Bilangan Reproduksi Dasar

Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan reproduksi dasar adalah bilangan yang menyatakan
banyaknya rata-rata individu infektif sekunder akibat tertular
individu infektif primer yang berlangsung di dalam populasi
susceptible.
Bilangan reproduksi dasar dapat diperoleh dengan menentukan
nilai eigen (nilai karakteristik) dari matriks Jacobian yang dihitung
pada titik kesetimbangan bebas penyakit.
Jika model memiliki dua titik kesetimbangan yaitu titik
kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik,
maka tidak terjadi endemik jika
dan terjadi endemik jika
Titik Kesetimbangan
Pandang persamaan diferensial
Sebuah titik
merupakan titik kesetimbangan dari persamaan
di atas jika memenuhi :
dan
Karena turunan suatu konstanta sama dengan nol, maka sepasang
fungsi konstan
dan
adalah penyelesaian kesetimbangan dari persamaan di atas.
Stabil Asimtotik Lokal
Kestabilan asimtotik lokal merupakan kestabilan dari sistem linier atau
kestabilan dari linierisasi sistem tak linier .
Kestabilan lokal pada titik kesetimbangan ditentukan oleh tanda bagian real
dari akar-akar karakteristik sistem dari matriks Jacobian yang dihitung di
sekitar titik kesetimbangan.
Definisi :
Jika J adalah matriks yang berukuran n x n maka vektor tak nol dinamakan
vektor karakteristik dari J jika memenuhi :
disebut nilai karakteristik dari J dan x dikatakan vektor karakteristik yang
bersesuaian dengan .
Untuk mencari nilai kakakteristik matriks J yang berukuran n x n, maka dapat
dituliskan kembali persamaan di atas sebagai
atau ekuivalen
dengan
, mempunyai penyelesaian tak nol jika dan hanya jika