Limit - materi78

MAT 4
materi78.co.nr
Limit
A.
PENDAHULUAN
Limit adalah batas nilai suatu fungsi f(x) untuk
nilai x mendekati a dari kanan (a+) dan kiri (a-),
dapat dinotasikan:
lim f(x)
x→a
B.
=
∞
0 ∞
,
lim
x→a g(x)
=
=
(0-2√0+1)
(0-1)
= lim
x(x-2√x+1)
x→0
x(x-1)
= -1
Contoh pengerjaan dalil L’Hospital:
lim
2x3 -5x2 -2x-3
x→3 4x
3
-13x2 +4x-3
= lim
x→3 12x
=
0
0
6x2 -10x-2
2
-26x+4
2
6(3) -10(3)-2
2
12(3) -26(3)+4
=
11
17
Contoh 2:
1) Pemfaktoran.
lim
2) Perkalian dengan bentuk sekawan.
3) Dalil L’Hospital dengan turunan, yaitu:
lim
x2 -x
Contoh 1:
Limit fungsi aljabar x → a dengan bentuk tak
tentu,
dapat
diselesaikan
dengan
cara
menghilangkan pembuat nol, dengan:
f(x)
x2 -2x√x+x
x→0
, dan ∞ – ∞.
5
x-√x
(x-√x)(x-√x)
= lim
x+
x
x2 -x
√
x→0
x→0
= lim
Limit fungsi aljabar tak dapat berupa bentuk tak
16
lim
Limit fungsi aljabar dapat dicari dengan
memasukkan nilai x ke dalam fungsi.
0
(2+3)
=
Contoh 2:
LIMIT FUNGSI ALJABAR
tentu, yaitu
(2+2)(2+√6-2)
f(x)
= lim
x→a g(x)
3-x
x→3
4-
x→a g'(x)
dapat
langsung
Contoh 1:
-1
x→3
4-
2x+3
2√x2 +3x+18
= lim
2(3)+3
13
=-1
4
Grafik limit fungsi aljabar dapat menggambarkan nilai f(x) kontinu dan diskontinu pada limit.
=
f'(x)
Contoh pengerjaan yang
dimasukkan nilai x nya:
4x-6-√x2 +3x+18
2√(3)2 +3(3)+18
Nilai f(x) kontinu adalah nilai dimana grafik
limit di sekitar titik x = a berkelanjutan.
lim x2 -5x+4 = (3)2 – 5(3) + 4 = -2
x→3
Contoh 2:
lim
x-1
x→2 x-2
=
1
0
f(x) = lim
=∞
a
Contoh pengerjaan dengan pemfaktoran:
Contoh 1:
lim
x→1
x2 -1
x-1
= lim
(x+1)(x-1)
x→1
(x-1)
Syarat f(x) kontinu di x = a:
=1+1=2
2) Nilai f(x) sama dengan nilai limit f(x) x → a.
Contoh 2:
x2 -4
(x-2)(x+2) (2+2) 4
lim 2
= lim
=
=
(2+3) 5
x→2 x +x-6
x→2 (x-2)(x+3)
Contoh pengerjaan dengan perkalian sekawan:
Contoh 1:
lim
x2 -4
x→2 x-√6-x
2
= lim
x→2
= lim
x→2
= lim
x→2
1) Nilai f(a) dan limit f(x) x → a terdefinisi.
(x -4)(x+√6-x)
x2 -(6-x)
(x-2)(x+2)(x+√6-x)
x2 +x-6
(x-2)(x+2)(x+√6-x)
(x-2)(x+3)
f(a) = lim f(x)
x→a
Contoh:
x2 +x-2
, x ≠ -2
f(x)= {√x+6-2
3a+6, x = -2
Jika f(x) kontinu di x = -2, maka nilai a adalah?
Jawab:
Nilai f(-2) dicari menggunakan persamaan 2,
sedangkan nilai limit f(x) x → -2 dicari
menggunakan persamaan 1.
LIMIT
1
MAT 4
materi78.co.nr
lim
x2 +x-2
x→-2 √x+6-2
= lim
3) Jika n < m,
(x+2)(x-1)(√x+6-2)
x+6-4
x→-2
lim
= (-2-1)(√-2+6-2) = -12
f(-2) = lim f(x)
x→-2
3a + 6 = -12
f(x)
=0
x→∞ g(x)
Contoh pengerjaan:
a = -6
Contoh 1:
Nilai f(x) diskontinu adalah nilai dimana grafik
di sekitar titik x = a tidak terdefinisi dan tidak
mempunyai nilai limit.
2x2 -x+1
lim
x→∞ (1-3x)(x+2)
=
2x2 …
=-
2
-3x …
2
3
Contoh 2:
f(x)
lim
lim
2x2 +x-3
x+1
x→∞
=
2x2 …
x…
Limit fungsi aljabar x → ∞ dengan bentuk tak
tentu:
a
n-1
lim √axn +bx
f(x)
x→∞
f(x)
lim
+…–√pxn +qxn-1 +… = ∞ – ∞
dapat diselesaikan dengan:
lim
a
1) Jika a = p,
a
lim f(x) - g(x) =
x→∞
Contoh:
Pada interval berapa f(x) =
x2 -9
√x2 -4x-5
b-q
n
n √an-1
2) Jika a > p,
diskontinu?
lim f(x) - g(x) = +∞
x→∞
Jawab:
Agar f(x) tidak terdefinisi (bentuk
a
0
3) Jika a < p,
dan √<0 ),
maka dapat dibuat:
lim f(x) - g(x) = -∞
x→∞
x2 – 4x - 5 ≤ 0
+
(x – 5)(x + 1)
–
-1
x = 5 x = -1
+
Contoh:
5
lim √4x2 +x+1-2x+3 = lim √4x2 +x+1-√(2x-3)2
x→∞
f(x) tak terdefinisi pada interval -1 ≤ x ≤ 5.
x→∞
= lim √4x2 +x+1-√2x2 -12x+9
Limit fungsi aljabar x → ∞ dengan bentuk tak
tentu, dapat diselesaikan dengan:
lim
=∞
n-1
axn +bx +…
m
m-1 +…
x→∞ px +qx
=
x→∞
=-
∞
∞
1.
a ± ∞ = ±∞
2.
a.∞ = ∞
3.
∞.∞ = ∞
4.
k∞ = ∞
m = pangkat x tertinggi (derajat) penyebut
1) Jika n = m,
f(x)
x→∞ g(x)
5.
=
a
Untuk mempercepat hitungan, hanya hitung
x yang mungkin memiliki pangkat tertinggi.
lim
f(x)
x→∞ g(x)
6.
p
2) Jika n > m,
12
Sifat-sifat operasi bilangan tak hingga (∞):
n = pangkat x tertinggi (derajat) pembilang
lim
1
C.
a
∞
a
0
=0
= ∞, a ≠ 0
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
Limit fungsi trigonometri dapat dicari dengan
memasukkan nilai x ke dalam fungsi.
Limit fungsi trigonometri tak dapat berupa
= ±∞
0
bentuk tak tentu, yaitu .
0
LIMIT
2
MAT 4
materi78.co.nr
Limit fungsi trigonometri dengan bentuk tak
tentu,
dapat
diselesaikan
dengan
cara
menghilangkan pembuat nol, dengan:
lim
f(x)
x→a g(x)
=
3) Jika seluruh fungsi pada limit adalah fungsi
sinus dan tangen, keduanya dapat dicoret
(dianggap 1), lalu limit dikerjakan seperti
biasa.
0
Contoh pengerjaan limit trigonometri:
0
Contoh 1:
cos x - sin x
cos x- sin x
limπ
= limπ
2
2
cos2x
x→
x→ cos x-sin x
1) Fungsi trigonometri istimewa (x → a)
lim
x→a
lim
x→a
sin h
h
h
x→a sin h
tan h
h
= lim
= lim
= limπ
h
=1
( cos x- sin x)( cos x+ sin x)
1
1
x→ ( cos x+ sin x)
= √2
2
4
Contoh 2:
3.sin4x
3.sin4x 3.4x 2
lim
= lim
=
=
5.6x 5
x→0 5.tan6x
x→0 5.tan6x
Contoh 3:
Identitas
sin2α + cos2α = 1
lim
x→0
1 + cot2α = cosec2α
4
cos x- sin x
= limπ
2) Mengubah fungsi trigonometri lain menjadi
fungsi trigonometri istimewa dengan menggunakan identitas dan rumus trigonometri.
2
1-cos4x
= lim
x.tan3x
tan2α + 1 = sec2α
2
1-(1-2sin 2x)
= lim
x.tan3x
x→0
=
Rumus sudut rangkap
2(2x)
2
x.tan3x
8
=
x.3x
x→0
2sin 2x)
3
Contoh 4:
(2a+x)sin(a-x)
(2a+x)sin(a-x)
lim
= lim
2
2
x -a
x→a
x→a -(-x+a)(x+a)
(2a+a)
3
=
=−
2
-(a+a)
sin2A = 2.sinA.cosA
cos2A = cos2A – sin2A
Contoh 5:
cos2A = 2cos2A – 1 = 1 – 2sin2A
-x2 (-x2 +9)
=
lim
= -(3)2 = -9
2
2
x→3 sin(9-x )
x→3 sin(9-x )
Contoh 6:
lim
tan2A =
4
x→
h
x→a tan
4
=1
2tanA
1−tan2 A
limπ
Rumus jumlah dan selisih sudut
x→
sin(A + B) = sinA.cosB + cosA.sinB
D.
2
x4 -9x2
1+cos2x
cosx
= limπ
x→
1+2cos2 x-1
2
SIFAT-SIFAT LIMIT
lim f(x)±g(x) = lim f(x) ± lim g(x)
x→a
cos(A – B) = cosA.cosB + sinA.sinB
Rumus jumlah dan selisih fungsi
1
2
1
1
2
2
2
1) Penjumlahan dan pengurangan
cos(A + B) = cosA.cosB – sinA.sinB
2
x→
Sifat-sifat operasi hitung limit:
sin(A – B) = sinA.cosB – cosA.sinB
1
= limπ 2cosx = 0
cosx
sinA + sinB = 2. sin (A + B). cos (A – B)
sinA – sinB = 2. cos (A + B). sin (A – B)
x→a
2) Perkalian dan pembagian
lim f(x).g(x) = lim f(x) .lim g(x)
x→a
lim
x→a
f(x)
x→a g(x)
1
1
2
2
1
1
2
2
cosA + cosB = 2. cos (A + B). cos (A – B)
cosA – cosB = –2. sin (A + B). sin (A – B)
x→a
=
x→a
lim f(x)
x→a
lim g(x)
x→a
3) Perpangkatan
2
lim [f(x)] = [ lim f(x)]
x→a
LIMIT
2
x→a
3