meminimumkan risiko portofolio σp =w T Σw

Portofolio Multi Objektif
 Memaksimumkan return dan meminimumkan risiko
Maks Rp = rT w dan Min σp =w TΣw
Dengan syarat
1T w = 1
 Tujuan investasi yaitu meminimumkan risiko
portofolio σp =w TΣw dan memaksimumkan expected
return portofolio Rp = rT w adalah ekuivalen dengan
meminimumkan negatif expected return portofolio Rp
= -rT w dan risiko portofolio σp = w TΣw
Min (-rT w, w TΣw) , Dengan syarat 1Tw =1
 Optimisasi multi-objective ini dapat diselesaikan
dengan skalarisasi yang merupakan suatu teknik
standar untuk menemukan poin-poin optimal untuk
setiap permasalahan pengoptimuman vektor. Dengan
memberikan dua koefisien pembobotan a1 dan a2 > 0
 Minimum –a1 rTw + a2 w TΣw , Dengan syarat 1Tw =1.
 Dengan mengambil a1 =1 dan a2 = k > 0, diperoleh
modifikasi dari model 5 sebagai berikut :

Minimum – rTw + k w TΣw
 Koefisien pembobot k menunjukkan seberapa besar
seorang investor mengambil risiko atas expected return.
 Seorang investor dapat mempertimbangkan sebagai
konstanta atau indeks risk aversion (menghindari risiko)
yang mengukur toleransi risiko dari seorang investor.
 Nilai k yang kecil mengindikasikan bahwa investor tersebut
termasuk investor yang tidak menghindar terhadap risiko
(risk seeking)
 Sedangkan nilai k yang semakin besar, mengindikasikan
bahwa investor tersebut makin menghindari risiko (risk
averse).
 Jika k 0 (kecil), variansi portofolio kwTΣw 0 (akan
menuju nol) dan fungsi sasarannya didominasi oleh
meminimalkan expected returnnya -rTw. Hal ini sama
seperti memaksimumkan expected return dan
mengindahkan risiko. Dalam hal ini, investor yang demikian
merupakan investor yang extremely risk seeking.
 Jika k ∞ (besar), maka nilai kwTΣw∞. Fungsi
sasarannya didominasi oleh variansi kwTΣw, jauh lebih
besar dibandingkan dengan expected return. Hal ini berarti
investor menginginkan untuk meminimumkan risiko tanpa
mengindahkan expected returnnya. Investor yang berlaku
demikian merupakan investor yang extremely risk averse.
 Tentu saja sangat menarik jika investor dapat
mensimulasikan berbagai macam nilai k, untuk
mendapatkan variasi bobot portofolio yang dapat
dijadikan pilihan investor. Dengan memberikan
berbagai nilai k, dapat dihasilkan berbagai macam
model optimisasi yang memberikan masukan kepada
investor tentang segala toleransi risiko. Selanjutnya
investor dalam memilih portofolionya, sesuai dengan
indeks resiko yang akan ditoleransinya.
 Permasalahan optimisasi multi-objective di atas dapat
diselesaikan dengan bantuan fungsi Lagrange sebagai
berikut :
L = – rTw + k wTΣw + λ (1Tw-1)
 Kasus di atas termasuk kasus dengan satu pengali
Lagrange. Untuk mendapatkan penyelesaian nilai
optimal dari w, persamaan di atas diturunkan
terhadap w dan kemudian hasilnya disamakan dengan
nol. Hasil penurunannya sebagai berikut:
δL/δw = – r + 2k Σw + λ 1p = 0
 Dengan melakukan transpose hasil di atas, akan
diperoleh :
2kΣw = r- λ1p
w = 1/(2k) Σ-1(r- λ1p)
 Substitusi persamaan di atas ke persamaan 1pTw =1,
 1pTw = 1/(2k) 1pT Σ-1(r- λ1p) =1
 Hasilnya :
1/(2k) 1pT Σ-1 λ1p =1/(2k) 1pT Σ-1 r – 1
λ = (1/(2k) 1pT Σ-1 r – 1)/( 1/(2k) 1pT Σ-11p)
 Substitusikan kembali nilai λ di atas ke persamaan w
di atas, diperoleh hasil sebagai berikut :
w=
1
2k
  1 
Σ r-1
1T Σ-1r-2k
1T Σ-11p
p
Berdasarkan rumus di atas, dapat dihitung bobot
portofolio untuk berbagai nilai k yang diberikan.
 Data yang digunakan pada studi kasus ini adalah data
harga saham penutupan Astra Internasional Tbk.,
Bank Rakyat Indonesia, Telekomunikasi Indonesia
Tbk, dan Bakrie Sumatra Plantations Tbk. yang
diambil dalam rentang waktu 11 bulan mulai 2 Januari
2007 s/d 21 November 2007.
Saham
ASII
BBRI
TLKM
UNSP
Expected
Return
0.00188
0.00174
0.00010
0.00407
Variansi
0.0006
0.0006
0.0004
0.0010
 Tabel di bawah ini menunjukkan berapa besar
prosentase (%) dana yang diinvestasikan oleh investor
untuk tiap saham pada portofolio dengan nilai k yang
berbeda-beda. Nilai k disimulasi dari k = 0.01 sampai
dengan k = 1000. Untuk k > 1000, hasil portofolio
sudah relatif stabil.
Saham
k = 0.01
k=2
k = 10
k = 50
k = 100
k = 1000
ASII
0.0000 0.0283
0.1974
0.1765
0.1739
0.1715
BBRI
0.0000
0.3010
0.2337
0.2253
0.2177
TLKM
0.0000 0.0000 0.1996
0.4319
0.4610
0.4871
UNSP
1.0000
0.1579
0.1399
0.1237
0.1687
0.8030
0.3021
 Seorang investor yang memilih bobot portofolio dengan k
= 0.01 adalah investor yang highly risk seeking, dan
portofolio yang optimal untuk investor jenis ini adalah
dengan mengalokasikan 100% dananya pada saham yang
memilki expected return tertinggi yaitu saham Bakrie
Sumatra Plantations Tbk (UNSP). Tentu saja saham UNSP
juga memiliki resiko yang paling tinggi diantara ke empat
saham di atas.
 Bahkan untuk nilai k = 2, terlihat bahwa saham Telkom yang
memiliki harapan keuntungan paling rendah, masih belum
dapat masuk ke dalam portofolio. Portofolio terdiri dari 3
saham, dengan komposisi prosentase terbesar masih
didominasi saham UNSP sebesar 80%, sedangkan
prosentase saham ASII baru sekitar 3%, saham BBRI sekitar
17%.
 Dengan meningkatnya nilai k, investor menjadi lebih
sensitif untuk mengambil risiko, dan komposisi portofolio
mulai menunjukkan campuran dari saham-saham yang
memiliki expected return tinggi dan risiko rendah. Ketika k
= 50, strategi portofolio optimal menunjukkan bahwa
investor perlu menginvestasikan dananya pada bermacammacam asset, pada contoh ini investor perlu
menginvestasikan 17.65% dari total dana pada saham ASII,
23.37% pada saham BBRI, 43.19% pada saham TLKM, dan
15.79% pada saham UNSP. Alokasi pada saham UNSP
secara signifikan sudah berkurang dari 100% menjadi
15.79% dengan meningkatnya nilai k dari 0.01 menjadi 50
karena saham UNSP memiliki variansi tertinggi.
 Misalkan dana yang kita miliki dan akan kita
investasikan untuk membeli saham tersebut sebesar
Rp 70.000.000,00. Dengan mengambil nilai k=100,
akan diperoleh besarnya dana yang akan
diinvestasikan pada masing-masing saham dengan
menggunakan ketiga metode di atas.
Sekuritas
Mean Variance
Multi-Objective
k = 100
Harga
Saham
Investasi Total
Jumlah
Saham
Investasi Total
Jumlah
Saham
ASII
23000
11984000
521
12173000
529
BBRI
7200
15183000
2109
15771000
2190
TLKM
10100
34300000
3396
32270000
3195
UNSP
2125
8533000
4016
9793000
4608
Jumlah
70000000
70007000
 Dengan melakukan pengamatan selama 10 hari, akan
didapatkan hasil sebagai berikut
Min Variansi
11/22/2007
11/23/2007
11/26/2007
11/27/2007
11/28/2007
11/29/2007
11/30/2007
12/4/2007
12/5/2007
Rp132,415
Rp34,795
Rp2,230,489
Rp1,372,736
Rp1,882,572
Rp3,962,002
Rp2,778,304
Rp6,092,829
Rp6,923,923
Skalarisasi
Rp118,469
Rp68,311
Rp2,382,035
Rp1,548,424
Rp2,005,966
Rp3,988,752
Rp2,885,160
Rp6,225,509
Rp6,976,291
 Dapat dilihat dari tabel capital gain di atas, dalam
waktu 10 hari anda bisa memperoleh keuntungan 7
juta atau sekitar 10% dari modal awal anda.
 Ketiga metode di atas memberikan hasil yang relatif
sama. Hal ini dapat dimengerti karena pada metode
multiobjektif kita memilih strategi yang lebih
mengarah pada pilihan k = 100, yaitu meminimalkan
resiko. Jadi alokasi portofolio ketiga strategi di atas
relatif sama, sehingga tidak mengherankan jika
hasilnya pun juga relatif sama.