Vektor

18. VEKTOR
A. Vektor Secara Geometri
1. Ruas garis berarah
AB = b – a
2. Sudut antara dua vektor
adalah 
3. Bila AP : PB = m : n, maka:
B. Vektor Secara Aljabar
 a1 
 
1. Komponen dan panjang vektor: a =  a 2  = a1i + a2j + a3k;
a 
 3
|a| =
a12  a 22  a 32
2. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan bilangan real:
 a 1   b1   a 1  b1 
    

a  b = a 2   b2  = a 2  b2  ;
a  b  a  b 
3
 3  3  3
 a 1   ka 1 
  

ka = k  a 2  =  ka 2 
 a   ka 
 3  3
C. Dot Product
 a1 
 b1 
 
 
Apabila diketahui a =  a 2  dan b =  b 2  , maka:
a 
b 
 3
 3
1. a · b = |a| |b| cos 
= a1b1 + a2b2 + a3b3
2. a · a = |a|2 = a1a1 + a2a2 + a3a3
3. |a + b|2 = |a|2 + |b|2 + 2|a||b| cos 
4. |a – b|2 = |a|2 + |b|2 – 2|a||b| cos 
5. Dua vektor saling tegak lurus jika a · b = 0
D. Proyeksi Vektor
1. Proyeksi skalar ortogonal
Panjang vektor proyeksi b pada a
|p| =
ab
|a|
2. Vektor proyeksi ortogonal :
vektor proyeksi b pada a
p=
ab
| a |2
a
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
SOAL
1. UN 2011 PAKET 12
Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, –1, –1), dan C(4, 2, –
4). Besar sudut ABC = …
a. 
b. 2
PENYELESAIAN
c. 3
d. 6
e. 0
Jawab : b
2. UN 2011 PAKET 46
Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1,
2), dan C(6, 5, 2). Jika u mewakili AB dan v
mewakili AC , maka sudut yang dibentuk oleh
vector u dan v adalah …
a. 30
b. 45
c. 60
d. 90
e. 120
Jawab : b
3. UN 2010 PAKET A
Diberikan vektor–vektor a = 4i – 2j + 2k dan b = i
+ j + 2k. Besar sudut yang dibentuk vektor a dan b
sama dengan …
a. 30º
b. 45º
c. 60º
d. 90º
e. 120º
Jawab : c
4. UN 2009 PAKET A/B
Diketahui balok ABCD EFGH dengan
AB = 2 cm, BC = 3 cm, dan AE = 4 cm. Jika AC
wakil vektor u dan wakil DH adalah vektor v,
maka sudut antara vektor u dan v adalah …
a. 0
b. 30
c. 45
d. 60
e. 90
Jawab : e
204
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
SOAL
5. UN 2011 PAKET 12
Diketahui vector a = 4i – 2j + 2k dan vector b = 2i
– 6j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a
pada vector b adalah …
a. i – j + k
b. i – 3j + 2k
c. i – 4j + 4k
d. 2i – j + k
e. 6i – 8j + 6k
Jawab : b
6. UN 2011 PAKET 46
Diketahui vector a = 2i – 4j – 6k dan vector b = 2i
– 2j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a
pada vector b adalah …
a. –4i + 8j + 12k
b. –4i + 4j – 8k
c. –2i + 2j – 4k
d. –i + 2j + 3k
e. –i + j – 2k
Jawab : e
7. UN 2010 PAKET A
Diketahui koordinat A(–4, 2, 3), B(7, 8, –1),
PENYELESAIAN
dan C(1, 0, 7). Jika AB wakil vector u, AC
wakil vektor v, maka proyeksi u pada v
adalah …
a. 3i – 65 j + 12 k
5
b. 3 5 i –
c.
d.
e.
6
5
j + 12 k
5
9 (5i – 2j + 4k)
5
27 (5i – 2j + 4k)
45
9 (5i – 2j + 4k)
55
Jawab : d
8. UN 2010 PAKET B
Diketahui segitiga ABC dengan koordinat
A(2, –1, –1), B(–1, 4, –2), dan C(5, 0, –3).
Proyeksi vektor AB pada AC adalah …
a. 14 (3i + j – 2k)
3 (3i + j – 2k)
b. 14
c.  17 (3i + j – 2k)
3 (3i + j – 2k)
d.  14
e.  73 (3i + j – 2k)
Jawab : c
205
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
SOAL
9. UN 2009 PAKET A/B
Diketahui titik A(2,7,8), B(–1,1,–1) dan
PENYELESAIAN
C(0,3,2). Jika AB wakil vektor u dan BC
wakil vektor v, maka proyeksi orthogonal
vektor u pada v adalah …
a. –3i – 6j – 9k
b. i + 2j + 3k
c. 13 i + 23 j + k
d. –9i – 18j – 27k
e. 3i + 6j + 9k
Jawab : a
10. UN 2008 PAKET A/B
Jika vektor a = –3i – j + xk dan vektor
b = 3i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi vektor
a pada b adalah 5, maka nilai x = …
a. –7
b. –6
c. 5
d. 6
e. 7
Jawab : e
11. UN 2008 PAKET A/B
Jika vektor a = xi – 4j + 8k tegak lurus
vektor b = 2xi + 2xj – 3k, maka nilai x yang
memenuhi adalah …
a. –2 atau 6
b. –3 atau 4
c. –4 atau 3
d. –6 atau 2
e. 2 atau 6
Jawab : a
12. UN 2007 PAKET A
Diketahui segitiga ABC dengan titik
A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, –3, –2).
Proyeksi vektor AB pada AC adalah …
a. –12i + 12j – 6k
b. –6i + 4j – 16k
c. –4i + 4j – 2k
d. –6i – 4j + 16k
e. 12i – 12j + 6k
Jawab : c
206
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
SOAL
13. UN 2007 PAKET B
Diketahui segitiga ABC dengan titik
A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0).
Proyeksi vektor AB terhadap AC adalah …
a. 2i – 4j + 2k
b. 2i – 4j – 2k
c. 2i + 4j – 2k
d. i – 2j – k
e. i + 2j – k
PENYELESAIAN
Jawab : c
14. UN 2006
Diketahui vektor a = 6xi + 2xj – 8k,
b = –4i + 8j + 10k dan c = –2i + 3j – 5k. Jika
vektor a tegak lurus b maka vector
a–c=…
a. –58i – 20j –3k
b. –58i – 23j –3k
c. –62i – 20j –3k
d. –62i – 23j –3k
e. –62i – 23j –3k
Jawab : b
15. UN 2005
Diketahui segitiga ABC dengan koordinat
A(2, –3, 4), B(5, 0, 1), dan C(4, 2, 5). Titik P
membagi AB sehingga AP : AB = 2 : 3.
Panjang vektor PC adalah …
a.
10
b.
13
c.
15
d. 3 2
e. 9 2
Jawab : d
207
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
SOAL
16. UN 2004
Diketahui p = 6i + 7j – 6k dan
q = xi + j + 4k. Jika panjang proyeksi q pada
p adalah 2, maka x adalah …
a. 56
b.
c.
d.
e.
PENYELESAIAN
3
2
13
2
43
6
53
6
Jawab : c
17. UN 2004
Diketahui a = I + 2j + 3k, b = – 3i – 2j – k,
dan c = I – 2j + 3k, maka 2a + b – c = …
a. 2i – 4j + 2k
b. 2i + 4j – 2k
c. –2i + 4j – 2k
d. 2i + 4j + 2k
e. –2i + 4j + 2k
Jawab : e
18. UAN 2003
 2 


Diberikan vektor a =  p  dengan p 


2 2 
1 
 
Real dan vektor b =  1  . Jika a dan b
 
 2
membentuk sudut 60º, maka kosinus sudut
antara vektor a dan a + b adalah …
a. 12
7
4
b.
c.
d.
e.
5
2
5
4
5
14
2
7
7
7
7
7
Jawab : d
208
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
SOAL
19. UAN 2003
Jika w adalah hasil proyeksi orthogonal dari
  1
2 
 
 
vektor v =   3  terhadap vektor u =  2  ,
  1
4 
 
 
maka w = …
1 
2 
 
 
a.   1
d.   4 
3 
2 
 
 
PENYELESAIAN
0 
  2
 
 
b.   1 
e.  4 
  2
  2
 
 
0
 
 
c. 1 
Jawab : d
 2
 
20. EBTANAS 2002
Diketahui a + b = i – j + 4k dan
| a – b | = 14 . Hasil dari a · b = …
a. 4
b. 2
c. 1
d. 12
e. 0
Jawab : c
21. EBTANAS 2002
Jika | a | = 2, | b | = 3, dan sudut (a, b) = 120º.
Maka | 3a + 2b | = …
a. 5
b. 6
c. 10
d. 12
e. 13
Jawab : b
22. EBTANAS 2002
Proyeksi vektor ortogonal v = (1 3 3) pada
u = (4 2 2) adalah …
a. – 43 (2 1 1)
b. –(2 1 1)
c.
d.
4 (2 1 1)
3
( 43 1 1)
e. (2 1 1)
Jawab : c
209
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
KUMPULAN SOAL INDIKATOR 13 UN 2011
Menentukan sudut antara dua vektor.
1. Diberikan vektor-vektor a = 4i – 2j + 2k dan
b = i + j + 2k. Besar sudut yang dibentuk
vektor a dan b sama dengan …
a. 30º
c. 60º
e. 120º
b. 45º
d. 90º




2. Diketahui vektor a  6 i  3 j  3 k ,



 



b  2 i  j  3 k dan c  5 i  2 j  3 k .
 

Besar sudut antara vektor a dan b  c
adalah ....
a. 300
c. 600
e. 1500
0
0
b. 45
d. 90


 
3. Diketahui vektor a  i  2 j  2 k dan

 

b   i  j . Besar sudut antara vektor a

dan b adalah ....
a. 300
c. 600
e. 1350
0
0
b. 45
d. 120
4. Diketahui balok ABCD EFGH dengan AB =
2 cm, BC = 3 cm, dan AE = 4 cm. Jika AC
wakil vektor u dan wakil DH adalah vektor
v, maka sudut antara vektor u dan v adalah
…
a. 0
c. 45
e. 90
b. 30
d. 60
a  2 ,
5. Diketahui
b  9 ,
a  b  5 . Besar sudut antara vektor
8. Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2),
B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika u mewakili
AB dan v mewakili AC , maka sudut yang
dibentuk oleh vector u dan v adalah …
a. 30
c. 60
e. 120
b. 45
d. 90
9. Diketahui a = 3i – 2j + k dan b =2i – j + 4k.
Jika a dan b membentuk sudut , maka nilai
sin  = ....
a. 5
c. 5 6
e. 6 6
12
7
7
b.
6
d.
6
7
10. Diketahui a = i + 2j – 3k dan b = 2i + 2j – k,
jika a dan b membentuk sudut ,
maka tan  = ... .
a.
1
3
b.
3
14
5
c.
14
d.
5
e.
14
1
14
5
1 14
5
11. Diketahui vektor a = 6xi + 2xj – 8k, b = –4i
+ 8j + 10k dan c = –2i + 3j – 5k. Jika vektor
a tegak lurus b maka vektor a – c = …
a. –58i – 20j –3k
d. –62i – 23j –3k
b. –58i – 23j –3k
e. –62i – 23j –3k
c. –62i – 20j –3k
 2 


12. Diberikan vektor a =  p  dengan p 


2 2 
1 


Real dan vektor b =  1  . Jika a dan b


 2
a
dan vektor b adalah ….
a. 450
c. 1200
e. 1500
0
0
b. 60
d. 135
6. Diketahui a  6 , ( a – b ).( a + b ) =0, dan
a . ( a – b ) = 3. Besar sudut antara vektor
a dan b adalah ….
membentuk sudut 60º, maka kosinus sudut
antara vektor a dan a + b adalah …
a. 12 7
c. 5 7
e. 2 7
4
4
7


2
a.
c.
e.
3
6
3


b.
d.
4
2
7. Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, –1, –1), dan
C(4, 2, –4). Besar sudut ABC = …
a. 
c. 3
e. 0
b. 2
2
7
b. 5 7
2
d. 5
14
7
13. Jika vektor a = xi – 4j + 8k tegak lurus
vektor b = 2xi + 2xj – 3k, maka nilai x yang
memenuhi adalah …
a. –2 atau 6
c. –4 atau 3
e. 2 atau 6
b. –3 atau 4
d. –6 atau 2
d. 6
210
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
http://www.soalmatematik.com
KUMPULAN SOAL INDIKATOR 14 UN 2011
Menentukan panjang proyeksi atau vektor proyeksi.
1. Jika w adalah hasil proyeksi orthogonal dari
7. Diketahui titik A(2,7,8), B(–1,1,–1) dan C(0,3,2).
2 
 
vektor v =   3  terhadap vektor u =
4 
 
maka w = …
0
1 
 
 
a.   1
c. 1 
e.
 2
3 
 
 
0 
2 
 
 
b.   1 
d.   4 
  2
2 
 
 
2. Proyeksi vektor ortogonal v = (1 3 3) pada
u = (4 2 2) adalah …
a. – 4 (2 1 1)
c. 4 (2 1 1)
3
Jika AB wakil vektor u dan BC wakil vektor v,
maka proyeksi orthogonal vektor u pada v
adalah …
a. –3i – 6j – 9k
d. –9i – 18j – 27k
b. i + 2j + 3k
e. 3i + 6j + 9k
1
2
c. 3 i + 3 j + k
  2
 
4 
  2
 
8.
Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2, –1, – 3),
B(–1, 1, –11), dan C(4, –3, –2). Proyeksi vektor
AB pada AC adalah …
a. –12i + 12j – 6k
d. –6i – 4j + 16k
b. –6i + 4j – 16k
e. 12i – 12j + 6k
c. –4i + 4j – 2k
9. Diketahui segitiga ABC dengan titik A(–2, 3, 1),
B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0). Proyeksi vektor AB
terhadap AC adalah …
a. 2i – 4j + 2k
d. i – 2j – k
b. 2i – 4j – 2k
e. i + 2j – k
c. 2i + 4j – 2k
10. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat
A(2, –1, –1), B(–1, 4, –2), dan C(5, 0, –3).
e. (2 1 1)
3
d. ( 4 1 1)
3
b. –(2 1 1)
  1
 
2  ,
  1
 
3.
Diketahui vector a = 4i – 2j + 2k dan vector
b = 2i – 6j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector
a pada vector b adalah …
a. i – j + k
d. 2i – j + k
b. i – 3j + 2k
e. 6i – 8j + 6k
c. i – 4j + 4k
4. Diketahui vector a = 2i – 4j – 6k dan vector
b = 2i – 2j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector
a pada vector b adalah …
a. –4i + 8j + 12k
d. –i + 2j + 3k
b. –4i + 4j – 8k
e. –i + j – 2k
c. –2i + 2j – 4k
5. Diketahui vektor a  i  2 j  k dan vektor
Proyeksi vektor AB pada AC adalah …
6.
1
3  
e.   1 
2  
  1
6
b. 3
2
C(1, 0, 7). Jika AB wakil vector u, AC wakil
vektor v, maka proyeksi u pada v adalah …
b. 3 5 i –
c.
9
5
12
5
6
5
k
j + 12 k
5
d.
27
45
(5i – 2j + 4k)
e.
9
55
(5i – 2j + 4k)
e.  73 (3i + j – 2k)
pada vektor b  pj  4k adalah 8. Maka
nilai p adalah ....
a. – 4
c. 3
e. 6
b. – 3
d. 4
12. Jika vektor a = –3i – j + xk dan vector
b = 3i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi vektor a
pada b adalah 5, maka nilai x = …
a. –7
c. 5
e. 7
b. –6
d. 6
13. Diketahui p = 6i + 7j – 6k dan q = xi + j + 4k. Jika
panjang proyeksi q pada p adalah 2, maka x
adalah …
a. 5
c. 13
e. 53
Diketahui koordinat A(–4, 2, 3), B(7, 8, –1), dan
a. 3i – 65 j +
3 (3i + j – 2k)
b. 14
11. Panjang proyeksi vektor a  2i  8 j  4k
pada b adalah …
1
1  
c.  1 
3  
  1
1
1  
d.   1 
3  
  1
3 (3i + j – 2k)
d.  14
c.  17 (3i + j – 2k)
b  i  j  k . Proyeksi ortogonal vektor a
1
2  
a.
1
3  
  1
1
2  
b.   1 
3  
  1
a. 14 (3i + j – 2k)
2
43
d.
6
6
(5i – 2j + 4k)
211
INFORMASI PENDIDIKAN
http://ibnufajar75.blogspot.com