Integral Trigonometri

CONTOH SOAL
1.
∫ sin( 3x − 2 ) dx = ....
Jawab:
Dengan menggunakan rumus 1
1
∫ sin( 3x − 2 ) dx = − 3 cos ( 3x − 2 )
1
si
AS
Se
KEL
RUMUS DASAR INTEGRAL TRIGONOMETRI
1
1.
∫ sin( ax + b ) dx = − a cos ( ax + b ) + c
1
2.
∫ cos ( ax + b ) dx = a sin( ax + b ) + c
1
2
3.
∫ sec ( ax + b ) dx = a tan( ax + b ) + c
1
2
4.
∫ cosec ( ax + b ) dx = − a cotan( ax + b ) + c
1
5.
∫ sec ( ax + b ) ⋅ tan( ax + b ) dx = a sec ( ax + b ) + c
1
6.
∫ cosec ( ax + b ) ⋅ cotan( ax + b ) dx = − a cosec ( ax + b ) + c
GAN
A.
03
BUN
INTEGRAL TRIGONOMETRI
A - K U RIKUL
I IP
UM
GA
MATEMATIKA
XI
2.
∫ ( cos 2x + 3 sin6 x ) dx = ....
Jawab:
∫ ( cos 2x + 3 sin6 x ) dx = ∫ cos 2x dx + 3∫ sin6x dx
→ Penggunaan sifat-siifat integral
1
 3

= sin2x +  − cos 6x  + c
2
6


1
1
= sin2x − cos 6x + c
2
2
3.
∫ ( 8 sec 4 x ⋅ tan 4 x − 4 sin2 x ) dx = ....
Jawab:
8
 4

∫ ( 8 sec 4 x ⋅ tan 4 x − 4 sin2 x ) dx = 4 sec 4 x −  − 2 cos 2x  + c
= 2 sec 4 x + 2 cos2x + c
4.
π
Diketahui f'(x) = sinx + cos2x. Bila f   = 6 maka fungsi f(x) adalah ....
2
Jawab:
f ( x ) = ∫ f ’( x )dx
f ( x ) = ∫ ( sin x + cos 2x ) dx
1
f ( x ) = − cosx + sin2x + c
2
π
π
Substitusikan x = dengan f   = 6
2
2
π 1
π
π
f   = − cos + sin2 ⋅ + c = 6
2
2
2
2
 
c=6
Maka
1
f ( x ) = − cosx + sin2x + 6
2
B.
MODIFIKASI INTEGRAL TRIGONOMETRI
Ada bentuk-bentuk fungsi trigonometri yang tidak bisa langsung diintegralkan, akan
tetapi perlu diubah terlebih dahulu menjadi bentuk rumus dasarnya.
2
a.
Rumus Satu (1)
tan2 x + 1 = sec2 x → tan2 x = sec2 x − 1
cotan2 x + 1 = cos ec2 x → cot an2 x = cos ec2 x − 1
CONTOH SOAL
1.
∫ 6 tan
3x dx = ....
∫ 6 tan
3x dx = 6 ∫ tan2 3 x dx
2
Jawab:
2
= 6 ∫ ( sec2 3x − 1)dx
1

= 6  tan3x − x  + c
3

= 2 tan3x − 6 x + c
2.
∫ ( sin2x − cot an 4 x ) dx = ....
2
Jawab:
∫ ( sin2x − cot an 4 x ) dx = ∫ sin2 xdx − ∫ cotan
2
2
4 x dx
1
= − cos 2x + c1 − ∫ cos ec2 4 x − 1dx
2
1
 1

= − cos 2x + c1 −  − cot an4 x − x  + c2
2
 4

1
1
= − cos 2x + cotan4 x + x + c
2
4
b.
Rumus Dua (2)
Fungsi-fungsi kebalikan, antara lain:
1.
1
= cos ec x
sin x
2.
1
= sec x
cos x
3.
sin x
= tan x
cos x
3
CONTOH SOAL
1.
sin x
dx = ....
2
x
∫ cos
Jawab:
sin x
1 sin x
⋅
dx = ∫
dx
2
x
cos x cos x
= ∫ sec x ⋅ tan x dx
∫ cos
= sec x + c
2.
cos 2x
dx = ....
2
2x
∫ sin
Jawab:
cos 2x
1 cos 2x
⋅
dx = ∫
dx
2
2x
sin2x sin2x
= ∫ cosec 2x ⋅ co tan2x dx
∫ sin
1
= − cosec 2x + c
2
c.
Rumus Tiga (3)
Rumus perkalian fungsi, antara lain:
1.
sin x ⋅ c os y =
1
[sin(x + y) + sin(x − y)]
2
2.
cos x ⋅ s in y =
1
[sin(x + y) − sin(x − y)]
2
3.
cos x ⋅ cosy =
1
[cos(x + y) + cos(x − y)]
2
4.
sinx ⋅ siny = −
1
[cos(x + y) − cos(x − y)]
2
Dari rumus no. 1, 3, dan 4 akan didapatkan:
5.
1
sinx ⋅ cosx = sin2x
2
6.
1 1
cos2 x = + cos 2x
2 2
7.
1 1
sin2 x = − cos 2x
2 2
4
CONTOH SOAL
1.
∫ 4 sin3x ⋅ cos x dx = ....
Jawab:
1
∫ 4 sin3x ⋅ cos x dx = ∫ 4 ⋅ 2 ( sin(3x + x ) + sin(3x − x )) dx
= ∫ ( 2 sin 4 x + 2 sin2x ) dx
2
2
= − cos 4 x − cos 2x + c
4
2
1
= − cos 4 x − cos 2x + c
2
2.
∫ 6 cos x ⋅ cos 3x dx = ....
Jawab:
∫ 6 cos x ⋅ cos 3x dx = ∫ 6 cos 3x ⋅ cosx dx
→ Tempatkan sudut besar diawal
1
( cos 4 x + cos 2x ) dx
2
= ∫ ( 3 cos 4 x + 3 cos 2x ) dx
= ∫6⋅
3
3
= sin 4 x + sin2x + c
4
2
3.
1
∫ − 2 sin x ⋅ sin3x dx = ....
Jawab:
1
1
∫ − 2 sin x ⋅ sin3x dx = ∫ − 2 sin3x ⋅ sinx dx
1 1 
= ∫ −  −  ( cos 4 x − cos 2x ) dx
2 2 
1
1

= ∫  cos 4 x − cos 2x  dx
4
4


1
1
= sin 4 x − sin2x + c
16
8
4.
∫ ( sin2x + cos 2x )
2
dx = ....
5
Jawab:
∫ ( sin2x + cos 2x )
2
dx = ∫ ( sin2 2x + cos2 2x + 2 sin2x cos 2x ) dx
1

= ∫1+ 2  sin 4 x  dx → Rumus no.5
2

= ∫ (1+ sin 4 x ) dx
1
= x − cos 4 x + c
4
Catatan:
Ingat sin2 A + cos2 A = 1.
5.
∫ sin
2x dx = ....
∫ sin
1 1

2x dx = ∫  − cos 4 x  dx → Rumus no.7
2 2

1
1
= x − sin 4 x + c
2
8
2
Jawab:
2
6.
∫ 4co s ( 2x + 3) dx = ....
2
Jawab:
1 1

∫ 4co s ( 2x + 3) dx = ∫ 4  2 + 2 cos 2(2x + 3)  dx
2
=
∫ ( 2 + 2 cos(4 x + 6)) dx
2
= 2x + sin( 4 x + 6 ) + c
4
1
= 2x + sin( 4 x + 6 ) + c
2
7.
∫ ( co s
2
3x − sin2 3x ) dx = ....
Jawab:
∫ ( co s
2
 1 1

 1 1
3x − sin2 3x ) dx = ∫  + cos 6 x  −  − cos 6 x   dx

 2 2
 2 2
=
∫ cos 6x dx
1
= sin 6 x + c
6
Catatan:
Dapat ditarik kesimpulan: cos2 A – sin2 A = cos2 A
6
8.
∫ sin
x dx = ....
∫ sin
x dx = ∫ ( sin2 x ) dx
4
Jawab:
2
4
2

1 1
= ∫  − cos 2x  dx
2 2

1
1 1

= ∫  − cos 2x + cos2 2x  dx
4
4 2

1 1
1 1 1

= ∫  − cos 2x +  + cos 4 x   dx
4 2 2

4 2
1
3 1

= ∫  − cos 2x + cos 4 x  dx
8
8 2

3
1
1
= x − sin2x + sin 4 x + c
8
4
32
Catatan:
cos22x perlu diurai kembali.
LATIHAN SOAL
1.
∫ ( sin3x + cos 2x − sec
A.
B.
C.
D.
E.
2.
2
3x ) dx = ....
1
1
1
cos 3x − sin2x − sec 3x + c
2
3
3
1
1
1
cos 3x + sin2x − tan3x + c
3
3
2
1
1
1
− cos 3x − sin2x + tan3x + c
3
2
3
1
1
− cos 3x + sin2x + tan3x + c
3
2
1
1
1
− cos 3x + sin2x − tan3x + c
3
2
3
cos ( 2x + 1)
∫ sin ( 2x + 1) dx = ....
2
A.
B.
1
cosec ( 2x + 1) + c
2
1
− cosec ( 2x + 1) + c
2
7
3.
C.
1
sec ( 2x + 1) + c
2
D.
1
− sec ( 2x + 1) + c
2
E.
sec ( 2x + 1) + c
∫ ( tan
2
1
tan2x + cot anx + x + c
2
1
tan2x − cot anx − x + c
2
1
tan2x − cot anx − 2x + c
2
1
tan2x + cot anx − 2x + c
2
1
− tan2x + cot anx − 2x + c
2
A.
B.
C.
D.
E.
4.
∫ 4 sin5x cosx dx = ....
1
1
− cos 6 x − cos 4 x + c
3
4
1
1
− cos 6 x − cos 4 x + c
3
2
1
1
− cos 6 x + cos 4 x + c
3
2
A.
B.
C.
1
1
cos 6 x − cos 4 x + c
3
2
1
1
cos 6 x + cos 4 x + c
3
2
D.
E.
5.
2x + cot an2 x ) dx = ....
1
∫ − 3 sinx cos4x dx = ....
A.
B.
C.
1
1
sin5x + sin3x + c
30
18
1
1
− sin5x − sin3x + c
30
18
1
1
sin5x + sin3x + c
30
18
−
8
6.
D.
1
1
sin5x − sin3x + c
30
18
E.
1
1
sin5x − sin3x + c
30
9
∫ ( sin x − cos x )
B.
C.
D.
E.
∫ sin
2
A.
B.
C.
D.
E.
8.
dx = ....
1
x 2 + sin2x + c
2
1
x + sin2x + c
2
1
x − sin2x + c
2
1
x + cos 2x + c
2
1
x − cos 2x + c
2
A.
7.
2
6x dx = ....
1
1
x − cos12x + c
2
12
1
1
x + cos12x + c
2
24
1
1
x − cos12x + c
2
24
1
1
x − sin12x + c
2
24
1
1
x + sin12x + c
2
24
1
x dx = ....
2
A. x + cosx + c
B. x – cosx + c
C. x + sinx + c
D. x – sinx + c
∫ 2 cos
E.
2
1
x + sin x + c
2
9
9.
∫ ( sin
2
A.
B.
C.
D.
E.
10.
∫ cos
A.
B.
C.
D.
E.
4 x − cos2 4 x ) dx = ....
1
cos 4 x + c
4
1
− sin 4 x + c
4
1
sin 4 x + c
4
1
sin 8 x + c
2
1
− sin 8 x + c
2
4
2x dx = ....
3
1
1
x + sin 4 x + sin 8 x + c
64
8 8
3 1
1
x − sin 4 x + sin 8 x + c
8 8
64
3
1
1
x + sin 4 x − sin 8 x + c
64
8 8
3 1
1
x − sin 4 x + sin 8 x + c
8 8
64
3
1
1
x + sin 4 x + sin 8 x + c
64
8 8
10
KUNCI JAWABAN
LATIHAN SOAL
1.
E
6.
D
2.
B
7.
C
3.
C
8.
C
4.
B
9.
E
5.
A
10. A
11