Matematika Untuk Kriptografi

Landasan Matematika
Untuk Kriptografi
1
Pendahuluan

Perlu latar belakang matematika
untuk memahami kriptografi.

Materi matematika yang utama
untuk kriptografi adalah matematika
diskrit.
2
Materi Matematika untuk
Kriptografi:
1.
2.
3.
4.
Relasi dan Fungsi
Teori Bilangan
- Integer dan sifat2 pembagian
- Algoritma Euclidean
- Aritmetika modulo
- Bilangan prima
Kombinatorial
Probabilitas dan Statistik
3
5.
6.
7.


Kompleksitas algoritma
Teori informasi
Aljabar Abstrak (field, ring, group, Galois field)
No. 1 s/d 5 sudah dipelajari di kuliah
Matematika Diskrit dan Probabilitas dan
Statistik
Nomor 6 dan 7 Tidak akan diulang lagi di
dalam kuliah ini
4
Teori Informasi

Mendefinisikan jumlah informasi di dalam
pesan sebagai jumlah minimum bit yang
dibutuhkan untuk mengkodekan pesan.

Contoh:
- 1 bit untuk mengkodekan jenis kelamin
- 3 bit untuk mengkodekan nama hari
- 4 bit untuk mengkodekan 0 s/d 9
5




Entropy:ukuran yang menyatakan jumlah
informasi di dalam pesan.
Biasanya dinyatakan dalam satuan bit.
Entropi berguna untuk memperkirakan jumlah
bit rata-rata untuk mengkodekan elemen dari
pesan.
Contoh: entropi untuk pesan yang menyatakan
jenis kelamin = 1 bit, entropi untuk pesan yang
menyatakan nama hari = 3 bit
6

Secara umum, entropi pesan dihitung
dengan rumus:
n
H(X )  
 p log
i
2 ( pi )
i i
X = pesan
pi = peluang kemunculan simbol ke-i
7

Contoh: pesan X = ‘AABBCBDB’
n = 4 (A, B, C, D)
p(A) = 2/8, p(B) = 4/8
p(C) = 1/8, p(D) = 1/8
H(X) = – 2/8 log2(2/8) – 4/8 log2(4/8) – 1/8 log2(1/8) –
1/8 log2 (1/8) = 14/8 = 1,75
Berarti setiap simbol dikodekan sebanyak 1,75 bit
8

Entropi sistem kriptografi adalah ukuran
ruang kunci, K.

Misal, sistem kriptografi dengan kunci 64bit mempunyai entropi 64 bit.

Makin besar entropi, makin sulit
memecahkan cipherteks.
9
Medan (Field)

Medan adalah himpunan elemen dengan dua
jenis operasi, perkalian dan penjumlahan.

Sebuah medan disebut berhingga (finite field)
jika himpunannya memiliki jumlah elemen yang
berhingga.
10
Medan Berhingga Fp

Fp adalah adalah himpunan bilangan bulat {0, 1,
2, …, p – 1} dengan p prima dan operasi
aritmetika sbb:
1. Penjumlahan
Jika a, b  Fp, maka a + b = r
r adalah sisa hasil pembagian
a + b dengan p
0rp-1
11
2. Perkalian
Jika a, b  Fp, maka a  b = s
s adalah sisa hasil pembagian
a  b dengan p
0sp-1
12
Contoh: F23 mempunyai anggota
{0, 1, 2, …, 22}.
Contoh operasi aritmetika:
12 + 20 = 9 (karena 32 mod 23 = 9)
8  9 = 3 (karena 72 mod 23 = 3)
13
Medan Galois (Galois Field)



Medan Galois adalah medan berhingga dengan
pn elemen, p adalah bilangan prima dan n  1.
Notasi: GF(pn)
Kasus paling sederhana: bila n = 1  GF(p)
dimana elemen-elemennya dinyatakan di dalam
himpunan {0, 1, 2, …, p – 1} dan operasi
penjumlahan dan perkalian dilakukan dalam
modulus p.
14
GF(2):
+
0
0
1

1
0
1
1
0
1
0
1
2
2
1
2
0
0
0
1
1
0
0
0
1
GF(3):
+
0
0
1
2

2
0
1
0
0
1
2
1
0
0
0
2
0
1
2
0
2
1
15