Document

BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1
Saham
Menurut Anoraga dan Parkanti [1], saham dapat didefinisikan sebagai
surat berharga yang dikeluarkan perusahaan atau perseroan terbatas ke masyarakat
agar sesesorang dapat memiliki sebagian hak dari perusahaan tersebut. Hal ini
dilakukan karena pemilik perusahaan membutuhkan modal untuk proses produksi
dan investasi lainnya dalam perusahaan. Dengan menjual sahamnya, maka perusahaan harus berbagi kepemilikan dan keuntungan (deviden) dengan pemegang
saham lain (stock holder). Jumlah minimum dalam membeli saham di pasar
bursa saham adalah sebesar satu lot atau sekitar setara dengan 500 lembar saham (Rahardjo[12]).
2.2
Investasi
Investasi adalah penundaan konsumsi sekarang untuk digunakan dalam
produksi yang efisien selama periode waktu yang tertentu (Jogiyanto [7]). Investasi ke dalam aktiva keuangan dapat berupa investasi langsung dan investasi tidak
langsung. Investasi langsung dilakukan dengan membeli langsung aktiva keuangan
dari suatu perusahaan baik melalui perantara atau dengan cara lainnya. Investasi
tidak langsung dilakukan dengan membeli saham dari perusahaan investasi yang
6
mempunyai portofolio aktiva-aktiva keuangan dari perusahan-perusahaan lain.
Macam-macam investasi langsung yaitu: investasi langsung yang tidak
dapat diperjualbelikan seperti tabungan, deposito. Investasi langsung yang dapat
diperjualbelikan yaitu: Investasi langsung di pasar uang seperti deposito yang
dapat dinegosiasikan, investasi langsung di pasar modal seperti obligasi perusahaan dan saham-saham (equity securities), dan investasi langsung di pasar saham
turunan seperti opsi dan futures contract.
2.3
Proses Investasi
Proses investasi menunjukkan bagaimana investor seharusnya melakukan
investasi dalam sekuritas, yaitu sekuritas (saham) apa yang akan dipilih, seberapa banyak investasi tersebut dan kapan investasi tersebut akan dilakukan
(Husnan[6]). Untuk mengambil keputusan tersebut diperlukan langkah-langkah
sebagai berikut :
1. Menentukan kebijakan investasi
Investor perlu menentukan apa tujuan investasinya, dan berapa banyak
investasi tersebut dilakukan. Karena ada hubungan yang positif antara
risiko dan keuntungan investasi, maka investor tidak bisa mengatakan bahwa
tujuan investasinya adalah untuk mendapatkan keuntungan yang sebesarbesarnya. Investor harus menyadari bahwa ada kemungkinan untuk menderita kerugian. Jadi tujuan investasi harus dinyatakan baik dalam keuntungan
maupun kerugian.
7
2. Analisis sekuritas
Tahap ini berarti melakukan analisis terhadap individual atau sekelompok
sekuritas. Ada berbagai cara untuk melakukan analisis ini, tetapi secara
umum bisa dikelompokkan menjadi dua, yaitu analisis teknikal dan analisis
fundamental.
3. Pembentukan portofolio
Tahapan ini menyangkut pada identifikasi sekuritas-sekuritas mana yang
akan dipilih, dan berapa proporsi dana yang akan ditanamkan pada masingmasing sekuritas (saham).
4. Melakukan revisi portofolio
Tahap ini merupakan pengulangan terhadap tiga tahapan sebelumnya seandainya portofolio sebelumnya dianggap tidak optimal lagi atau tidak sesuai
dengan preferensi risiko investor.
5. Evaluasi kinerja portofolio
Tahap ini investor melakukan penilaian terhadap kinerja portofolio, baik
dalam aspek tingkat pengembalian yang diperoleh maupun risiko yang ditanggung.
Dengan memahami proses investasi tersebut, maka investor dapat menentukan kebijakan dalam berinvestasi salah satunya dengan membentuk portofolio.
8
2.4
Tingkat Keuntungan (Return)
Pengembalian (return) merupakan imbalan yang diperoleh dari inves-
tasi. Return yang diharapkan investor dari investasi yang dilakukannya merupakan kompensasi atas biaya kesempatan (opportunity cost) dan pengembalian
yang terjadi (realized return). Realized return merupakan pengembalian yang
terjadi, dihitung berdasarkan data historis. Pengembalian ini penting karena digunakan sebagai salah satu pengukur kinerja suatu perusahaan. Pengembalian
ini dibedakan menjadi dua, yaitu pengembalian yang terjadi actual return merupakan tingkat pengembalian yang telah diperoleh investor pada masa yang telah
lalu. Sedangkan pengembalian yang diharapkan (exepected return) merupakan
tingkat pengembalian yang telah diantisipasi investor di masa yang akan datang.
Adapun tingkat pengembalian expected return dari suatu aset dapat dihitung dengan persamaan sebagai berikut:
1∑
𝐸(𝑅) =
𝑅𝑡 ,
𝑛 𝑡=1
𝑛
(2.1)
dimana 𝑅𝑡 dihitung dengan formula:
𝑅𝑡 = ln(
𝑆𝑡
), untuk 𝑡 = 1, ⋅ ⋅ ⋅ , 𝑛
𝑆𝑡−1
(2.2)
sedangkan 𝑆𝑡 adalah harga aset pada saat 𝑡 (diasumsikan diskret) dan 𝑛 menyatakan jumlah periode observasi data pergerakan harga saham.
2.5
Risiko yang Ditanggung (Variansi)
Risiko adalah kerugian akibat kejadian yang tidak dikehendaki muncul
(Sunaryo [16]). Kejadian yang tak diharapkan ini dapat muncul dari berbagai
9
sumber. Pada teori investasi modern berbagai risiko tersebut digolongkan menjadi
dua, yaitu: risiko sistematis (systematic risk) merupakan risiko yang dipengaruhi
oleh kondisi diluar perusahaan seperti ekonomi, politik dan faktor makro lain yang
tidak dapat dihilangkan melalui diversifikasi. Sedangkan risiko tidak sistematis
(unsystematic risk) merupakan risiko yang dipengaruhi oleh kondisi perusahaan
atau industri tertentu dan dapat diturunkan dengan melakukan diversifikasi.
Konsep dari risiko portofolio pertama kali diperkenalkan secara formal
oleh Harry M. Markowitz di tahun 1950-an. Dia menunjukkan bahwa secara
umum risiko mungkin dapat dikurangi dengan menggabungkan beberapa sekuritas tunggal ke dalam bentuk portofolio. Risiko portofolio adalah variansi return
sekuritas-sekuritas yang membentuk portofolio tersebut (Jogiyanto [7]). Salah
satu pengukur risiko adalah standar deviasi (standard deviation) atau variansi
(variance) yang merupakan kuadrat dari standar deviasi.
Variansi adalah rata-rata hitung deviasi kuadrat setiap data terhadap
rata-rata hitungnya. Metode perhitungan variansi yang diperkenalkan Markowitz
mengasumsikan bahwa penyebaran data return berdistribusi normal dan variansi
yang konstan serta probabilitas seluruh return adalah sama. Variansi dari return
sebuah saham dengan sejumlah n buah data dirumuskan sebagai berikut:
1∑
𝜎 =
(𝑅𝑡 − 𝐸(𝑅))2
𝑛 𝑡=1
𝑛
2
(2.3)
dan standar deviasi dari aset adalah
𝜎=
√
𝜎2
(2.4)
dimana 𝜎 2 nilai variansi dari tingkat pengembalian suatu aset, 𝑅𝑡 menyatakan
10
tingkat pengembalian (return) dari suatu aset pada saat 𝑡 dan 𝜎 menyatakan
nilai standar deviasi suatu aset.
2.6
Monte Carlo
Simulasi Monte Carlo (dikenal juga dengan Sampling Simulation atau
Monte Carlo Sampling Teachnique) pada intinya adalah simulasi yang mengikutsertakan pembangkitan bilangan acak dengan distribusi probabilitas yang dapat diketahui dan ditentukan. Karena algoritma ini memerlukan pengulangan
(repetisi) dan perhitungan yang amat kompleks, metode Monte Carlo pada umumnya dilakukan dengan menggunakan komputer. Kelebihan metode ini adalah dapat mengetahui harga saham setiap waktu 𝑡 dan kemudahan dalam membuat
program simulasinya. Namun disini, untuk menentukan nilai saham dengan nilai dasar aset tersebut hanya satu harga tidaklah relevan, harus diproses melalui
banyak iterasi dengan variabel acak yang berbeda. Simulasi Monte Carlo digunakan untuk memperkirakan nilai saham yang akan datang dengan merataratakan kemungkinan yang terjadi.
Pergerakan harga saham 𝑆𝑡 mengikuti gerak Brown Geometri, dimana
persamaan differensial stokastiknya dapat ditulis sebagai berikut :
𝑑𝑆𝑡 = 𝑟𝑆𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎𝑡 𝑆𝑡 𝑑𝑊𝑡
(2.5)
dimana 𝑆𝑡 merupakan harga saham pada waktu 𝑡, 𝑟 adalah tingkat suku bunga
bebas risiko, 𝜎 merupakan volatilitas, dan 𝑊 adalah ’Brownian motion’.
11
Jika kedua ruas dibagi 𝑆𝑡 , maka diperoleh :
𝑑𝑆𝑡
= 𝑟𝑑𝑡 + 𝜎𝑡 𝑑𝑊𝑡
𝑆𝑡
atau
𝑑𝑆𝑢
= 𝑟𝑑𝑢 + 𝜎𝑢 𝑑𝑊𝑢
𝑆𝑢
mengintegralkan kedua ruas dengan batas 𝑡0 sampai 𝑡, didapat :
∫
𝑡
𝑡0
1
𝑑𝑆𝑢 =
𝑆𝑢
ln 𝑆𝑢 ∣𝑡𝑡0 =
ln 𝑆𝑡 − ln 𝑆𝑡0 =
ln 𝑆𝑡 =
ln 𝑆𝑡 =
𝑆𝑡 =
𝑆𝑡 =
∫
∫
𝑡
𝑡
𝑟𝑑𝑢 +
𝜎𝑢 𝑑𝑊𝑢
𝑡0
∫ 𝑡
𝑡
𝑟𝑢∣𝑡0 +
𝜎𝑢 𝑑𝑊𝑢
𝑡0
∫ 𝑡
(𝑟𝑡 − 𝑟𝑡0 ) +
𝜎𝑢 𝑑𝑊𝑢
𝑡0
∫ 𝑡
ln 𝑆𝑡0 + 𝑟(𝑡 − 𝑡0 ) +
𝜎𝑢 𝑑𝑊𝑢
𝑡0
∫ 𝑡
ln 𝑆𝑡0 + 𝑟Δ𝑡 +
𝜎𝑢 𝑑𝑊𝑢
𝑡0
∫ 𝑡
ln 𝑆𝑡0 + 𝑟Δ𝑡 +
𝜎𝑢 𝑑𝑊𝑢
𝑡0
𝑒
∫ 𝑡
𝑟Δ𝑡 +
𝜎𝑢 𝑑𝑊𝑢
𝑡0
𝑆𝑡0 𝑒
𝑡0
dengan menggunakan lemma Ito diperoleh :
∫
𝑡
𝑡0
sehingga
𝜎𝑢 𝑑𝑊𝑢 = 𝜎𝑡 Δ𝑊𝑡 −
𝜎𝑡2
Δ𝑡
2
𝜎2
𝑟Δ𝑡 + 𝜎𝑡 Δ𝑊𝑡 − 𝑡 Δ𝑡
2
𝑆𝑡 = 𝑆𝑡0 𝑒
√
diketahui bahwa Δ𝑊 = 𝜀 Δ𝑡 maka diperoleh :
√
𝜎2
𝑟Δ𝑡 + 𝜎𝑡 𝜀 Δ𝑡 − 𝑡 Δ𝑡
2
𝑆𝑡 = 𝑆𝑡0 𝑒
12
atau
√
𝜎2
(𝑟 − 𝑡 )Δ𝑡 + 𝜎𝑡 𝜀 Δ𝑡
2
𝑆𝑡 = 𝑆𝑡0 𝑒
Harga saham pada waktu 𝑡 = 0 atau 𝑆𝑡0 merupakan harga saham saat ini (𝑆0 ).
Sehingga persamaan tersebut dapat ditulis dengan :
𝑆𝑡 = 𝑆0 𝑒
2.7
(𝑟 −
√
𝜎𝑡2
)Δ𝑡 + 𝜎𝑡 𝜀 Δ𝑡
2
(2.6)
Koefisien Korelasi
Koefisien Korelasi menunjukkan hubungan antara suatu variabel dengan
variabel lainnya. Meskipun demikian, hubungan ini bukan merupakan hubungan
sebab akibat. Misalnya 𝑅1 merupakan return dari saham pertama, 𝑅2 adalah
return dari saham kedua, dan 𝑛 jumlah data, maka untuk menghitung koefisien
korelasi (𝜌), digunakan persamaan :
𝜌𝑅1 ,𝑅2
∑
∑
𝑅1,𝑖 𝑅2,𝑖 − 𝑛𝑖=1 𝑅1,𝑖 𝑛𝑖=1 𝑅2,𝑖
=√
∑
∑
∑
∑
2
2
{[𝑛 𝑛𝑖=1 𝑅1,𝑖
− ( 𝑛𝑖=1 𝑅1,𝑖 )2 ][𝑛 𝑛𝑖=1 𝑅2,𝑖
− ( 𝑛𝑖=1 𝑅2,𝑖 )2 ]}
𝑛
∑𝑛
𝑖=1
(2.7)
Nilai koefisien korelasi terletak pada interval −1 dan 1 (−1 ≤ 𝜌𝑅1 ,𝑅2 ≤ 1).
Koefisien korelasi yang bernilai positif menunjukkan bahwa tingkat pengembalian
antara dua sekuritas selalu bergerak dengan arah yang sama, sedangkan koefisien
korelasi yang bernilai negatif menunjukkan pergerakan tingkat pengembalian yang
berlawanan. Koefisien korelasi akan mempengaruhi risiko serta tingkat pengembalian dalam dalam portofolio, maka dari itu pemilihan saham untuk membentuk
portofolio juga harus mempertimbangkan koefisien korelasi masing-masing saham.
13
2.8
Kovarian
Berhadapan dengan dua variabel acak atau lebih, hubungan saling keter-
gantungan antara variabel-variabel acak dapat ditentukan dengan kovarian. Kovarian adalah ukuran penyebaran dua atau lebih variabel acak (Luenberger [9]).
Dalam portofolio, kovarian ditentukan karena menyangkut lebih dari satu variabel
acak 𝑅. Kovarian dari dua variabel acak 𝑅1 dan 𝑅2 dapat dinotasikan dengan
𝜎12 dan dapat ditentukan dengan formulasi :
𝐶𝑜𝑣(𝑅1 , 𝑅2 ) = 𝜌𝑅1 ,𝑅2 𝜎𝑅1 𝜎𝑅2
atau
𝜎12 = 𝜌12 𝜎1 𝜎2
(2.8)
Jika variabel acak 𝑅1 dan 𝑅2 mempunyai nilai kovarian 𝜎12 = 0, maka
variabel acak 𝑅1 dan 𝑅2 dikatakan tidak berkorelasi (uncorrelated). Jika 𝜎12 > 0,
maka dua variabel acak tersebut dikatakan berkorelasi positif (positively correlated). Dan jika 𝜎12 < 0, maka dua variabel acak tersebut dikatakan berkorelasi
negatif (negatively correlated). Ukuran dari korelasi dua buah variabel acak dikenal dengan koefisien korelasi.
2.9
Portofolio
Portofolio adalah suatu kumpulan dari investasi yang digabungkan un-
tuk memenuhi tujuan investasi. Portofolio juga merupakan komposisi aset yang
menjadi pilihan seorang investor. Aset tersebut berupa financial asset seperti saham (stock), obligasi (bond), dan opsi (option) maupun real asset seperti tanah,
14
gedung, kendaraan, dan perusahaan.
Tujuan pembentukan portofolio yaitu mengurangi kerugian investasi yang
mungkin timbul dari suatu sarana investasi dengan menutupnya menggunakan
keuntungan yang diperoleh dari sarana investasi yang lain. Dengan membentuk
portofolio, para investor berusaha memaksimalkan tingkat pengembalian yang
diharapkan dari investasi dengan tingkat risiko tertentu, atau berusaha meminimalkan risiko untuk sasaran tingkat pengembalian tertentu.
Tingkat pengembalian (return) mengandung unsur ketidakpastian atau
risiko, oleh karena itu investor dapat menginterpretasikan dengan membentuk
portofolio yang efesien. Portofolio yang efisien merupakan portofolio yang memberikan ekspektasi return terbesar dengan tingkat risiko tertentu atau portofolio yang mengandung risiko terkecil dengan tingkat ekspektasi return tertentu
(Jogiyanto [7]). Pada umumnya, investor yang rasional akan memilih portofolio
ini karena dengan tingkat risiko tertentu portofolio ini memberikan return yang
maksimal.
2.10
Teori Portofolio Mean-Variance
Harry M. Markowitz mengembangkan suatu teori yang disebut dengan Teori
Portofolio Markowitz. Teori Markowitz menggunakan beberapa pengukuran statistik dasar untuk mengembangkan suatu rencana portofolio, diantaranya expected
return, standar deviasi baik sekuritas maupun portofolio, dan korelasi antar return. Teori ini memformulasikan keberadaan unsur return dan risiko dalam suatu investasi, dimana unsur risiko dapat diminimalisir melalui diversifikasi dan
15
mengkombinasikan berbagai instrumen investasi ke dalam portofolio.
Teori portofolio Markowitz didasarkan atas pendekatan mean (rata-rata)
dan variance (varian), dimana mean merupakan pengukuran tingkat return dan
varian merupakan pengukuran tingkat risiko. Teori portofolio Markowitz ini disebut juga sebagai mean-variance model, yang menekankan pada usaha memaksimalkan ekspektasi return (mean) dan meminimumkan ketidakpastian / risiko
(varian) untuk memilih dan menyusun portofolio optimal.
Menurut Halim [4], pemilihan portofolio dengan mean-variance dapat
dilakukan dengan cara:
1. Memilih portofolio yang memiliki pengembalian yang tinggi, dengan resiko
yang sama, atau
2. Memilih portofolio dengan risiko terkecil dari pengembalian yang sama.
Pada prinsipnya, portofolio mean-variance yang efisien dapat dicapai
dengan dua cara (Scherer and Martin [15]):
1. Meminimumkan risiko (variance) untuk memperoleh rata-rata keuntungan
(mean return) tertentu.
2. Memaksimalkan rata-rata keuntungan (mean return) dengan menanggung
risiko (variance) tertentu.
Secara umum formulasi dari teori mean-variance dapat dijabarkan sebagai
berikut: misalkan seseorang ingin menginvestasikan modalnya sejumlah 𝑋 pada
sejumlah 𝑛 sekuritas yang berbeda dan misalkan 𝑅𝑖 adalah return sekuritas ke-𝑖
16
Tabel 2.1: Matrik Variance-covariance
Saham 1
Saham 2
Saham 3
...
Saham n
Saham 1
𝑋1 𝑋1 𝜎1 𝜎1
𝑋1 𝑋2 𝜎12
𝑋1 𝑋3 𝜎13
...
𝑋1 𝑋𝑛 𝜎1𝑛
Saham 2
𝑋2 𝑋1 𝜎21
𝑋2 𝑋2 𝜎2 𝜎2
𝑋2 𝑋3 𝜎23
...
𝑋2 𝑋𝑛 𝜎2𝑛
Saham 3
..
.
𝑋3 𝑋1 𝜎31
..
.
𝑋3 𝑋2 𝜎32
..
.
𝑋3 𝑋3 𝜎3 𝜎3
..
.
...
𝑋3 𝑋𝑛 𝜎3𝑛
..
.
Saham n
𝑋𝑛 𝑋1 𝜎𝑛1
𝑋𝑛 𝑋2 𝜎𝑛2
𝑋𝑛 𝑋3 𝜎𝑛3
...
𝑋𝑛 𝑋𝑛 𝜎𝑛 𝜎𝑛
¯ 𝑖 = 𝐸(𝑅𝑖 ) maka:
atau 𝑅
𝐸(𝑅𝑝 ) = 𝑋1 𝐸(𝑅1 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + 𝑋𝑛 𝐸(𝑅𝑛 )
=
𝑛
∑
𝑋𝑖 𝐸(𝑅𝑖 ) =
𝑖=1
𝑛
∑
¯𝑖
𝑋𝑖 𝑅
(2.9)
𝑖=1
dimana, 𝑋𝑖 , 𝑖 = 1, ⋅ ⋅ ⋅ , 𝑛 adalah proporsi dana yang diinvetasikan pada masingmasing saham, sedangkan 𝑅𝑝 adalah return dari portofolio.
Jadi apabila terdapat sejumlah 𝑛 saham yang membentuk portofolio,
maka menurut Markowitz risiko portofolio dapat dihitung formula:
𝜎𝑝2
=
𝑛
∑
𝑖=1
𝑋𝑖2 𝜎𝑖2
+
𝑛 ∑
𝑛
∑
𝑋𝑖 𝑋𝑗 𝜎𝑖𝑗
,
𝑗 ∕= 𝑖
(2.10)
𝑖=1 𝑗=1
dimana 𝑋𝑖 atau 𝑋𝑗 merupakan proporsi dana pada masing-masing saham dan 𝜎𝑖𝑗
merupakan kovarian saham 𝑖 dan saham 𝑗. (𝜎𝑖𝑗 = 𝜌𝑖𝑗 𝜎𝑖 𝜎𝑗 ), dimana 𝜌𝑖𝑗 = koefisien
korelasi saham 𝑖 dan 𝑗 yang dihitung dengan persamaan (2.7). Dalam menghitung
variance portofolio, akan lebih mudah jika dinyatakan dalam bentuk Tabel (2.1).
Pembentukan portofolio tidak dapat menghilangkan risiko secara utuh,
tetapi dapat mengurangi risiko dibandingkan dengan berinvestasi pada satu jenis saham. Investor dengan modal tertentu yang akan diinvestasikan sering kali
17
menginginkan untuk memaksimalkan nilai harapan tingkat pengembalian dari investasinya, sementara secara bersamaan menginginkan jaminan bahwa risiko dari
portofolionya kecil. Tetapi keuntungan dari saham dengan mengharapkan nilai keuntungan yang besar selalu diikuti dengan risiko yang tinggi pula. Maka
dari itu, seringkali masalah pemilihan portofolio didekati dengan cara memilih
portofilio yang memberikan keuntungan minimum dengan risiko yang minimun
juga (Winston [17]).
2.11
Formulasi Portofolio
Model porrtofolio yang efisien akan dibentuk menjadi suatu formulasi
dengan konsep optimasi, dimana komponen persamaan portofolio akan diubah ke
bentuk matrik dan vektor.
Jika persamaan (2.9) diubah dalam bentuk matrik akan menjadi :
𝜇 = R𝑇 X
⎛
⎛
𝜇 = ⎝ 𝑟 𝑟 ... 𝑟
1
2
𝑁
⎞
(2.11)
⎜
⎟
⎜ 𝑋1 ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
⎞⎜
⎜ 𝑋2 ⎟
⎜
⎟
⎟
⎠⎜
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ .. ⎟
⎜ . ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
𝑋𝑁
dimana 𝜇 = 𝐸[𝑅𝑝 ], R dan X adalah vektor kolom sedangkan 𝑇 adalah simbol
dari tranpose dan 𝑟1 = 𝐸[𝑅1 ].
18
Jika persamaan (2.10) dinyatakan dalam bentuk matrik akan menjadi :
𝜎𝑝2 =
1 𝑇
X HX
2
⎛
𝜎𝑝2 =
⎞⎛
⎛
1⎝
𝑋1 𝑋2 . . . 𝑋𝑁
2
⎜
⎜ 𝜎11 𝜎12
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞⎜
⎜ 𝜎21 𝜎22
⎜
⎠⎜
⎜
⎜
⎜ ..
..
⎜ .
.
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
𝜎𝑁 1 𝜎𝑁 2
(2.12)
⎞
⎟
⎟⎜
. . . 𝜎1𝑁 ⎟ ⎜ 𝑋1 ⎟
⎟
⎟⎜
⎟
⎟⎜
⎟
⎟⎜
⎟
⎟⎜
⎟
⎟⎜
⎜ 𝑋2 ⎟
. . . 𝜎2𝑁 ⎟
⎟
⎟⎜
⎟
⎟⎜
⎟
⎟⎜
⎟
⎟⎜
.. ⎟ ⎜ .. ⎟
..
⎟
⎜
.
. ⎟
⎟⎜ . ⎟
⎟
⎟⎜
⎟
⎟⎜
⎟
⎟⎜
⎠
⎠⎝
𝑋𝑁
. . . 𝜎𝑁 𝑁
dimana H merupakan matrik Hessian 𝑛 × 𝑛 yang isinya nilai variance-covariance
dengan 𝜎𝑖𝑗 elemen dari matrik H adalah konstan, sehingga 𝜎𝑖𝑗 = 𝜎𝑗𝑖 (Hillier
and Lieberman [5]). Dari persamaan (2.11) dan (2.12) akan dibentuk dua model
portofolio efisien yang dapat diformulasikan sebagai berikut :
1. Model 2.a (Meminimumkan risiko dengan keuntungan tertentu)
Minimalkan :
1 𝑇
X HX
2
(2.13)
Dengan batasan :
𝑛
∑
𝐸(𝑅𝑖 )𝑋𝑖 = 𝐸(𝑅𝑃 );
𝑖=1
𝑛
∑
𝑋𝑖 = 1 𝑑𝑎𝑛 𝑋𝑖 ≥ 0
(2.14)
𝑖=1
2. Model 2.b (Memaksimumkan keuntungan dengan tingkat risiko tertentu)
Maksimalkan :
𝑛
∑
𝐸(𝑅𝑖 )𝑋𝑖
(2.15)
𝑖=1
Dengan batasan :
𝑛
∑
1 𝑇
2
X HX ≤ 𝜎𝑝 ;
𝑋𝑖 𝑑𝑎𝑛 𝑋𝑖 ≥ 0
2
𝑖=1
19
(2.16)
Model 2.a menunjukkan permasalahan tersebut merupakan permasalahan optimasi nonlinear karena mempunyai fungsi tujuan berbentuk kuadrat, sedangkan model 2.b merupakan permasalahan optimasi linear karena mempunyai
fungsi tujuan berbentuk linear. Model 2.a akan menghasilkan portofolio yang
mempunyai risiko terkecil dengan tingkat keuntungan tertentu, sedangkan model
2.a akan menghasilkan portofolio yang mempunyai keuntungan terbesar dengan
risiko tertentu.
2.12
Value at Risk (VaR)
Value at Risk (VaR) dipopulerkan oleh J.P. Morgan pada tahun 1994
sebagai alat ukur risiko. Value at Risk (VaR) adalah kerugian yang dapat ditoleransi dengan tingkat kepercayaan (keamanan) tertentu (Sunaryo [16]).Value at
Risk (VaR) menurut Engle dan Manganelli [3] adalah potensi kerugian maksimum pada sebuah portofolio dengan didasarkan pada nilai peluang pada kurun
waktu (periode) tertentu. VaR menggambarkan nilai kuantil dari distribusi keuntungan dan kerugian dalam target waktu horizon yang diinginkan dengan tingkat
kepercayaan yang ditetapkan. Sebagai contoh, dengan tingkat kepercayaan 95%,
VaR tidak mungkin melampaui titik 95% dari observasi. Jika ada 552 kejadian,
maka VaR adalah 27 kejadian, yaitu 5% dari 552(Jorion [8]).
VaR secara umum dapat didefinisikan sebagai berikut :
𝑃 𝑟[𝑟 ≤ 𝑉 𝑎𝑅] = 1 − 𝛼
(2.17)
dengan 𝑟 adalah return selama periode horizon, dan 1 − 𝛼 adalah tingkat kepercayaan.
20
Nilai VaR diperoleh dari distribusi peluang return yaitu:
∫
1 − 𝛼 = 𝐹𝑟 (𝑉 𝑎𝑅) =
𝑉 𝑎𝑅
−∞
𝑓𝑟 (𝑥)𝑑𝑥
(2.18)
dengan 𝐹𝑟 (𝑥) = 𝑃 𝑟[𝑟 ≤ 𝑥] adalah fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function/cdf ) dari return dan 𝑓𝑟 (𝑥) adalah fungsi kepekatan peluang
(probability density function/pdf) dari return dan 1 − 𝛼 adalah tingkat kepercayaan. Sehingga dapat dikatakan bahwa VaR adalah invers dari fungsi distribusi
kumulatif dan dapat dituliskan sebagai berikut :
𝑉 𝑎𝑅 = 𝐹𝑟−1 (𝛼)
(2.19)
Walaupun Value at Risk (VaR) adalah konsep yang mudah, pengukurannya merupakan masalah statistik yang tidak mudah (Engle dan Manganelli [3]).
Menurut Ruppert [13], VaR didefinisikan sebagai batas risiko pasar (risk market) yang dapat diperkirakan sedemikian sehingga kerugian selama waktu horizon
tertentu lebih kecil dari batas kerugian tersebut, dengan peluang kejadian sebesar tingkat kepercayaan (confidence level) tertentu. VaR dapat digunakan untuk
mengestimasi risiko dalam berbagai waktu horizon (horizon time), mulai dari harian, mingguan hingga bulanan.
Dalam pengukuran risiko dengan VaR, ada dua hal penting yang harus
ditentukan terlebih dahulu yaitu tingkat kepercayaan (confidence level) dan periode horizon (time horizon/holding period).
1. Tingkat kepercayaan (confidence level)
Koefisien ini menetapkan peluang bahwa selang kepercayaan akan mencakup
nilai parameter yang sebenarnya. Oleh karena dalam menentukan peluang
21
tersebut cukup besar dan biasanya nilai yang dipilih adalah 90%, 95%, 99%
(Sunaryo [16]).
2. Periode horizon (time horizon/holding period)
Panjang periode untuk meramalkan kerugian disebut periode horizon (holding period ). Penyimpangan pada nilai portofolio lebih mungkin didapatkan
dengan periode yang panjang daripada periode yang singkat. Panjang periode horizon yang cukup tergantung pada apakah risiko diukur dari perspektif perseorangan atau pengelola. Regulasi perbankan mensyaratkan perhitungan VaR menggunakan 10-hari periode horizon. Namun dalam dunia
nyata, pemodal lebih sering melakukan investasi untuk jangka waktu sebulan. Karena itu, periode horizon 22-hari (1 bulan) juga bisa digunakan.
Pengukuran risiko berbasis VaR secara umum akan mengarahkan pada
manajemen risiko yang lebih baik. Dalam manajemen risiko dikatakan bahwa VaR
mampu mengkomunikasikan risiko dengan baik karena VaR dapat mengukur berapa risiko suatu portofolio (Sunaryo [16]). Value at Risk (VaR) suatu portofolio
dapat diformulasikan sebagai berikut:
v
u ∑
𝑛
u 𝑛 ∑
⎷
𝑉 𝑎𝑅 = −𝑧1−𝛼 𝑇
𝑋𝑖 𝑋𝑗 𝜌𝑖𝑗 𝜎𝑖 𝜎𝑗 𝑅¯𝑖 𝑅¯𝑗
(2.20)
𝑖=1 𝑗=1
dengan −𝑧1−𝛼 merupakan unit variabel normal acak, 𝑇 merupakan time horizon,
𝑋 merupakan proporsi dana, 𝜌𝑖𝑗 𝜎𝑖 𝜎𝑗 merupakan kovarian saham 𝑖 dengan saham
𝑗, dan 𝑅¯𝑖 𝑅¯𝑗 merupakan expected return saham 𝑖 dengan saham 𝑗. Tujuan utama
sistem VaR adalah untuk menaksir risiko pasar yang didasarkan pada perubahan
harga pasar (Jorion [8]).
22