PD dengan bantuan Koordinat Polar

Solusi Analitis
Persamaan-persamaan Diferensial Orde-1
dengan Metode Analitis
2
2.1. Persamaan Diferensial dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH
a. Bentuk Umum:
y′ =
f ( x)
,
g ( y)
f dan g fungsi sembarang.
b. Metode dan Tahapan Penyelesaian:
1. Gantikan
y ′ atau gunakan: y ′ =
dy
dx
2. Susun ulang PD bersangkutan sehingga didapatkan bentuk:
g ( y ) dy =
f ( x) dx
3. Integrasikan persamaan di atas, sehingga diperoleh:
∫
g ( y ) dy =
∫
f ( x) dx
c. Contoh soal:
1. Selesaikan atau cari ‘primitif’ dari:
2. Selesaikan PD orde-1 berikut:
x 2 y′ − y = 0
dy
+ 3y = 0
dx
2 xy ′ + y = 0 , dengan harga awal pada
3. Cari penyelesaian dari PD berikut:
4. Cari penyelesaian PD orde-1
saat
x = 2 memiliki y = 1
x + yy ′ = 0
x
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis
(halaman 1 dari 28)
d. Penyelesaian soal:
1. Gantikan
y
y′
dengan
dy
, sehingga PD tersebut dapat ditulis ulang sebagai:
dx
dy
= − x atau y dy = − x dx , sehingga dapat diintegrasikan menjadi
dx
∫ y dy = − ∫ x dx
dan hasilnya adalah
y2
x2
= −
+ C
2
2
dengan C adalah tetapan sembarang (arbitrary), dan persamaan di atas dapat
dituliskan sebagai
y2 + x2 = 2C
sebagai persamaan lingkaran yang berpusat di titik (0,0), jika dipenuhi harga
C > 0.
2.
PD dimaksud dapat ditulis sebagai x
2
dy
= y , dan dengan penulisan ulang
dx
yang memperhatikan prinsip-prinsip pembagian (pecahan), maka variabelvariabel dalam PD tersebut dapat terpisahkan sehingga akan diperoleh
persamaan
dy
dx
= 2
y
x
bentuk integrasinya dapat dituliskan sebagai
∫
dy
=
y
∫x
dx
2
menghasilkan
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis
(halaman 2 dari 28)
ln y = −
1
+ C
x
dan bentuk akhirnya:
y
 1

= exp  − + C  = e C e −1 / x
 x

sebagai persamaan yang mirip dengan persamaan Arrhenius, yang banyak
digunakan dalam pemodelan kinetika reaksi kimia.
3. PD tersebut dapat disusun ulang, sehingga penulisannya menjadi:
dy
dx
= − 3 , jika y ≠ 0
y
x
dan bentuk integrasinya adalah:
∫
∫
dy
dx
= −3
y
x
dan hasilnya:
ln
y
1
= − 3 ln x = ln 3
h
x
dan
y =
±h
x3
=
K
x3
Dalam hal ini, K merupakan tetapan (konstanta) sembarang (arbitrary), yang
hanya dapat ditentukan harganya berdasarkan nilai atau kondisi awal (initial
condition) dari PD tersebut, yaitu y = y 0 pada saat x = x0 .
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis
(halaman 3 dari 28)
4. Bentuk integrasi dari PD tersebut adalah
∫
dy
1
= −
2
y
∫
dx
, jika y ≠ 0
x
dan hasilnya:
ln
y
= ln x
h
−1 / 2
= ln
1
x
atau
K
y =
x
Dengan memperhatikan kondisi awal dari PD tersebut, yaitu pada saat x = 2
harga y = 1 , akan diperoleh 1 = K
2 atau K = 2 , sehingga hasil
akhirnya menjadi
y =
2 x
e. Tugas dan soal-soal latihan:
Selesaikan persamaan-persamaan diferensial berikut, sampai didapatkan ‘primitif’-nya
(sesuai dengan yang diberikan):
1.
y = −
2.
3t
3.
4.
5.
2y
, dengan primitif y =
x
K x2
di
− i = 0 , dengan primitif i = K t 1 / 3
dt
di
3 t + i = 0 , dengan primitif i = K t −1/ 3 dengan t ≠ 0
dt
y ′ cos x + y sin x = 0 , dengan primitif y = K cos x
dθ
1− t2
+ t θ = 0 , dengan primitif θ = K 1 − t 2
dt
(
)
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis
(halaman 4 dari 28)
2.2. Persamaan Diferensial Homogen terhadap y dan x
a. Bentuk Umum:
y′ =
 y
f   , f merupakan fungsi sembarang.
 x
b. Metode dan Tahapan Penyelesaian:
1. Substitusi atau gunakan variabel pengganti, u =
y
(atau y = u x ), sehingga
x
diperoleh PD dalam konfigurasi VARIABEL TERPISAH,
2. Susun ulang PD bersangkutan sehingga didapatkan bentuk:
y′ = t ′ x + t
3. Dan, dengan membuat kesamaan antara ungkapan y ′ di atas dengan
persamaan f ( y x ) = f (t ) , akan diperoleh persamaan dalam bentuk:
t ′ x + t = f (t )
4. Dari persamaan terakhir dapat dilakukan pemisahan variabel-variabel sehingga
akan diperoleh persamaan berikut:
x
dt
= f (t ) − t
dx
atau
dx
dt
,
=
x
f (t ) − t
5. Jika fungsi F ( x ) dimisalkan sebagai PRIMITIF dari
jika
f (t ) ≠ t
1
, maka akan
f (t ) − t
diperoleh hasil integrasi sebagai berikut:
ln
x
= F (t ) =
h
∫
dt
f (t ) − t
yang berarti
x = K e F ( y x)
atau dalam bentuk penjabaran parametrik
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis
(halaman 5 dari 28)
 x = K e F (t )
, dengan K sebagai konstanta sembarang

F (t )
 y = K t e
c. Contoh soal:
2
1. Carilah ‘primitif’ dari: x y ′ = x
2
+ y2 − x y
2. Selesaikan PD orde-1 berikut: 2 x y y ′ = x
3. Cari penyelesaian dari PD berikut:
2
+ y2
( y 2 − 5 x 2 ) y y ′ = x (x 2 − 5 y 2 )
d. Penyelesaian soal:
2
1. Jika semua suku (di sebelah kiri dan kanan tanda =) dibagi dengan x , maka
akan didapatkan PD dalam bentuk:
 y
y′ = 1 +  
 x
2
−
y
x
yang merepresentasikan persamaan diferensial homogen (PD Homogen),
karena variabel y ′ merupakan fungsi unik dari perbandingan variabel y x .
Dengan memisalkan
y = t x , untuk mendapatkan y ′ = t ′ x + t dan
2
ungkapan y ′ dari PDnya adalah y ′ = 1 − t + t , maka kesamaan kedua
ungkapan y ′ yang didapatkan adalah sebagai berikut:
t′ x + t = 1 − t + t 2
atau
t ′ x = (t − 1)2
sehingga bentuk PD dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH yang dimaksud
adalah
x
dt
= (t − 1)2
dx
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis
(halaman 6 dari 28)
yang dapat diintegralkan dalam bentuk berikut:
∫ (t − 1) ∫
dt
2
=
dx
, jika t ≠ 1
x
yang hasilnya
−
1
= ln K x
t −1
atau
t −1 = −
1
ln K x
dengan
K sebagai konstanta sembarang
Jika variabel t diganti dengan nilai (perbandingan) asalnya, yaitu y x , maka
persamaan di atas akhirnya menjadi PRIMITIF dari PD yang dimaksudkan:
y = x −
x
ln K x
Catatan: Jika harga t = 1, maka akan diperoleh suatu INTEGRAL yang
SINGULAR, karena y = x .
2. Bagilah semua suku dengan x y , maka akan didapatkan PD Homogen dalam
bentuk seperti di bawah ini:
x2 + y2
1 x
y
y′ =
=  +
2x y
2 y
x



Dengan memisalkan y = t x , maka kesamaan kedua ungkapan y ′ yang
didapatkan adalah sebagai berikut:
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis
(halaman 7 dari 28)
1
2
y′ = t ′ x + t =
1

t + 
t

atau jika disederhanakan akan menjadi
dt
x
=
dx
1
2
1 −t2
1

 − t =
2t
t

Pisahkan variabel-variabelnya, kemudian integralkan
∫1 − t ∫
2 t dt
2
=
dx
, jika t ≠ ± 1
x
sehingga
1 − t2
− ln
h
= ln x
atau
1 − t2 =
K
x
atau juga
t2 −1 = −
K
x
Maka, jika variabel t digantikan dengan nilai yang sesungguhnya ( y x ), akan
diperoleh PRIMITIF dari PD bersangkutan sebagai berikut:
y2 − x2 + K x = 0
Persamaan di atas merupakan representasi dari PERSAMAAN HIPERBOLA, baik
bila K ≠ 0 maupun K = 0 , yang memiliki persamaan-persamaan garis simetri
y = ± x atau yang sebanding dengan t = ± 1 .
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis
(halaman 8 dari 28)
Catatan: Solusi integral dari PD homogen homogen dapat dilakukan dengan
menggunakan KOORDINAT POLAR, dalam hal ini semua kurva
integral tersebut harus dalam bentuk koordinat yang sesuai, yaitu
r = f (θ ) . Namun, metode ini lebih sulit karena jalan hitungannya
lebih panjang dan tidak praktis.
3. Coba kita gunakan KOORDINAT POLAR berikut:
 x = r cosθ

 y = r sin θ
dan bentuk diferensiasinya secara berturut-turut adalah:
dx = cosθ dr − r sin θ dθ
dy = sin θ dr − r cosθ dθ
dan dengan melakukan substitusi ke dalam PD bersangkutan, akan diperoleh
persamaan berikut:
(y 2 − 5 x 2 ) y dy
(
)
= x x 2 − 5 y 2 dx
dan, dengan melakukan penyusunan dan pengembangan persamaan goneometri
lebih lanjut, akan diperoleh hasil berikut:
(sin 4 θ − cos 4 θ ) dr
(
)
= 4 sin 3 θ cosθ + sin θ cos 3 θ r dθ
dengan penyederhanaan, selanjutnya diperoleh:
(sin 2 θ − cos 2 θ ) dr
= 4 r sin θ cosθ dθ
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis
(halaman 9 dari 28)
dalam hal ini, PD dalam r dan
θ yang memiliki KONFIGURASI TERPISAH
adalah sebagai berikut:
2 sin 2θ
dr
= −
dθ
r
cos 2θ
sehingga solusi atau PRIMITIF dari PD bersangkutan diperoleh sebagai berikut:
r = K cos 2θ
e. Tugas dan soal-soal latihan:
Selesaikan persamaan-persamaan diferensial berikut, sampai didapatkan ‘primitif’-nya
(perhatikan PRIMITIF yang diberikan, dapat diambil sebagai acuan dasar untuk
mencari penyelesaian!):
1.
x2 + K
x y ′ = x − y , dengan primitif y =
2x
2.
x 2 y ′ = x y + x 2 + y 2 , dengan primitif y = x tan (ln K x
3.
x y′ − y = x 1 − e − y
4.
(1 + C x ) > 0
(
x
),
)
dengan primitif y = x ln (1 + C x ) dan
x
2
4 x 2 y ′ + x 2 + 4 y 2 = 0 , dengan primitif y = − +
x
dan
ln K x
bilamana solusi mencapai SINGULAR?
5.
(x 2 − y 2 ) y ′ = 2 x y ,
x 2 + y 2 − K y = 0 dan
dengan primitif
bilamana solusi tersebut mencapai SINGULAR?
6.
(x 4 + y 4 ) y ′ = 2 x 3 y ,
x =
dengan primitif
koordinat CARTESIAN atau r =
Kt
4
K sin θ
cos 2θ
dalam
dan bilamana solusi-solusi
t −1
tersebut mencapai SINGULAR?
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis
(halaman 10 dari 28)
2.3. Persamaan Diferensial LINIER order 1
a. Bentuk Umum:
a (x ) y ′ + b (x ) y = c (x )
dengan
a , b , c merupakan fungsi-fungsi dalam x .
a( x ) dan b( x ) disebut KOEFISIEN
c( x ) disebut SUKU RUAS KANAN
Jika PD di atas dituliskan tanpa suku ruas kanan, maka akan diperoleh:
a (x ) y ′ + b (x ) y = 0
yang (seharusnya) IDENTIK dengan PD yang memiliki konfigurasi VARIABEL
TERPISAH.
b. Metode SUBSTITUSI FUNGSI dan Tahapan Penyelesaian:
Teorema Dasar
SOLUSI MENYELURUH dari suatu PD Linier order-1 merupakan hasil
penjumlahan antara SOLUSI INTEGRAL UMUM tanpa SUKU RUAS
KANAN dan SOLUSI INTEGRAL KHUSUS dari PD secara lengkap.
1. Jika dimisalkan SOLUSI INTEGRAL KHUSUS dari PD Linier dimaksud, lengkap
dengan RUAS KANANnya, adalah y 0
2. Maka dapat dilakukan SUBSTITUSI dari FUNGSi yang tak dikenal sebagai:
y = y0 + z
3. Sehingga penulisan SOLUSI PERSAMAAN secara MENYELURUH dapat
dituliskan dalam bentuk:
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis
(halaman 11 dari 28)
a( x ) [ y 0′ + z ′] + b( x ) [ y 0 + z ] = c( x )
4.
Karena y 0 adalah solusi PD Linier itu sendiri, maka persamaan berikut juga
harus dipenuhi:
a( x ) y 0′ + b( x ) y 0 = c( x )
5.
Setelah dilakukan penyederhanaan, akan diperoleh persamaan
a ( x ) z ′ + b( x ) z = 0
Sehingga akan diperoleh z , sebagai SOLUSI UMUM dari PD Linier tanpa SUKU
RUAS KANAN.
c. Contoh soal:
Selesaikan PD Linier berikut:
L
di
+ Ri = E
dt
L
, R , dan E merupakan konstanta-konstanta dari persamaan tersebut, dengan
KONDISI AWAL pada saat t = 0 , harga i = 0 .
Penyelesaian:
Fungsi yang melibatkan konstanta-konstanta E R merupakan SOLUSI KHUSUS
dari persamaan secara lengkap.
INTEGRAL MENYELURUH dari PD Linier tersebut, tanpa SUKU RUAS
KANANnya adalah:
 R 
i = C exp  − t 
 L 
Maka, INTEGRAL MENYELURUH dari PD Linier tersebut, adalah:
i =
E
 R 
+ C exp  − t 
R
 L 
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis
(halaman 12 dari 28)
Dengan menerapkan KONDISI AWAL dari PD Linier tersebut, akan diperoleh:
0 =
E
+ C
R
sehingga
C = −
E
R
dan, solusi akhirnya adalah
i =
E
R

 R 
1 − exp − L t 



e. Tugas dan soal-soal latihan:
Selesaikan persamaan-persamaan diferensial linier berikut (diberikan persamaan
solusi khusus dan solusi umumnya sebagai acuan dasar untuk mencari
penyelesaian!):
1.
y ′ + y = cos x + sin x , dengan solusi khusus y = sin x dan solusi
umumnya y = sin x + K e − x
2.
y ′ cos x + y sin x = cos x + x sin x ,
dengan solusi khusus y = x
dan solusi umumnya adalah y = x + K cos x
3.
x y ′ − y = ( x − 1) e x , dengan primitif y = e x + K x
4.
y ′ − 2 x y = sinh x − 2 x cosh x , dengan primitif y = cosh x + K e x
2
f. Metode VARIASI KONSTANTA dan Tahapan Penyelesaian:
1. Perhatikan dengan seksama PD secara lengkap sebagai berikut,
a (x ) y′ + b (x ) y = c (x )
dan bentuk PD di atas, jika TIDAK menyertakan SUKU RUAS KANAN:
a (x ) y′ + b (x ) y = 0
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis
(halaman 13 dari 28)
2. Sebagai PD dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH, persamaan terakhir
dapat disusun ulang menjadi:
dy
b (x )
= −
dx
y
a (x )
3. Maka, sebagai SOLUSI UMUM dari PD Linier tanpa RUAS KANAN dapat
dituliskan sebagai berikut:

y = K z ( x ) = K exp  −

∫
b ( x ) 
dx
a ( x ) 
4. Definisikan suatu FUNGSI (yang menggantikan tetapan K dengan suatu fungsi
dalam variabel x , K ( x ) ), sehingga diperoleh PRIMITIF y ( x ) yang berbentuk
persamaan berikut:
y (x ) = K (x ) z (x )
sehingga turunannya dapat dituliskan sebagai:
y ′( x ) = K ′( x ) z ( x ) + K ( x ) z ′( x )
5. Substitusikan turunan fungsi di atas ke dalam PD Linier secara lengkap:
a ( x ) { K ′( x ) z ( x ) + K ( x ) z ′( x ) } + b ( x ) { K ( x ) z ( x ) } = c ( x )
atau
a ( x ) K ′( x ) z ( x ) + K ( x ) { a ( x ) z ′( x ) + b ( x ) z ( x ) } = c ( x )
6. Perhatikan, bahwa z identik dengan solusi dari PD Linier tanpa suku ruas kanan,
sehingga (perhatikan juga langkah 1 di atas!):
a ( x ) z ′( x ) + b ( x ) z ( x ) = 0
yang berarti bahwa
K ′( x ) =
c (x )
a (x ) z (x )
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis
(halaman 14 dari 28)
7. Solusi atau primitif dari K ( x ) dapat diselesaikan, sedemikian rupa sehingga hasil
akhir dari solusi
y (x ) = K (x ) z (x )
dapat diketahui.
g. Contoh soal:
1. Selesaikan PD Linier berikut:
x y′ − 2 y = x3
Penyelesaian:
⇒ PD Linier tanpa suku ruas kanan adalah: x y ′ − 2 y = 0
⇒ Persamaan di atas merupakan PD dengan konfigurasi variabel terpisah,
sehingga
dy
dx
= 2 , jika y ≠ 0
y
x
jika diintegrasikan,
∫
dy
= 2
y
∫
dx
x
sehingga dihasilkan,
ln
y
= 2 ln x = ln x 2
h
dan,
y = K x2
⇒ Asumsikan, bahwa K adalah fungsi dari x , sehingga hasil turunan dari y
(atau sama dengan y ′ ) adalah:
y′ = K ′ x 2 + 2 K x
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis
(halaman 15 dari 28)
⇒ Jika persamaan terakhir disubstitusikan ke PD Linier asal, maka akan
diperoleh:
K ′ x3 + 2 K x 2 − 2 K x 2 = x3
⇒ Perhatikan, bahwa term perkalian dengan K ternyata saling meniadakan,
sedemikian rupa sehingga diperoleh:
K ′ x3 = x3
atau
K′ = 1
⇒ Integran, atau primitif dari persamaan terakhir di atas adalah:
K = x + λ , λ merupakan konstanta integrasi
⇒ Kemudian, jika kita substitusikan K ke dalam persamaan y = K x 2 di
atas, akan diperoleh sebagai solusi umum:
y = ( x + λ ) x 2 = x3 + λ x
2. Selesaikan PD Linier berikut:
y ′ − y tan x = sin 2 x
Penyelesaian:
⇒ PD Linier tanpa suku ruas kanan adalah:
dy
− y tan x = 0
dx
⇒ Sebagai PD dengan konfigurasi variabel terpisah, maka
∫
dy
= −
y
∫
sin x
dx
cos x
sehingga dihasilkan,
ln
y
= ln cos x
h
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis
(halaman 16 dari 28)
dan,
y = K cos x
⇒ Asumsikan, bahwa K = K ( x ) , sehingga hasil turunan dari persamaan di
atas adalah:
y ′ = K ′ cos x − K sin x
⇒ Substitusikan ke dalam PD Linier asalnya, akan diperoleh:
K ′ cos x − K sin x + K cos x tan x = sin 2 x
⇒ Perhatikan, bahwa term faktor K ternyata saling menihilkan, sehingga:
K ′ cos x = sin 2 x = 2 sin x cos x
atau
K ′ = 2 sin x
⇒ Integran dari persamaan di atas diperoleh dengan cara:
∫
K = 2 sin x dx
= − cos x + λ
⇒ Kemudian, dengan mensubstiusikan hasil persamaan K di atas ke dalam
persamaan y = K cos x , diperoleh solusi unum berikut:
y = − 2 cos 2 x + λ cos x
3. Selesaikan persamaan diferensial berikut:
(
)
y′ x 2 − 1 + x y = 1
Penyelesaian:
⇒ PD Linier tanpa suku ruas kanan adalah:
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis
(halaman 17 dari 28)
(
)
y′ x 2 − 1 + x y = 0
⇒ Pisahkan variabel-variabel dari persamaan di atas, sehingga diperoleh:
− x dx
dy
= 2
y
x −1
⇒ Kemudian integrasikan:
∫
dy
= −
y
∫
ln
y
1
= − ln x 2 − 1
2
h
x
2
x −1
dx
sehingga dihasilkan
atau
y =
K
x2 − 1
⇒ Dalam hal ini, solusi PD tanpa suku ruas kanan sangat bergantung pada
harga x , yang lebih besar dari 1 ataupun lebih kecil dari 1.
Kasus #1:
x >1
⇒ Solusi PD Linier yang tidak melibatkan suku ruas kanannya, adalah sbb:
y =
K
x2 − 1
⇒ Turunan dari fungsi apabila K adalah fungsi dari x , adalah sbb:
y′ =
K′
x2 − 1
−
Kx
( x 2 − 1 )3
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis
(halaman 18 dari 28)
⇒ Substitusikan persamaan terakhir ke dalam PD Linier asal, secara lengkap,
sehingga diperoleh:

 K′
−
 2
−
1
x


(x
Kx
2
−1
)
3


 2
 x − 1 + x




(
)

 =1
2
x − 1 
K
atau
Kx
K ′ x2 − 1 −
( x2 − 1 )
+
Kx
x2 − 1
=1
⇒ Sehingga diperoleh fungsi K ′ dalam x , sebagai berikut:
K′ =
1
x2 − 1
⇒ Dan, primitifnya adalah:
K = ln x + x 2 − 1 + λ
⇒ Solusi akhirnya menjadi:
y =
Kasus #2:
ln x + x 2 − 1 + λ
, jika
2
x −1
x >1
x <1
⇒ Solusi PD Linier yang tidak melibatkan suku ruas kanannya, adalah sbb:
y =
K
1 − x2
⇒ Dengan metode yang sama seperti pada kasus #1 di atas, diperoleh:
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis
(halaman 19 dari 28)
K′
y′ =
dan
K = −
1 − x2
∫
dx
1− x
Kx
+
2
(1 − x 2 )3
= − arcsin x + λ
⇒ Sehingga solusi akhirnya adalah sbb:
y =
− arcsin x + λ
1− x
2
x <1
, jika
h. Tugas dan soal-soal latihan:
Selesaikan persamaan-persamaan diferensial linier berikut (diberikan persamaan
solusi kuncinya untuk mempermudah mencari penyelesaian!):
1.
y ′ cos x + y sin x = 1
(kunci: K ′ =
2.
1
cos 2 x
dan y = sin x + λ cos x )
x y ′ − y = ln x
(kunci: K ′ =
3. t
ln x
x2
dan y = − ln x − 1 + λ x )
di
+ 2 i = sin t
dt
(kunci: K ′ = t sin t dan i =
4.
(1 + x ) y′ +
− t cos t + sin t + λ
y = 1 + ln ( x + 1)
t2
(kunci: K ′ = 1 + ln (x + 1) dan y = ln ( x + 1) +
5.
x y ′ + y = arctan x
(kunci: K ′ = arctan x dan y = arctan x −
)
λ
x +1
)
(
)
1
λ
ln 1 + x 2 + )
2x
x
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis
(halaman 20 dari 28)
2.4. Persamaan Diferensial jenis Persamaan BERNOULLI
a. Bentuk Umum:
y′ + a (x ) y = b (x ) y m
dengan
a merupakan fungsi (sembarang) dalam x , a = a ( x )
b merupakan fungsi (sembarang) dalam x , b = b ( x )
m merupakan tetapan bilangan nyata, sembarang dan berharga selain
dari 0 dan 1 (nilai-nilai yang mengakibatkan PD ini menjadi berbentuk
LINIER).
Jika m > 0 , akan diperoleh persamaan-persamaan yang jelas lebih mudah untuk
diselesaikan.
b. Metode Penyelesaian:
1. PD bersangkutan harus dapat disusun ulang dalam bentuk LINIER, yaitu dengan
membagi kedua ruas dengan faktor y m , sehingga
y′
y
m
+ a (x )
1
y
m −1
= b (x )
2. Lakukan substitusi fungsi yang dicari, yang didefinisikan sebagai:
z = 1 y m −1
3. Karena y merupakan fungsi dari x , maka turunan dari fungsi z adalah:
z′ = (1 − m)
y′
ym
4. Sehingga, solusi dari PD yang dimaksudkan dapat ditulis sebagai:
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis
(halaman 21 dari 28)
z′
+ a (x ) z = b (x )
1− m
Persamaan di atas berbentuk PD Linier berorder 1.
c. Contoh soal:
Selesaikan PD berikut, yang termasuk dalam jenis Persamaan BERNOULLI:
x y′ + 3 y = x 2 y 2
Penyelesaian:
Persamaan di atas memiliki harga m = 2 .
Bagilah kedua suku dengan y 2 sehingga diperoleh:
x y′
y2
+
3
= x2
y
Dimisalkan,
z =
1
y
dengan turunannya terhadap variabel z ,
z′ = −
y′
y2
sehingga diperoleh persamaan baru, dalam variabel z :
− x z′ + 3 z = x 2
sebagai PD Linier berorder 1, dengan solusi sebagai berikut:
z = (1 + λ x ) x 2
Integral UMUM sebagai solusi dari PD bersangkutan adalah sebagai berikut:
y =
1
(1 + λ x ) x 2
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis
(halaman 22 dari 28)
d. Tugas dan soal-soal latihan:
Selesaikan persamaan-persamaan diferensial BERNOULLI berikut sebagai latihan
pemahiran untuk saudara. Untuk mempermudah mencari penyelesaian, berikut
diberikan juga persamaan atau solusi kuncinya.
1.
y′ + y = x y 3
(kunci: y 2 =
2.
λ e2 x + x +
)
1
2
y ′ = y (1 + x y )
(kunci: y =
3.
1
1
λ e− x − x + 1
x
y′ = y
2
(kunci: y = ( 1 + λ x )2 )
y −
4. 2 x y y ′ + y 2 = x
(kunci: y 2 =
5.
λe
2x
+ x+
1
2
)
y′ − y = x y 6
(kunci: y 5 =
6.
1
1
λ e − 5 x − x + 15
)
y ′ + y tan x + y 2 = 0
cos x
(kunci: y =
)
sin x + λ
7. Carilah KURVA INTEGRAL yang melalui titik x = 1, y = 1 dari PD yang
benrbentuk Persamaan BERNOULLI berikut:
x y′ + y = x y 3
(kunci: y 2 =
1
2 x + λ x2
, dan λ = −1)
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis
(halaman 23 dari 28)
2.5. Persamaan Diferensial jenis Persamaan RICCATI
a. Bentuk Umum:
y′ = a (x ) y 2 + b (x ) y + c (x )
dengan
a , b , dan c merupakan fungsi-fungsi dalam x .
b. Metode Penyelesaian:
1. PD yang berbentuk Persamaan RICCATI dapat diselesaikan bila diketahui
INTEGRAL SPESIFIK y1 , sedemikian rupa sehingga substitusi fungsi yang akan
dicari berbentuk:
y = y1 + z
2. Persamaan di atas akan mentransformasikan Persamaan RICCATI menjadi:
y1′ + z ′ = a ( x )( y1 + z )2 + b ( x )( y1 + z ) + c ( x )
3. Karena y1 merupakan SOLUSI SPESIFIK (khusus) dari Persamaan RICCATI,
maka:
y1′ = a ( x ) y12 + b ( x ) y1 + c ( x )
4. Melalui penyederhanaan, maka kombinasi dari kedua persamaan (langkah 2 dan
3) di atas akan menghasilkan:
z ′ = a ( x ) z 2 + [ 2 a( x ) y1 + b( x ) ] z
yang identik dengan Persamaan BERNOULLI, dengan m = 2 .
5. Langkah-langkah selanjutnya adalah sesuai dengan penyelesaian Persamaan
BERNOULLI, seperti di jelaskan pada paragraf L-2A.4 di atas.
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis
(halaman 24 dari 28)
c. Contoh soal:
Selesaikan PD berikut yang berbentuk Persamaan RICCATI:
y2 
1
y′ =
−  2+ y + x + 2
x
x

Yang dapat diselesaikan menggunakan INTEGRAL SPESIFIK y1 = x .
Penyelesaian:
Periksa terlebih dahulu bahwa y1 = x merupakan SOLUSI SPESIFIK, yaitu
dengan memisalkan:
y = x+ z
sehingga turunanya:
y′ = 1 + z′
kemudian disubstitusikan ke dalam Persamaan RICCATI di atas.
Setelah disederhanakan, akan diperoleh:
x z′ − z 2 + z = 0
Untuk penyelesaiannya, bagilah kedua suku dengan z 2 sehingga diperoleh:
x z′
z
2
+
1
=1
z
Kemudian, misalkan:
u =
1
z
sehingga
u′ = −
z′
z2
dan
− x u′ + u = 1
mengarah pada solusi PD Linier, dalam u , sebagai berikut:
u = Kx +1
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis
(halaman 25 dari 28)
atau, solusi yang dikembalikan dalam variabel y :
1
Kx +1
y = x+
d. Tugas dan soal-soal latihan:
Selesaikan Persamaan-persamaan RICATTI berikut sebagai latihan pemahiran untuk
saudara, yang disertakan pula persamaan atau solusi kuncinya.
a.
x 3 y ′ + y 2 − 5 x 2 y + 2 x 4 = 0 , dimisalkan y1 = x 2
x3
(kunci: y = x +
)
λ + x
2
cos x 2
sin x
1 + 2 sin 2 x
b. y ′ =
y +
y −
, dengan pemisalan integral
sin x
cos x
4 sin x cos 3 x
1
spesifiknya adalah y1 =
2 cos 2 x
1
1
(kunci: y = −
+
2
2 cos x 1 − λ sin x
(
(y
)
c.
− y ′)cos x + y 2 cos 2 x + sin x = cos 3 x , dengan y1 = cos x
cos x
(kunci: y = cos x +
)
λ − sin x
d.
y ′ = 5 y 2 e 3 x + 2 y + e x 1 + 5 e 4 x , dengan y1 = − e x
1
(kunci: y = − e x +
)
λ e − 2 x − e3x
e.
y′ + y 2 =
(
1
)(
)
, dengan pemisalan y1 =
4 x4
1
1
1
(kunci: y =
)
+
+
x 2 x2
x 2 λ e −1 x − 1
(
1
1
+
x 2 x2
)
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis
(halaman 26 dari 28)
[P-2.1] PROYEK #1: Solusi ANALITIS dan NUMRIS Persamaan Diferensial Order 1
Selesaikanlah, secara kelompok, semua PD order 1 di bawah ini:
a.
dy
= e − xy
dx
b.
y′ = y − x y 2
c.
cos x 2
sin x
1 + 2 sin 2 x
dy
=
y −
y +
sin x
cos x
dx
4 sin x cos 3 x
secara ANALITIS dan NUMERIS, pada interval [0, 1] dengan harga awal y (0 ) = 1 .
Format jawaban:
Solusi analitis: diselesaikan terlebih dahulu, menggunakan metode-metode
analitis seperti telah dijelaskan pada LAMPIRAN (mulai halaman 1 sampai
dengan 26). Beri penjelasan juga tentang METODE SOLUSI yang digunakan
dan JENIS atau konfigurasi dari persamaan-persamaan diferensial tersebut.
Solusi numeris: menggunakan kedua varian dari Metode RUNGE-KUTTA
order 2 titik tengah dan kelandaian rerata, seperti dijelaskan pada Bab 2
(halaman 8 sampai 12).
Formula Runge-Kutta order-2 titik-tengah:
k1 = h f ( xi , yi )
k 
h

k 2 = h f  xi + , yi + 1 
2
2 

yi +1 = yi + k 2
Formula Runge-Kutta order-2 nilai rerata:
k1 = h f ( xi , yi )
k 2 = h f ( xi + h, yi + k1 )
yi +1 = yi +
1
2
(k1 + k 2 )
Tampilan solusi numeris harus diberikan dalam tabel-tabel yang berbentuk
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis
(halaman 27 dari 28)
seperti di bawah ini:
Metode Solusi: Runge-Kutta order-2 TITIK-TENGAH
xi
yi
k1
k2
y * (xi )
0,0
1
....
...
...
0,1
....
....
...
...
0,2
....
....
...
...
0,3
....
....
...
...
0,4
....
....
...
...
0,5
....
....
...
...
0,6
....
....
...
...
0,7
....
....
...
...
0,8
....
....
...
...
0,9
....
....
...
...
1,0
....
....
...
...
dan, seperti di bawah ini:
Metode Solusi: Runge-Kutta order-2 KELANDAIAN RERATA
xi
yi
k1
k2
y * (xi )
0,0
1
....
...
...
0,1
....
....
...
...
0,2
....
....
...
...
0,3
....
....
...
...
0,4
....
....
...
...
0,5
....
....
...
...
0,6
....
....
...
...
0,7
....
....
...
...
0,8
....
....
...
...
0,9
....
....
...
...
1,0
....
....
...
...
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis
(halaman 28 dari 28)