bab i pendahuluan

BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah
Matematika sering disebut sebagai induk dari ilmu pengetahuan, hal ini dikarenakan matematika sering diterapkan dalam bidang ilmu lainnya. Disiplin ilmu
yang berkaitan dengan matematika antara lain, fisika, ekonomi, kesehatan dan lainlain. Pemodelan matematika menjadi salah satu alat bantu untuk menyelesaikan
permasalahan dalam bidang ilmu tersebut. Dengan pemodelan matematika permasalahan yang awalnya tertulis secara teoritis akan dapat disederhanakan dan lebih
mudah diselesaikan. Salah satu bidang ilmu yang berkaitan erat dengan matematika
adalah ilmu fisika. Banyak permasalahan fisika yang dapat dimodelkan ke persamaan matematika. Contohnya pada permasalahan perambatan gelombang. Perambatan gelombang dapat dimodelkan dalam persamaan Helmholtz. Bentuk umum
persamaan Helmholtz dimensi dua adalah
∂ 2φ ∂ 2φ
+
+ α(x, y)φ = g(x, y).
∂x2 ∂y 2
Persamaan diferensial parsial biasanya disertai dengan syarat batas. Akibatnya, solusi numerik dan analitik dari persamaan diferensial parsial dapat dicari.
Karena tidak semua solusi analitik dapat dicari dengan mudah maka banyak peneliti
yang mengembangkan metode numerik untuk mencari pendekatan dari solusi analitiknya. Sama halnya dengan persamaan diferensial parsial, persamaan Helmholtz
biasanya juga disertai dengan masalah syarat batas. Oleh karena itu pendekatan
solusi analitik dari persamaan Helmholtz dapat dicari dengan metode numerik.
Metode numerik yang dikembangkan oleh para ilmuwan antara lain : metode elemen hingga (Finite Element Method/FEM), metode beda hingga (Finite
Different method/FDM), metode elemen batas (Boundary Element Method/BEM),
1
2
dan Dual Reciprocity Boundary Element Method (DRBEM). FEM dan FDM diklasifikasikan ke dalam metode domain dan BEM diklasifikasikan dalam metode
batas sedangkan DRBEM merupakan perluasan dari metode elemen batas (BEM).
BEM dan DRBEM mendiskritisasikan batas region menjadi beberapa elemen. Dalam DRBEM titik kolokasi pada region diikutsertakan dalam perhitungan. Persamaan Helmhotz dapat diselesaikan dengan DRBEM. Hal ini dikarenakan persamaan
Helmholtz memuat fungsi g(x, y) yang berada pada region.
Perhitungan solusi numerik menggunakan DRBEM tidak mudah dicari secara manual. Untuk mendapatkan pendekatan solusi numerik dengan error yang
sangat kecil dibutuhkan banyak waktu dan ketelitian. Dalam perkembangannya banyak program komputer yang diciptakan oleh para ilmuwan untuk membantu perhitungan dengan metode ini. Salah satunya adalah bahasa pemrograman FORTRAN
77 yang digunakan dalam buku karangan (Ang, 2007). Bahasa pemrograman lain
yang lazim digunakan oleh para ilmuwan matematika adalah MATLAB. Beberapa
uraian yang sudah dipaparkan oleh penulis inilah yang melatarbelakangi penulisan skripsi mengenai Dual Reciprocity Boundary Element Method (DRBEM) untuk
menyelesaikan permasalahan perambatan gelombang dengan bantuan bahasa pemrograman MATLAB.
1.2. Perumusan Masalah
Permasalahan yang dirumuskan pada skripsi ini adalah sebagai berikut :
1. Menentukan solusi umum persamaan Helmholtz yang dilengkapi syarat batas
dengan DRBEM.
2. Mengimplementasikan langkah - langkah penyelesaikan persamaan Helmholtz dengan DRBEM ke dalam program MATLAB.
3. Memodelkan permasalahan perambatan gelombang ke dalam bentuk persamaan Helmhotz.
4. Menentukan distribusi kecepatan perambatan gelombang dan perbandingan
dengan solusi eksaknya.
3
1.3. Maksud dan Tujuan
Skripsi ini disusun dengan tujuan untuk memenuhi syarat kelulusan program Strata-1 (S1) program studi matematika Universitas Gadjah Mada. Selain itu,
penulis bermaksud untuk memberikan tambahan pengetahuan pembaca mengenai
DRBEM. Penulis juga memberikan contoh yang merupakan aplikasi dari metode
DRBEM. Penulisan skripsi ini diharapkan dapat menjadi referensi dalam pengembangan ilmu matematika terutama metode numerik untuk permasalahan perambatan gelombang.
1.4. Tinjauan Pustaka
Dual Reciprocity Boundary Element Method (DRBEM) yang menjadi pembahasan utama dalam skripsi ini mengacu pada buku karya (Ang, 2007). Karena
DRBEM merupakan perluasan dari BEM maka dipelajari pula teori dan definisi
mengenai BEM. Diantaranya teorema Green dan fungsi Dirac Delta yang diambil
dari buku karangan (Katsikadelis, 2002). Untuk teori mengenai perambatan gelombang dan contoh kasusnya, penulis merujuk pada buku karangan (Wu, 2000) dan
(Aziz, 2011).
Dalam menentukan penyelesaian persamaan Helmholtz dengan DRBEM dibutuhkan beberapa dasar teori. Penjelasan mengenai turunan parsial dan deret Taylor, penulis mengacu pada buku (Taylor, 1983). Beberapa konsep tentang vektor
bersumber dari buku karangan (Anton dan Rorres, 2005). Selain itu penjelasan
mengenai fungsi basis radial diambil dari buku karya (Chen dkk, 2014).
1.5. Metodologi Penelitian
Dalam penyusunan skripsi ini metode yang digunakan penulis adalah studi
literatur. Penulis mempelajari referensi mengenai BEM, selanjutnya penulis mempelajari mengenai langkah-langkah menentukan solusi persamaan Helmholtz dengan DRBEM yang tercantum dalam buku karangan (Ang, 2007). Selain itu, penulis juga mempelajari pemodelan permasalahan perambatan gelombang ke dalam
bentuk persamaan Helmholtz. Selanjutnya, penulis mengimplementasikan DRBEM
4
ke dalam bahasa pemrograman MATLAB. Penulis juga melakukan konsultasi dengan dosen pembimbing skripsi untuk pengarahan dalam menyusun skripsi.
1.6. Sistematika Penulisan
Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut.
BAB I
PENDAHULUAN
Bab ini berisi tentang latar belakang masalah, perumusan masalah, maksud dan
tujuan, tinjauan pustaka, metodologi penelitian dan sistematika penulisan yang digunakan dalam penyusunan skripsi.
BAB II
DASAR TEORI
Bab ini memaparkan beberapa teori dan definisi yang menjadi dasar dalam pembahasan DRBEM pada bab selanjutnya.
BAB III DUAL RECIPROCITY BOUNDARY ELEMENT METHOD
Bab ini menjelaskan tentang penggunaan DRBEM untuk menyelesaikan persamaan
Helmholtz.
BAB IV MASALAH PERAMBATAN GELOMBANG DAN PENYELESAIANNYA DENGAN DUAL RECIPROCITY BOUNDARY ELEMENT METHOD
Bab ini membahas mengenai pemodelan permasalahan perambatan gelombang ke
dalam persamaan Helmholtz serta langkah implementasi dalam program MATLAB. Selanjutnya, diberikan contoh mengenai perambatan gelombang yang dilengkapi dengan syarat batasnya.
BAB V
PENUTUP
Pada bab ini dipaparkan kesimpulan dari pembahasan tentang DRBEM dan aplikasinya dalam perambatan gelombang. Penulis juga menyertakan saran untuk penelitian selanjutnya.