bola ditendang dengan kecepatan
awal 20 m/s dengan sudut elevasi 300. Jika
g = 10 m/s2 jarak mendatar terjauh yang
dicapai bola adalah ...
A. 20 √3 m
B. 20 m
C. 10 √3 m
0
Xb
A.100 m
B. 200 m
C. 225 m
Xp
D. 250 m
E. 275 m
11. Sebuah benda dengan massa 5 kg diikat
dengan tali berputar dalam satu bidang
vertikal. Lintasan dalam bidang itu adalah
satu lingkaran dengan jari-jari 1,5 m. Jika
kecepatan sudut tetap 2 rad/s, dan g = 10
m/s2, maka tegangan tali pada saat benda itu
ada pada titik terendah adalah :
A. 30 N
B. 40 N
C. 50 N
α
D. 70 N
E. 80 N
12. Akibat rotasi bumi, keadaan Hasan yang
bermassa a dan ada di Bandung, dan David
yang bermassa a dan ada di London, akan
sama dalam hal :
A. laju linearnya
B. kecepatan linearnya
C. gaya gravitasi buminya
D. kecepatan angulernya
E. percepatan sentripetalnya
13. Seorang anak duduk di atas kursi pada roda
yang berputar vertikal. Jika g = 10 m/s2 dan
jari-jari roda 2,5 m, maka laju maksimum
roda agar anak tidak terlepas dari tempat
duduknya ...m/s
D. 10 m
E. 5 m
9. Sebuah peluru ditembakkan sedemikian
rupa sehingga jarak tembakannya sama
dengan tiga kali tinggi maksimum. Jika
sudut elevasi α, maka besar tan α adalah ...
A. 4/3
B. 3/4
C. 1/2
tumbukan 0,05 m/s dan jatuh sejauh Xb =
0,2 m dari titik 0. Berapa jauh peluru tiba di
tanah ?.
D. 2
E. 1/4
10. Sebuah peluru bermassa 10 gram dan
kecepatan 100 m/s mengenai dan
menembus sebuah balok dengan massa 10
kg yang diam di atas bidang datar tanpa
gesekan. Ternyata kecepatan balok setelah
R
A. 8
B. 6
C. 5
D. 4
E. 2
14. Sebuah benda dengan massa 10 kg diikat
dengan tali dan diputar sehingga lintasan
berbentuk lingkaran vertikal dengan jari-jari
1 meter. Gaya tegang maksimum yang
dapat ditahan tali 350 N. Jika g = 10 m/s2,
kecepatan benda maksimum ...m/s
A. 4,5
D. 6
B. 5
E. 6,5
C. 5,5
23
15. Pada gerak melingkar beraturan, bila ω =
kecepatan sudut, f = frekuensi dan T =
periode, maka hubungan antara ω, f dan T
adalah …
1
2π
dan ω =
T
f
1
B. f = dan ω = 2 π T
T
1
C. f = dan ω = 2 π f
T
1
D. T = dan ω = 2 π T
f
1
2π
E. T = dan ω =
f
f
A. f =
A. 20 m
B. 14 m
C. 15 m
D. 21 m
E. 8,5 m
20. Sebuah benda 100 gram diikat dengan tali
sepanjang 50 cm digantung dan diputar
pada suatu ayunan konis. Tentukan kelajuan
ayunan tersebut jika sin θ = 0,6
A. 1,3 m/s
D. 1,6 m/s
B. 1,4 m/s
E. 1,8 m/s
C. 1,5 m/s
=====O0O=====
C. DINAMIKA PARTIKEL
16. Sebuah benda yang melakukan
melingkar beraturan mempunyai …
A. Kecepatan yang konstan
B. Percepatan yang konstan
C. Sudut simpangan yang konstan
D. Kelajuan yang konstan
E. Gaya sentripetal yang konstan
gerak
17. Sebuah benda bermassa m diikatkan di
ujung seutas tali, lalu diayunkan di bidang
vertikal. Agar benda dapat melakukan gerak
melingkar penuh, maka di titik terendah
gaya sentripetal maksimum haruslah :
A. 5 mg
D. 2 mg
B. 4 mg
E. 1 mg
C. 3 mg
18. Sebuah sepeda motor membelok pada
tikungan berbentuk busur lingkaran dengan
jari-jari 5 meter. Jika koefisien antara roda
dan jalan 0,5 dan g = 10 m/s2 , maka
kecepatan motor terbesar yang diizinkan
adalah :
A. 5 m/s
D. 2,0 m/s
B. 3,0 m/s
E. 1,5 m/s
C. 2,5 m/s
HUKUM-HUKUM NEWTON
Hukum I Newton : "Bila gaya yang bekerja
pada suatu benda sama dengan nol (gaya-gaya
seimbang), maka benda yang semula diam akan
tetap diam atau yang semula bergerak akan
terus bergerak lurus beraturan selama tidak ada
gaya lain yang mengubahnya"
ΣF=0
Hukum II Newton : " Percepatan yang
ditimbulkan oleh resultan gaya yang bekerja
pada suatu benda sebanding dengan resultan
gaya yang bekerja dan berbanding terbalik
dengan massa benda tersebut "
a=
ΣF
m
Hukum III Newton : "Untuk setiap gaya aksi
yang dilakukan benda pertama, selalu ada gaya
reaksi yang besarnya sama tetapi berlawanan
arah pada benda ke dua"
Faksi = - Freaksi
19. Sebuah batu massanya 1 kg diputar
mendatar di atas kepala dengan seutas tali
yang panjangnya 1 meter. Gaya tegang tali
maksimum 500 N. Jika tinggi batu dari
tanah 2 meter dan tiba-tiba tali putus
(seperti pada gambar), maka jarak mendatar
terjauh yang dapat ditempuh batu adalah :
Catatan :
1. Pasangan gaya aksi-reaksi selalu hadir
ketika dua benda berinteraksi.
2. Pasangan gaya aksi-reaksi selalu bekerja
pada dua benda yang berbeda
GAYA GRAVITASI
h = 2m
X=?
X=?
Sir Isaac Newton yang terkenal dengan
hukum-hukum Newton I, II dan III, juga
terkenal dengan hukum Gravitasi Umum.
24
Didasarkan pada partikel-partikel bermassa
senantiasa mengadakan gaya tarik menarik
sepanjang garis yang menghubungkannya,
Newton merumuskan hukumnya tentang
gravitasi umum yang menyatakan :
Gaya antara dua partikel bermassa m1 dan m2
yang terpisah oleh jarak r adalah gaya tarik
menarik sepanjang garis yang menghubungkan
kedua partikel tersebut, dan besarnya dapat
dinyatakan dengan persamaan :
pusat benda yang menimbulkannya. Kuat
medan gravitasi di suatu titik oleh beberapa
benda
bermassa
diperoleh
dengan
menjumlahkan vektor-vektor medan gravitasi
oleh tiap-tiap benda.
Sebagai contoh : Kuat medan gravitasi yang
disebabkan oleh kedua dua buah benda yang
kuat medannya saling membentuk sudut α,
dapat dinyatakan dengan persamaan :
g=
m m
F=G 12 2
r
dengan G = 6,67 x 10-11 Nm2/kg2 (konstanta
gravitasi umum)
Gaya gravitasi adalah besaran vektor yang
arahnya senantiasa menuju pusat massa
partikel.
•
g1 + g 2 + 2 g1 g 2 cos α
2
2
Bumi :
m
M
R
Untuk gaya gravitasi yang disebabkan oleh
beberapa massa tertentu, maka resultan gayanya
ditentukan secara geometris.
Misalnya dua buah gaya F1 dan F2 yang
membentuk sudut α resultante gayanya dapat
ditentukan berdasarkan persamaan :
Berat benda W = mg, dan percepatan
M
gravitasi bumi g = G 2 ,
R
Sehingga
F=W=G
F=
F1 + F2 + 2 F1 F2 cos α
2
2
Apabila dimasukkan nilai massa bumi
M = 5,98 x 1024kg dan jari-jari bumi
R = 6400 km ke dalam persamaan
M
g = G
, maka di dapat percepatan
R2
gravitasi bumi g = 9,8 m/s2
Gambar :
MEDAN GRAVITASI
Kuat medan gravitasi (intensitas gravitasi)
oleh gaya gravitasi didefinisikan sebagai :
Perbandingan antara gaya gravitasi yang
dikerjakan oleh medan dengan massa yang
dipengaruhi oleh gaya gravitasi tersebut.
Dalam bentuk persamaan, dapat dinyatakan
dengan :
F
g=
=
m'
mM
R2
G
m m'
r2 = G m
m'
r2
Persamaan di atas menunjukkan kuat medan
gravitasi oleh benda bermassa m pada suatu
titik berjarak r dari benda itu.
Kuat medan gravitasi adalah suatu besaran
vektor yang arahnya senantiasa menuju ke
ENERGI POTENSIAL GRAVITASI
Benda bermassa m yang terletak diluar
bumi, energi potensial gravitasinya pada jarak r
dari pusat bumi, dinyatakan dengan persamaan :
Ep = - G
M .m
r
Tanda negatif (-) berarti jika benda bergerak di
bawah pengaruh gaya gravitasi dari jarak tak
terhingga (∞) ke jarak r maka energi
potensialnya
akan
berkurang,
karena
dipergunakan untuk menambah energi kinetik
dengan makin besarnya laju benda waktu
bergerak mendekati bumi.
Jika mula-mula benda berada di tempat
yang jauh tak hingga ( r = ∞ ) dengan energi
25
kinetik sama dengan nol, maka dalam
perjalanan mendekati bumi, medan gravitasi
merubah energi potensial menjadi energi
kinetik. Pada waktu sampai di bumi energi
kinetik benda sama dengan energi potensial
gravitasi. Jadi :
1
2
mv 2 = G
M .m
R
m = massa benda.
M = massa bumi.
R = jari - jari bumi.
v = kecepatan benda di permukaan bumi.
Disini pembicaraan akan kita batasi hanya
mengenai gerakan massa m dalam medan
gravitasi yang ditimbulkan oleh titik tunggal
yang tetap atau bola homogen bermassa m.
Sehingga :
M m
Ek = 21 mv2 dan Ep = m V = - G
r
Akhirnya kita dapatkan bahwa :
M m 1
M m
2
1
= 2 m(v2)2 - G
2 m(v1) - G
r1
r2
(v2)2 = (v1)2 + 2G M (
1 1
− )
r2 r1
HUKUM KEKEKALAN ENERGI
Hukum kekekalan energi mekanik total
berlaku untuk medan gravitasi dan harganya
adalah :
EM = Ek + Ep
E M = 12 mv 2 − G
POTENSIAL GRAVITASI
Potensial gravitasi didefinisikan sebagai :
Tenaga potensial gravitasi per satuan massa.
Dapat dinyatakan dengan persamaan :
M .m
R
V=
Kita dapat mendefinisikan energi potensial
sebagai berikut : Jika Ep(A) = energi potensial
di titik A dan Ep(B) = energi potensial di titik
B, maka beda energi potensialnya :
Ep(B) - Ep(A) = - G M m (
1
1
− )
rB rA
rA = jarak titik A ke pusat bumi.
rB = jarak titik B pusat bumi.
Oleh karena usaha merupakan perubahan
energi potensial maka usaha yang dilakukan
sepanjang garis dari A ke B dapat dinyatakan
dengan :
WA----> B = - G M m (
1
1
− )
rB rA
WA----> B = Usaha dari A ke B.
Untuk gerakan benda dalam medan
gravitasi yang tidak sama kekuatannya di
semua titik, hendaknya dipecahkan dengan
perhitungan potensial gravitasi atau tenaga
potensial gravitasi. Jika gaya-gaya gesekan
diabaikan, dasar perhitungannya hanyalah
kekekalan energi, yaitu :
Ep
=
m'
−G
m m'
r = −G m
m'
r
V = potensial gravitasi pada jarak r dari massa
m
m = massa benda
r = jarak tempat yang mengalami potensial
gravitasi ke benda.
Potensial gravitasi merupakan besaran
skalar, karena itu potensial yang disebabkan
oleh berapa benda bermassa merupakan jumlah
aljabar dari potensial gravitasi masing-masing
benda bermassa itu, Jadi :
Vt = V1 + V2 + V3 + ...... + Vn
Beda potensial antara dua titik dalam
medan gravitasi didefinisikan sebagai :
Potensial di titik yang satu dikurangi dengan
potensial ditItik yang lain.
Usaha yang dilakukan untuk mengangkut,
massa m dari satu titik ke titik lain lewat
sembarang lintasan sama dengan massa benda
itu kali beda potensial antara kedua titik itu.
WA----> B = m (VB - VA)
WA----> B = Usaha dari A ke B.
Ek + Ep = konstan.
Ek(1) + Ep(1) = Ek(2) + Ep(2)
26
KELAJUAN LEPAS
Sebuah benda yang dilemparkan lurus ke
atas dari permukaan bumi hanya dapat naik
sampai jarak tertentu, kemudian akan kembali
lagi ke permukaan bumi. Jika suatu benda
dilemparkan dari permukaan bumi dengan
energi kinetik yang besarnya sama dengan
energi potensial dipermukaan bumi, maka
energi totalnya sama dengan nol.
Ini berarti benda bergerak ke jauh tak
terhingga atau lepas dari bumi. Kelajuan awal
agar ini terjadi disebut kelajuan lepas, dan dapat
ditentukan dengan persamaan :
M m
2
1
2 mv = G
R
v = 2 Rg
v = kelajuan lepas
R = jari-jari bumi
g = percepatan gravitasi bumi.
GERAKAN PLANET
Menurut Keppler (Hukum Keppler),
perbandingan antara T2 dari gerakan planet
yang mengelilingi matahari terhadap r3 adalah
konstan.
T2
=c
r3
T = periode
r = jari-jari lintasan
2
3
 T1 
r 
  =  1 
 T2 
 r2 
Dan dari gerak melingkar beraturan dapat kita
peroleh :
2π r
v=
T
Bila massa planet m dan massa matahari M
maka gaya gravitasi antara planet dan matahari
pada jarak r, adalah :
M m
F =G 2
r
Gaya ini merupakan gaya sentripetal. Bila
selama mengitari matahari planet bergerak
dengan laju tetap sebesar v, maka dapat
dinyatakan bahwa :
M m
v2
G 2 =m
r
r
M
G
= v2
r
M
v= G
r
Jika planet bergerak dengan kelajuan sudut
ω maka dapat dinyatakan suatu persamaan
dalam bentuk :
ω2 =G
M
r3
ω = kelajuan sudut
M = massa matahari
r = jari-jari lintasan
Catatan :
Perbedaan massa dan berat
No
Massa
Berat
Massa benda tetap Berubah tergantung
1
gravitasi
Besaran skalar
Besaran vektor
2
Satuannya kg
Satuannya Newton
3
Ukuran
inersia Gaya gravitasi yang
4
benda
dialami benda
GAYA NORMAL
Gaya Normal adalah gaya yang arahnya
tegak lurus dengan bidang batas permukaan dua
benda yang bersentuhan
Terdapat beberapa tipe contoh gaya normal
a) Gaya normal pada benda dengan gaya
sejajar bidang perpindahan
N
F
N=W
W
Karena planet bergerak pada lintasan yang
tetap maka terdapat gaya sentripetal yang
mempertahankan planet tetap pada lintasannya.
Gaya sentripetal dalam hal ini adalah gaya
gravitasi yang dialami oleh planet yang
disebabkan oleh matahari.
b) Gaya normal pada benda dengan gaya
membentuk sudut α dengan bidang
perpindahan
27
Tipe : 1
fk = µk N
N
Fy
α
F
Dengan µ = koefisien gesek benda
Fx
W
Besar koefisien gesek : 0 ≤ µ ≤ 1
Grafik antara gaya gesek f dengan gaya F
yang bekerja pada benda
W
Dengan Fx = F cos α dan
Fy = F sin α
Dari gambar diatas di dapat, bahwa :
N + Fy = W sehingga
f
fk
fs
N = W - F sin α
F
Tipe : 2
GERAK PADA BIDANG MIRING
N
Fy
α
Teori Singkat :
F
N
Fges
W
Dari gambar diatas di dapat, bahwa :
N - Fy = W sehingga
mg sin α
α}
N = W + F sin α
mg cos α
mg
Rumus-rumus :
c) Gaya normal pada benda di bidang miring
Fs = mg sin α
N = mg cos α
Fges = µ N = µ mg cos α
N
Fges
mg sin α
α}
mg cos α
mg
N = mg cos α
GAYA GESEK
Gaya gesek adalah gaya yang arahnya
berlawanan dengan arah gerak benda.
Terdapat dua jenis gaya gesek yaitu :
a. Gaya gesek statis (fs) : gaya gesek
yang bekerja pada saat benda diam
hingga tepat saat akan bergerak
•) Fs
•) N
= Gaya searah bidang miring
= Gaya normal selalu tegak lurus
bidang permukaan
•) Fges = Gaya gesek berlawanan dengan
arah gerak benda
Catatan :
A. Pada bidang miring sering dijumpai variasi
soal :
1. Hukum Newton
2. Perumusan GLB dan GLBB
3. Gerak peluru
B. Percepatan benda yang meluncur ke bawah
bidang miring :
•
Jika tanpa gesekan :
∑ F = m a ==> Fs = m a
mg sin α
a=
==> a = g sin α
m
•
Jika terdapat gaya gesek :
∑ F = m a ==> Fs – Fges = m a
fs = µs N
b. Gaya gesek kinetis (fk) : gaya gesek
yang bekerja saat benda bergerak
28
a=
mg sin α
µ mg cos α
m
β=½D
a = g ( sin α - µ cos α )
•
Jika benda meluncur dengan kecepatan
tetap (a = 0) atau benda diam, namun
tepat akan bergerak (tergelincir), maka
koefisien gaya geseknya adalah :
∑ F = 0 ==> Fs – Fges = 0
mg sin α = µ mg cos α
D
β
β
α
Sasaran ke atas atau ke bawah
D
µ = tg α
β
β
Sasaran mendatar
C. Kasus penembakan benda pada bidang
miring
1. Pada kasus penembakan dari kaki ke
arah puncak bidang miring
=====O0O=====
Y
X
APLIKASI HUKUM II NEWTON
Vo sin β
Vo cos β
β
g sin α
Untuk memudahkan pemahaman terhadap
aplikasi hukum II Newton, maka tinjau
persoalan sebagai berikut :
α
g
A. Katrol tidak bergerak
g cos α
1)
X = Vo cos β t - ½ g sin α t2
Y = Vo sin β t - ½ g cos α t2
m1 > m2
a=?
Vx = Vo cos β - g sin α t
Vy = Vo sin β - g cos α t
m1
2)
fges
2. Pada kasus penembakan dari puncak ke
arah kaki bidang miring
Vo sin β
m2
m1
a=?
X
g sin α β
m2
α
Vo cos β
g
3)
g cos α
X = Vo cos β t + ½ g sin α t2
Y = Vo sin β t - ½ g cos α t2
Vx = Vo cos β + g sin α t
Vy = Vo sin β - g cos α t
m1
f1
m2
a=?
f2
m3
4)
a=?
Catatan :
Jauh sasaran tembakan akan mencapai
maksimum bila sudut elevasi terhadap
bidang sasaran (β) adalah setengah sudut
bidang sasaran dengan vertikal (D)
m1
fges
m2
α
29
5)
m2
 m 2 − µ m1
a= 

 m1 + m 2
f2
m1
f1
a=?

g


α
Cara Praktis :
Penyelesaian
Cara Biasa :
a=
Ketentuan : * Searah percepatan (a)
:+
* Berlawanan percepatan (a) : * Tegangan tali T1 = T2
Tinjau soal 1)
1)
a
T1
m1
T2
m2 a
m1 > m2
*) Σ m = Jumlah massa sistem
*) Σ F = Penyebab gaya – penghalang
gaya
Jika diterapkan pada soal a) dan b), maka
akan diperoleh jalan yang lebih singkat dan
cepat
Soal 1)
a=
W1
W2
Tinjau m1 : Σ F = m1 a
W1 - T1 = m1 a → T1 = W1 - m1 a ------(1)
Soal 2)
Tinjau m2 : Σ F = m2 a
T2 – W2 = m2 a → T2 = W2 + m2 a -----(2)
W1 - m1 a = W2 + m2 a
 m − m2
a =  1
 m1 + m 2

 g

a=
Tinjau soal 2)
a=
∑F
∑m
 m − m2 
W1 - W2
 g
→ a =  1
m1 + m 2
 m1 + m 2 
a=
∑F
∑m
 m − µ m1 
 g
→ a =  2
m1 + m 2
 m1 + m 2 
Dengan demikian jika diterapkan pada
soal yang lain akan diperoleh :
Soal 3)
∑F
a=
∑m
a=
Karena (1) = (2), maka :
∑F
∑m
W2 - f ges
 m − µ m1 − µ m 2 
W2 - f 1 - f 2
 g
→ a =  2
m1 + m 2 + m 3
 m1 + m 2 + m 3 
a
2)
fges
Soal 4)
m1
T1
m1
T2
a
m1 g sinα
Karena (1) = (2), maka :
W2
a=
W2
Tinjau m2 : Σ F = m2 a
W2 – T2 = m2 a → T2 = W2 - m2 a -----(2)
m2
α
m2
Tinjau m1 : Σ F = m1 a
T1 - fges = m1 a → T1 = fges + m1 a -----(1)
fges
a=
∑F
∑m
m1 g sin α - f ges - W2
m1 + m 2
 m 1 sin α − µ m1 cos α - m 2
a = 
m1 + m 2


g


fges + m1 a = W2 - m2 a
30
Soal 5)
ΣF=ma
W–N=ma
N=W-ma
m2
f2
m1
ΣF=ma
W–T=ma
T=W-ma
f1
m1 g sin α
α
=====O0O=====
∑F
∑m
m1 g sinα - f 1 - f 2
a=
m1 + m 2
a=
Contoh Soal dan Pembahasan :
Ingat ! f1 = µ m1 g cos α ( gaya gesek pada
bidang miring)
f2 = µ m2 g, sehingga :
 m1 sin α − µ m1 cos α - µ m 2
a = 
m1 + m 2


g


B. Gerak Lift
Pada kasus gerak lift, terdapat dua variasi
gaya yang bekerja pada lift yaitu gaya normal
(N) dan gaya tegang tali lift (T). Ketentuan
yang berlaku pada gerak lift ini sama dengan
ketentuan pada katrol tidak bergerak yaitu :
* Searah percepatan (a) → +
* Berlawanan percepatan (a) → a) Percepatan benda ke atas
N
a
W
T
W
ΣF=ma
N–W=ma
N=W+ma
ΣF=ma
T–W=ma
T=W+ma
b) Percepatan benda ke bawah
N
T
a
W
W
1. Jika sebuah benda terletak pada bidang
miring, maka gaya normal benda itu adalah
A. Sama dengan berat benda
B. Lebih kecil dari berat benda
C. Lebih besar dari berat benda
D. Dapat lebih besar atau lebih kecil dari
berat benda
E. Dapat sama atau tidak sama dari berat
benda
Jawaban : B
Gaya normal pada bidang miring : N = mg
cos α. Syarat sudut bidang miring adalah 0
< α < 90o, sehingga di dapat 0 < cos α < 1,
maka N < mg
2. Sebuah benda yang beratnya W meluncur
ke bawah dengan kecepatan tetap pada
suatu bidang miring kasar. Bidang miring
tersebut membentuk sudut 30o dengan
horisontal. Koefisien gesekan antara benda
dan bidang tersebut adalah :
1
A.
3
D. 1/2
2
1
1
B.
3
E. .
2
3
3
1
C.
2
2
Jawaban : B
( Lihat gerak pada bidang miring, catatan
nomor 3 )
1
µ = tg 30o =
3
3
3. Sebuah satelit mengorbit pada ketinggian h
dari permukaan bumi yang berjejari R
dengan kecepatan v. Bila percepatan
gravitasi di bumi g, maka percepatan
gravitasi pada ketinggian h adalah …
g R2
g R 2v
A.
D.
(R + h )2
(R + h )2
B.
gR
(R + h )2
C.
gRv
(R + h )2
E.
g R2
(R + h )
31
a = g sin α ==> a = 9,8 sin 300
Jawaban : A
GM
g ' (R + h )2
g R2
=
→ g'=
GM
g
(R + h )2
R2
4. Seseorang yang massanya 80 kg ditimbang
dalam sebuah lift. Jarum timbangan
menunjukkan angka 1000 newton. Apabila
percepatan gravitasi bumi 10 m/s2, dapatlah
disimpulkan bahwa ...
A. massa orang dalam lift menjadi 100 kg
B. lift sedang bergerak ke atas dengan
kecepatan tetap
C. lift sedang bergerak ke bawah dengan
kecepatan tetap
D. lift sedang bergerak ke bawah dengan
percepatan tetap
E. lift sedang bergerak ke atas dengan
percepatan tetap
Jawaban : E
= 4,9 m/s2
Karena ada percepatan berarti berlaku
perumusan GLBB. Dari soal diketahui Vo =
0 dan St = 10 m
Vt2 = Vo2 + 2 a St
Vt2 = 0 + 2 (4,9) (10) m/s
Vt = 9,9 m/s
6. Gaya F sebesar 12 N bekerja pada sebuah
benda yang massanya m1 menyebabkan
percepatan sebesar 8 m/s2. Jika F bekerja
pada benda yang bermassa m2, maka
percepatan yang ditimbulkan 2 m/s2. Jika F
bekerja pada benda yang bermassa m1 + m2,
maka percepatan benda ini adalah …
A. 1,2 m/s2
D. 3,0 m/s2
B. 1,6 m/s2
E. 3,6 m/s2
2
C. 2,4 m/s
Ada dua kemungkinan gerak lift, ke bawah
dan ke atas
Jawaban : B
Massa m1 dapat dicari :
N = 1000 N
m1 =
Massa m2 dapat dicari :
W = 800 N
m2 =
Jika gerak lift keatas: N = W + m a, maka
a=
N - W 1000 − 800
=
m/s2 = 2,5 m/s2
m
80
F 12
=
kg = 6 kg
a2
2
Massa percepatan benda bermassa m1 + m2
adalah …
Jika gerak lift kebawah: N = W - m a, maka
a=
W - N 800 − 1000
m/s2 = - 2,5 m/s2
a=
=
m
80
(tanda negatif berati perlambatan). Jadi
jawaban yang tepat pilihan E
F 12
=
kg = 1,5 kg
a1
8
F
12
=
m / s 2 = 1,6 m / s 2
m1 + m 2 7,5
7.
ujung tetap
tali
200 kg
roda
5. Sebuah kotak yang massanya 10 kg, mulamula diam kemudian bergerak turun pada
bidang miring yang membentuk sudut 300
terhadap
horisontal
tanpa
gesekan
menempuh jarak 10 m sebelum sampai ke
bidang mendatar. Kecepatan kotak pada
akhir bidang miring, jika g = 9,8 m/s2
adalah :
3 meter
α
4 meter
Pada gambar di atas ini, gaya gesekan
diabaikan.
Besarnya
gaya
tarikan
(minimum) yang diperlukan agar roda
bergerak ke atas adalah :
A. 4,43 m/s
D. 7 m/s
A. 600 N
D. 1000 N
B. 44,3 m/s
E. 9,9 m/s
B. 700 N
E. 1200 N
C. 26,3 m/s
C. 200 N
Jawaban : E
Karena gesekan diabaikan, maka :
Jawaban : A
Dari gambar diperoleh sin α = 3/5
32
a = 2,4 m/s2
T
T
9.
W sin α
C
A
2 T = w sin α ==> T = ½ w sin α
Jadi T = ½ (200) (10) (3/5) N = 600 N
8. Dua buah balok yang beratnya sama yaitu
100 N dihubungkan dengan seutas tali
melalui sebuah katrol (lihat gambar).
Koefisien gesek ke dua bidang sama µ =
0,2. Bila massa tali serta gesekan tali
dengan katrol diabaikan, maka percepatan
gerak balok adalah :
4
α
3
A. 4,2 m/s2
B. 2,4 m/s2
C. 4,4 m/s2
D. 8,2 m/s2
E. 2,8 m/s2
Jawaban : B
Perhatikan skema gambar berikut :
m2
f2
m1
f1
m1 g sin α
α
∑F
a=
∑m
m g sinα - f 1 - f 2
a= 1
m1 + m 2
Ingat ! f1 = µ m1 g cos α ( gaya gesek pada
bidang miring)
f2 = µ m2 g
Meja
B
Ditentukan : mA = 4 kg, mB = 5 kg, g = 10
m/s2. Koefisien gesek statis antara benda A
dengan C adalah 0,3 dan antara benda A
dengan meja 0,2 (lihat gambar). Sistem
tidak bergerak. Pernyataan di bawah ini
yang benar adalah …
1. gaya gesek antara A dan C adalah nol
2. tegangan tali 50 N
3. massa minimum benda C adalah 21 kg
4. gaya gesek antara A dan meja adalah 50
N
Jawaban : E (1,2,3 dan 4 benar)
(1) Gaya gesek antara A dan C nol, karena
tidak ada gaya pada benda C
(2) T = WB = 50 N
(3) Σ F = 0, maka T = fges = µs N
50 = 0,2 (mA + mC) 10, dengan
memasukkan nilai mA = 4 kg di dapat
mC = 21 kg
(4) fges = T = 50 N
Pernyataan yang benar ...
A. 1,2 dan 3
D. 4 saja
B. 1 dan 3
E. Semuanya
C. 2 dan 4
10. Sebuah peluru ditembakkan dengan
kecepatan awal 10 m/s dari puncak ke arah
kaki bidang miring selama 5 detik (lihat
skema gambar). Jarak terjauh yang dapat
ditempuh peluru tersebut adalah :
45 meter
•) Dari gambar di dapat :
•) cos α = 3/5 dan sin α = 4/5
•) f1 = µ N1 = µ m1 g cos α
= 0,2 (100) (10) (3/5) = 120 Nt
•) f2 = µ N2 = µ m2 g
= 0,2 (100) (10) = 200 Nt
Sehingga diperoleh hasil :
 100 (10) (4/5) − 120 - 200 
2
a= 
 m/s
200


30 }
90 meter
A. 97,5 m
B. 87,5 m
C. 50,5 m
D. 45,5 m
E. 27,5 m
Jawaban : B
x = Vo cos β t + ½ g sin α t2
= 10 cos 60 (5) + ½ (10) sin 30 (5)2
33
= 10 (1/2)(5) + ½ (10) (1/2) (25)
x = (25 + 62,5) m = 87,5 m
4. Kecepatan gerak benda
Pernyataan yang benar ...
A. 1,2 dan 3
D. 4 saja
B. 1 dan 3
E. semuanya
C. 2 dan 4
=====O0O=====
Soal-soal :
5. Pada gambar, jika massa katrol diabaikan.
Nilai tegangan tali T adalah …
1. Sifat yang dimiliki benda untuk tetap
mempertahankan keadaan geraknya di sebut
…
A. ketahanan gerak
D. perlambatan
B. kelembaman
E. kelajuan
C. percepatan
6 kg
T
µk = 1/3
g = 10 m/s2
3 kg
2. Sebuah gaya F bekerja horizontal pada
benda yang berada pada bidang miring yang
licin dengan sudut kemiringan θ seperti
pada gambar di bawah. Bila massa benda
adalah m percepatan gravitasi adalah g,
maka resultan gaya yang bekerja pada
benda itu adalah …
A. 6 N
B. 14 N
C. 20 N
D. 27 N
E. 34 N
6. Dari gambar di bawah ini, jika massa benda
2 kg, gaya yang bekerja pada benda sebesar
10 N, dan g = 10 m/s2, maka percepatan
yang dialami benda adalah …
F
370
θ
A. F cos θ - mg sin θ
A. nol
B. 2 m/s2
C. 4 m/s2
B. F sin θ + mg cos θ
D. 8 m/s2
E. 10 m/s2
C. F sin θ - mg cos θ
D. F cos θ + mg sin θ
E. F + mg tan θ
3.
Pada gambar sistem katrol berat benda A
dan E masing-masing 100 N dan 10 N.
Apabila tali AC horizontal dan tali AB
sejajar bidang serta bidang miring dan
katrol licin, maka sistem setimbang untuk
berat D sebesar …
B
C
D
A
7. Sebuah benda bermassa 20 kg terletak pada
bidang miring dengan sudut 300 terhadap
horisontal. Jika g = 9,8 m/s2 dan benda
bergerak sejauh 3 m ke arah bawah, usaha
yang dilakukan oleh gaya berat adalah :
A. 60 Joule
D. 294 Joule
B. 65,3 Joule
E. 294 √3 Joule
C. 588 Joule
8. Sebuah bola meluncur ke bawah pada
sebuah lengkungan seperti pada gambar,
selama meluncur bola tersebut :
E
300
A. 50,5 N
B. 58,5 N
C. 62,5 N
D. 72,5 N
E. 81,5 N
4. Besar gaya gesekan yang bekerja pada
benda yang bergerak di bidang miring
kasar, jika gaya gesekan dengan udara
diabaikan, tergantung pada :
1. Berat benda
2. Sudut miring bidang
3. Kekasaran permukaan bidang
A. Kelajuan bertambah, percepatan berkurang
B. Kelajuan berkurang, percepatan bertambah
C. Kelajuan dan percepatan bertambah
D. Kelajuan dan percepatan berkurang
E. Kelajuan bertambah, percepatan berkurang
34
9. Apabila sebuah bola pejal dapat bergerak
dengan bebas dari puncak sebuah bidang
miring yang licin (koefisien gesek nol),
maka :
1. Bola akan menggelinding dan meng
gelincir
2. Bola akan menggelincir
3. Bola akan menggelinding
4. Hukum kekekalan energi berlaku untuk
gerak bola ini
Pernyataan yang benar ...
A. 1,2 dan 3
D. 4 saja
B. 1 dan 3
E. Semuanya
C. 2 dan 4
10. Seseorang dengan massa 60 kg berada
dalam lift yang sedang bergerak ke bawah
dengan percepatan 3 m/s2. Jika percepatan
gravitasi bumi 10 m/s2, maka desakan kaki
orang pada lantai adalah …N
A. 420 N
D. 630 N
B. 570 N
E. 780 N
C. 600 N
11. Sebuah elevator bermassa 400 kg bergerak
vertikal ke atas dari keadaan diam dengan
percepatan tetap sebesar 2 m/s2. Jika
percepatan gravitasi bumi 9,8 m/s2, maka
tegangan tali penarik elevator adalah …
A. 400 N
D. 3920 N
B. 800 N
E. 4720 N
C. 3120 N
12. Bila perbandingan jari-jari sebuah planet
dan jari-jari bumi 2 : 1, sedangkan massa
planet dan massa bumi berbanding 10 : 1,
maka orang yang beratnya di bumi 100 N,
di planet menjadi …
A. 100 N
D. 400 N
B. 200 N
E. 500 N
C. 250 N
13. Suatu planet
massa bumi
bumi. Berat
dibandingkan
menjadi …
A. ab kali
B. ab2 kali
C. a/b kali
X mempunyai massa a kali
dan jari-jari b kali jari-jari
suatu benda di planet tadi
dengan beratnya di bumi
D. a/b2 kali
E. (ab)-1 kali
14.
C
A
B
beratnya 500 N. Koefisien gesek antara A
dan B = 0,2 dan koefisien gesek antara B
dan lantai = 0,5. Besarnya gaya F minimal
untuk menggeser balok B adalah …newton
A. 950 N
D. 320 N
B. 750 N
E. 100 N
C. 600 N
15. Balok 1 kg ikut bergerak melingkar pada
dinding sebelah dalam sebuah tong yang
berputar dengan koefisien gesek statis 0,4.
Jika jari-jari tong 1 m, kelajuan minimum
balok bersama tong agar tidak terjatuh
adalah … m/s
A. 0,4
D. 8
B. 4
E. 25
C. 5
16. Sebuah mobil bermassa 4 ton melewati
sebuah tikungan jalan. Poros tengah-tengah
jalan
merupakan
bagian
lingkaran
horizontal dengan jari-jari kelengkungan 30
m. Bila kemiringan jalan 370 dan koefisien
gesek statis jalan 3/16, maka kecepatan
maksimum mobil yang diperbolehkan
dalam m/s adalah …
A. 10
D. 30
B. 18
E. 33
C. 25
17. Benda dengan massa 4 kg terletak di atas
bidang mendatar. Pada benda bekerja gaya
mendatar sebesar 50 N. Bila koefisien
gesekan statis 0,75, koefisien gesekan
kinetis 0,5 dan g = 10 m/s2, maka …
1. benda bergerak
2. gaya gesekan yang bekerja 20 N
3. percepatan benda 7,5 m/s2
4. benda bergerak dengan percepatan tetap
Pernyataan yang benar ...
A. 1,2 dan 3
D. 4 saja
B. 1 dan 3
E. Semuanya
C. 2 dan 4
18. Sebuah balok yang massanya 2 kg terletak
di atas lantai mendatar dan ditarik oleh gaya
4 N miring ke atas membentuk sudut 600
dengan arah mendatar. Jika g = 10 m/s2 dan
koefisien gesekan kinetis dan statis antara
balok dan lantai masing-masing 0,1 dan 0,9.
Gaya gesekan yang bekerja antara balok
dan lantai …N
A. 0
D. 20 N
B. 2
E. 40 N
C. 4
F
Balok A beratnya 100 N diikat dengan tali
mendatar di C (lihat gambar). Balok B
19. Balok A bermassa 2 kg dan balok B
bermassa 1 kg. Balok B mula-mula diam,
35
lalu bergerak ke bawah sehingga menyentuh
lantai setelah selang waktu ….
A
e = ∆L
L0
µk = 0,2
g = 10 m/s2
B
25 m
A. 2 detik
B. √5 detik
C. 5 detik
Regangan karena tarikan di dalam batang
(e) didefinisikan sebagai perbandingan dari
tambahan panjang
(∆L) terhadap panjang
mula-mula (L0).
D. 4 detik
E. 3 detik
20. Benda yang massanya 2 kg terletak diam di
permukaan tanah. Benda itu kemudian
ditarik ke atas dengan gaya 30 N selama 2
detik, lalu dilepaskan. Maka tinggi
maksimum yang dapat dicapai benda …
A. 10 m
D. 18 m
B. 12 m
E. 20 m
C. 15 m
=====O0O=====
Modulus Kelentingan.
Perbandingan antara suatu tegangan (stress)
terhadap regangannya (strain) disebut : modulus
kelentingan, atau disebut juga modulus young
(E).
tegangan
σ
=
E=
regangan
e
E=
F /A = F L0
∆L/ L0 A ∆L
Energi Potensial Pegas.
Jika sebuah pegas digantungkan dan
mempunyai konstanta pegas k, maka besar gaya
pegas adalah sebanding dengan pertambahan
panjang pegas.
Jika pegas kita tarik dengan gaya Ftangan
maka pada pegas akan bekerja gaya pegas Fpegas
yang arahnya berlawanan dengan Ftangan. Jadi
Fpegas = - gaya oleh tangan pada pegas.
D. GAYA PEGAS
Fpegas = - k x
ELASTISITAS.
Elastisitas adalah : Kecenderungan pada
suatu benda untuk berubah dalam bentuk baik
panjang, lebar maupun tingginya, tetapi
massanya tetap. Hal itu disebabkan oleh gayagaya yang menekan atau menariknya, pada saat
gaya ditiadakan bentuk kembali seperti semula.
Tegangan (Stress)
Jika suatu benda homogen yang mendapat
tarikan atau gaya desak dilakukan pemotongan
secara tegak, maka tegangan yang dihasilkan
disebut tegangan tarik atau tegangan desak,
karena tiap bagian saling tarik atau saling desak
Stress (σ) didefinisikan sebagai : Gaya F
persatuan luas (A).
σ=
F
A
Regangan (Strain)
Yang dimaksud regangan disini adalah
mengenai perubahan relatif dari ukuran-ukuran
atau bentuk suatu benda yang mengalami
tegangan.
Tanda (-) hanya menunjukkan arah berlawanan.
Jika digambarkan dalam grafik, hubungan
antara F dan x, maka akan diperoleh grafik
berupa garis lurus.
F
x
Energi potensial pegas didefinisikan sebagai :
Ep =
1
k x2
2
Dapat dicari dari Luas grafik F terhadap x.
Usaha yang diperlukan untuk regangan x1 – x2
dapat dituliskan sebagai :
W=
1
2
k (x22 – x12)
36
Susunan Pegas.
E. GERAK HARMONIK SEDERHANA
Rangkaian Seri
Jika dua buah pegas dengan konstanta
pegas k1 dan k2 disusun seri maka diperoleh
konstanta pegas gabungan (kP)
Getaran Harmonis : Gerak bolak-balik
disekitar titik setimbang.
Waktu yang dibutuhkan untuk menempuh
satu lintasan bolak-balik disebut Periode (T),
sedangkan banyaknya getaran tiap satuan waktu
disebut Frekwensi (f).
k1
k2
1 = 1 + 1
kS
k1
k2
f =
ktot =
atau
k 1 .k 2
k1 + k 2
Jika n buah pegas yang mempunyai
konstanta pegas sama diseri, maka :
Jika terdapat 3 pegas yang mempunyai
konstanta pegas (k1, k2 dan k3) diseri, maka :
k 1 .k 2 .k 3
k1 .k 2 + k1 .k 3 + k 2 .k 3
Rangkaian Paralel
Jika dua buah pegas dengan konstanta
pegas k1 dan k2 disusun paralel maka diperoleh
konstanta pegas gabungan (kp)
k1
n = banyaknya getaran
t = lamanya bergetar
Hubungan antara periode (T) dan frekwensi
(f) menurut pernyataan ini adalah :
T=
k
ktot =
n
ktot =
n
t
1
f
Satuan frekwensi dalam SI adalah putaran per
detik atau Hertz (Hz).
Posisi pada saat resultan gaya bekerja pada
partikel yang bergetar sama dengan nol disebut
posisi seimbang.
Phase.
Gerak harmonis sederhana akan lebih
mudah diketahui bila dikenal keadaannya
(phasenya). Phase suatu titik yang bergetar
didefinisikan
sebagai
waktu
sejak
meninggalkan titik seimbang dibagi dengan
periodenya.
k2
kp = k1 + k2
Jika n buah pegas yang mempunyai
konstanta pegas sama diparalel, maka :
ktot = n.k
Untuk beberapa buah pegas. Berlaku :
Disusun Paralel : kP = k1 + k2 + k3 + k4 …….
Disusun Seri
: 1 = 1 + 1 + 1 + 1 ….
kS k1 k 2
k3 k 4
Bila titik Q telah bergetar t detik maka
phasenya :
ϕQ =
t
θ
=
T 360
Sesudah bergetar ( t + T ) detik phasenya :
(t + T ) t
ϕ=
= +1
T
T
Keadaan titik Q sama dengan keadaan titik Q
dalam hal yang pertama.
Mudah dipahami bahwa titik-titik yang
t
t
t
phasenya
, 1 + , 2 + ....... dst keadaan
T
T
T
nya sama.
37
•
•
Perbedaan phase.
Titik-titik
yang
phasenya
sama
mempunyai perbedaan phase : 0, 1, 2, 3 ,
4 , ..... dst.
Titik-titik yang keadaannya berlawanan
mempunyai
perbedaan
phase
:
1 1
1
1
, 1 , 2 , 3 ............dst
2 2
2
2
Contoh getaran harmonis :
1. Pegas
(1)
Catatan :
Hendaklah dibedakan Eppegas ≠ Epsistem pegas
• Jika yang dimaksud adalah Eppegas, maka
perhitungan ∆x dihitung saat pegas belum
diberi beban (pada titik A).
Jadi ∆x' = ∆x + y
• Jika jika yang dimaksud Epsistem pegas,
maka perhitungan ∆x dihitung saat pegas
telah diberi beban (Titik B)
Jadi ∆x' = y
2. Bandul
(2)
θ
(3)
L
C
A
A
B
F = mg sin θ
B
∆x
C
• Kondisi (1) :
Pegas dalam keadaan tergantung bebas.
Konstanta pegas k belum dapat ditentukan
dari keadaan (1) ini
• Kondisi (2)
Pada kondisi (2) dicapai keseimbangan
antara gaya pemulih (restoring Force) yang
berarah ke atas pada pegas dengan berat
benda ke bawah, sehingga konstanta pegas k
dapat ditentukan
Fpegas = W→ k ∆x = mg
Pada gambar diatas menunjukkan sebuah
ayunan yang bergerak harmonik dengan simpangan
sudut θ, L panjang tali dan y adalah simpangan
yang besarnya L sin θ. Pada saat ayunan bergerak
maka pada ayunan bekerja gaya pemulih yang
besarnya F = mg sin θ.
Waktu yang diperlukan bandul untuk
melakukan satu kali getaran (periode) dari A-B-CB-A dapat dinyatakan dalam persamaan berikut :
T = 2π
dan
f=
k=
mg
∆x
• Kondisi (3)
Pada saat beban diberi simpangan y dari titik
setimbang kemudian dilepaskan, maka pegas
akan menjalani gerak harmonis
Simpangan yang terbesar disebut amplitudo
getaran (A).
Waktu yang diperlukan pegas untuk
melakukan satu kali getaran (periode) dari A-BC-B-A dapat dinyatakan dalam persamaan
berikut :
m
T = 2π
k
dan
1
f=
2π
k
m
L
g
1
2π
g
L
Persamaan Gerak Harmonik :
• Simpangan :
y = A sin ω t
• Kecepatan :
dy
V=
= A ω cos ω t
dt
atau
V = ω A2 − y 2
• Percepatan :
dv
a=
= - A ω2 sin ω t
dt
atau
a = - ω2 y
38
• Energi Kinetik :
Ek = ½ m V2
Ek = ½ m ω2 A 2 − y 2
atau
Ek = ½ k A 2 − y 2
(
Bukti : v = Aω
)
(
)
•
1 mv 2
2
1 mω 2 A 2
2
→ terbukti
Percepatan
a = −ω 2 A
EP
EP + EK
a = - ω2y = -ω2A
EP
EP + EK
dengan k = m ω2
• Energi Potensial :
Bukti :
Ep = ½ k y2
• Energi Mekanik :
Em = Ek + Ep
= ½ k A 2 − y 2 + ½ k y2
Em = ½ k A2 (tetap)
(
)
Catatan :
1. Terdapat 2 keadaan "spesifik" pada gerak
harmonik yaitu :
1. Saat Simpangan Maksimum (ymaks = A),
maka :
• Kecepatan : Vmin = 0
• Percepatan : amaks = - ω2 A
• Energi Kinetik : Ekmin = 0
• Energi Potensial : Epmaks = Em = ½ k A2
2. Saat Simpangan Minimum (ymin = 0),
maka :
• Kecepatan : Vmaks = A ω
• Percepatan : amin = 0
• Energi Potensial : Epmin = 0
• Energi Kinetik : Ekmaks = Em = ½ k A2
2. Rumus Praktis Hubungan energi dengan
simpangan, kecepatan dan percepatan
•
Simpangan
y=A
EP
EP + EK
Bukti : y = A
•
1 ky 2
2
1 kA 2
2
Kecepatan
v = Aω
EK
EP + EK
→ terbukti
→ terbukti
3. Kecepatan sudut
ω = 2πf =
2π
T
Dengan f = frekuensi (Hz)
T = periode (detik)
=====O0O=====
Contoh Soal dan Pembahasan :
1. Untuk benda yang menjalani getaran
harmonik, maka pada....
A. simpangan maksimum, kecepatan dan
percepatannya maksimum
B. simpangan maksimum, kecepatan dan
percepatannya minimum
C. simpangan maksimum, kecepatannya
maksimum,
dan
percepatannya
minimum
D. simpangan maksimum, kecepatannya
nol, dan percepatannya maksimum
E. simpangan
maksimum
energinya
maksimum
Jawaban : D
Jawaban cukup jelas lihat catatan no.1
2. Pada benda yang mengalami getaran
harmonik, maka jumlah energi kinetik dan
energi potensialnya adalah . ...
A. maksimum pada simpangan maksimum
B. maksimum pada simpangan nol
C. tetap besarnya pada simpangan berapa
pun
D. berbanding lurus dengan simpangannya
E. berbanding terbalik dengan simpangan
nya
Jawaban : C
Jawaban cukup jelas, lihat persamaan gerak
harmonik
39
3. Sebuah benda diikat pada ujung suatu pegas
dan digetarkan harmonis dengan amplitudo
A. Konstanta pegas = C. Pada saat
simpangan benda 0,5 A, energi kinetik
benda sebesar ....
A. 1/8 CA2
D. 3/8 CA2
B. 3/4 CA2
E. 1/2 CA2
2
C. 1/4 CA
Jawaban : D
y = 1/2 A, gunakan rumus Ek = 1/2 mv2
dengan v = ω
L
, tampak bahwa untuk
g
memperbesar T dilakukan dengan menam
bah panjang tali
Dari T = 2π
7. Pada gambar di bawah ini k1 ≠ k2, apabila
massa beban adalah m bergetar secara
periodik dalam arah vertikal, maka periode
getarannya adalah …
k1
A 2 − y 2 . Jadi
Ek = 1/2 k (A 2 − y 2 ) = 3/8 CA2
k2
4. Sebuah benda melakukan gerak harmonis
dengan
amplitudo
A.
Pada
saat
kecepatannya sama dengan setengah
kecepatan
maksimum,
simpangannya
adalah......
A. nol
D. 0,87A
B. 0,5 A
E. 1 A
C.0,64 A
A. 2 π
B. 2 π
C. 2 π
m
k1 + k 2
k1 + k 2
m
m (k1 + k 2 )
k1 . k 2
Jawaban : D
V = 1/2 Vmaks → V = 1/2 Aω
D. 2 π
ω A 2 − y 2 = 1/2 Aω
A2 – y2 = 1/4 A2→ y2 = 3/4 A2
Jadi y = 1/2 3 A = 0,87 A
m (k1 .k 2 )
k1 + k 2
E. 2 π
k1 + k 2
m(k1 .k 2 )
5. Pada getaran harmonik, massa beban yang
digantung pada ujung bawah pegas 1 kg,
periode getarannya 2 detik. Jika massa
beban ditambah sehingga sekarang menjadi
4 kg, maka periode getarnya adalah ....
A. 1/4 detik
D.4detik
B. 1/2 detik
E. 8 detik
C. 1 detik
Jawaban : D
Karena T∼
m , maka :
T'
=
T
m'
m
T'
4
=
→ T ' = 4 det ik
2
1
6. Sebuah benda diikat dengan seutas benang
dan dibiarkan berayun dengan simpangan
kecil. Supaya periode ayunan bertambah
besar, maka . ...
A. benda diberi simpangan mula-mula
yang besar
B. benang penggantung diperpendek
C. benang penggantung diperpanjang
D. massa benda ditambah
E. massa benda berkurang
Jawaban : C
Ingat untuk 2 pegas disusun seri, maka
konstanta pegasnya totalnya adalah :
k .k
m
,
ktot = 1 2 . Jadi dari T = 2π
k1 + k 2
k tot
diperoleh T = 2 π
m (k1 + k 2 )
k1 . k 2
8. Sebuah pegas yang panjangnya 20 cm
digantungkan vertikal. Kemudian ujung
bawahnya diberi beban 200 gr sehingga
panjangnya bertambah 10 cm. Beban ditarik
5 cm ke bawah kemudian dilepas sehingga
beban bergetar harmonik. Jika g = 10 m/s2
maka frekwensi getaran sistem pegas adalah
A. 0,5 Hz
D. 8,8 Hz
B. 2,25 Hz
E. 10,8 Hz
C. 5,0 Hz
Jawaban : B
Pada saat pegas telah diberi beban, maka
mg
(0,2)(10)
didapat k =
→k=
N/m
∆x
5 x 10 − 2
k = 40 N/m. Selanjutnya dari f =
Jawaban : C
1
2π
k
m
40
1
f=
2π
40
Hz = 2,25 Hz
0,2
9. Sebuah pegas bila diberi beban yang
massanya 1 kg meregang 1 cm. Beban
ditarik vertikal ke bawah dan bila
dilepaskan bergetar harmonik. Pada saat
energi potensialnya 20 joule, pegas itu
meregang dari kedudukan setimbang
sebesar ....
A. 0,1 meter
D. 0,3 meter
B. 0,13 meter
E. 0,4 meter
C. 0,2 meter
Jawaban : C
mg
(1)(10)
k=
→k=
N/m = 1000 N/m
∆x
10 − 2
Ep = 1/2 k y2 → 20 = 1/2 (1000) y2
y = 0,2 m
10. Pada saat energi kinetik benda yang
bergetar selaras sama dengan energi
potensialnya, maka …
A. sudut fasenya 1800
B. sudut fasenya 450
C. fasenya 1/4
D. fasenya 3/4
E. percepatannya nol
Jawaban : B
EP
EP
y=A
→ y=A
EP + EK
2E p
A sin ω t = 1/2 2 A. Jadi ω t = 450
=====O0O=====
Soal-soal :
1. Pada gerak harmonik
terdapat perbandingan
simpangan dan ....
A. kecepatannya
B. percepatannya
C. periodenya
sederhana selalu
yang tetap antara
D. frekuensinya
E. massanya
2. Frekuensi nada A =440 Hz. Oktaf nada
tersebut mempunyai frekuensi....
A. 880Hz
D. 110Hz
B. 440 Hz
E. 55 Hz
C. 220 Hz
3. Sebuah benda yang massanya 0,005 kg
bergerak harmonik sederhana dengan
periode 0,04 sekon dan amplitudonya 0,01
m. Percepatan maksimum benda sama
dengan ... .
A. 123 m/s2
B. 247m/s2
C. 494 m/s2
D. 988 m/s2
E. 1976m/s2
4. Ketika simpangan sebuah pegas yang ber
getar harmonis setengah dari amplitudonya,
energi potensial dan energi kinetisnya
berbanding …
A. 1 : 1
D. 1 : 2
B. 1 : 3
E. 1 : 3
C. 1 : 4
5. Simpangan sebuah pegas yang bergetar
harmonis dengan amplitudo 2 cm, pada
waktu energi kinetisnya dua kali energi
potensialnya adalah …
A. 6 cm
D. 2 cm
B.
6 / 2 cm
C.
6 /3 cm
E. 1 cm
6. Sebuah benda melakukan getaran harmonis
dengan periode T. Waktu minimum yang
diperlukan benda agar simpangannya 1/2 A
adalah …
T
T
A.
D.
2
6
T
T
B.
E.
3
12
T
C.
4
7. Sebuah benda melakukan getaran selaras,
maka besaran yang berbanding lurus
dengan simpangannya adalah . . ..
A. energi potensialnya D. percepatannya
B. energi kinetiknya
E. amplitudonya
C. kecepatannya
8. Sebuah ayunan sederhana, panjang tali 100
cm, massa benda 100 gr, percepatan
gravitasi 10 m/s2. Kedudukan tertinggi 20
cm dari titik terendah. Kecepatan
berayunnya pada titik terendah adalah....
A. 40 m/s
D. 2 m/s
B. 20 m/s
E. 0,2 m/s
C. 4 m/s
9. Sebuah partikel melakukan getaran selaras
dengan frekuensi 5 Hz dan amplitudo 10
cm. Kecepatan partikel pada saat berada
pada simpangan 8 cm adalah (dalam
cm/detik)
A. 80 π
D. 30 π
B. 72 π
E. 8 π
C. 60 π
41
10.Sebuah benda bermassa 0,2 kg melakukan
gerak harmonis dengan amplitudo 0,5 m dan
frekuensi 4 Hz. Besar energi kinetik pada
saat simpangannya 1/2 amplitudonya adalah
… (π2 = 10)
A. 120 Joule
D. 40 Joule
B. 40 Joule
E. 1,2 Joule
C. 12 Joule
11. Pada saat energi kinetik suatu benda yang
bergerak harmonik sama dengan energi
potensialnya, maka besar sudut fase dan
fase getarannya adalah …
A. π/6 dan 1/4
D. π/4 dan 1/4
B. π/2 dan 1/8
E. π/4 dan 1/8
C. π/6 dan 1/2
12. Seutas tali bergetar menurut persamaan Y =
10 Sin 628t dengan t adalah waktu.
Frekuensi getaran tali adalah .. ..
A. 10 Hz
D. 200 Hz
B. 50 Hz
E. 400 Hz
C. 100 Hz
13. Periode getaran selaras yang terjadi pada
sebuah bandul sederhana pada waktu siang
adalah Ts dan pada waktu malam yang
dingin Tm. Jika dibandingkan maka....
A. Ts > Tm
B. Ts < Tm
C. Ts = Tm
D. perbandingan itu tergantung jenis kawat
E. perbandingan itu tergantung jenis
bandulnya
C. berbanding lurus dengan kuadrat
amplitudonya
D. berbanding lurus dengan kuadrat
periodenya
E. berbanding lurus dengan amplitudonya
17. Kecepatan sebuah benda bergerak selaras
sederhana adalah ....
A. terbesar pada simpangan terbesar
B. berbanding terbalik dengan periodenya
C. terbesar pada simpangan terkecil
D. tidak tergantung pada frekuensi getaran
E. tidak tergantung simpangannya
18. Sebuah partikel melakukan getaran selaras
sederhana. Jumlah energi kinetik dan energi
potensialnya adalah ……
A. tetap
B. sebanding dengan massa partikel
C. sebanding dengan pangkat dua dari
frekuensi
E. sebanding dengan amplitudo getaran
19. Sebuah titik bergetar selaras dengan waktu
getar 1,20 detik dan amplitudo 3,6 cm. Pada
saat t = 0 detik, titik itu melewati titik
kesetimbangannya ke arah atas, maka
simpangannya pada saat t = 0,1 detik dan t
= 1,8 detik adalah ....
A. 1,8 cm dan 0 cm
B. 0 cm dan 1,8 cm
C. 1 cm dan 0,5 cm
D. 0,5 cm dan 1 cm
E. 1,5 cm dan 1 cm
14. Apabila Ek menyatakan energi kinetik, Ep
menyatakan energi potensial, dan Em
energi mekanik suatu getaran selaras, maka
pada, saat simpangan getaran maksimum ....
A. Ek = Em dan Ep = 0
B. Ek = 1/2 Ep
C.Ek = 0 dan a = 0
D. Ek = 0, Ep = Em
E. Ek = Ep = 1/2 Em
20. Sebuah benda bermassa 0,2 kg melakukan
gerak harmonis dengan amplitudo 0,5 m
dan frekuensi 4 Hz. Besar energi kinetik
pada saat simpangannya 1/2 amplitudonya
adalah … (π2 = 10)
A. 120 Joule
D. 40 Joule
B. 40 Joule
E. 1,2 Joule
C. 12 Joule
15. Sebuah partikel menempel diujung sebuah
garpu tala sehingga turut bergetar harmonik
bersama dengan amplitudo 1 mm.
Kccepatan partikel pada saat melalui titik
setimbang 2 m/s. Frekuensi garpu tala
adalah . . .
A.500/π
D. 1250/π Hz
B. l000/π Hz
E. 900/π Hz
C. 800/π Hz
=====O0O=====
16. Energi getaran selaras ....
A. berbanding terbalik dengan kuadrat
amplitudonya
B. berbanding terbalik dengan periodenya
42
F. MOMENTUM DAN TUMBUKAN
c) Tumbukan tidak lenting, e = 0
Hukum kekekalan energi kinetik tidak
berlaku
Teori Singkat :
1. Perkalian antara massa (m) dan kecepatan
(V) disebut momentum (P)
P=mV
2. Hasil kali antara gaya (F) dan selang
waktu (∆t) menghasilkan perubahan
momentum (∆P) disebut pula Impuls (I)
I = ∆P = ∫ F dt
3. Setiap tumbukan berlaku
kekekalan momentum
Catatan :
1. Momentum merupakan besaran
vektor sehingga mempunyai besar
dan arah
2. Tanda negatif pada kecepatan berarti
arah kecepatan itu berlawanan
dengan arah semula
5. Untuk benda yang dijatuhkan dari
ketinggian h1 diatas lantai dan memantul
setinggi h2, maka berlaku :
hukum
V1
V2 ’ = 0
h1
P1 + P2 = P + P
'
1
'
2
V1 ’ h 2
m1V1 + m 2 V2 = m1V + m 2 V
'
1
'
2
V2 = 0
V2 adalah kecepatan lantai
Secara ringkas dapat pula ditulis :
V1 = 2 g h1 dan V1' =
Perhatikan tanda V1’ negatif karena
berlawanan arah dengan V1. Dari
persamaan :
V1 ’ = C + e ( C – V1 )
V2 ’ = C + e ( C – V2 )
e= −
C=
•)
•)
•)
m1V1 + m 2 V2
m1 + m 2
e= -
- 2 g h2
V1' - V2'
V1 - V2
Keterangan :
P = Momentum (kg m/dt)
I = Impuls (N dt)
V1 dan V2 = Kecepatan sebelum
tumbukan (m/dt)
•) V1’ dan V2’ = Kecepatan sesudah
tumbukan (m/dt)
•) e = koefisien restitusi / tumbukan
0≤e≤1
4. Ada 3 jenis tumbukan :
V1' - V2'
→e =
V1 - V2
e=
V1'
sehingga
V1
h2
h1
=====O0O=====
APLIKASI MOMENTUM DAN
TUMBUKAN
Terdapat beberapa variasi soal untuk
menentukan kecepatan peluru
dari
tumbukan antara peluru dengan balok yang
diam . Variasi ini diperoleh berdasar soalsoal yang pernah muncul di soal test untuk
masuk ke perguruan tinggi .
1. Balok diam di lantai yang kasar :
a) Tumbukan lenting sempurna, e = 1
VB = 0
mB
Berlaku hukum kekekalan energi kinetik
Ek1 + Ek2 = Ek1’ + Ek2’
b) Tumbukan lenting sebagian, 0 < e < 1
Hukum kekekalan energi kinetik tidak
berlaku
mp + mB
V’ = 0
mp + mB
mp
Vp
peluru
balok
(1)
V’
S
bergeser sejauh S
(2)
(3)
43
•) Pada keadaan 1 :
Peluru dengan kecepatan Vp, bermassa mp
datang dan siap menumbuk balok yang
diam
•) Pada keadaan 2 :
Pada saat terjadi tumbukan, berlaku hukum
kekekalan momentum :
mp Vp + mBVB = (m p + mB )V' , karena balok
diam berarti VB = 0, jadi :
mp + mB
Vp = (
) V' ................................(1)
mp
Persamaan (1) ini dapat diterapkan pada
kasus lain (variasi balok diam tertumbuk
peluru) dengan mengganti nilai V’
sebagaimana
yang
akan
dijelaskan
kemudian
•) Pada keadaan 2 dan 3 :
Energi kinetik balok setelah terkena peluru,
digunakan seluruhnya untuk memindahkan
balok tersebut sejauh S
Ek = Wges → Ek = Fges S
½ (mp + mB) V’2 = µ (mp + mB) g S
Jadi V' = 2 µ g s .................................(2)
Masukkan persamaan (2) ke (1)
3. Balok diam dan tergantung pada tali agar
dapat berputar 1 lingkaran penuh :
l=h
mp
Vp
peluru
balok
VB = 0
Kecepatan minimum agar benda dapat
melingkar penuh V' = 5 g h .........(4)
(Lihat bab gerak melingkar)
Masukkan persamaan (4) ke (1)
Vp = (
mp + mB
mp
) 5g h
4. Balok berpegas :
X
 m p + mB
Vp = 
 m
p

peluru

 2µ gS


balok
VB = 0
Energi kinetik balok setelah terkena
peluru, dirubah seluruhnya menjadi
energi potensial pegas untuk menekan
pegas sejauh x. Ek = Eppegas
½ (mp + mB) V’2 = ½ k X2
k
V' = X
…….…..(5)
(m p + m B )
2. Balok diam dan tergantung pada tali :
α
mp
Vp
Vp mp
mB
peluru
(2)
h
balok
VB = 0
Masukkan persamaan (5) ke (1)
Vp = (
mp + mB
mp
)X
k
(m p + m B )
(1)
Energi kinetik balok setelah terkena
peluru, dirubah seluruhnya menjadi
energi potensial untuk menaikkan balok
setinggi h. Ek = Ep
½ (mp + mB) V’2 = (mp + mB) g h
V' = 2 g h ....................(3)
Masukkan persamaan (3) ke (1)
Vp = (
mp + mB
mp
Vp = (
X
) k (m p + m B )
mp
=====O0O=====
) 2gh
44
Contoh Soal dan Pembahasan :
1. Dua benda mempunyai momentum sama,
tetapi massanya berbeda, maka benda yang
massanya lebih besar mempunyai energi
kinetik lebih besar
sebab
energi kinetik suatu benda adalah
berbanding lurus dengan massa dan kuadrat
momentum
Jawaban : E
1
P2
m V2 =
dari perumusan ini
2
2m
tampak jika massa benda (m) besar, maka
energi kinetik (Ek) kecil, sehingga
pernyataan salah, demikian juga alasan salah
karena Ek berbanding lurus dengan kuadrat
momentum dan berbanding terbalik dengan
massa benda
Ek =
2. Sebuah bola A yang mempunyai
momentum P bertumbukan dengan bola lain
B, sehingga setelah tumbukan mo mentum
bola A tersebut menjadi 3P. Maka
perubahan momentum bola B adalah :
A. 2 P
D. 4 P
B. – 2 P
E. P
C. – 3 P
Jawaban : B
(Lihat teori singkat no. 2)
Perubahan momentum :
∆ P = P’ – P
m p Vp + m B VB = m p Vp' + m B VB'
(0,01) (1000) + (100)(0) = (0,01)(100) +
100 VB’→ VB’= 0,09 m/s
4. Sebuah benda bermassa 4 kg dijatuhkan
tanpa kecepatan awal dari ketinggian 62,5
meter. Jika g = 9,8 m/s2, ketika menumbuk
permukaan tanah, momentum benda sama
dengan :
A. 7,9 kg m/s
D. 140 kg m/s
B. 35 kg m/s
E. 1225 kg m/s
C. 70 kg m/s
Jawaban : D
Soal ini merupakan gabungan antara soal
GJB dengan soal momentum
V = 2 g h → V = 2 (9,8) (62,5) m/s
V = 35 m/s. Jadi P = m V
P = (4) (35) = 140 Kg m/s
5. Sebuah truk yang massanya 2000 kg dan
melaju dengan kecepatan 36 km/jam
menabrak sebuah pohon dan berhenti dalam
waktu 0,1 detik. Gaya rata-rata pada truk
selama berlangsungnya tabrakan adalah
(dalam Newton)
A. 200
D. 200.000
B. 2000
E. 2.000.000
C. 20.000
Jawaban : D
V = 36 km/jam = 10 m/s
V’ = 0 (setelah tumbukan benda berhenti)
PA + PB = PA’ + PB’
P + PB = 3 P + PB’ → PB’ - PB = P - 3 P
F ∆ t = ∆ P→ F (0,1) = m (V’- V)
= 2000 (0- 10) N
∆ PB = – 2 P
3. Peluru dengan massa 10 gram dan
kecepatan 1000 m/s mengenai dan
menembus sebuah balok dengan massa 100
kg yang diam di atas bidang datar tanpa
gesekan.
Kecepatan
peluru
setelah
menembus balok 100 m/s. Kecepatan balok
karena tertembus peluru adalah :
A. 900 m/s
D. 0,09 m/s
B. 0,9 m/s
E. 9 m/s
C. 90 m/s
Jawaban : D
(Lihat teori singkat no. 3)
Hukum kekekalan momentum
F = - 200.000 N
Tanda negatif menunjukkan arah gaya
berlawanan dengan gerakan
6. Jika dua benda bertumbukan, maka selalu
berlaku hukum :
A. kekekalan momentum dan energi
mekanik
B. kekekalan energi mekanik
C. kekekalan momentum
D. kekekalan momentum dan energi kinetik
E. kekekalan momentum dan energi
potensial
Jawaban : C
(Lihat teori singkat no. 3)
45
46