matematika diskrit.jpg - Eprints MDP

KATA PENGANTAR
Pertama-tama penulis mengucapkan puji dan syukur kehadirat Tuhan Yang Maha
Kuasa atas segala limpahan rahmat Nya, hingga Diktat Matematika Dasar ini dapat
diselesaikan. Mudah-mudahan diktat ini dapat membantu mahasiswa STMIK Global
Informatika MDP dan AMIK MDP dalam mengikuti mata kuliah Matematika Dasar.
Penulis mengucapkan terimakasih dan menyampaikan pengharagaan yang
setinggi-tingginya pada Ketua STMIK Global Informatika MDP dan Direktur AMIK
MDP yang selalu memberikan dorongan baik pada penulis maupun maupun pada
rekan-rekan dosen lainnya untuk menyusun materi kuliah baik dalam bentuk diktat
atau buku.
Dorongan tersebut telah menambah semangat penulis dalam
menyelesaikan tulisan ini. Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan pada rekanrekan dosen yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan diktat ini. Mudahanmudahan dengan adanya dorongan dan dukungan yang diberikan pada penulis akan
dapat dihasilkan diktat lain dalam waktu singkat.
Meskipun telah berhasil diterbitkan, penulis menyadari bahwa diktat ini masih
sangat sederhana dan tentu masih banyak kekurangan dan kelemahannya. Oleh
karena itu penulis mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca
sekalian, sehingga dapat dihasilkan diktat yang lebih baik pada masa yang akan
datang. Saran, kritik dan koreksi dapat disampaikan pada alamat,
[email protected]
Akhirnya penulis mengucapkan selamat belajar kepada seluruh mahasiswa
STMIK Global Informatika MDP dan AMIK MDP. Mudahan-mudahan sukses selalu
menyertai saudara-saudara.
Palembang, 5 September 2011
Penulis,
Sudiadi
i
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
BAB
I. Sistem Bilangan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Sistem Bilangan Ril . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1
Bilangan Ril . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2
Garis Bilangan Ril . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3
Hukum-hukum Bilangan Ril . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Bilangan Kompleks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1
Sifat-sifat Bilangan Kompleks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2
Konjugat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3
Perkalian Bilangan Kompleks dengan Konjugatnya . . . . . . . . .
1.2.4
Pembagian Dua Buah Bilangan Kompleks . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3
Pertidaksamaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1
Sifat-sifat Pertidaksamaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2
Selang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3
Pertidaksamaan Linier Satu Peubah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4
Nilai Mutlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5
Pertidaksamaan Linier Dua Peubah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.6
Sistem Pertidaksamaan Linier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.7
Pertidaksamaan Kuadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4
Koordinat Kartesius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5
Pertambahan dan Jarak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1
Jarak Antara Dua Buah Titik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2
Titik Tengah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6
Kemiringan Garis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7
Dua Garis Sejajar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8
Dua Garis Tegak Lurus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II
Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Definisi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Penyajian Himpunan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3
Kardinalitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4
Himpunan Kosong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5
Himpunan Bagian (Subset) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6
Kesamaan Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7
Ekivalensi Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8
Himpunan Saling Lepas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9
Himpunan Kuasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Operasi Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.1 Irisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.2 Gabungan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.3 Komplemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.4 Selisih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.5 Beda Setangkup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
i
ii
1
1
1
2
2
3
3
3
3
3
4
4
4
5
5
6
8
9
11
13
14
14
16
16
17
17
18
19
21
22
22
22
23
23
23
24
24
24
25
25
25
25
26
26
27
2.10.6 Perkalian Kartesian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.7 Prinsip Inklusi-Ekslusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.8 Sifat-sifat operasi himpunan dan prinsip dualitas . . . . . . . . . .
2.11 Himpunan ganda (multiset) dan operasinya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11.1 Operasi Gabungan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11.2 Operasi Irisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11.3 Operasi Selisih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11.4 Operasi Jumlah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12 Pembuktian pernyataan himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12.1 Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn . . . . . . . . . .
2.12.2 Pembuktian dengan menggunakan tabel keanggotaan . . . . . .
2.12.3 Pembuktian dengan menggunakan sifat operasi himpunan . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
27
27
28
28
28
28
29
29
30
30
30
30
III. Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Definisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Jenis-jenis Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1
Menurut Jumlah Peubah Bebas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1.1 Fungsi Peubah Bebas Tunggal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1.2 Fungsi Peubah Bebas Banyak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2
Menurut Cara Penyajian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2.1 Fungsi Eksplisit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2.2 Fungsi Implisit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2.3 Fungsi Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3
Fungsi Aljabar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3.1 Fungsi Rasional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3.2 Fungsi Irrasional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4
Fungsi Komposisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5
Fungsi Satu ke Satu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.6
Fungsi Invers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.7
Fungsi Transenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.7.1 Fungsi Eksponen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.7.2 Fungsi Logaritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.7.3 FungsiTrigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.7.4 FungsiTrigonometri Invers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
31
32
32
32
32
32
32
32
32
33
33
36
41
44
46
49
49
50
50
50
50
51
51
51
51
52
52
54
54
56
59
64
65
66
66
68
iii
3.2.7.5
FungsiHiperbolik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.7.6 FungsiHiperbolik Invers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fungsi Genap dan Ganjil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fungsi Periodik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
69
70
73
73
74
75
IV
Limit dan kekontinuan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1
Pendahuluan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
Definisi Limit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3
Limit Fungsi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4
Limit Fungsi Trigonometri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5
Limit Fungsi Trigonometri Invers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6
Limit Tak Hingga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7
Asimtot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.1 Asimtot Tegak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.2 Asimtot Datar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.3 Asimtot Miring. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8
Kekontinuan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9
Kekontinuan yang dapat dihapus dan yang tak dapat dihapus . . . . . . .
Soal-soal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
76
78
79
83
84
86
86
87
88
89
89
90
91
91
92
92
93
V
Differensiasi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1
Garis Singgung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2
Turunan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3
Notasi Turunan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4
Differensiabilitas dan kontinuitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5
Teorema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Turunan bilangan konstan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2 Turunan fungsi kxn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.3 Aturan penjumlahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.4 Aturan perkalian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.5 Aturan pembagian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.6 Turunan fungsi komposisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6
Turunan fungsi-fungsi trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7
Turunan fungsi-fungsi trigonometri invers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8
Turunan fungsi eksponen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9
Turunan fungsi logaritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10 Turunan fungsi hiperbolik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.11 Turunan fungsi hiperbolik invers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.12 Turunan tingkat tinggi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
94
96
97
97
97
97
98
98
99
99
100
101
101
107
107
112
113
115
115
119
119
123
123
124
3.2.8
3.2.9
iv
5.13
Differensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Turunan fungsi implisit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
125
125
126
Penerapan Differensiasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1
Persamaan garis singgung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2
Persamaan garis normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3
Kelengkungan (Curvature) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1
Jari-jari kelengkungan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2
Pusat kelengkungan ( Center of Curvature ) . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4
Nilai ekstrim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1
Nilai Ekstrim Lokal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2
Nilai Ekstrim Mutlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5
Kecekungan dan kecembungan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6
Kecepatan dan Percepatan sesaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.1
Kecepatan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.2
Percepatan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
128
128
129
130
130
130
132
133
133
135
136
138
138
140
140
140
140
141
VII. Integral Tak Tentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1
Anti Turunan dan Integral Tak Tentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2
Rumus-rumus Integral Tak Tentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3
Integrasi Dengan Substitusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4
Integrasi Bagian Demi Bagian (Integration By Parts) . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5
Integrasi Fungsi Pecah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6
Integrasi Fungsi Trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.1
Integrasi sin u, cos u, tan u, cot u, sec u dan cosec u . . . . . . . .
7.6.2
Integrasi Fungsi sinmu dan cosmu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.3
Integrasi Fungsi Trigonometri sinmu cosnu . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.4
Integrasi Fungsi Trigonometri tanmu secnu . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7
Integrasi fungsi trigonometri invers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8
Integrasi dengan Substitusi Trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8.1
Integrasi Fungsi Irrasional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8.2
Integrasi Fungsi 1/(x2 + a2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8.3
Integrasi Fungsi (Ax + B)/(ax2 + bx + c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8.4
Integrasi Fungsi Irrasional Sejenis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8.5
Jika
adalah satu-satunya bentuk irrasional
pada integran. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8.6
142
142
142
144
145
145
147
147
149
149
149
150
152
153
153
153
154
156
156
159
160
160
161
5.14
VI
v
162
162
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163
VIII
Integral Tentu dan Penerapannya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1
Integral Tentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2
Sifat-sifat Integral Tentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3
Luas Bidang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4
Volume dan Luas Kulit Benda Putar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
164
164
166
167
167
170
170
173
IX
Matriks dan Determinan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1
Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2
Matriks bentuk khusus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1
Vektor Kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.2
Vektor Baris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.3
Matriks Persegi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.4
Matriks Segitiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.5
Matriks Diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.6
Matriks Skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.7
Matriks Identitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.8
Matriks Nol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.9
Matriks Transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.10 Matriks Simetri dan Skew-Simetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3
Operasi Aritmatika pada Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.1
Penjumlahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.2
Perkalian Skalar dengan Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.3
Perkalian Matriks dengan Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.4
Kombinasi linier matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.5
Sifat-sifat Operasi Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4
Matriks yang Diperluas (Augmented matrix) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5
Matriks dalam bentuk Eselon Baris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6
Matriks dalam bentuk Eselon Baris Tereduksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7
Operasi Baris Elementer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.8
Determinan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.8.1
Sifat-sifat determinan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.8.2
Kofaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.8.3
Determinan dari matriks n x n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.9
Adjoin Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.10 Balikan Matriks (Inverse of a Matrix) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.10.1 Metode Adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.10.2 Metode eliminasi Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
174
174
174
174
175
175
175
175
175
175
175
176
176
176
176
176
177
177
178
178
178
179
179
180
180
181
181
182
183
183
183
184
X
Sistem Persamaan Linier soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1
Definisi soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2
Penyelesaian Sistem Persaman Linier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1 Penyelesaian dengan Balikan Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.2 Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.3 Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . .
10.2.4 Penyelesaian dengan Aturan Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
186
186
186
186
187
188
189
190
vi
BAB I
SISTEM BILANGAN
1.1 Sistem bilangan ril
1.1.1 Bilangan ril
Sistem bilangan ril adalah himpunan bilangan ril dan operasi aljabar yaitu operasi
penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Biasanya bilangan ril
dinyatakan dengan lambang R. Operasi pengurangan dapat digantikan dengan operasi
penjumlahan. Sedangkan operasi pembagian dapat digantikan dengan operasi
perkalian. Jika terdapat bilangan ril a dan b, maka operasi pengurangan a – b dapat
ditulis dalam bentuk a+(–b). Sedangkan operasi pembagian a  b dapat ditulis dalam
bentuk a.b-1.
Bilangan
ril (R)
Bilangan
rasional (Q)
Bilangan
bulat ( J)
Bilangan
negatif
Bilangan
pecahan
Bilangan
desimal berulang
Bilangan
irrasional (I)
Bilangan
desimal terbatas
Bilangan
cacah (W)
Bilangan
nol
Bilangan
asli (N)
Gambar 1.1
Jenis-jenis bilangan
Gambar 1.1 adalah jenis-jenis bilangan ril. Untuk mendapatkan pengertian yang
lebih jelas mengenai jenis - jenis bilangan ini, berikut diberikan rincian - rinciannya
Himpunan bilangan asli (N)
N = { 1, 2, 3, … }
Himpunan bilangan cacah (W)
W = {0, 1, 2, 3, … }
Himpunan bilangan bulat (J)
J = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … }
1
Himpunan bilangan rasional (Q)
Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang mempunyai bentuk
p/q atau bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk p/q, dimana p dan q adalah
anggota bilangan bulat dan q  0
p
Q=
p dan q ∈J , q ≠0
q
Contoh 1.1
Buktikan bahwa bilangan-bilangan 3, (4,7) dan (2,5858…) adalah bilangan-bilangan
rasional !
Bukti :
a) Bilangan 3 dapat ditulis dalam bentuk p/q yaitu : 3/1 atau 6/2 dan seterusnya.
b) Bilangan 4,7 dapat ditulis dalam bentuk : 47/10
c) Bilangan 2,5858… dapat ditulis dalam bentuk p/q dengan cara :
x = 2,5858…
100 x = 258,5858…
100 x – x = 256
256
99
Jadi bilangan-bilangan 3, (4,7) dan (2,5858…) adalah
bilangan-bilangan rasional.
99 x = 256  x =
1.1.2
Garis bilangan ril
Garis bilangan ril adalah tempat kedudukan titik-titik, dimana setiap titik
menunjukkan satu bilangan ril tertentu yang tersusun secara terurut. Untuk
menggambarkan garis bilangan ril,perhatikan Gambar 1.2. Pertama
-3
- 2
-1
0
1,5
2,5
Gambar 1.2
Garis bilangan ril
gambarkan garis horizontal dan tentukan titik nol. Selanjutnya kita tentukan titiktitik tempat kedudukan bilangan ril positif bulat disebelah kanan titik nol dengan
ketentuan jarak antara titik 0 dan 1, titik 1 dan 2 atau 0 dan -1, -1 dan -2 dan
seterusnya adalah sama. Tempat kedudukan bilangan ril lainnya disesuaikan dengan
posisi bilangan-bilangan bulat.
1.1.3
Hukum-hukum bilangan ril
Operasi penjumlahan dan perkalian bilangan ril mematuhi hukum-hukum seperti
yang disebutkan berikut ini :
Jika a dan b adalah bilangan-bilangan ril maka berlaku :
(i) a+b
adalah bilangan ril
( ii ) a . b
adalah bilangan ril
( iii ) a + b = b + a
hukum komutatif penjumlahan
( iv) a . b = b .a
hukum komutatif perkalian
Jika a, b dan c adalah bilangan-bilangan ril maka berlaku :
(v) (a+b)+c=a+(b+c)
hukum asosiatif penjumlahan
( vi ) ( ab ) c = a ( bc)
hukum asosiatif perkalian
( vii ) a ( b + c ) = ab + ac
hukum distributif
( viii ) a + 0 = 0 + a = a
hukum penjumlahan nol
2
( ix )
(x)
( xi )
( xii )
a.1=1.a=a
a.0=0.a=0
a + ( - a ) = -a + a
a . ( 1/a ) = 1 , a  1
hukum perkalian satu
hukum perkalian nol
hukum invers penjumlahan
hukum inves perkalian
Soal-soal
Diketahui :
-10, 3/2, 7, 0, -12, 2, (2,14), 4/9, 6 , (2,5353…), 10 , (2,970492…)
Dari bilangan tersebut diatas, tentukan bilangan-bilangan a) bulat, b) cacah, c) rasional, d)
irasional, e) ril positif, f) ril negatif dan g) asli serta gambarkan masing-masing garis
bilangannya!
1.2 Bilangan kompleks
Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari unsur bilangan ril dan imajiner. Bentuk
umum bilangan kompleks adalah z = a + ib. Komponen a disebut bagian ril dan ditulis Re(z)
dan b adalah bagian imajiner dan ditulis Im(z). Bilangan a dan b adalah bilangan-bilangan ril
sedangkan i adalah bilangan imajiner yang besarnya adalah - 1 . Karena i = - 1 , maka :
i2 =
3
- 1 . - 1 = -1
2
i = i . i = - i -1
i 4 = i 2 . i 2 = 1 ; dan seterusnya.
Dari keterangan diatas didapat - 2 = ( 2 )( - 1 ) =
2 i ; dan seterusnya.
1.2.1 Sifat-sifat bilangan kompleks
Misal z1 = x1 + iy1 dan z2 = x2 + iy2, maka berlaku :
a) z1 = z2  x1 = x2 dan y1 = y2
sifat kesamaan
b) z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2)
sifat penjumlahan
c) z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2)
sifat pengurangan
d) z1 . z2 = (x1x2 - y1y2) + i(x1y2 + x2y1) sifat perkalian
1.2.2 Konjugat
Bila terdapat suatu bilangan kompleks z = x + iy, maka konjugat bilangan kompleks
tersebut adalah z = x – iy. Jika bilangan kompleks berbentuk z = x – iy, maka
konjugatnya adalah z = x + iy. Bila kita bandingkan kedua bilangan kompleks
diatas dengan konjugatnya maka perbedaannya terletak pada komponen
imajinernya. Jika komponen imajiner pada suatu bilanga kompleks adalah +iy maka
komponen imajiner pada konjugatnya adalah –iy. Jika komponen imajiner pada
bilagan kompleks adalah –iy, maka komponen imajiner pada konjugatnya adalah
+iy. Sedangkan komponen ril baik pada bilangan kompleks maupun pada
konjugatnya adalah sama. Selain ditulis dalam bentuk z , konjugat bilangan
kompleks juga sering ditulis dalam bentuk z*.
1.2.3 Perkalian bilangan kompleks dengan konjugatnya
Perkalian antara bilangan kompleks dengan konjugatnya dapat dijelaskan sebagai
berikut.
Jika terdapat suatu bilangan kompleks z = x + iy maka konjugatnya adalah z = x –
iy. Jadi perkalian bilangan kompleks dengan konjugatnya adalah :
z z = (x + iy)( x – iy) = x 2 - ixy + ixy - i 2 y 2 = x 2 + y 2
3
Dari hasil perkalian diatas kita dapat menyimpulkan bahwa perkalian bilangan
kompleks dengan konjugatnya menghasilkan bilangan ril.
1.2.4 Pembagian dua buah bilangan kompleks
Untuk melakukan operasi pembagian dua buah bilangan kompleks pertama-tama
kita kalikan pembilang dan penyebutnya (dalam hal ini z 1 dan z 2 ) dengan konjugat
z 2 . Sehingga didapat :
=
=
(x
(x
i ) (x
i ) (x
i ) x x
=
i )
=
(x
(x
i ) (x
i ) (x
i ) x x
=
i )
x
Contoh 1.2
Diketahui : z1 = -5 + 7i dan z2 = 3 – 2i
Tentukan : a) z1+z2 b) z1-z2 c) z1.z2
Penyelesaian :
Dari soal didapat bahwa : x = 5
ix
ix
x
i
x
x
d) z1/z2
=7
x
e)
f)
x =3
=
2
a)
= (x
x )
i(
)=( 5
3)
i(7
( 2)) =
2
5i
b)
= (x
x )
i(
)=( 5
3)
i(7
( 2)) =
8
9i
c)
d)
= (x x
)
= ( 5)(3)
x x
=
x
=
i(x
x
)=
2
(7)( 2) i(( 5)( 2)
x
x
i
x
( 5)(3) (7)( 2)
3
( 2)
i
(7)(3)
3
(3)(7)) =
( 5)( 2)
=
( 2)
29
13
1
31i
i
11
13
e)
=( 5
7i)(3
2i) =
15
10i
21i
14i =
29
11i
)
=( 5
7i)(3
2i) =
15
10i
21i
14i =
29
11i
Soal-soal
1. Selesaikan soal-soal berikut :
a) (3 + 5i) + (4 – 7i)
d) (–2 – 4i) – (–5 –8i)
3 2
2 5
b) (1 2i) ( 3 4i)
e) (
i) (
i)
4 5
3
c) (
5i
3i)
(
5i)
) (5
4i)(7
3i)
g) (2 – i)(5 + 3i)
3
3 3
h) (
3i)(
i)
4
5 8
(2/3) (3/4)i
i)
(4/5) (2/7)i
2. Jika z 1 = – 7 – 2i dan z 2 = 4 + 5i
Tentukan : a)
b)
1.3 Pertidaksamaan
Pertidaksamaan adalah salah satu bentuk pernyataan matematika yang mengandung satu
peubah atau lebih yang dihubungkan oleh tanda-tanda < , > ,  atau . Ditinjau dari jumlah
4
dan pangkat peubah maka pertaksamaan dapat dibagi menjadi pertidaksamaan linier
dengan satu peubah, pertidaksamaan linier dengan peubah banyak dan pertidaksamaan
kuadrat.
Jika terdapat suatu himpunan bilangan ril yang unsur-unsurnya dapat
menggantikan peubah dari pertidaksamaan maka himpunan bilangan tersebut disebut
himpunan pengganti. Jika sebagian dari unsur himpunan pengganti menyebabkan
pertidaksamaan menjadi suatu pernyataan yang benar maka himpunan tersebut disebut
himpunan jawab. Jika himpunan jawab dimisalkan A dan himpunan pengganti dimisalkan B
maka A  B. Jika A = B maka pertidaksamaan dinamakan ketidaksamaan.
Contoh 1.3
Dari pertidaksamaan 1/x2 >1
impunan pengganti atau adalah {x
Himpunan jawab atau A adalah {x
x
1
0}
1,
0 Jadi
 }
Contoh 1.4
Dari pertidaksamaan 1/x2 >0
Himpunan pengganti atau B adalah {x xR, x  0 }
Himpunan jawab atau A adalah {x xR, x  0 }. Karena A = B, maka 1/x2 >0 disebut
ketidaksamaan.
1.3.1 Sifat-sifat pertidaksamaan
(i) Jika a > b dan b > c, maka a > c
(ii) Jika a > b, maka a + c > b + c
(iii) Jika a > b, maka a - c > b – c
(iv) Jika a > b dan c adalah bilangan positif, maka ac > bc
(v) Jika a > b dan c adalah bilangan negatif, maka ac < bc
Dengan mengganti tanda > pada sifat-sifat diatas dengan tanda <, maka
akan didapat sifat-sifat yang analog sebagai berikut :
(vi) Jika a < b dan b < c, maka a < c
(vii) Jika a < b, maka a + c < b + c
(viii) Jika a < b, maka a - c < b – c
(ix) Jika a < b dan c adalah bilangan positif, maka ac < bc
(x) Jika a < b dan c adalah bilangan negatif, maka ac > bc
Sifat-sifat pertidaksamaan lainnya :
xi) ac > 0 jika a > 0 dan c > 0 atau jika a < 0 dan c < 0
(xii) ac < 0 jika a < 0 dan c > 0 atau jika a > 0 dan c < 0
(xiii) a/c > 0 jika a > 0 dan c > 0 atau jika a < 0 dan c < 0
(xiv) a/c < 0 jika a < 0 dan c > 0 atau jika a > 0 dan c < 0
(xv) Jika a > b, maka –a < -b
(xvi) Jika 1/a < 1/b, maka a > b
(xvii) Jika a < b < c, maka b > a dan b < c (bentuk komposit)
(xviii) Jika a > b > c, maka b < a atau b > c ( bentuk komposit)
1.3.2 Selang ( interval )
Selang adalah himpunan bagian dari bilangan ril yang mempunyai sifat relasi
tertentu. Jika batas-batasnya merupakan bilangan ril maka dinamakan selang hingga.
Jika bukan bilangan ril maka dinamakan selang tak hingga (). Lambang 
menyatakan membesar tanpa batas dan lambang - menyatakan mengecil tanpa
batas. Contoh dari bermacam-macam selang dapat dilihat pada tabel berikut ini.
5
Notasi
Definisi
Grafik
Keterangan
(a,b)
{x
a < x < b}
a
(
b
)
Selang terbuka
[a,b]
{x
a ≤x ≤b}
a
[
b
]
Selang tertutup
[a,b)
{x
a ≤x < b}
a
[
b
)
Selang setengah
terbuka
(a,b]
{x
a < x ≤b}
a
(
b
]
Selang setengah
terbuka
(a, )
{x x > a}
a
(
Selang terbuka
[a, )
{x x ≥a}
a
[
Selang tertutup
(-, b)
{x
x < b}
b
)
Selang terbuka
(-, b]
{x
x ≤b}
b
]
Selang tertutup
(-, )
R
Selang terbuka
1.3.3 Pertidaksamaan linier satu peubah
Pertidaksamaan linier satu peubah adalah pernyataan matematika yang memuat satu
peubah yang mempunyai pangkat satu dan dihubungkan dengan tanda-tanda <, >, 
atau  . Bentuk umum dari pertidaksamaan linier satu peubah adalah :ax + b (?) 0,
dimana a dan b adalah konstan, sedangkan (?) adalah salah satu dari tanda-tanda <,
>,  atau  .
Contoh 1.5
Selesaikan pertidaksamaan 7x + 9 < -5
Penyelesaian :
7x + 9 < -5  semua ruas dikurang 9  7x + 9 – 9 < -5 – 9  7x < -14
1/7 ( 7x ) < 1/7 ( -14 )  semua ruas dikalikan 1/7  x < -2
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah : { x x < -2 }
selang terbuka
)
-2
Gambar 1.3
Contoh 1.6
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 1 + 4x < 2x + 9
Penyelesaian
6
1 + 4x < 2x + 9
1 + 4x – (1 + 2x)< 2x + 9 – (1 + 2x)  semua ruas dikurang (1+2x)
2x < 8
1/2 (2x) < 1/2 ( 8 )
 semua ruas dikalikan 1/2
x<4
Himpunan penyelesaiannya adalah : { x x < 4 }
)
selang terbuka
4
Gambar 1.4
Untuk kesederhanaan, penyelesaian pertidaksamaan linier satu peubah dapat
diselesaikan dengan cara mengelompokkan peubah pada salah satu ruas dan
mengelompokkan konstan pada ruas lainnya. Ingat, setiap memindahkan suku pada
ruas yang berbeda tandanya akan berubah!
Contoh 1.7
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x -2  8 + 5x
Penyelesaian :
3x -2  8 + 5x
 Pidahkan 5x keruas kiri dan -2 keruas kanan
 Kelompokkan peubah x pada ruas kiri dan
3x – 5x  8 + 2
kelompokkan konstan pada ruas kanan.
-2x  10
(-1/2)(-2x)(10)(-1/2) Jika mengalikan setiap ruas dengan bilangan negatif maka
tanda pertidaksamaan harus dibalik (sifat pertaksamaan
xv)
x  -5
impunan pen elesaiann a adalah {x x
5}
selang tertutup
]
-5
Gambar 1.5
Contoh 1.8
entukan himpunan pen elesaian dari pertidaksamaan 4
Penyelesaian :
4 2x
4
2
5
4
(4)(5) (5)
1
4
2x
5
2
1
 kalikan semua ruas dengan 5
2x
(5)(2
1)
5
20 < 4 – 2x <10x – 5
 Dapat dipecah menjadi dua bagian, yaitu
4 – 2x > 20 dan 4 – 2x < 10x -5 (perhatikan sifat pertidaksamaan xvii, halamn 5).
Setelah dipecah menjadi dua pertidaksamaan, selesaikan satu persatu.
4 – 2x > 20
4 – 2x < 10x -5
2x < 4 – 20  x < – 8
12x > 9  x > 3/4
Jadi himpunan pen elesaiann a adalah {x x
8
)
(
-8
3/4
selang terbuka
Gambar 1.6
7
3/4}
Soal-soal
Selesaikan pertaksamaan :
 3x
1 5x
2
1
2
9
3
5
5x
1
(7x 3)
3
5 2x 2 x
4
3
5
3
x
1
2
5
1
5
3
x
9
5
2x
7
1.3.4 Nilai mutlak
Nilai mutlak dari x dinyatakan dengan x dan didefinisikan sebagai :
x ika x 0
x =
x ika x 0
Teorema-teorema
Jika a dan b adalah bilangan ril, maka :
(i) x
 a
(ii) x
x
atau x
a
(iii) x  a  a  x  a
(i ) x  a  x  a atau x  a
( ) x = a  x = a atau x = a
( i) ab = a b Bukti ab = (ab) =
0 Bukti
(a
(ix) a
(x) a
b
b)
a
b
a
=
b
{a
b = a b (terbukti)
=
b} = a
b Bukti a
a
a
b
a
a
a
a
=
=
(terbukti)
b
b
b
( iii) a b
a
b (ketidaksamaan segitiga)
b}
2a b
b ={a
Bukti : (a b) = a
2ab b
a
( ii)
a
a
=
,b
b
b
a b =
b = a
b Bukti a = (a
b)
b = a
( b)
b
Jika setiap suku dikurangi dengan b , maka a
b
a
a
b (terbukti)
b
b
(terbukti)
b
a
b (terbukti)
Contoh 1.9
Selesaikan pertidaksamaan x 5
4, gambarkan garis bilangan dan selangnya
Penyelesaian :
x 5
4  4 x 5 4 (lihat teorema iii)
Dengan memperhatikan sifat pertidaksamaan xvii halaman 5, maka kita
dapatkan dua buah pertidaksamaan, yaitu x – 5  – 4 dan x – 5  4.
Selanjutnya kita selesaikan satu persatu pertidaksamaan tersebut.
x - 5  -4

x1
x–54

x9
Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah {x 1 x 9}
[
]
1
9
selang tertutup
Gambar 1.7
Contoh 1.10
Selesaikan pertidaksamaan x
Penyelesaian
7
3, gambarkan garis bilangan dan selangnya!
8
1
x 7
3  3
7 3
(lihat te rema iii)
Dengan memperhatikan sifat pertidaksamaan xvii halaman 5, maka kita
dapatkan dua buah pertidaksamaan, yaitu x 7
3
7 3
Selanjutnya kita selesaikan satu persatu pertidaksamaan tersebut.
x 7
3  x
4
x 7 3  x 10
Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah {x x 4
10}
)
(
4
10
Selang terbuka
Gambar 1.8
Soal-soal
Selesaikan pertidaksamaan :
1 x
2
8
2
2x  7
3 5
4 3x
x
12
5
4x
7
2 5
5
3
4
x
3
1.3.5 Pertidaksamaan linier dua peubah
Bentuk umum pertidaksamaan linier dua peubah adalah : ax + by + c (?) 0 ;
konstanta-konstanta a, b dan c adalah bilangan-bilangan ril dan a  0 . Tanda (?)
adalah salah satu dari tanda <, >,  atau  . Untuk membantu mahasiswa dalam
menggambarkan grafik pertidaksamaan linier dua peubah, berikut diberikan
prosedurnya.
1. Ganti tanda pertidaksamaan dengan tanda sama dengan dan selanjutnya
gambarkan grafik persamaan linier yang dimaksud. Setelah digambar kita akan
melihat bahwa grafik persamaan linier adalah garis yang membagi bidang
menjadi dua bagian.
2. Jika pada pertidaksamaan menggunakan tanda  atau  berarti garis tersebut
termasuk pada grafik yang akan digambarkan. Selanjutnya garis tersebut
digambarkan secara penuh. Jika pertaksamaan menggunakan tanda < atau >
berarti garis tersebut tidak termasuk pada grafik yang akan digambarkan.
Selanjutnya garis tersebut digambarkan putus-putus.
3. Pilih salah satu titik koordinat pada masing-masing bidang dan kemudian
substitusikan pada pertaksamaan. Jika substitusi tersebut menghasilkan
pernyataan yang benar berarti bidang tempat kedudukan titik tersebut adalah
bidang yang dimaksud. Sebaliknya jika substitusi menghasilkan pernyataan yang
salah maka bidang tempat kedudukan titik tersebut bukan bidang yang
dimaksud. Untuk keseragaman bidang yang memenuhi pertaksamaan diarsir.
Akan menjadi lebih sederhana jika kita memilih titik koordinat (0,0) asalkan titik
koordinat tersebut tidak dilalui oleh garis.
Contoh 1.11
Gambarkan grafik pertidaksamaan 3x – 2y  8
Penyelesaian :
Langkah 1.
Ganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan  3x - 2y = 8
9
Langkah 2.
Gambarkan grafiknya.
y
x
0
Gambar 1.9
3. Memilih titik koordinat.
Pilih satu titik koordinat yaitu (0,0) dan substitusikan ke pertidaksamaan.
Ternyata substitusi ini menghasilkan pernyataan yang salah. Berarti bidang
tempat kedudukan titik koordinat tersebut bukan bidang yang dicari. Sehingga
bidang disebelahnya merupakan bidang yang dicari. Selanjutnya bidang tersebut
diarsir.
y
x
0
Gambar 1.10
Contoh 1.12
Gambarkan grafik pertidaksamaan 5x + 3y < 6
Penyelesaian :
Langkah 1.
Ganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan  5x + 3y = 6
Langkah 2.
Gambarkan grafiknya.
y
0
Gambar 1.11
10
x
Langkah 3
Memilih titik koordinat.
Pilih satu titik koordinat yaitu (0,0) dan substitusikan ke pertidaksamaan. Ternyata
substitusi ini menghasilkan pernyataan yang benar. Berarti bidang tempat
kedudukan titik koordinat tersebut merupakan bidang yang dicari. Sehingga bidang
disebelahnya bukan bidang yang dicari. Selanjutnya arsir yang dicari tersebut.
y
x
0
Gambar 1.12
Soal-soal
Gambarkan grafik dari pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut!
1. x + y < 3
2. y + 2x > 4
3. 4x – 5 y  6
4. 5y + 3x  1
1.3.6 Sistem pertidaksamaan linier
Dalam penerapannya sering terdapat lebih dari satu pertaksamaan yang harus
diselesaikan secara serentak. Pertidaksamaan-pertidaksamaan tersebut dinamakan
“sistem pertidaksamaan linier” Dalam pembahasan sistem pertidaksamaan linier
kita hanya akan membahas sistem pertidaksamaan linier yang mempunyai tidak
lebih dari dua peubah.
Langkah-langkah penyelesaian sistem pertidaksamaan linier.
1. Ganti semua tanda pertaksamaan menjadi tanda sama dengan.
2. Gambarkan grafiknya.
3. Periksa salah satu titik koordinat pada bidang. Jika menghasilkan pernyataan yang
benar, berarti bidang tersebut adalah bidang yang dicari.
Contoh 1.13
Gambarkan grafik sistem pertidaksamaan 2y + 3x < 5 dan x – y  3
Penyelesaian :
Langkah 1.
2y + 3x = 5
x – y = –3
Langkah 2.
y
0
Gambar 1.13
11
x
Langkah 3.
Periksa koordinat (0,0). Setelah dilakukan substitusi harga x=0 dan y=0 kedalam
sistem pertaksamaan ternyata menghasilkan pernyataan yang benar. Berarti bidang
tempat kedudukan titik tersebut adalah bidang yang dicari. Selanjutnya bidang
tersebut diarsir.
y
x
0
Gambar 1.14
Contoh 1.14 (penerapan sistem pertidaksamaan linier)
Sebuah pabrik kendaraan bermotor akan memproduksi dua jenis kendaraan yaitu
jenis diesel dan bensin. Biaya pembuatan jenis kendaraan diesel adalah Rp. 100
juta/ kendaraan, sedangkan untuk jenis kendaraan bensin adalah Rp. 80 juta
/kendaraan. Jika pabrik tersebut mempunyai kemampuan produksi 120 kendaraan
setiap bulan dan dan untuk pembuatan kedua jenis kendaraan tersebut tidak lebih
dari Rp 10 milyar / bulan, tentukan bentuk pertidaksamaan dari persoalan diatas
dan gambarkan grafiknya.
Penyelesaian:
Biaya
Jumlah
Diesel (juta rupiah)
Bensin (juta rupiah)
Nilai batas (juta rupiah)
100
80
10.000
x
y
120
(100 juta)(x) + (80 juta)(y)  10.000 juta atau 100 x + 80 y  10.000
x + y  120
x  0;y  0
y
0
100
Gambar 1.15
12
120
x
Soal-soal
Gambarkan grafik dari pertaksamaan linier berikut :
3x
4
x 3
9
x 2
4
1
2
3 x 2
4
x 2
x
3
x 0
4
2x
8
x
x 0 dan
0
5. Sebuah industri komputer akan memproduksi sekurang-kurangnya 1000 buah
komputer yang terdiri dari dua jenis yaitu jenis PC dan Laptop. Diperkirakan
biaya untuk memproduksi sebuah PC adalah Rp 4.000.000,00 sedangkan untuk
memproduksi Laptop adalah Rp 6.000.000,00. Jika dana yang tersedia untuk
memproduksi kedua jenis komputer tersebut adalah Rp 10 milyar rupiah
tentukan sistem pertidaksamaan linier dari persoalan diatas dan gambarkan
grafiknya!
1.3.7 Pertidaksamaan kuadrat
Bentuk umum dari pertidaksamaan kuadrat adalah : ax 2 + bx + c (?) 0, dimana a, b
dan c adalah bilangan-bilangan ril dan a  0 Sedangkan (?) adalah salah satu dari
tanda <, >,  , atau  . Penyelesaian dari pertidaksamaan adalah menentukan hargaharga peubah yang memenuhi pertidaksamaan.
Contoh 1.15
Selesaikan pertidaksamaan x 2 - 7x + 12 > 0
Penyelesaian :
Lakukan pemaktoran terhadap pertidaksamaan :
x 2 - 7x + 12 > 0  (x – 4)(x – 3) > 0
Titik-titik kritis adalah 3 dan 4
Grafik pertidaksamaan :
x–4
: -------- -----------------0++++++
x–3
:----------- 0+++++++ +++++++
(x – 4)(x – 3) : + + + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + +
)
3
(
4
Gambar 1.16
x
Dari gambar diatas didapat bahwa daerah yang memenuhi pertidaksamaan adalah
x < 3 atau x > 4.
Contoh 1.16
entukan himpunan pen elesaian dari pertidaksamaan
Penyelesaian :
10
x
2
10
x
 2(x
2x
2 x

2)
10
x
2(x
2
2)(x 2)
10

(x 2)
x 2
8
2x
8 10

2
x 2
0
2(x
3)(x 3)
0
x 2
Titik-titik kritis adalah -3, 2 dan 3
13
2x
x
18
2
10
x
2(x
x
0
2(x
x
2
 2(x
2)
4)
2
9)
2
0
Grafik pertidaksamaan :
x–3
:- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -0 + + +
x+3
:- - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + ++ + + + +
x-2
:- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + +
2(x  3)(x  3)
x2
:- - - - - - - - - - - - 0 + + + + +(-) - - - - - -0 + + +
[
-3
impunan pen elesaiann a adalah {x
3
)
2
Gambar 1.17
x
2
[
3
3}
Soal-soal
Selesaikan pertidaksamaan berikut dan tentukan selangnya !
1. (x + 2)(x – 3) > 0
2. (x - 4)(x + 5) < 0
4. (x – 7)x  0
5. x2 + 4x – 5 < 0
2
8. x2 + 21  10x
7. 7x – 12  x
3. x(x + 6)  0
6. x2 >5x – 6
1.4 Koordinat Kartesius
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering membuat hubungan antara satu besaran dan
besaran lainnya. Contohnya adalah untuk membeli sejumlah barang kita harus
mengeluarkan sejumlah uang, pengukuran temperatur pada suatu tabung berhubungan
dengan tekanan didalamnya dan masih banyak contoh lainnya lagi. Contoh-contoh diatas
adalah hubungan dua besaran yang akan menghasilkan pasangan terurut bilangan ril. Jika
pasangan terurut bilangan tersebut disimbolkan dengan x (untuk bilangan pertama) dan y
(untuk bilangan kedua) maka kita dapat menuliskan pasangan bilangan terurut dengan
(x,y). Setiap pasangan terurut bilangan ril disebut titik dan dinyatakan dengan R. Sedangkan
himpunan pasangan terurut bilangan ril disebut bidang bilangan dan disimbolkan dengan
R2. Bidang bilangan dpt. Digambarkan dengan bantuan koordinat Kartesius. Untuk
menggambarkan koordinat
y
sumbu y
0
x
sumbu x
Gambar 1.18
Koordinat Kartesius
Kartesius pertama-tama kita gambarkan dua buah garis yang saling tegak lurus, seperti
pada Gambar 1.18. Garis tegak lurus adalah sumbu y atau ordinat, sedangkan garis
horizontal disebut sumbu x atau absis. Titik potong kedua garis tsb. adalah titik asal
(origin) dan dilambangkan dengan 0. Sumbu x yang berada disebelah kanan titik asal
menunjukkan arah positif sedangkan disebelah kiri adalah arah negatif. Sumbu y yang
berada diatas titik asal adalah arah positif sedangkan yang berada dibawahnya adalah arah
negatif. Pasangan kedua sumbu x dan y adalah koordinat Kartesius. Jika suatu pasangan
terurut bilangan ril (x 0 , y 0 ) menunjukkan titik A (ditulis A (x 0 , y 0 )), maka (x 0 , y 0 )
disebut koordinat titik A.Sebagai contoh bila harga x 0 =3 dan harga y 0 = -4, maka titik A
dapat ditentukan seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.19.
14
y
x
0
A(3,-4)
Gambar 1.19
Titik koordinat
Kuadran-kuadran
Bila kita perhatikan koornat Kartesius maka akan terlihat empat buah bidang. Bidangbidang tersebut disebut kuadran-kuadran yang terdiri dari kuadran I, II, III dan IV.
Pembagian dari kuadran-kuadran tersebut dapat dilihat padda Gambar 1.20 dibawah ini.
y
kuadran II kuadran I
(-,+) (+,+)
0
kuadran III kuadran IV
(-,-)
(+,-)
x
Gambar 1.20
Kuadran-kuadran
pada koordinat Kartesius
Soal-soal
Tentukan kuadran dari koordinat-koordinat berikut:
1. (2 , 3 )
2. (4, - 5)
3. (-5, -6)
4. (-1, 6)
5. (-3,7)
6. (-3,1)
1.5 Pertambahan dan jarak
Jika sebuah partikel bergerak dari suatu titik P1(x1 , y1) ke titik P2(x2 , y2) maka dikatakan
bahwa koordinat partikel tersebut mengalami pertambahan sebesar x dan y. Sebagai
contoh, bila suatu partikel bergerak dari titik A( 2,-3 ) ke B(-3 ,1) (lihat Gambar 1.21) maka
pertambahannya adalah :
y
x
B(-3,1)
x
0
y
A(2,-3)
Gambar 1.21
Gerak partikel dari titik A ke B
x = x 2 - x 1 = -3 – 2 = -5
y = y 2 - y 1 = 1 –(-3) = 4
15
Dari contoh diatas dapat disimpulkan bahwa pertambahan pada suatu koordinat adalah
perubahan netto, yaitu :
x = x
 =
x
(1.1)
1.5.1 Jarak antara dua titik
Apabila sumbu-sumbu koordinat menggunakan satuan pengukuran yang sama maka
jarak antara dua buah titik pada suatu bidang tertentu dapat ditentukan dengan
menggunakan kombinasi antara pertambahan-pertambahan koordinat dan teorema
Pythagoras, seperti yang ditunjukkan Gambar 1.22 berikut.
y
h
P2(x2, y2)
y
P1(x1, y1)
x
0
x
Gambar 1.22
Jarak dua titik
x = x 2 - x 1 = -3 – 2 = -5
y = y 2 - y 1 = 1 –(-3) = 4
Dari teorema Pythagoras didapat :
Jarak P 1 P 2 = d(P 1 P 2 ) = h =
(Δx )2 + (Δy )2
( 1.2 )
Contoh 1.17
Tentukan jarak dari pasangan koordinat berikut :
a) P 1 = (-4,3) dan P 2 = (2,1)
b) P 1 = (-2,-2) dan P 2 = (5,1)
Penyelesaian :
a) Δx = x 2 - x 1 = 2 – (-4) = 6 ; Δy = y 2 - y 1 = 1 –3 = -2
Jarak P 1 P 2 = d(P 1 P 2 )= h = (Δx )2 + (Δy )2 = (6)2  (2)2  40  2 10
b) Δx = x 2 - x 1 = 5 – (-2) = 7
; Δy = y 2 - y 1 = 1 –(-2) = 3
Jarak P 1 P 2 = d(P 1 P 2 ) = h = (Δx )2 + (Δy )2 = (7)2 +(3)2 = 58
16
1.5.2 Titik tengah
Jika terdapat sebuah garis l (Gambar 1.23) yang mempunyai titik pangkal P1(x1 ,y1),
titik ujung P2(x2, y2) dan titik tangah M(x,y), maka koordinat titik tengah garis
tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.
y
P2(x2, y2)
l
M(x,y)
P1(x1, y1)
x
0
Gambar 1.23
Titik tengah garis
d( , ) = d( ,
(x
x )
(
x
2xx
x
x
x
(x
(
) =
) = (x
x)
(
)
=
2x x
= 2xx
x )(x
x )
(
2x x
=x
x
x
x
x
x )
2
x
x
) (x
2
2x x
=
2x x
2xx
2
2
)(
(x
x)
(
)
2
x
2
2xx
2
2
) = 2x(x
x )
2 (
)
Dari persamaan diatas didapat :
x
x
x
x = 2x  x =
2
=2 
Jadi k
=
2
rdinat titik tengah garis adalah
(x, ) =
x
x
2
,
2
1 3)
Soal-soal
Diketahui koordinat-koordinat :
1. (2,0) dan (4,5)
2. (5,1) dan (1,3)
3. (-3,-2) dan (3,3)
4. (-2,1) dan (3,-2)
Tentukan jarak masing-masing koordinat dan titik tengahnya!
1.6 Kemiringan garis
Kemiringan didefinisikan sebagai ukuran laju perubahan koordinat dari titik-titik yang
terletak pada suatu garis.Misal dua buah titik yaitu P 1 (x 1 ,y 1 ) dan P 2 (x 2 ,y 2 ) terletak pada
suatu garis l1 seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.24 berikut ini.
17
y
P 2 (x 2 ,y 2 )
Δy
P 1 (x 1 ,y 1 )
Δx
x
0
Gambar 1.24
Kemiringan garis
Dari persamaan 1.1 didapat x = x2 – x1 dan y = y2 – y1. Dengan mengacu pada definisi,
maka kemiringan garis atau koeffisien arah (sering disimbolkan dgn lambang m) adalah :
m=

=
x x
(1 4)
x
Contoh 1.19
Tentukan kemiringan atau koeffisien arah garis yang melalui titik (0,5) dan (6,1).
Penyelesaian :

1 5
4
2
m=
=
=
=
=
x x
x
0
3
1.7 Dua garis sejajar
Dua buah garis dikatakan sejajar bila kedua garis tersebut tidak mempunyai titik potong
untuk sembarang koordinat (x,y). Misal pada garis l1 terdapat titik-titik P1 (x1,y1) dan P
(x2,y2) serta pada garis l2 terdapat titik-titik P1’ (x1’,y1’) dan P2’ (x2’ ,y2’ ) dengan kondisi y1 =
y1’ dan
y2 = y2’ (lihat Gambar 1.25). Berdasarkan definisi, kita dapat menyimpulkan bahwa jarak
antara titik P1 dan P1’ sama dengan jarak P2 dan P2’.
Jarak
dan
arena
Jarak
=
dan
arena
=
= d( ,
,
maka d( ,
= d( ,
,
)=
)=
maka d( ,
(x
)=
(x
)=
x )
(x
(
)
x ) =x
x )
(x
(
( )
x
)
x ) =x
x
(
)
(
)
(
)
Karena jarak P1 dn P1’ sama dengan jarak P2 dn P2’ maka persamaan (**) sama dengan
persamaan (##) atau dapat ditulis sebagai,
x
x =x
x atau x
x =x
18
x
y
P2’(x2’, y2’)
P2(x2.y2)
P1’(x1’, y1’)
P1(x1.y1)
x
0
Gambar 1.25
Dua garis sejajar
Dari Gambar 1.25 diketahui bahwa :
emiringan garis
adalah m =
emiringan garis
adalah m =
arena x
maka m =
x =x
x
x
x
x
x
x
x
=
dan
=
,
=m
Jadi dapat dibuktikan bahwa dua garis dikatakan sejajar jika mempunyai kemiringan atau
koeffisien arah yang sama dan ditulis dalam bentuk :
m1 = m2
(1.5)
Contoh 1.20
Buktikan bahwa garis l1 yang melalui titik-titik (0,6) dan (4,-2) sejajar dengan garis l2 yang
melalui titik (0,4) dan (1,2).
Penyelesaian :
2
emiringan garis adalah m =
=
= 2
x
x
4 0
2 4
emiringan garis adalah m =
=
= 2
x
x
1 0
Karena m 1 = m 2 , maka garis l1 sejajar dengan garis l2.
1.8 Dua garis tegak lurus
Hubungan antara kemiringan dua buah garis yang saling tegak lurus dapat ditentukan
dengan bantuan Gambar 1.26 berikut ini.
19
y
l1
l2
P 3 (x 3 ,y 3 )
P 1 (x 1 ,y 1 )
P 2 (x 2 ,y 2 )
0
P 4 (x 4 ,y 4 )
x
Gambar 1.26
Dua garis tegak lurus
emiringan garis adalah m =
emiringan garis
adalah m =
x
x
x
x
=
=
x
x
x
x
{d(P 1 ,P 3 )} 2 = {d(P 1 ,P 4 )} 2 + {d(P 3 ,P 4 )} 2 = (x 4 -x 1 ) 2 +(y 3 –y 4 ) 2
{d(P 2 ,P 3 )} 2 = {d(P 2 ,P 4 )} 2 + {d(P 3 ,P 4 )} 2 = (x 4 -x 2 ) 2 +(y 3 –y 4 ) 2
{d(P1 , P2 )} 2 = {d(P1 , P3)} 2 + {d(P2 , P3)} 2 = {d(P1 , P4)+d(P2 , P4)} 2
Jadi :
(x
x )
(
)
(
(
) = 2(x
)
2(
x
)(
x
arena
=
x
m =
)=
(x
x
x )

(x
x )
2(x
x
= m dan
x
x )(x
x )(x
x
) = {(x
(
(x
x )}
x )
x )
1
=
x
x
x )
x
= m , maka
1
atau m m =
m
1
(1 )
Contoh 1.21
Buktikan bahwa garis l1 yang melalui titik-titik (2,-1) dan (5,0) tegak lurus terhadap garis l2
yang melalui titik-titik (1,1) dan (2,-2)!
20
Penyelesaian
emiringan garis
adalah m =
emiringan garis
adalah m =
x
x
x
x
=
=
0
( 1) 1
=
5 2
3
2 1
3
=
=
2 1
1
3
Karena : m 1 .m 2 = -1, maka garis l1 saling tegak lurus dengan garis l2 .
Soal-soal :
1. Tentukan kemiringan garis yang melalui titik-titik:
a) P1(2,3) dan P2(4,5)
b) P1(-2,2) dan P2(1,4)
c) P1(-3,-1) dan P2(3,-4)
d) P1(1,2) dan P2(2,-5)
2. Tentukan apakah garis-garis l1 dan l2 berikut ini sejajar, tegak lurus atau tidak
keduanya!
a) Garis l1 yang melalui titik-titik (1,1) dan (3,3) dan garis l2 yang melalui titik-titik
(0,0) dan (2,-2).
b) Garis l1 yang melalui titik-titik (1,2) dan (0,0) dan garis l2 yang melalui titik-titik (0,8) dan (2,-4).
c) Garis l1 yang melalui titik-titik (0,0) dan (2,4) dan garis l2 yang melalui titik-titik (1,2) dan (-2,4).
21
BAB II
HIMPUNAN
2. 1 Definisi
Himpunan (set) didefefinisikan sebagai kumpulan objek-objek yang berbeda. Selain itu
kita juga sering mendengar definisi lainnya yaitu sebagai kumpulan objek-objek yang
berbeda dan mempunyai sifat-sifat tertentu yang sama. Setiap objek yang terdapat dalam
himpunan disebut anggota atau unsur atau elemen. Anggota-anggota himpunan ditulis
dalam tanda kurung kurawal. Untuk menunjukkan bahwa suatu unsur atau elemen
merupakan anggota dari suatu himpunan tertentu biasanya kita menggunakan lambang
. Sedangkan lambang untuk menunjukkan bahwa suatu elemen atau unsur bukan
merupakan anggota suatu himpunan maka kita gunakan lambang . Himpunan tidak
memperhatikan urutan penulisan dan pengulangan anggota. Sebagai contoh urutan A =
{1,2,4} adalah sama dengan {2,4,1} atau {1,4,2 }. Sedangkan untuk contoh pengulangan
himpunan { 3,5,3,7,8} sama dengan {3,5,7,8 }.
2.2 Penyajian himpunan
Ada 3 cara untuk menyajikan himpunan, yaitu dengan cara:
a. tabulasi atau enumerasi
b. notasi pembentuk himpunan (set builder)
c. diagram Venn
a. Tabulasi atau enumerasi
Metode tabulasi adalah cara menulis atau menyatakan himpunan dengan jalan
menuliskan semua anggotanya. Jika A adalah himpunan bilangan-bilangan 1, 2, 3 dan
4 maka himpuan tersebut ditulis dalam bentuk : A = { 1 , 2 , 3 , 4 }. Jika jumlah
anggotanya terlampau banyak maka kita dapat menggunakan lambang ellipsis, ‘… ‘.
Contoh 2.1
Misal B adalah himpunan bilangan genap positif yang tidak lebih dari 1000, maka kita
dapat menuliskannya menjadi B = {0 , 2 , 4 ,…,1000 }.
Contoh 2.2
Misal C adalah himpunan yang mempunyai anggota bilangan ganjil positif yang lebih
kecil dari 100. Jadi C = { 1, 3, 5, … , 97 , 99 }.
b. Notasi pembentuk himpunan
Selain cara yang telah disebutkan diatas, kita dapat menuliskan himpunan dengan
menggunakan notasi pembentuk himpunan ( set builder). Penulisan himpunan
dengan cara ini adalah dengan cara menuliskan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh
anggota himpunan. Bentuk bakunya adalah A = { x | sifat-sifat x }. Aturan
penulisannya adalah sebagai berikut:
a) Lambang yang terdapat disebelah kiri tanda ‘|’ adalah anggota himpunan
b) Tanda ‘|’ dibaca sedemikian sehingga.
c) Lambang disebelah kanan tanda’|’ adalah sifat keanggotaan.
d) Jika ada tanda ‘,’ dalam sifat keanggotaan dibaca dan.
Contoh 2.3
A adalah himpunan bilangan ril lebih kecil dari 100 dan lebih besar dari 1.
A = { x | x  R, 1 < x < 100 }
22
c. Diagram Venn
Cara lain untuk menyajikan himpunan adalah dengan menggunakan cara grafis yaitu
diagram Venn. Biasanya diagram Venn terdiri dari himpunan atau himpunanhimpunan yang dilambangkan dengan lingkaran dan himpunan semesta
dilambangkan dengan persegi panjang. Jika terdapat himpunan A = { 1 , 2 , 3 , 4 } , B =
{ 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 }, dan himpunan semesta S yang mempunyai anggota bilangan asli
yang lebih kecil atau sama dengan 10, maka diagram Venn dari dari ketiga himpunan
tersebut adalah :
A
S
B
1
2
3
4
9
5
7
6
8
10
Gambar 2.1 Diagram Venn
2. 3. Kardinalitas
Kardinalitas menunjukkan jumlah anggota suatu himpunan. Jika terdapat himpunan A,
maka kardinal A ditulis dengan lambang n(A) atau |A|.
Contoh 2.4
Jika A = { x | x bilangan prima, x  10}
Agar lebih jelas maka ada baiknya kita tulis himpunan tersebut dalam bentuk
enumerasi. Jadi A = { 2 , 3 , 5 , 7 }
Maka |A| = 4
Contoh 2.5
Jika B = { x | x2 – 6x + 9 = 0}
Maka |B| = 1
2.4 Himpunan kosong
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Jadi untuk
hiompunan kosong |A| = 0. Himpunan kosong dilambangkan dengan Ø atau { }.
Contoh 2.6
K = { x | x bilangan ril, x2 + 1 = 0 }
Maka |K| = Ø atau { }.
2. 5. Himpunan bagian (subset)
Misal terdapat himpunan A dan B. Jika semua anggota himpunan A merupakan anggota
himpunan B, maka dikatakan bahwa A merupakan himpunan bagian B. Himpunan
bagian dilambangkan dengan lambang ⊆ atau ⊂. Jika kita ingin menuliskan bahwa
himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B maka A ⊆ B atau A ⊂ B.
Akan tetapi kita perlu berhati-hati menggunakan kedua lambang tersebut. Pada A ⊆ B
berarti A = B. Sedangkan A ⊂ B dapat dipastika bahwa A ≠ B. Lambang ⊆ disebut juga
himpunan bagian tak sebenarnya (improper set), sedangkan lambang ⊂ menunjukkan
himpunan bagian sebenarnya (proper set). Gambar berikut adalah diagram Venn A⊆B.
23
S
B
A
Gambar 2.2 Diagram Venn untuk
Himpunan Bagian
Perlu untuk diketahui bahwa:
a) Suatu himpunan merupakan himpunan bagian dari himpunan itu sendiri.
Jika terdapat suatu himpunan L, maka berlaku L ⊆ L.
b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari suatu himpunan.
Jika terdapat himpunan kosong dan himpunan M, maka berlaku Ø ⊆ M.
2.6. Kesamaan himpunan
Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika A adalah himpunan
bagian B dan B merupakan himpunan bagian A. Dengan menggunakan lambang
matematika kita dapat menulisnya dalam bentuk A = B  A ⊆ B dan B ⊆ A.
Contoh 2.7
Ekivalensi Himpunan
L = { x | x bilangan prima, x < 5} dan M = { x | x2 – 5x + 6 = 0 }
Agar lebih jelas, tulis kedua himpunan tersebut diatas dalam bentuk enumerasi.
L = { 2,3}
M = { 2,3}
Jadi L = M
Contoh 2.8
A={2}
B = { x | x2 = 4 }
Karena B = { -2 , 2 }
Maka A ≠ B.
2.7. Ekivalensi himpunan
Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal A =
kardinal B. Dalam bentuk lambang matematika dapat ditulis menjadi A ~ B  |A| = |B|
Contoh 2.9
Jika A = { x | x = P , 1  x  5} dan B = { Ani, Ali, Badu, Hasan, Wati }
Karena |A| = |B|, maka A ~ B .
2.8. Himpunan saling lepas
Himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika keduanya tidak mempunyai anggota yang
sama. Dalam bentuk lambang dapat ditulis dengan A//B. Jika digambarkan dengan
diagram Venn maka bentuknya seperti gambar berikut.
24
S
A
B
Gambar 2.3 Himpunan Saling Lepas
Contoh 2.10
A = { x | 1  x  5} dan B = { Ani, Ali, Badu, Hasan, Wati }
Karena anggota A tidak ada satupun yang sama dengan anggota B, maka A // B.
2.9. Himpunan kuasa
Himpunan kuasa (power set) adalah suatu himpunan A yang anggota-anggotanya
merupakan semua himpunan bagian A, termasuk himpunan kosong dan dan himpunan A
itu sendiri. Himpunan kuasa dari himpunan A dilambangkan dengan : P(A) atau 2A.
Contoh 2.11
Jika M = { 1,2,3 }
Maka himpunan kuasa dari M adalah 2M = { Ø, {1} , {2} , {3} , {1,2} , {1,3} , {2,3} , {1,2,3}}
2.10. Operasi himpunan
2.10.1 Irisan
Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotaanggotanya merupakan anggota himpunan A dan himpunan B. Dalam bentuk
notasi A  B = { x | x  A dan x  B}. Diagram Venn operasi irisan adalah seperti
gambar berikut. Bidang yang diarsir adalah irisan A dan B atau A  B.
S
A
B
Gambar 2.4 Irisan himpunan
Contoh 2.12
Jika A = { 2 , 3 , 6 , 7 } dan B = { 2 , 7 , 9 , 10 }
Maka A  B = { 2 , 7 }
Contoh 2.13
Jika K = { x ,y | x + y = 4, x,y  R } dan L = { x ,y | x  y = 2, x,y  R }
Maka K  L = { 3 , 1 }
2.10.2 Gabungan
Gabungan (union) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap
anggotanya merupakan anggota himpunan A atau B. Dalam bentuk notasi ditulis
sebagai : A  B = { x | x  A atau x  B}. Diagram Venn operasi gabungan adalah
seperti gambar berikut. Bidang yang diarsir adalah gabungan A dan B atau A  B
25
S
B
A
Gambar 2.5 Diagram Venn Himpunan Gabungan
Contoh 2.14
Jika A = { 1 , 2 , 3 , 6 , 7 , 9 } dan B = { 2 , 3 , 4 , 7 , 9 , 10 }
Maka A  B = { 1, 2 , 3 , 4, 6, 7 , 9, 10 }.
2.10.3 Komplemen
Komplemen suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta adalah suatu
himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan semesta tapi
bukan anggota himpunan A.. Dalam bentuk notasi ditulis Ā = { x | x  S dan x  A}.
Diagram Venn untuk Ā seperti gambar berikut. Bidang yang diarsir adalah Ā.
S
A
Ā
Gambar 2.6 Diagram Venn Komplemen Himpunan
Contoh 2.15
Jika S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } dan A = { 2 , 3 , 4 , 5 }
Maka Ā = { 1 , 6 , 7 , 8 , 9 }.
2.10.4 Selisih
Jika terdapat himpunan A dan himpunan B, maka A – B adalah himpunan yang
anggota-anggotanya hanya merupakan anggota himpunan A saja. Dalam bentuk
notasi ditulis sebagai : A – B = { x | x  A dan x  B}. Diagram Venn dari operasi ini
adalah bidang yang diarsir pada gambar berikut.
S
A
B
B
Gambar 2.7 Diagram Venn Selisih
Dua Buah Himpunan
Contoh 2.16
Jika A = { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } dan B = { 3 , 4 , 5, 10 }
Maka A – B = { 6 , 7 , 8 , 9 }.
26
2.10.5 Beda setangkup
Beda setangkup (symmetric difference) himpunan A dan himpunan B adalah
himpunan yang anggota-anggotanya hanya merupakan anggota himpunan A saja
atau himpunan B saja. : A  B = (A  B) – ( A B) = ( A – B )  ( B – A ) . Diagram
Venn dari operasi ini adalah bidang yang diarsir pada gambar berikut.
S
A
B
Gambar 2.8 Diagram Venn
Himpunan Beda Setangkup
Contoh 2.17
Jika A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } dan B = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 }
Maka A  B = { 1 , 9 , 10 }.
2.10.6 Perkalian Kartesian
Jika terdapat himpunan A dan himpunan B maka perkalian Kartesian A x B adalah
himpunan yang anggota-anggotanya merupakan pasangan terurut (ordered pairs)
dengan komponen pertama berasal dari himpunan A dan komponen kedua berasal
dari himpunan B. Dalam bentuk notasi dapat ditulis sebagai : A x B = { (a,b) | a  A
dan b  B}. Hal yang perlu diingat :
a) Jika A dan B  Ø, maka A x B  B x A
b) Jika A = Ø atau B = Ø maka A x B = B x A = Ø
c) |A x B| = |A| . |B|
Contoh 2.18
Misal C = { 1 , 2 , 3 } dan D = { a , b }
C x D = { (1,a) , (1,b) , ( 2,a) , (2,b) , (3,a) , (3,b)}
2.10.7 Prinsip Inklusi-Eksklusi
| AB| = |A| + |B| - |AB|
|ABC| = |A| + |B| + |C| - |AB| - |BC| - |AC| + |ABC|
|A  B| = |A| + |B| - 2|AB|
2.10.8 Sifat-sifat operasi himpunan dan prinsip dualitas
Misal F adalah suatu sifat yang melibatkan sejumlah himpunan dan operasinya,
maka kita akan mendapatkan dual dari sifat F (ditulis dengan lambang F*) dengan
jalan mengganti:
a)  dengan 
b) dengan 
c) Ø dengan S
d)S dengan Ø
Berikut disajikan beberapa sifat dari operasi himpunan dan dualnya.
27
Hukum
Dual
1. Identitas
:AØ=A
2. Null
:AØ=Ø
3. Komplemen : A  Ā = S
4. Idempoten : A  A = A
5. Penyerapan : A  ( A  B) = A
6. Komutatif : A  B = B  A
7. Asosiatif
: A  ( B  C ) = (A  B)  C
8. Distributif : A  ( B  C) = ( A  B)  (A  C)
9. De Morgan : A  B = A  B
10. 0/1
:Ø=S
AS=A
AS=S
AĀ=Ø
AA=A
A  ( A  B) = A
AB=BA
A  ( B  C ) = (A  B)  C
A  ( B C) = ( A  B)  (A  C)
AB = A  B
S =Ø
2.11. Himpunan ganda (multiset) dan operasinya
Pada pembahasan terdahulu kita telah membahas himpunan serta operasinya. Akan
tetapi anggota-anggotanya tidak ada yang ganda. Pada himpunan ganda, setidaktidaknya terdapat satu anggota yang muncul lebih dari satu kali. Selain itu kita juga
mengenal istilah multiplisitas, yaitu jumlah kemunculan anggota dari suatu himpunan
ganda. Sebagai contoh, jika Q = { 1 , 1 , 2 , 2 , 2 , 4 , 7 , 8 , 8 , 9 }, maka multiplisitas 2
adalah 3, sedangkan multipilisitas 8 adalah 2 dst.
2.11.1 Operasi Gabungan
Misal S dan T adalah multiset. Operasi gabungan antara keduanya akan
menghasilkan multiset yang multiplisitas anggota-anggotanya sama dengan
multiplisitas maksimum anggota-anggota pada himpunan ganda S dan T.
Contoh : Jika S = { Ani, Ani, Karim, Karim, Karim, Ali }
T = { Ani, Ani, Ani, Karim, Karim, Ali, Ali, Gani }
S  T = { Ani, Ani, Ani, Karim, Karim, Karim, Ali, Ali, Gani }
2.11.2 Operasi Irisan
Misal S dan T adalah multiset. Operasi irisan antara keduanya akan menghasilkan
multiset yang multiplisitas anggota-anggotanya sama dengan multiplisitas
minimum anggota-anggota pada himpunan ganda S dan T.
Contoh 2.19
Jika S = { Ani, Ani, Karim, Karim, Karim, Ali }
T = { Ani, Ani, Ani, Karim, Karim, Ali, Ali, Gani }
S  T = { Ani, Ani, Karim, Karim, Ali }
2.11.3 Operasi selisih
Misal S dan T adalah multiset. Operasi selisih S – T akan menghasilkan multiset
yang multiplisitas anggota-anggotanya ditentukan dengan cara:
- Jika multiplisitas anggota yang sama antara S dan T lebih besar pada S, maka
cari S–T
- Jika multiplisitas anggota yang sama antara S dan T lebih besar pada T, maka
multiplisitas anggota yang sama tersebut sama dengan 0.
Contoh 2.20
Jika S = { Ani, Ani, Karim, Karim, Karim, Ali }
T = { Ani, Ani, Ani, Karim, Karim, Ali, Ali, Gani }
S – T = { Karim, Karim }
28
2.11.4 Operasi jumlah
Misal S dan T adalah multiset. Operasi penjumlahan S + T akan menghasilkan
multiset yang multiplisitas anggota-anggotanya merupakan jumlah dari
multiplisitas masing-masing anggota yang sama.
Contoh 2.21
Jika S = { Ani, Karim, Karim, Karim, Ali }
T = { Ani, Ani, Karim, Ali, Ali, Gani }
S+T= {Ani, Ani, Ani, Karim, Karim, Karim, Karim, Ali, Ali, Ali, Gani }
2.12. Pembuktian pernyataan himpunan
Pernyataan himpunan dapat dibuktikan dengan menggunakan diagram Venn, tabel
keanggotaan, sifat operasi himpunan atau definisi.
2.12.1 Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn
Untuk membuktikan kebenaran dari pernyataan himpunan dengan
menggunakan diagram Venn, pertama-tama gambarkan diagram Venn untuk
ruas kiri dan ruas kanan kesamaan. Jika ternyata kedua gambar dari diagram
Venn tersebut sama maka kesamaan tersebut terbukti benar.
Contoh 2.21
Buktikan bahwa : A  ( B  C) = ( A  B)  (A  C)
S
S
A
B
A
C
B
C
Karena kedua diagram Venn sama hal ini berarti ruas kiri sama dengan ruas
kanan. Artinya kesamaan diatas benar.
2.12.2 Pembuktian dengan menggunakan tabel keanggotaan
Selain diagram Venn kita juga dapat menggunakan tabel keanggotaan untuk
membuktikan kebenaran dari pernyataan himpunan.
Contoh 2.22
Buktikan bahwa A  ( B  C) = ( A  B)  (A  C)
Bukti
A
B
C
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
AB
0
0
1
1
1
1
1
1
AC
0
1
0
1
1
1
1
1
29
BC
0
0
0
1
0
0
0
1
A(BC)
0
0
0
1
1
1
1
1
(AB)  ( AC)
0
0
0
1
1
1
1
1
Perhatikan bahwa kolom 7 dan 8 sama, artinya A(BC) = (AB)(AC)
(terbukti).
2.12.3 Pembuktian dengan menggunakan sifat operasi himpunan
Cara lain untuk membuktikan kebenaran pernyataan himpunan adalah dengan
menggunkan sifat operasi himpunan.
Contoh 2.23
Buktikan bahwa : (Ā  B)  (A  B) = B
Bukti :
(Ā  B)  (A  B)
gunakan hukum distributif
B  (Ā  A)
gunakan hukum komplemen
B
gunakan hukum identitas
B
Soal-soal
1. Berapakah jumlah anggota dari himpunan :
a) { 1, 2, 3, 3, 1, 2, 4, 5}?
b) {1, {1,2}, {1, 2, 3}}?
2. Tulis himpunan kuasa dari {a, b, c, d} dalam bentuk tabulasi!
3. Diketahui :
S = {-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {-5, -4, -3, -2, -1}
B = {-2, -1, 0, 1, 2}
C = { 1, 2, 3, 4, 5}
Gambarkan diagram Venn untuk :
a) A  B
d) B – (A  C)
b) B  C
e) (A  C)
c) A  B  C
f) (A  B)  C
30
BAB III
FUNGSI
3.1 Definisi
Jika nilai dari suatu besaran, misal y, bergantung pada nilai besaran lainnya, misal x,
maka kita dapat mengatakan bahwa y adalah fungsi dari x. Cara lain untuk
menyatakan ketergantungan y terhadap x adalah dengan cara simbolik yaitu y =
f(x) (dibaca “y adalah fungsi dari x”). Lambang-lambang lain untuk menyatakan
fungsi diantaranya adalah : h, F, G,  dll. Selanjutnya fungsi dapat
D
K
D
K
●
●
(a)
(b)
Gambar 3.1
D
K
●
Gambar 3.2
didefinisikan sebagai aturan yang menetapkan bahwa setiap satu anggota
himpunan D berpasangan dengan tepat satu anggota himpunan K (lihat Gambar
3.1). Anggota-anggota himpunan D yang mempunyai tepat satu pasangan pada
himpunan K disebut daerah definisi atau daerah asal (domain). Sedangkan anggotaanggota pada himpunan K yang merupakan pasangan anggota-anggota himpunan D
disebut daerah nilai (range). Sedangkan semua anggota himpunan K baik yang
merupakan pasangan dari anggota himpunan D maupun yang bukan disebut
kodomain. Jika terdapat suatu hubungan yang tidak memenuhi definisi diatas maka
hubungan tersebut bukan suatu fungsi tetapi disebut relasi (lihat Gambar 3.2). Jadi
31
fungsi sama seperti sebuah proses yang menghasilkan tepat satu keluaran untuk
setiap masukan tertentu. Sedangkan relasi dapat dimisalkan seperti sebuah proses
yang menghasilkan dua keluaran untuk setiap masukan tertentu.
3.2. Jenis-jenis fungsi
Secara garis besar fungsi dapat dikelompokkan menjadi dua bagian utama, yaitu
fungsi ril dan fungsi kompleks. Pembahasan mengenai fungsi pada materi kuliah ini
hanya mencakup fungsi ril saja.
3.2.1 Menurut jumlah peubah bebas
3.2.1.1 Fungsi peubah bebas tunggal
Fungsi peubah bebas tunggal adalah fungsi yang hanya mempunyai
satu peubah bebas.
Contoh 3.1 : a) y = 2x + 3
b) y = x2
c) y = sin x
d) x2 + y2 =r2
3.2.1.2 Fungsi peubah bebas banyak
Fungsi peubah bebas banyak adalah fungsi yang mempunyai lebih
dari satu peubah bebas.
Contoh 3.2 : a) w = xy
b) u = sin (x+y)
c) v = cos xy
d) t = xy+ z
3.2.2 Menurut cara penyajiannya
3.2.2.1 Fungsi eksplisit
Fungsi eksplisit adalah fungsi dimana peubah bebasnya ditulis atau
disajikan pada ruas tersendiri; terpisah dari peubah tak bebasnya.
.
a) y
x
b) y
x
c) y = sin x
d) y = (x-1)2
Secara umum fungsi ekplisit ditulis dalam bentuk y = f(x)
3.2.2.2 Fungsi implisit
Fungsi implisit adalah fungsi dimana peubah bebas dan tak
bebasnya ditulis pada ruas yang sama.
Contoh 3.4 : a) x + y = 0
b) x2 + y2 = r2
Secara umum fungsi implisit ditulis dalam bentuk F(x,y) = 0
3.2.2.3 Fungsi parameter
Bentuk umum dari fungsi parameter adalah:
x = f(t) ; y = g(t) ; t adalah parameter.
Contoh 3.5
x
y
Jika kita tinjau dari operasi yang dilakukan terhadap peubah
bebasnya, maka fungsi ril dapat dibagi seperti yang ditunjukkan
pada Gambar 3.3 berikut.
32
Fungsi
Aljabar
Rasional
Transenden
Irrasional
Pecah
Bulat
Logaritma
Eksponen
Hiperbolik
Invers
Trigonometri
Invers
Trigonometri
Hiperbolik
Gambar 3.3
3.2.3 Fungsi aljabar
Fungsi aljabar adalah fungsi yang mengandung sejumlah operasi aljabar yaitu
operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan operasi pangkar
rasional. Fungsi aljabar dapat dibagi menjadi fungsi rasional dan irrasional.
Selanjutnya fungsi rasional dapat dibagi menjadi fungsi bulat dan fungsi pecah.
3.2.3.1 Fungsi rasional
Fungsi rasional adalah fungsi yang mempunyai bentuk P(x)/Q(x)
dengan P(x) dan Q(x) adalah polinomial-polinomial dan Q(x)  0.
Selanjutnya jika Q(x)  konstan maka fungsi rasional disebut juga fungsi
pecah. Sedangkan jika Q(x) = konstan maka fungsi rasional disebut
fungsi bulat.
A. Fungsi bulat
Fungsi bulat adalah suatu fungsi rasional dengan Q(x) = konstan.
Sehingga fungsi bulat dapat disebut fungsi polinomial karena
bentuknya sama seperti bentuk polinomial. Suatu fungsi yang
mempunyai bentuk :
f(x)
a x
a
x
a
x
a x
a
( . )
disebut fungsi polinomial derajad n. Koeffisien-koeffisien an, an-1, an-2,…,
, a1, a0 adalah bilangan-bilangan ril, sedangkan masing-masing
sukunya disebut monomial. Pangkat n pada fungsi polionomial
adalah bilangan bulat tak negatif. Fungsi polinomial dapat
dikelompokkan menurut jumlah suku dan menurut derajat nya.
Berikut diberikan beberapa contoh fungsi-fungsi polinomial.
33
Berdasarkan
Polinomial
Jumlah suku
Trinomial
Polinomial
Monomial
Monomial
Binomial
Polinomial
x2
–x–6
x3+ 2x2 - x + 5
x5
–5
x+2
x6 –4x3 – 7x + 5
Derajad
2 (fungsi kuadrat)
3 (fungsi kubik)
5
0 (fungsi konstan)
1 (fungsi linier)
6
a. Penjumlahan dan pengurangan fungsi polinomial
Untuk melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan dari
fungsi polinomial langkah-langkah yang harus kita lakukan adalah
mengelompokkan suku-suku yang mempunyai faktor/faktorfaktor peubah yang sama. Sebagai contoh suku-suku 3xy dan -2xy
adalah dua faktor yang sama sehingga pada kedua suku tersebut
dapat dilakukan operasi penjumlahan dan / atau pengurangan.
Contoh lain dapat dilihat pada tabel berikut :
Jenis suku
dan bx3
ax2 dan bx2y
a dan b
ax3
Keterangan
Mempunyai faktor peubah yang sama
Mempunyai faktor peubah yang tidak sama
Sebetulnya mempunyai faktor peubah yang
sama, karena masing-masing suku dapat
ditulis dalam bentuk : ax0+ bx0
Contoh 3.6
Tentukan jumlah dan selisih dari fungsi-fungsi,
x
x
xy dan
x
x
x
x y
Penyelesaian :
Penjumlahan
(-2x2+5x+7xy)+(-3x3 -4x2 +x-3x2y+3xy-2) =
-2x2 +5x+7xy-3x3 -4x2 +x-3x2y+3xy-2 =
-3x3 - 6x2 + 6x - 3x2y + 10xy – 2
Pengurangan
(-2x 2 +5x+7xy)-(-3x 3 -4x 2 +x-3x 2 y+3xy-2) =
-2x2 +5x+7xy+3x3 +4x2 –x+3x2y-3xy+2 =
3x3+2x2+3x2y+4xy+4x+2
xy
b. Perkalian monomial
Untuk melakukan operasi perkalian fungsi monomial berikut
diberikan beberapa hukum yang berlaku yaitu :
Hukum I : am . an = am+n
Contoh 3.7
Selesaikan perkalian : 52.53 ; xa .xb ; xy2 .x3y
Penyelesaian :
52.53 = 52+3 = 5 5 = 3125
xa.xb
= xa+b
2
3
xy .x y = x.x3.y2 .y = x4 .y3
34
( 3.2 )
Hukum II : [am]n= amn
( 3.3 )
Contoh 3.8
Selesaikan : [42]3 dan [x3]4
Penyelesaian :
[42 ]3 = 46 =4096
[x3 ]4 = x12
Hukum III : [ambn]k= amk.bnk
( 3.4 )
Contoh 3.9
Selesaikan : [{7}{52}]3 dan [x3y2]2
Penyelesaian :
[{7}{52}]3 = 73 5 6 = 5359375
[x3y2]2 = x6 y4
c. Perkalian fungsi polinomial
Proses perkalian dua fungsi polinomial dapat dilakukan dengan
mengalikan masing-masing monomialnya dengan bantuan hukum
distributif.
Contoh 3.10
Selesaikan perkalian : 2x(x2 -5x+6)
Penyelesaian :
2x(x2 -5x+6) = 2x3 -10x2 +12x
Contoh 3.11
Selesaikan perkalian : (3x+2)(x2 -3x+2)
Penyelesaian :
(3x+2)(x2 –3x+2) = 3x3 – 9x2 +6x+2x2 – 6x+4=3x3 –7x2 +4
d. Perkalian istimewa polinomial
Dua buah polinomial disebut binomial-binomial konjugat jika
salah satu dari binomial tersebut merupakan penjumlahan,
sedangkan yang lainnya merupakan pengurangan dari dua buah
monomial. Sebagai contoh (axm+byn) dan (axm–byn) adalah
binomial-binomial konjugat. Hasil perkaliannya adalah :
(axm+byn)(axm – byn) = (axm)2 – (by)2
(3.5)
Contoh 3.12
Selesaikan perkalian (5x2+6) (5x2-6)
Penyelesaian :
(5x2+6) (5x2–6) = (5x2)2 –(6)2 = 25x4 –36
e. Pemfaktoran polinomial
Memaktorkan polinomial berarti menulis polinomial menjadi
bentuk perkalian antara dua polinomial atau lebih. Langkahlangkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut tentukan
faktor yang sama dari masing-masing monomial dan selanjutnya
35
keluarkan dari kelompoknya. Sebagai contoh dapat dilihat pada
tabel berikut.
Langkah I
(tentukan faktor
yang sama)
a
x
b
Polinomial
ax2+ay2
3x3+2x+x
3a2b+5ab-4b2
Langkah II
(keluarkan faktor
yang sama)
a(x2+y2)
x(3x2+2x+1)
b(3a2+5a-4b)
f. Pembagian polinomial
Pembagian dua buah monomial dapat dilakukan dengan
mengikuti hukum-hukum berikut ini.
x
x
u um
x x
x
y
u um
x
( . )
x
y
( . )
Hukum VI : ( Pangkat nol) a0=1 ; a / 0
u um
( ang a n ga if)
a
(3.8)
a
( . )
Contoh 3.13
d rhana an fungsi
x
y
Penyelesaian
x
y
x
y
y
x
Soal-soal
1. Selesaikan!
a) (x+6y) – (2x2 – 7x+12)
b) (x2+2xy+y2) – (3x– x2y+y)
2. Selesaikan!
a) ( x )(
x )(
x
c) (x3+6x2+12x+8) + (2x2y+3xy-7)
d) (4y2– x2) + (2x2y– 3xy2)
)
)( x y
b) (x3y)(xy3)(x2y2)
)
f ) (–2p5 q4 r3)3
c)
x
y
g)
d) (
x y ) (x y )
h) a
36
(
)
a
a
3. Selesaikan perkalian polinomial berikut ini!
a) x(x–2)
d) (x 2 – 5)(x 2 – 3x+2)
b) –2xy(x 2 y–3xy 3 )
e) (2s 2 – t 3 +4s 2 t)(s 2 – 2st+t 2 )
c) abc(2a-5b–2c+7)
f ) (x 4 +2x 2 )(x 4 –2x 2 )
2 3
2
3
2
g) (–2m+5n)(2m+5n)
d) 5xy z (2x z-3yz +4xy )
4. Faktorkan fungsi-fungsi berikut!
a) 5s – 5t
b) 6ab – 12ac + 18ad
5. Selesaikan!
a) s s
b) (r
c) (x y
c) 9xy + 12y – 6xz – 8z
d) 8ax – 20a + 10 bx – 25b
d) ( x y
s )(r s
)
)
) (x
)
f)
)
g) (
x
y
h)
a b ) ( a b )
( x ) ( x )
( x )
x y
x y
g. Fungsi konstan
Pada contoh terdahulu telah dijelaskan bahwa fungsi polinomial yang
mempunyai derajad nol disebut fungsi konstan dan dapat ditulis dalam
bentuk :
y = f(x) = a0 atau y = konstan
( 3.10 )
Grafik fungsi konstan dapat dilihat pada Gambar 3.4 berikut.
y
y = a0 ; a0 > 0
x
0
y = a0 ; a0 < 0
Gambar 3.4
Grafik fungsi konstan
h. Fungsi linier
Fungsi linier adalah fungsi polinomial yang derajad satu. Fungsi linier
disebut juga persamaan garis dan ditulis dalam bentuk :
y
f(x)
a x
a
a au
y
mx
n
(3.11)
Persamaan 3.11 adalah persamaan garis yang memotong sumbu x pada saat y
= 0 dan memotong sumbu y pada saat x = 0. Perhatikan persamaan 3.11. Jika
x = 0 maka y = n dan jika y = 0 maka x = - n/m. Jadi dapat disimpulkan bahwa
persamaan 3.11 menunjukkan sebuah garis yang melalui titik-titik (0,n) dan
(-n/m,0). Biasanya persamaan 3.
dis bu p rsamaan “ rpo onganKemiringan sebuah Garis (Slope- n rc p Equa ion of a Lin )”. Grafik
persamaan 3.11 ditunjukkan pada Gambar 3.5 dibawah ini.
37
y
(0,n)
(-n/m,0)
x
0
Gambar 3.5
Grafik fungsi linier
Jika persamaan garis pada persamaan 3.11 melalui titik (x1,y1) maka :
y1 = mx1 + n  n = y1 – mx1
( 3.12 )
Dengan mensubstitusi harga n pada pers. 3.12 ke pers. 3.11 didapat :
y – y1 = m(x – x1) atau y = m(x – x1) + y1
( 3.13 )
Biasanya persamaan 3.
dis bu p rsamaan “K miringan-Titik sebuah
Garis (Point- lop Equa ion of a Lin )”. Grafi p rsamaan 3.13 ditunjukkan
pada Gambar 3.6.
y
(x,y)
(x1,y1)
x
0
Gambar 3.6
Grafik persaman 3.13
Jika persamaan garis 3.11 melalui titik (x2,y2), maka :
y – y2 = m(x – x2) atau y = m(x – x2) + y2
(3.14)
Jika persmaan 3.15 dikurang persamaan 3.13 maka didapat,
y
y
m(x
x ) a au m
38
y
x
y
x
y
x
y
x
( .
)
Dengan memasukkan harga m pada pers. 3.15 ke pers. 3.13 didapat :
y
y
y
x
y
(x
x
x ) a au y
y
x
y
(x
x
x )
y
( .
Persamaan 3.16 adalah persamaan garis yang melalui titik (x1,y1) dan
(x2,y2) dan dis bu p rsamaan “Dua i i dari sua u garis ( wo poin
qua ion of a lin )” s p r i yang di unju an pada Gambar 3.7.
y
(x2,y2)
(x1,y1)
0
x
Gambar 3.7
Grafik persaman 3.16
Kesimpulan :
Dari uraian diatas padat disimpulkan bahwa :
1. Jika kemiringan dan titik potong suatu garis dengan sumbu x atau
sumbu y diketahui maka gunakan adalah persamaan 3.11.
2. Jika kemiringan suatu garis diketahui dan garis tersebut melalui titik
tertentu, misal (x1,y1), maka gunakan persamaan 3.13.
3. Jika suatu garis melalui titik-titik (x1,y1) dan (x2,y2) maka gunakan
persaman 3.16.
Cara menggambar garis
Bentuk umum persamaan garis : y = mx + n
Buat tabel sebagai berikut :
Jika n  0
x
y
0
n
-n/m
0
Jika n = 0
x
y
0
0
a
m.a
a adalah sembarang bilangan ril
Contoh 3.14
Sebuah garis mempunyai kemiringan (koeffisien arah) -1/3 dan memotong
sumbu x pada x = 1. Tentukan persamaan garis tersebut!
Penyelesaian : (gunakan persamaan 3.11)
Persamaan garis y = mx + n
Karena m = -1/3, maka persamaan garis menjadi : y = -1/3 x + n
39
)
Titik potong dengan sumbu x pada x = 1, maka y = 0. Dengan
mensubstitusikan harga x dan y ke persamaan 2.11 maka didapat :
n=1/3. Dengan demikian persamaan garis menjadi: y = -1/3 x+1/3
Cara menggambarkan garis lihat petunjuk.
x
0
1
y
1/3
0
Jadi titik-titik koordinat garis tersebut adalah (0,1/3) dan (1,0).
y
(0,1/3)
(1,0)
0
x
Gambar 3.8
Contoh 3.15
Sebuah garis mempunyai kemiringan (koeffisien arah) 2 dan memotong
sumbu y pada y = 3/2. Tentukan persamaan garis tersebut !
Penyelesaian : (gunakan persamaan 3.11)
Persamaan garis y = mx + n
Karena m = 2, maka persamaan garis menjadi : y = 2x + n
Titik potong dengan sumbu y pada y = 3/2, maka x = 0. Dengan
mensubstitusikan harga x dan y ke persamaan 3.11, didapat n=1.
Dengan demikian persamaan garis menjadi: y = 2x+3/2
Cara menggambarkan garis lihat petunjuk.
x
y
0
3/2
-3/4
0
Jadi titik-titik koordinat garis tersebut adalah (0,3/2) dan (-3/4,0).
y
(0,3/2)
(-3/4,0)
0
x
Gambar 3.9
Contoh 3.16
Sebuah garis mempunyai kemiringan (koeffisien arah) -1 dan melalui titik
(-2,3). Tentukan persamaan garis tersebut!
Penyelesaian (gunakan persamaan 3.13) :
y = m(x - x1) + y1  m = -1 ; x1 = -2 ; y1 = 3
Persamaan garis yang dimaksud adalah :y = -1(x+2)+3= -x + 1
40
y
(0,1)
(1,0)
0
x
Gambar 3.10
Contoh 3.17
Sebuah garis melalui (-3,4) dan (5,2).Tentukan persamaan garis tsb.!
Penyelesaian (gunakan persamaan 3.16):
y
y
y
x
y
(x
x
x )
y
x
(x
(x
)
(x
)
)
y
(0,13/4)
(13,0)
0
x
Gambar 3.11
Soal-soal
1. Tentukan persamaan garis dan gambarkan grafiknya dari data berikut !
a) Kemiringan (koeffisien arah) = . Memotong sumbu x pada x = -1
b) Kemiringan (koeffisien arah) = -3/4. Memotong sumbu x pada x = 3
c) Kemiringan (koeffisien arah) = 1/4. Memotong sumbu y pada y = 1
d) Kemiringan (koeffisien arah) = 1. Memotong sumbu y pada y = -2
2. Tentukan persamaan garis dan gambarkan grafiknya dari data berikut !
a) Kemiringan (koeffisien arah) = 2. Melalui titik (-2,-1)
b) Kemiringan (koeffisien arah) = 2/3. Melalui titik (3,0)
c) Kemiringan (koeffisien arah) = -4. Melalui titik (-1/2,3)
d) Kemiringan (koeffisien arah) = -1. Melalui titik (0,3/2)
3. Tentukan persamaan garis yang melalui titik-titik berikut dan gambarkan grafiknya!
a) (0,1) dan (2,5)
c) (-1,-2) dan -2,2)
b) (0,-1) dan (3,8)
d) ( 2,-1) dan (2,6)
41
i. Fungsi kuadrat
- Penyelesaian fungsi kuadrat dengan pemfaktoran
Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang mempunyai derajad dua
dan mempunyai bentuk umum :
y= f(x) = a2x2 + a1x + a0 atau y= f(x) = ax2 + bx + c
(3.17)
dengan a, b dan c adalah bilangan-bilangan ril. Sedangkan x adalah
peubah bebas dan y peubah tak bebas. Grafik persamaan kuadrat
pada persamaan 3.17 memotong sumbu x jika y =0. Sehingga
persamaan 3.17 menjadi : ax2 + bx + c = 0. Untuk menentukan titik
potong persamaan kuadrat terhadap sumbu x pertama-tama kita
harus menentukan akar-akarnya.
Pemfaktoran adalah salah satu cara untuk menentukan akar-akar
tersebut. Untuk memfaktorkan sebuah persamaan kuadrat pertamatama kita tulis dalam bentuk :
c
b
ax2 + bx + c= a(x2+ x+ ) = a(x2+Bx+C), dengan B = b/a dan C=
a
a
c
b
c/a. Memfaktorkan x2+ x+ berarti menuliskannya dalam bentuk :
a
a
(x + m)(x+n), dimana mn = C dan m + n = B
( 3.18 )
Akar-akar dari persamaan 3.18 adalah : x1= -m dan x2 = -n
Contoh 3.18
Faktorkan persamaan kuadrat : x2 + x – 6 = 0
Penyelesaian :
B = 1 dan C = –6
mn = -6 dan m + n = 1. Didapat m = -2 dan n = 3
Jadi : x2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3). Sehingga akar-akarmya
adalah : x1 = 2 dan x2 = -3
Contoh 3.19
Faktorkan persamaan kuadrat : x2 –4x – 12 = 0
Penyelesaian :
B = –4 dan C = –12
mn = –12 dan m + n = –4. Didapat m = –6 dan n = 2
Jadi : x2 + x – 6 = (x – 6)(x + 2). Sehingga akar-akarmya
adalah : x1 = 6 dan x2 = –2
-
Penyelesaian fungsi kuadrat dengan menggunakan rumus kuadrat.
Dari penjelasan sebelumnya telah diketahui bahwa pers. kuadrat yang
memotong sumbu x mempunyai bentuk umum ax2+bx+c = 0 dengan x 
bilangan ril, atau dapat ditulis dalam bentuk :
a(x
x)
a
)
b
a(x
x
b
a
c
b
a
b
a
a(x
x
b
a
42
c
a
)
b
c  (x
c
a
)
b
a
ac
a
c
a
a
b
ac
b
a
x
ac
b
a
ac
a
b
x
b
b
ac
b
a
x
b
a au
b
a
ac
( .
)
Persamaan 3.19 adalah persamaan kuadrat. Persamaan tersebut digunakan
untuk menentukan akar-akar dari persamaan kuadrat. Besaran b2 – 4ac
disebut diskriminan atau disingkat D.
Contoh 3.20
Tentukan akar-akar dari persamaan x2 + 4x - 21 = 0 dengan meng- gunakan
persamaan kuadrat!
Penyelesaian :
Dari persamaan diketahui bahwa : a = 1 ; b = 4 ; c = -21
x
x
b
b
a
ac
( )(
( )
)
b
b
a
ac
( )(
( )
)
- Grafik fungsi kuadrat.
Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang mempunyai derajad dua dan
bentuknya adalah : y = ax2 + bx + c, dimana a, b dan c adalah bilanganbilangan ril, a  0, x adalah peubah bebas dan y peubah tak bebas. Grafik
persamaan kuadrat dapat membuka keatas atau kebawah tergantung dari
nilai a. Jika nilai a > 0 maka grafik akan membuka keatas. Jika a < 0 maka
grafik akan membuka kebawah. Pada grafik persamaan kuadrat kita
mengenal beberapa istilah penting yaitu :
i) Verteks
Verteks adalah titik ekstrim ( maksimum ataupun minimum ) dari suatu
parabola. Jika nilai a para persamaan kuadrat lebih kecil dari nol
(negatif) maka verteks merupakan titik maksimum. Jika a lebih besar
dari nol (positif) maka verteks merupakan titik minimum. Titik
koordinat verteks adalah V(h,k), dimana :
b
a
h
dan
c
b
a
( .
)
ii) Sumbu simetri
Sumbu simetri adalah garis yang membagi parabola menjadi dua bagian
yang sama. Sumbu simetri adalah,
x
h
b
a
( .
)
iii) Titik potong dengan sumbu x
Untuk menentukan apakah sebuah parabola memotong sumbu x atau
tidak, kita perlu memeriksa harga diskriminan. Jika diskriminan (D) = 0
43
maka parabola tidak memotong sumbu x tetapi verteksnya hanya
menyinggung sumbu x. Jika D < 0 parabola tidak memotong dan tidak
menyinggung sumbu x. Jika D > 0 maka parabola memotong sumbu x
pada x1 dan x2.
iv) Titik potong dengan sumbu y
Titik potong dengan sumbu y pada y = c
Contoh 3.21
Diketahui fungsi kuadrat f(x) = –x2 + 5x -6
Tentukan : verteks, sumbu simetri, titik potong dengan sumbu x dan y
Penyelesaian :
Dari soal siketahui : a = –1, b = 5 dan c = –6
b
a
h
r
s
c
(h, )
b
a
(
( , ). umbu sim ri x
)
h
Titik potong dengan sumbu x  y = 0
–x2 + 5x –6 = –(x–3)(x–2) = 0  x1 = 3 dan x2 = 2
Jadi parabola memotong sumbu x pada x =2 dan x = 3
Titik potong dengan sumbu y  x = 0. Didapat :y = –6
Jadi parabola memotong sumbu y pada y = –6.
Parabola membuka kebawah karena a < 0
y
x = 5/2
1/4
0
-6
2
3
x
sumbu
simetri
Gambar 3.12
Soal-soal
Tentukan verteks, sumbu simetri, titik potong dengan sumbu x dan y dari
fungsi kuadrat berikut ini!
2
1. y = -5x2
3. y = x2 – 2x
5. y = x2 – 3x -4
3
1
4
2. y= (x + 2 )2
5. y =2x2 + 4x + 5
7. y = x2 – 7
2
5
44
j. Fungsi pangkat tinggi
Fungsi pangkat tinggi yang dimaksud pada pasal ini adalah polinomial
derajad tiga atau lebih. Untuk menentukan akar-akar dan menggambarkan
grafik dari fungsi pangkat tinggi biasanya kita perlu untuk memaktorkan
fungsi pangkat tinggi tersebut.
- Pemfaktoran fungsi pangkat tinggi
Misal f(x) sembarang polinomial. Selanjutnya x – c dikatakan salah
satu faktor dari f(x)  f(c) = 0. Berarti c merupakan salah satu akar dari
polinomial. Berikut adalah contoh pemfaktoran fungsi pangkat tinggi.
Contoh 3.22
Tentukan faktor-faktor dan akar-akar dari fungsi pangkat tinggi :
f(x) = x3 - 3x2 - 10x + 24
Penyelesaian :
Pertama-tama tentukan salah satu akarnya secara trial & error.
Jika kita ambil x = 1, maka f(1) = 13 - 32 - 10 + 24 =12. Karena f(1)  0,
maka x = 1 bukan akar dari f(x).
Jika kita ambil x = 2, maka f(2) = 23 – 3(2)2 – 10(2) + 24 =0.
Karena f(2) = 0, maka x = 2 adalah salah satu akar dari f(x).
Sehingga (x – 2) adalah salah satu faktor dari f(x). Untuk mencari faktor
lainnya kita bagi f(x) dengan faktor yang sudah didapat, yaitu
(x3 – 3x2 – 10x + 24) dibagi dengan (x – 2).
x–2
x2 – x – 12
x3 – 3x2 – 10x + 24
x3 – 2x2
–x2 – 10x + 24
– x2 + 2x
– 12x + 24
– 12x + 24
0
Hasil bagi x3–3x2–10x+24 dengan x–2 adalah x2–x–12. Berarti, x2–x–12
adalah faktor lain dari x3–3x2–10x+24. Selanjutnya x3–3x2–10x+24 dapat
ditulis dalam bentuk (x–2)(x2–x–12). Akan tetapi faktor x2–x–12 masih
mungkin untuk diuraikan lagi karena mempunyai derajad dua. Persamaan
dari x2–x–12 dapat ditulis dalam bentuk faktor, yaitu (x–4)(x+3). Sehingga
secara keseluruhan persaman x3–3x2–10x+24 dapat ditulis dalam bentuk
(x–2)(x–4)(x+3). Jadi faktor-faktor dari x3–3x2–10x+24 adalah (x–2), (x–4)
dan (x+3), sedangkan akar-akarnya adalah x=4, 2 dan –3.
- Grafik fungsi pangkat tinggi
Menggambar grafik fungsi pangkat tinggi dapat dibantu dengan bantuan
tanda dari faktor-faktornya (positif atau negatif) seperti yang ditunjukkan
pada contoh berikut.
Contoh 3.23
Gambarkan grafik fungsi f(x) = x3 – x
Penyelesaian :
Faktorkan f(x)  x3 – x = x(x – 1)(x + 1).
45
x
: - - - - - - - - - - - - - - - - - -0+ + + + ++ + + +
x–1
: - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - 0 + + +
x+1
: - - - - - - - 0 + + + + + + + + ++ + + + +
x3 – x
: - - - - - - - 0 ++++++ 0 - - - - - - - - - 0 + + +
-1
0
1
Grafik dari fungsi f(x) = x3 – x adalah :
y
-1
0
1
x
Gambar 3.13
Soal-soal
Gambarkan grafik dari fungsi pangkat tinggi berikut!
1. y = x3 + 1
3. y = 1/4 + 2x3
5. y = x3 + 4x2 + x – 6
4
3
2
2. y= 1 – x
4. y = x – 2x – 9
B. Fungsi pecah
a. Daerah definisi (domain)
Fungsi pecah adalah fungsi yang mempunyai bentuk P(x)/Q(x); P(x)
dan Q(x) adalah fungsi-fungsi polinomial dan Q(x)  0. Dalam bentuk
formulasi fungsi pecah dapat ditulis menjadi :
(x)
,
(x)
f(x)
(x)
( .
)
Untuk menentukan daerah definisi dari fungsi pecah, pertama-tama
kita faktorkan penyebutnya. Dari faktor-faktor tersebut kita dapatkan
akar-akarnya. Daerah definisi fungsi pecah adalah pada semua
bilangan ril kecuali pada akar-akar penyebut dari fungsi pecah.
Contoh 3.24
Tentukan daerah-daerah definisi dari fungsi-fungsi berikut!
a)
x
x
x
b)
x
x
x
x
Penyelesaian :
a) Perhatikan Q(x) : x2 – x – 2 = (x – 2)(x + 1)
46
x
impunan da rah d inisi fungsi
x
x x s mua bilangan ril, x  dan x 
x
b) Perhatikan Q(x) : 4x3 +4x2 + x = 4x(x + 1/2)2
x
impunan da rah d inisi fungsi
adalah
x
x
x
x x s mua bilangan ril, x
dan x
b. Grafik fungsi pecah
Untuk menggambarkan grafik fungsi pecah, kita perlu melakukan
langkah-langkah sebagai berikut :
i) Faktorkan fungsi pembilang P(x) dan penyebut Q(x).
ii) Tentukan daerah definisi (domain) dari f(x) dengan cara menentukan Q(x) = 0. Harga x yang didapat bukan domain f(x).
iii) Periksa apakah terdapat faktor (x + a) yang merupakan faktor dari
P(x) dan Q(x). Jika ada maka titik x = -a merupakan titik tak kontinu
dari f(x).
iv) Tentukan titik potong f(x) dengan kedua sumbu, jika ada. Untuk
mencari titik potong f(x) dengan sumbu x tetapkan P(x) = 0.
Selanjutnya harga x yang didapat merupakan titik potong f(x)
dengan sumbu x. Untuk mencari titik potong dengan sumbu y
tetapkan x = 0. Harga f(x) yang didapat merupakan titik potong f(x)
dengan sumbu y. Akar atau akar-akar yang berasal dari faktor yang
bersekutu antara pembilang dan penyebut tidak digunakan untuk
mencari titik potong.
v) Coret faktor/faktor-faktor yang bersekutu antara pembilang dan
penyebut.
vi) Tentukan asimtot tegak, jika ada. Garis x = c merupakan asimtot
tegak jika x – c merupakan faktor dari Q(x) setelah langkah v.
vii) Misal fungsi pecah berbentuk :
f(x)
a x
b x
a
b
x
x
a x a
b x b
- Jika n < m maka garis y = 0 adalah asimtot datar.
- Jika n = m maka garis y = an/bm adalah asimtot datar.
- Jika n > m maka fungsi tidak mempunyai asimtot datar.
viii) Tentukan tanda-tanda dari f(x) pada selang-selang antara asimtot
tegak (positif atau negatif).
Contoh 3.25
Gambar an gra i y
x
x
f(x)
Penyelesaian :
i)
x
x
x
x
(x
(x
)( x
)( x
47
)
)
x
x
ii) Q(x) = (x-1)(2x+1) = 0  x = 1 dan x = -1/2. Jadi daerah definisi
(domain) dari f(x) adalah semua bilangan ril kecuali 1 dan -1/2.
iii) Karena (x - 1) adalah faktor persekutuan dari P(x) dan Q(x), maka
f(x) tak kontinu pada titik x = 1.
iv) Titik potong dengan sumbu x.
P(x) = 3x2 – x – 2 = 0  (x-1)(3x+2)  x = -2/3.
Jadi titik potong dengan sumbu x terjadi pada x= –2/3. Sedangkan
x=1 bukan titik potong pada sumbu x, karena (x–1) merupakan
faktor persektuan P(x) dan Q(x).
Titik potong dengan sumbu y.
x = 0  y = 2. Jadi titik potong dengan sb.y terjadi pada y = 2.
)
x
x
x
x
(x
(x
)( x
)( x
)
)
x
x
vi) Karena (2x+1) adalah faktor dari Q(x), setelah dilakukan langkah v),
maka x= –1/2 adalah asimtot tegak.
vii) Karena n = m, maka y = 3/2 adalah asimtot datar
viii)
x – 1 : - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0+++++
3x + 2 : - - - - - 0 +++++++++++++++++++++
2x + 1 : - - - - - - - - - - - - 0++++++++ ++++++
3x  x  2
:+++++0 - - - - - - ++++++++?++++++
2x 2  x  1
2
-2/3
-1/2
1
y
0
Gambar 3.14
48
1
x
Soal-soal
Gambarkan grafik fungsi pecah berikut!
. f(x)
. f(x)
x
. f(x)
. f(x)
x
. f(x)
. f(x)
x
. f(x)
. f(x)
x
)
x
x
(x
)
x
. f(x)
x
. f(x)
(x
x
x
3.2.3.2 Fungsi irasional
Fungsi irasional adalah fungsi yang mempunyai bentuk :
f(x)
g(x)
( .
)
dengan g(x) adalah fungsi rasional. Daerah definisi fungsi irasional
(Df) dapat dijelaskan sebagai berikut :
D
x g(x)
D
bila n bilangan ganjil
bila n bilangan g nap
(3.24)
Dimana Dg adalah daerah definsi dari g.
Contoh 3.26
n u an da rah d inisi dan da rah nilai dari y
x
x
Penyelesaian
Kar na n bilangan g nap (dalam hal ini ), ma a x
x x
 x(
x)
x
x
: - - - - - - - - - 0++++++++++++++
9 - x :+++++++++++++++0 - - - - - 9x-x2 : - - - - - - - - - 0+++++++0 - - - - - [
0
]
9
adi da rah d inisi a au domain dari
Da rah nilai dari
x
x
x adalah
x dicari d ngan cara
y
x x  y
x x x
x y
Dari persamaan diatas kita dapatkan : a = 1, b = –9, c = y2
Selanjutnya kita cari diskriminan, yaitu :D = b2 –4ac
Selanjutnya kita cari harga diskriminan, yaitu :D = b2 –4ac
49
x
Karena domain dari f(x) adalah ril, maka diskriminan juga harus
ril. Artinya D 0. Secara otomatis b2 –4ac 0. Jika kita masukkan
nilai a, b dan c maka didapat :
(-9)2 -4(1)(y2) 0.
4y2 81  -9/2 y 9/2
Akhirnya didapat dua pertaksamaan, y -9/2 dan y 9/2.
Akan tetapi karena y harus lebih besar atau sama dengan nol,
maka pertaksamaan y -9/2 diabaikan. Sehingga pertaksamaan
yang digunakan adalah y 9/2 dan y 0. Jadi daerah nilai untuk
f(x)
x x adalah
y
Soal-soal
Tentukan daerah definisi dan daerah nilai dari:
.y
x
.y
x
.y
x
.y
x(x
)
3.2.4 Fungsi komposisi
Fungsi komposisi adalah fungsi yang merupakan kombinasi dari beberapa
fungsi. Misal terdapat dua buah fungsi, yaitu f dan g. Jika daerah nilai fungsi g
merupakan daerah definisi dari fungsi f, maka kombinasi f dan g kita tulis
dengan f o g (baca f circle g) dan didefinisikan sebagai,
(f o g)(x) = f(g(x))
(3.25)
Sebaliknya jika daerah nilai fungsi f merupakan daerah definisi dari g maka
kombinasinya kita tulis dengan gof (baca g circle f) dan didefinisikan sebagai,
(g o f)(x) = g(f(x))
(3.26)
Contoh 3.27
Jika diketahui : f(x) = x2 + 2x + 1 dan g(x) = x + 3
Tentukan a) (fog)(x)
dan b) (gof)(x)
Penyelesaian :
a) (fog)(x) = f(g(x)) = f (x+3) = (x+3)2+2(x+3)+1 = x2 + 8x + 16
b) (gof)(x) = g(f(x)) = g (x2+2x+1) = (x2+2x+1)+3 = x2+2x+4
Soal-soal
Tentukan fog dan gof dari fungsi-fungsi:
. f(x)
. f(x)
x
x
g(x)
g(x)
x
. f(x)
x
. f(x)
x
x
g(x)
x
x
x
x
g(x)
x
3.2.5 Fungsi satu ke satu
Misal terdapat suatu fungsi f. Jika setiap satu daerah nilai (range) fungsi f berasal
dari satu daerah definisinya, maka fungsi tersebut dikatakan fungsi satu ke satu.
50
Sebagai contoh f(x) = x3 adalah suatu fungsi yang mempunyai daerah definisi
untuk semua x ril dan untuk setiap daerah definisi menghasilkan satu daerah
nilai. Sehingga dikatakan bahwa f(x) = x3 adalah fungsi satu ke satu. Contoh
lainnya, f(x) = x2 adalah suatu fungsi yang mempunyai daerah definisi untuk
semua x ril. Akan tetapi setiap satu daerah nilai dihasilkan oleh lebih dari satu
daerah nilai (dalam hal ini dua). Sehingga f(x) = x2 bukan fungsi satu ke satu.
3.2.6 Fungsi invers
Misal terdapat suatu fungsi f. Selanjutnya f dikatakan mempunyai invers jika dan
hanya jika terdapat suatu fungsi g sedemikian rupa sehingga,
i) daerah definisi fungsi g merupakan daerah nilai fingsi f
ii) pada semua daerah definisi f dan semua daerah nilai g berlaku :
f(x)
y g(y)
x
( .
)
Pernyataan diatas menunjukkan bahwa g adalah invers dari f dan ditulis,
g
f
a au x
f
(y)
( .
)
Contoh 3.27
Tentukan invers dari persamaan : y = x3 + 2
Penyelesaian : y = x3 + 2  x3 = y – 2  x = ( y–2 )1/3
f
(y)
(y
)
f
(x)
(x
)
Soal-soal
Tentukan invers fungsi-fungsi berikut & gambarkan grafik f(x) dan f-1(x) !
x4
1. y = 3x – 2
3. y = 4 – x3
5. y =
x4
 2x 3  3
2. y = -3(x+5)
4. y = (7 – x)5
6. y =
x3  8
3.2.7 Fungsi transenden
3.2.7.1 Fungsi eksponen
Misal terdapat bilangan a>0. Selanjutnya fungsi f yang didefinisikan
sebagai f(x) = ax disebut fungsi eksponen dengan basis a. Sifat-sifat ax
dapat dijelaskan sebagai berikut :
i) ax > 0 untuk semua harga x dan daerah nilai dari ax adalah semua
bilangan positif.
ii) Titik potong dengan sumbu y adalah y = 1
iii) Tidak ada titik potong dengan sumbu x
iv) Sumbu x adalah asimtot datar dari ax
a
a un u a
v) i a rdapa x
,
( . )
a
a un u
Dapat dijelaskan bahwa bila a > 1 maka grafik ax akan menanjak pada
arah kanan (Gambar 3.15a). Sedangkan bila a < 1maka grafiknya akan
menurun kearah sebelah kanan (Gambar 3.15b).
51
y
y
x
0
x
0
(a)
(b)
Gambar 3.15
Fungsi eksponen ex
Fungsi yang mempunyai bentuk ex disebut fungsi eksponen natural atau
fungsi eksponen dengan basis e. Bilangan e adalah bilangan irasional
yang b sarnya adalah ,
…
Persamaan eksponensial
isal a
a
i a
a
Contoh 3.28
i a
Penyelesaian
.
a ma a x
a ma a x
( .
)
, n u an nilai x
( )

x2 – 3x – 4 = 0  (x–4)(x+1) = 0
Sehingga didapat x1 = 4 dan x2 = –1
 x
x
Contoh 3.29
Tentukan nilai basis a jika f(x) = ax melalui titik (2,9)
Penyelesaian :
f(x) = ax  9 = a2  32 = a2
Jadi a = 3
Soal-soal
Tentukan nilai basis a jika f(x) = ax melalui titik :
i) (3,8)
ii) (5,1/25)
iii) (-8,1/64)
iv) (1/4, 1/81)
3.2.7.2 Fungsi logaritma
Fungsi logaritma adalah fungsi yang didefinisikan sebagai invers dari
fungsi eksponensial. Misal terdapat sebuah bilangan a>0 dan a1.
Untuk setiap bilangan positif y maka logaritma y dengan basis a ditulis
log y adalah bilangan uni x s d mi ian rupa s hingga a
y. adi,
log y
xy
a
(3.31)
52
dan dibaca “log y basis a sama d ngan x ji a dan hanya ji a y sama
dengan a pangkat x”. i a harga y pada p rs. 3.31 sama dengan satu,
maka harga x = 0. Jika harga y = a maka harga x = 1. Jadi,
log
( .
)
log a
( .
)
Contoh 3.30
Ubahlah persamaan yang mengandung eksponen berikut ini menjadi
bentuk logaritma !
a) 103
b) 6251/4
Penyelesaian
a) y
 log y
 log
b) y
y
Contoh 3.31
i ung a) log
b) log
Penyelesaian
a) y log

b) y
log
. adi y


. adi y
y
Seperti yang telah dijelaskan diatas untuk a>0 dan a  1 fungsi
logaritma dengan basis a adalah fungsi yang didefinisikan sebagai,
f(x) log x un u x
.
log x
log x, ma a dari p rs.
3.31 didapat,
a
x un u x
( .
)
Jika kita tulis persamaan ax = ax, maka dari persamaan 2.31 dapat ditulis
menjadi,
log a
x, un u s iap bilangan x
( .
)
Hukum-hukum logaritma
a) log
log
log
b) log
log
log
c) log
n log
d) log
log
Logaritma natural
Logaritma natural adalah logaritma yang mempunyai basis e. Logaritma
natural ditulis sebagai,
53
log x
ln x
( .
)
Soal-soal
. log
mn
r
. log
a
b
. log (x y )
. log
x y
3.2.7.3 Fungsi trigonometri
A. Pengukuran sudut
Sebelum kita mendefinisikan fungsi-fungsi trigonometri terlebih
dahulu akan dibahas sudut dan pengukurannya. Sudut pada suatu
bidang dibentuk oleh perpotongan dua buah garis atau sisi yang
terdiri dari sisi awal dan sisi ujung sudut. Titik potong antara kedua
garis tersebut disebut verteks sudut. Sebelum membahas
y
sisi ujung
α
0
sisi awal
x
Gambar 3.16
pengukuran sudut terlebih dahulu kita gambarkan sudut yang
terletak pada koordinat Kartesius (Gambar 3.16). Biasanya verteks
sudut diletakkan berimpit dengan titik asal (origin) sedangkan sisi
awal berimpit dengan sumbu x. Sudut yang digambarkan dengan
cara diatas disebut sudut dalam posisi standar.
B. Sudut dalam satuan derajad
Satuan derajad adalah salah satu ukuran sudut. Bila kita melakukan
pengukuran satu putaran penuh yang dimulai dari sumbu x positif
dengan arah yang berlawanan jarum jam, maka besarnya sudut
yang diukur adalah 3600 . Gambar 2.17 adalah contoh pengukuran
sudut-sudut 3600, 1800, 900 , -900.
y
y
1800
3600
x
0
y
x
0
y
900
x
0
54
0
x
-900
Gambar 3.17
Contoh 3.32
Gambarkan sudut-sudut -2700 dan 1350
Penyelesaian :
y
y
1350
-2700
x
0
x
0
Gambar 3.18
C. Sudut dalam satuan radian
Perhatikan sebuah lingkaran yang mempunyai jari-jari r. Dua buah
sisi yang mengapit sudut tertentu akan memotong lingkaran dan
akan menghasilkan panjang busur tertentu pula (lihat Gambar
2.19a). Jika panjang busur = t maka sudut yang diapit oleh dua sisi
yang memotong lingkaran adalah t/r radian.
y
r
t
x
0
r
radian
(a)
y
2
r
0
(b)
55
x
Gambar 3.19
Selanjutnya perhatikan Gambar 3.19 b. Keliling
lingkaran adalah 2r Berarti sudutnya (satu putaran)
adalah 2 radian. Telah kita ketahui bahwa satu
o
o
putaran sama dengan 360 . Jadi 2 radian = 360 .
Selanjutnya didapat,
radian
radian
)
.
( .
)
radian
( .
)
( .
)




( .

.  radian
Contoh 3.33
Ubah sudut 20o kedalam satuan radian!
Penyelesaian

.

radian (liha p rsaman .
)
Contoh 3.34
Ubah sudut /6 radian kedalam satuan derajad!
Penyelesaian


.

(liha p rsamaan .
)
Soal-soal
1. Ubah sudut-sudut berikut kedalam satuan radian!
a.
b.
c.
d.
2. Ubah sudut-sudut berikut kedalam satuan derajad!




a.
radian b. radian
c. radian
d. radian
D. Fungsi trigonometri sudut lancip
Fungsi trigonometri adalah fungsi yang mencakup fungsi-fungsi
sinus, cosinus, tangent, cotangent, secant dan cosecant. Gambar 3.20
adalah sebuah segitiga siku-siku. Sisi a dan b adalah sisi siku-siku
sedangkan c adalah sisi miring. Sudut  dan  adalah sudut-sudut
lancipnya. Jika kita perhatikan Gambar 3.20 maka kita dapat
menyimpulkan bahwa sisi-sisi siku-siku selalu terletak dihadapan
56
sudut lancip. Sedangkan sisi miring selalu terletak dihadapan sudut
siku-siku. Jika kita tinjau salah satu sudut lancip pada Gambar 3.20,
dalam hal ini sudut , maka sisi siku-siku b disebut juga sebagai sisi
pembatas sudut . Begitu juga jika kita tinjau sudut  maka a disebut
juga sisi pembatas sudut .

c

a
b
Gambar 3.20
Dengan mengacu pada penjelasan-penjelasan diatas selanjutnya kita
definisikan fungsi-fungsi trigonometri sebagai berikut,
sin
sisi dihadapan sudu 
sisi miring
a
c
( .
a)
cos
sisi p mba as sudu 
sisi miring
b
c
( .
b)
an
sisi dihadapan sudu 
sisi p mba as sudu
co 
sisi p mba as sudu 
sisi dihadapan sudu
b
a
( .
d)
s c
sisi miring
sisi p mba as sudu 
c
b
( .
)
csc
sisi miring
sisi dihadapan sudu 
c
a
( .
f)
a
b
( .
c)
Dari persamaan 3.41 dapat dibuat hubungan sbb.:
an
sin
cos 
( .
a)
co 
cos
an 
( .
b)
57
s c
csc
cos 
sin 
( .
c)
( .
d)
Masih tetap mengacu pada Gambar 3.20 dan teorema Pythagoras :
c2 = a2 + b2 (bagi semua ruas dengan c2)
c
c
a
c
Didapat
b

c
a
c
b
c
(subs.
p rs. .
a dan .
sin2 + cos2 = 1
b)
( 3.43 )
Bagi persamaan 3.43 dengan cos2,
sin 
cos 
Didapat
cos 
cos 
cos 
tan2 + 1 = sec2
( 3.44 )
Jika persamaan 3.43 dibagi dengan sin2,
sin  cos 
sin  sin  sin 
Didapat
1 + cot2 = csc2
( 3.45 )
Persamaan 3.43 s/d 3.45 disebut identitas trigonometri
Contoh 3.35
Diketahui sebuah segitiga siku-siku terletak pada kuadran I. Jika
harga sin  = 4/5, tentukan nilai fungsi trigonometri lainnya !
Penyelesaian
y
5
4

x1 = ?
0
x
Gambar 3.21
Dari or ma y hagoras,
x x
Didapat,
cos = 3/5 ; tan = 4/3 ; cot = 3/4 ; sec = 5/3 ; csc = 5/4
58
Soal-soal
1. Jika sebuah segitiga siku-siku terletak terletak pada kuadran
pertama, lengkapilah tabel berikut.
Sudut
sin

1/2
cos
tan
cot
sec
csc


6/7

2. Jika sebuah segitiga siku-siku terletak terletak pada kuadran
kedua, lengkapilah tabel berikut.
Sudut
sin
3/5




cos
tan
cot
sec
csc
2/-3
-4/5
E. Fungsi trigonometri sudut-sudut 300 , 450 dan 600.
Untuk menentukan harga fungsi-fungsi trigonometri sudut 30o, 45o
dan 60o pertama-tama kita gambarkan segitiga seperti yang
ditunjukkan pada Gambar 3.21. Misal terdapat sebuah segitiga sikusiku yang mempunyai sudut-sudut lancip 30o dan 60o serta panjang
sisi miring 1 satuan (Gambar 3.21a).
300
1
300 300
b
600
b
600
600
a
a
(a)
a
(b)
Gambar 3.21
Jika terdapat satu segitiga lainnya yang sama dan sebangun dengan
segitiga pertama dan diletakkan secara berdampingan maka akan
terbentuk segitiga baru yang sama sisi (lihat Gambar 3.21b).
59
Selanjutnya didapat 2a = 1 atau a = 1/2. Untuk menghitung panjang
sisi b kita gunakan teorema Pythagoras yaitu,
a
b b
a
b
tan
cot
Jadi,
Sudut
sin
cos
sec
300
csc
2
600
2
Untuk menentukan harga fungsi trigonometri sudut 450 terlebih
dahulu kita gambarkan sebuah segitiga siku-siku yang mempunyai
450
1
b
450
a
Gambar 3.22
sudut lancil masing - masing 450. Untuk lebih jelasnya perhatikan
Gambar 3.22 berikut. Telah diketahui bahwa setiap segitiga siku–
siku yang mempunyai sudut lancip masing-masing 450 disebut
segitiga sama kaki. Dengan kata lain panjang kedua sisi yang
berhadapan dengan sudut 450 mempunyai panjang yang sama (a=b).
Dengan menggunakan teorema Pythagoras kita dapatkan bahwa,
Sudut
sin
cos
450
tan
cot
1
1
sec
csc
Untuk sudut-sudut 00 dan 900 dapat dilihat pada tabel berikut.
Sudut
sin
cos
tan
cot
sec
csc
00
0
1
0

1

900
1
0

0

1
F. Fungsi trigonometri untuk penjumlahan dua sudut
Untuk membahas fungsi trigonometri jumlah dua sudut perhatikan
Gambar 3.22 berikut.
60
y
P
L sinA cosB
L sin A
L
Q
S
L cos A
L sinA sinB
L cos A sin B
A
B
O
R
x
T
Gambar 3.22
sin(
L sin cos
)
L cos sin
L
sin(A+B) = sinA cosB + sinB cosA
cos(
( 3.46 )
L cos sin
)
L
L sin cos
L
cos(A+B) = cosA cosB – sinA sinB
an(
)
sin(
cos(
sin
cos
cos
cos
an(
)
)
)
cos
cos
cos
cos
an
sin cos
cos cos
sin
cos
sin
cos
an
an an
( 3.47 )
sin cos
sin sin
cos
cos
sin
cos
( .
)
Untuk fungsi-fungsi trigonometri lainnya dapat dijabarkan
sendiri oleh mahasiswa. Fungsi trigonometri ini dapat
digunakan untuk mencari harga fungsi trigonometri sudut
tumpul seperti 900 +  atau sudut tumpul lainnya.
Contoh 3.36
Tentukan harga sin 1350.
Penyelesaian :
sin 1350 = sin(900 +450) = sin 900 cos450 + sin450 cos900
( )
( )
61
G. Grafik fungsi trigonometri
y
1
-1
-/2
-
-2
/2
0
(-3/2)

(3/2) 2
x
Gambar 3.23
Grafik fungsi sinus
y
1
-1
-

0
-2
2
x
Gambar 3.24
Grafik fungsi cosinus
y
-2

-


0

Gambar 3.25
Grafik fungsi tangen
62

2
x
y
Gambar 3.26
Grafik fungsi cotangen


-

-2
0


2
x
y
1
Gambar 3.27
Grafik fungsi secant
-2




-

2
0
-1
x
y
Gambar 3.28
Grafik fungsi cosecant

1
-1

-
-2

63
0


2
x
Soal-soal
1. Tentukan nilai fungsi trigonometri lainnya jika :
a. sin  = 3/5 ; /2 <  < 
b. cos  = -4/5 ;  <  < 3/2
c. tan  = - 2 ;3/2 <  < 2
d. cot  = 4/ 6 ;  <  < 3/2
e. sec  = -6 ; /2 <  < 
f . csc  = 5/4 ; 0 <  < /2
2. Gambarkan grafik fungsi trigonometri berikut :
a. sin  + ½
b. cos  - 1/2 c. sin ( - /2) d. cos ( + /2)
H.
Hukum sinus
Untuk membuktikan hukum sinus perhatikan Gambar 2.29 berikut.
C

E
a
b
k
h

A

D
B
c
Gambar 3.29
h
 h = a sin 
a
h
Perhatikan segitiga ADC  sin  =
 h = b sin 
b
sin α sin β
Dari (*) dan (**) didapat : a sin  = b sin  
=
a
b
k
Perhatikan segitiga AEC  sin  =
 k = b sin 
b
k
Perhatikan segitiga AEB  sin  =
 k = c sin 
c
sin γ sin β
=
Dari (#) dan (##) didapat : b sin  = c sin  
c
b
Dari (***) dan (###) didapat :
Perhatikan segitiga BDC  sin  =
sin α sin β sin γ
=
=
a
b
c
(*)
( ** )
( *** )
(#)
( ## )
( ### )
(3.49)
Persamaan 3.49 disebut hukum Sinus.
64
Soal-soal
Soal-soal berikut mengacu pada Gambar 2.29.
1.  = 60o ;  = 50o dan b = 10
2.  = 70o ;  = 45o dan c = 20
3.  = 30o ;  = 115o dan c = 8
4.  = 35o ;  = 125o dan c = 7
5.  = 25o ;  = 40o dan a = 5
I. Hukum Cosinus
Untuk membuktikan hukum cosinushatikan Gambar 2.30 berikut.
C

E
a
b
k
h


A
D
B
c
Gambar 3.30
Perhatikan segitiga ADC  h = b sin 
Perhatikan segitiga BDC  (CD)2 = (BC)2 – (BD)2 = (BC)2 – (AB - AD)2
h2 = a2 – (c - b cos )2
b2 sin2 = a2 – c2 + 2bc cos  - b2 cos2
b2 sin2 + b2 cos2 = a2 – c2 + 2bc cos 
b2 (sin2 + cos2) = a2 – c2 + 2bc cos 
b2 = a2 – c2 + 2bc cos 
Sehingga,
a
b
c
bc cos
a au cos
b
c
a
bc
( .
)
Perhatikan segitiga BDC  h = a sin 
Perhatikan segitiga ADC  (CD)2 = (AC)2 – (AD)2 = (AC)2 – (AB - BD)2
h2 = b2 – (c - a cos )2
a2 sin2 = b2 – c2 + 2ac cos  - a2 cos2
a2 sin2 + a2 cos2 = b2 – c2 + 2ac cos 
a2 (sin2 + cos2 ) = b2 – c2 + 2ac cos 
a2 = b2 – c2 + 2ac cos 
Sehingga,
b
a
c
ac cos
65
a au cos
a
c
b
ac
( .
)
Perhatikan segitiga AEC  k = b sin 
Perhatikan segitiga AEB  (AE)2 = (AB)2 – (BE)2 = (AB)2 – (BC - CE)2
k2 = c2 – (a - b cos )2
b2 sin2 = c2 – a2 + 2ab cos - b2 cos2
b2 sin2 + b2 cos2 = c2 – a2 + 2ab cos 
b2 (sin2 + cos2 ) = c2 – a2 + 2ab cos 
b2 = c2 – a2 + 2ab cos 
Sehingga,
c
a
b
ab cos a au cos
a
b
c
ab
( .
)
Persamaan 3.50 s/d 3.52 adalah hukum Cosinus.
Soal-soal
1. Dengan mengacu pada Gambar 2.30, tentukan besar sudut ,  dan  jika
panjang sisinya adalah :
i) a = 5 ; b = 7 ; c = 8
iv) a = 7 ; b = 5 ; c = 4
ii) a = 4 ; b = 8 ; c = 9
v) a = 9 ; b = 4 ; c = 8
iii) a = 6 ; b = 9 ; c = 7
vi) a = 8 ; b = 6 ; c = 7
2. Dengan mengacu pada Gambar 2.30, tentukan luas segitiga jika diketahui :
i)  = 45o ; b = 5 ; c = 4
iii)  = 120o ; a = 6 ; c = 9
o
ii)  = 60 ; b = 9 ; c = 10
iv)  = 90o ; a = 8 ; c = 4
3.2.7.4 Fungsi trigonometri invers
Kita telah mengetahui bahwa suatu fungsi akan mempunyai invers jika fungsi
tersebut adalah fungsi satu ke satu, yaitu fungsi yang mempunyai nilai tunggal
untuk setiap domain. Sebagai contoh f(x) = x3 + 1 adalah fungsi satu ke satu
kareba untuk setiap harga x yang tunggal akan menghasilkan f(x) yang tunggal
pula. Sehingga dikatakan bahwa, f(x) = x3 + 1 mempunyai invers. Akan tetapi
f(x) = x2 bukanlah fungsi satu ke satu karena untuk dua harga x yang berbeda
akan menghasilkan harga f(x) yang r=tunggal. Sehingga dikatakan bahwa f(x)
= x2 tidak mempunyai invers.
Fungsi-fungsi trigonometri adalah fungsi-fungsi yang tidak termasuk
dalam golongan fungsi satu ke satu. Sebagai contoh f(x) = sin x. Untuk harga x
= 0, x =  dan x = 2 akan menghasilkan harga yang sama yaitu 0. Begitu juga
dengan fungsi-fungsi trigonometri lainnya. Akan tetapi jika kita batasi domain
fungsi trigonometri maka kita dapat membuat fungsi trigonometri menjadi
fungsi satu ke satu. Jadi f(x) = sinx adalah fungsi satu ke satu jika - < x < .
Begitu juga dengan fungsi-fungsi trigonometri lainnya.
Definisi-definisi :
i) Fungsi sinus invers (ditulis sin-1 atau arcsin) didefinisikan sebagai :
y = sin-1 x  x = sin y , untuk -1 x 1 dan -/2 y /2.
ii) Fungsi sinus invers (ditulis cos-1 atau arccos) didefinisikan sebagai :
y = cos-1 x  x = cos y , untuk -1 x 1 dan 0 y .
66
iii) Fungsi tangent invers (ditulis tan-1 atau arctan) didefinisikan sebagai :
y = tan-1 x  x = tan y , untuk setiap harga x dan -/2 y /2.
iv) Fungsi cotangent invers (ditulis cot-1 atau arccot) didefinisikan
sebagai :y = cot-1 x  x = cot y , untuk setiap harga x dan 0 y .
v) Fungsi secant invers (ditulis sec-1 atau arcsec) didefinisikan sebagai :
y = sec-1 x  x = sec y , untuk setiap harga x 1 dan 0 y , kecuali y =
/2.
vi) Fungsi cosecant invers (ditulis cosec-1 atau arccosec) didefinisikan sebagai
y = cosec-1 x  x = cosec y , untuk setiap harga x 1 dan 0 y /2.
y
y



-1
1
x
0

-1
Grafik sin-1x
0
Grafik cos-1x
Gambar 3.31
Sifat-sifat fungsi trigonometri invers
i) arcsin(sinx) = x untuk -/2 x /2
sin(arcsinx) = x untuk 1 x 1
ii) arccos(cosx) = x untuk 0 x 
cos(arccosx) = x untuk -1 x 1
iii) arctan(tanx) = x untuk -/2 x /2
tan(arctanx) = x untuk semua harga x
Contoh 3.37
Tentukan harga y jika,
a. y
sin (
b. y
sin (
) un u

) un u

y

y

Penyelesaian
a. y
sin (
b. y
sin (
)  siny
. adi y
)  siny

. adi y
67

1
x
y
/2
/4
1
0
-1
x
-/4
-/2
Soal-soal
Tentukan harga dari:
1. arcsin 1
7. arcsin (sin /3)
2. arcsin (-1)
8. arcsin (sin /6)
3. arccos 0
9. arccos (cos  )
4. arccos (-1)
10. arccos (cos 2/3 )
5. arctan 0
11. arctan (tan /3 )
6. arctan 1
12. arctan (tan -5/6 )
13. arcsin (cos /3)
14. arccos (/4)
15. arctan (/2)
16. arctan (cos 4)
17. sin (arcsin 1/2)
18. sin(arccos 1/2)
3.2.7.5 Fungsi hiperbolik
A. Definisi
Fungsi hiperbolik adalah fungsi yang mempunyai sifat yang serupa dengan
fungsi trigonometri. Keserupaan antara kedua fungsi tersebut dapat dilihat
dari definisi yang diberikan berikut ini.
sinh x
( .
a)
cosh x
( .
b)
anh x
( .
c)
co h x
( .
d)
( .
)
s ch x
cosh x
68
cos ch x
sinh x
( .
f)
( .
)
B. Identitas hiperbolik
Dari persamaan 3.53a dan b didapat:
sinh x
cosh x
hingga cosh x
sinh x
cosh x
sinh x
Dengan membagi persamaan 3.54 dengan cosh2 x didapat,
1 – tanh2 x = sech2 x
(3.55)
Selanjutnya jika persamaan 3.54 dibagi dengan sinh2 x didapat,
coth2x –1 = cosech2 x
(3.56)
Persamaan 3.54 s/d 3.56 adalah Identitas hiperbolik. Selain identitas
tersebut diatas masih terdapat identitas hiperbolik lainnya seperti
yang terdapat pada soal-soal.
Soal-soal
Buktikan identitas hiperbolik berikut :
. sinhx
coshx
. coshx
sinhx
3. sinh (–x) = – sinh x
4. cosh (–x) = cosh x
5. sinh 2x = 2 sinh x cosh x
6. cosh 2x = cosh2x + sinh2x
7. sinh (x+y) = sinh x cosh y + sinh y cosh x
8. sinh (x–y) = sinh x cosh y – sinh y cosh x
9. cosh (x+y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y
10. cosh (x–y) = cosh x cosh y – sinh x sinh y
11. (sinhx
coshx)
12. (sinhx
coshx)
. anh(x
y)
. anh(x
y)
sinh nx
cosh nx
sinh nx cosh nx
anhx
anhy
anhx anhy
anhx
anhy
anhx anhy
69
. sinh
. cosh
x
coshx
x
coshx
anhx
anh x
sinhx
coshx
. anh x
. anh
x
3.2.7.6 Fungsi hiperbolik invers
Pada definisi sebelumnya telah diketahui bahwa fungsi hiperbolik definisikan
dalam bentuk fungsi eksponen. Hal ini berarti bahwa fungsi hiperbolik invers
dapat ditulis dalam bentuk logaritma natural.
Teorema-teorema
sinh x
ln(x
x
)
( .
)
Bukti,
sinh x  x
y
x
x
sinhy
.
lanju nya ali an s mua ruas d ngan , didapa
a au
x
x
x
D ngan m ngguna an p rs. uadra ,
x
x
rar i m mpunyai dua nilai, yai u x
Perlu diperhatikan bahwa,
a au x
x
x
nilai dan x
s lalu posi if un u s mbarang nilai x
nilai x
s lalu l bih b sar dari x un u s mbarang nilai x
Dari dua fakta yang disebutkan diatas maka kita dapat menyimpulkan
bahwa
x
x
.
hingga y
ln(x
x
( rbu i)
y
sinh x
sinh-1 x
0
Gambar 3.32
Gra i sinhx dan sinh x
70
x
cosh
ln(x
x
), x
y
( .
)
Bukti,
y
cosh x x
 x
cosh y
lanju nya ali an s mua ruas d ngan
x
a au
x
didapa ,
x
D ngan m ngguna an p rs. uadra ,
x
x
x
rar i m mpunyai dua nilai yai u x
x
dan x
x
.
Perlu diperhatikan bahwa,
nilai s lalu posi if un u x
x
un u x
nilai x
s lalu l bih cil dari x un u x
Dari tiga fakta tersebut diatas, maka kita dapat menyimpulkan bahwa,
x
x
a au
x
x
Selanjutnya perhatikan bahwa,
x
x
x
x
x
x
(x
x
)
x
x
x
x
x
x
(
)
adi
y
x
ln(x
a au
x
x
(x
) a au y
ln(x
x
)
x
)
Disini dapat kita lihat bahwa untuk setiap satu nilai x (peubah bebas)
berpasangan dengan dua nilai y (peubah tak bebas). Hal ini melanggar
definisi fungsi ; yaitu setiap satu nilai x tepat berpasangan dengan satu nilai
y. Berdasarkan hal tersebut diatas maka y diambil harga positifnya saja,
yaitu , y
cosh x
ln(x
x
) ,y
dan x
( rbu i)
y
cosh x
cosh-1x
1
0
x
1
Gambar 3.33
Gra i coshx dan cosh x
71
anh x
x
,
x
ln
x
( .
)
Bukti
y
anh x x
x
anh y
 ali an d ngan
x
x
(x
x
(x
x
x
x

x
Kar na
)
x
x
x
, x
x
ln
co h x
ln
x
x
un u
x
x
s lalu posi if, ma a
a au y
)
x
, x
( rbu i)
, x
( .
)
( .
)
Bukti
co h x  x
y
x
co h y
 ali an d ngan
x
x
 (x
x
x
x
Kar na
)
(x
x
x

x
x
a au y
ln
x
x
s ch x
, x
x
x
, x
(
x
ln
un u
x
x
s lalu posi if, ma a
)
)
,
Bukti
y
x
s ch x  x
cosh y
s ch y
cosh y
adi s ch x
s ch x
Kar na s ch
x
cosh
ln
y
ln(
x
x
x
cosh
x
,
x
x
x ),
x
hanya m mpunyai sa u nilai un u s iap sa u nilai x, ma a
72
s ch x
x
ln
,
x
cos ch
x
x
ln
( rbu i)
,x
( .
)
Bukti
y
x
cos ch x  x
sinh y
cos ch y
 sinh y
adi cos ch x
ln(
x
x
y
x
sinh
x )
x
ln
x
x
,x
( rbu i)
3.2.8. Fungsi genap dan ganjil
Suatu fungsi dikatakan fungsi genap jika memenuhi :
f(x) = f(–x)
( 3.63 )
dan dikatakan ganjil jika memenuhi :
f(–x) = –f(x)
(3.64 )
Jika suatu fungsi tidak memenuhi persamaan 3.63 dan 3.64 maka persamaan
tersebut bukan merupakan fungsi genap atau ganjil.
Contoh 3.38
Diketahui
i) f(x) = x3
ii) f(x) = x2 + 3
iii) f(x) = x – 2
Tentukan apakah fungsi tsb. termasuk fungsi genap, ganjil atau tidak keduanya?
Penyelesaian
i) f(x) = x3
f(-x) =(–x)3 = –x3 =–f(x)
Karena f(–x) = –f(x), maka x3 adalah fungsi ganjil.
ii) f(x) = x2 + 3
f(–x) = (–x)2 + 3 = x2 + 3 = f(x)
Karena f(–x) = f(x), maka x2 + 3 adalah fungsi genap.
iii) f(x) = x – 2
f(–x) = –x – 2 = – (x+2)
Karena f(x)  f(–x)  –f(x), maka x – 2 bukan fungsi genap atau ganjil.
Misal terdapat sebuah fungsi f(x) sedemikian rupa sehingga,
f(x)
a au
f( x)
g(x). h(x)
( )
g( x). h( x)
( )
Jika g(x) dan h(x) adalah fungsi ganjil, maka berlaku
g(–x)=–g(x) dan h(–x)=–h(x).
Dengan melakukan substitusi ke (**) didapat, f(–x) = g(x) . h(x)
Substitusi (*) ke (***) didapat : f(-x) = f(x)
73
(***)
Kesimpulan : Perkalian fungsi ganjil dengan fungsi
ganjil menghasilkan fungsi genap
Misal terdapat sebuah fungsi f(x) sedemikian rupa sehingga,
f(x)
a au
g(x). h(x)
f( x)
( )
g( x). h( x)
( )
Jika g(x) dan h(x) adalah fungsi genap maka berlaku g(–x) = g(x) dan h(–x) =
h(x). Dengan melakukan substitusi ke (**) didapat :
f(–x) = g(x) . h(x)
(***)
Substitusi (*) ke (***) didapat : f(–x) = f(x)
Kesimpulan : Perkalian fungsi genap dengan fungsi
genap menghasilkan fungsi genap
Misal terdapat sebuah fungsi f(x) sedemikian rupa sehingga :
atau
f(x) = g(x) . h(x)
(*)
f(–x) = g(–x) . h(–x)
( ** )
Jika g(x) adalah fungsi genap dan h(x) adalah fungsi ganjil atau sebaliknya
maka berlaku g(–x) = g(x) dan h(–x) = –h(x). Dengan melakukan substitusi ke
(**) didapat :f(-x) = g(x) .{ –h(x)} = –{g(x) . h(x)}. Selanjutnya dengan
mensubstitusi (*) ke (***) didapat : f(-x) = - f(x).
Kesimpulan : Perkalian fungsi genap dengan fungsi ganjil
atau sebaliknya menghasilkan fungsi ganjil
Soal-soal
Gambarkan grafik dari fungsi-fungsi berikut dan tentukan fungsi-fungsi apakah
genap, ganjil atau tidak keduanya!
. f(x)
. f(x)
. f(x)
. f(x)
x
x
x
x
x
cos x
. f(x)
xx
. f(x)
x
. f(x)
sinh x
x
x
. f(x)
cosh x
. f(x)
sin(cos x)
. f(x)
x
3.2.9 Fungsi Periodik
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi eriodik jika fungsi tersebut terdefinisi untuk
semua harga x dan terdapat bilangan positif sedemikian rupa sehingga :
f( x + p ) = f ( x )
( 3.64 )
dimana p adalah periode positif terkecil dari fungsi f(x). Fungsi-fungsi yang
termasuk fungsi periodik diantaranya fungsi sinus dan cosinus. Sedangkan
74
fungsi-fungsi x, x2, x3, ex dan ln x tidak termasuk fungsi periodik karena tidak
memenuhi persamaan 3.64. Dengan mengacu pada persamaan 3.64 kita
dapatkan bahwa :
f(x+2p) = f{(x+p)+p} = f(x+p) = f(x)
f(x+3p) = f{(x+2p)+p} = f(x+2p) = f(x)
..............................
f(x+np) = f(x) ; n = 1, 2, 3, . . . . . . .
( 3.65 )
Contoh grafik dari fungsi periodik dapat dilihat pada Gambar 3.34 dibawah ini.
y
x
0
p
Gambar 3.34
Grafik fungsi priodik
Misal terdapat dua buah fungsi g(x) dan h(x). Jika fungsi f(x) adalah fungsi yang
didefinisikan oleh : f(x) = ag(x) + bh(x), dimana a dan b adalah konstanta, maka
berlaku :
f(x+p) = ag(x+p) + bh(x+p)
( 3.66 )
Jadi dapat disimpulkan ; jika g(x) + h(x) mempunyai periode p, makaf(x) juga
mempunyai periode p.
Contoh 3.39
Tentukan periode dari f(x) = sin x
Penyelesaian :
sin (x+p) = sin x
sin x cos p + cos x sin p = sin x  didapat p = 2
Soal-soal
Tentukan periode positif terkecil dari fungsi periodik berikut,
x
a) sin x
d) cos
 x
b) cos x
) sin
c) sin nx
75
BAB IV
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN
4.1 Pendahuluan
Sebelum mambahas limit fungsi di suatu titik terlebih dahulu kita akan mengamati
perilaku suatu fungsi f bila peubahnya mendekati suatu bilangan ril c tertentu. Misal
terdapat suatu fungsi f(x) = x + 4. Untuk menentukan harga f bila x mendekati bilangan
ril tertentu, misal 2, kita dapat mengamatinya dengan bantuan tabel dan Gambar 4.1
berikut.
x
f(x)
x
f(x)
1,9
1,99
1,999
1,9999
5,9
5,99
5,999
5,9999
2,1
2,01
2,001
2,0001
6,1
6,01
6,001
6,0001
y
0,0001
6,0001
6
5,9999
0,0001
x
0
2
0,0001
1,9999
0,0001
2,0001
Gambar 4.1
Dari Tabel atau Gambar 4.1 dapat dilihat bahawa untuk x mendekati 2 (baik dari arah
kiri mulai dari 1,9 maupun dari arah kanan mulai dari 2,1) didapat harga f yang
76
mendekati 6. Sedangkan untuk x = 2 harga f adalah 6. Selanjutnya coba perhatikan
fungsi x lainnya yaitu,
untuk x ≠ –3
Artinya f(x) = x2 + 1 tak terdefinisi untuk x = –3. Untuk mengamati perilaku fungsi
disekitar titik x = –3 berikut perhatikan Tabel dan Grafik fungsi f(x) = x2 + 1 untuk x  –
3 (Gambar 4.2).
x
f(x)
x
f(x)
-3,1
10,61
-2,9
9,41
-3,01
10,0601
-2,99
9,9401
-3,001
10,006001
-2,999
9,994001
-3,0001
10,00060001
-2,9999
9,99940001
y
10,0006000
1
°
o
9,99940001
0,0001
-3
0,0001
0
x
-3,0001
-2,9999
Gambar 4.2
Jika kita perhatikan Tabel dan Gambar diatas maka kita dapat melihat bahwa untuk
harga x mendekati -3 maka harga f(x) mendekati 10. Dari uraian diatas dapat
disimpulkan bahwa:
1. Jika sebuah fungsi terdefinisi pada suatu selang terbuka yang memuat bilangan ril c
tertentu, kecuali mungkin di titik c itu sendiri, dan
77
2. bila f(x) mendekati bilangan ril L tertentu pada saat x mendekati c, maka dapat
ditulis,
c “
h
c”
c”
“
c
x
3.2 Definisi limit
Perhatikan Gambar 4.3 berikut!
y
L+

f(x) - L

f(x)
L
f(x) - L
f(x)
L-
0
c-
x
c-x
x
c+
x-c


Gambar 4.3
Untuk x < c , maka : 0 < c – x <  atau 0 > x – c > -
Untuk x > c , maka : 0 < c – x < 

c
Untuk f(x) < L, maka L – f(x) <  atau f(x) – L > -
Untuk f(x) > L, maka f(x) – L < 
h

(4.3)
Dari Gambar 4.3 dan persamaan 4.1 s/d 4.3 maka didapat definisi sebagai berikut,

h
c
78



(4.4)
4.3 Limit fungsi
Untuk menyederhanakan permasalahan, berikut diberikan rumus-rumus penyelesaian
limit yang didapat dengan bantuan definisi limit. Pada rumus-rumus ini b, c, k dan L
adalah bilangan-bilangan ril, a bilangan ril positif, sedangkan m dan n adalah bilangan ril
positif.
Teorema-teorema
c
Bukti :
Untuk setiap  > 0 maka terdapat  > 0 sedemikian rupa sehingga,
c

c

 
c

Contoh 4.1
c
Bukti :
Untuk setiap  > 0 maka terdapat  > 0 sedemikian rupa sehingga,
c


definisi terpenuhi

Contoh 4.2
Bukti
Dari definisi, untuk setiap  > 0 terdapat  > 0 sedemikian rupa sehingga,
c



Dari ketidaksamaan segitiga didapat,

h
c



79

h



c
Dari ketidaksamaan segitiga didapat,
Dari (*), (**) dan (***) didapat,



Contoh 4.3
Bukti, ikuti pembuktian teorema 3
Contoh 4.4
Bukti
Dari ketidaksamaan segitiga didapat,
Untuk setiap 1>0 terdapat 1>0 sedemikian rupa, sehingga
c




Untuk setiap 2>0 terdapat 2>0 sedemikian rupa, sehingga
c


80




Untuk setiap 1>0 terdapat 1>0 sedemikian rupa, sehingga
c





Selanjutnya dari persamaan (i), (v), (vii) dan (ix) didapat



Dengan memilih  = min (1, 2, 3 ) akan didapat pernyataan,
c


Contoh 4.5
Bukti
Untuk 1>0 terdapat 1>0 sedemikian rupa sehingga,
c





h
Untuk 2>0 terdapat 2 sedemikian rupa sehingga,
c


81


Dengan mengambil  = min ( 1,2 ) akan didapat pernyataan,
c


h
Contoh 4.6
Bukti : Lihat persamaan (3.6) dan (3.9)
Contoh 4.7
Bukti
[f(x)]n
…
h
h
Dari persamaan (3.9) didapat,
Contoh 3.8
9. Teorema Sandwich ( teorema apit )
Misal terdapat f(x) h(x) g(x) untuk setiap harga x pada suatu selang
terbuka yang mengandung c, kecuali mungkin di titik c itu sendiri.
82
h
Bukti :
Untuk setiap  > 0 terdapat 1>0 dan 2>0 sedemikian rupa sehingga,
c


c


Untuk  = min(1,2) dan 0< x  c <, maka ketaksamaan (*) menjadi :
- < f(x)–L <  dan - < g(x)–L < 
h
c

L- < f(x) dan g(x) < L+
h
h


c

h
Contoh 4.9
c
Penyelesaian:
c
c
c
10. Limit sepihak
c
c
c
c
h
h
Contoh 4.10
Penyelesaian:
83

Soal-soal
4.4 Limit fungsi trigonometri
Bukti :
Perhatikan Gambar 3.4 berikut!
y
T
Q
r
P
0
x
Gambar 4.4
Luas OPQ < Sektor OPQ < OPT
(*)


Substitusi persamaan (**) s/d (****) ke persamaan (*) didapat,
84
c
Gunakan teorema apit!
c
2. lim cos x = 1
( 4.16 )
3. lim sin x = 0
( 4.17 )
4. lim tan x = 0
( 4.18 )
x→0
x→0
x→0
sin x
1
= lim sin x . lim
x→0 cos x
x→0 cos x
x→0
lim 1
1
= (0)
= 0 (terbukti)
= lim sin x . x→0
lim cos x
1
x→0
Bukti : lim tan x = lim
x→0
x →0
tan x
5. lim
( 4.19 )
=1
x→0 x
Bukti :
sin x 1
sin x
1
tan x
= 1 . 1 = 1 (terbukti)
.
= lim
. lim
lim
= lim
cos x x→0 x x→0 cos x
x→0 x
x→0 x
x
=1
x→0 tan x
Bukti :
1
x
. cosx = 1 . 1 = 1 (terbukti)
lim
= lim
sin
x
x→
0
x→0 tan x
x
6. lim
cos x - 1
=0
x
x→0
Bukti :
7. lim
( 4.20 )
( 4.21 )
1
1
cos2 x - sin 2 x - 1
cos x - 1
2
2
lim
= lim
=
x
x
x→0
x→0
1
1
1
1
-2 sin 2 x
-2 sin x . sin x
sin x
1
2 = lim
2
2 = lim - sin x
2 = 0(1) = 0
lim
1
1
x →0
x →0
x →0
x
2
2( x)
x
2
2
(terbukti)
85
4.5 Limit fungsi trigonometri invers
c
Bukti
c
c
c
Bukti
c
c
c
c
c
Bukti
c
c
cc
Bukti
cc
c
cc
c
Bukti
c
c
cc
Bukti
cc
c
cc
Soal-soal
Hitung limit berikut, jika ada!
86
c
c
c
c
4.6 Limit tak hingga
Jika kita lakukan pengamatan terhadap
mungkin akan
didapat bahwa f(x) membesar atau mengecil tanpa batas. Sebagai ilustrasi dapat dilihat
pada Gambar 3.5 berikut.
y
0
x
2
Gambar 4.5
x
2,1
2,01
2,001
2,0001
2,00001
2,000001
f(x)
10
100
1.000
10.000
100.000
1.000.000
x
1,9
1,99
1,999
1,9999
1,99999
1,999999
f(x)
-10
-100
-1000
-10000
-100000
-1000000
Dari tabel diatas dapat dilihat bahwa pada saat x mendekati titik 2 dari arah kanan
maka f(x) membesar tanpa batas (menuju ). Sedangkan pada saat x mendekati 2
dari arah kiri maka f(x) mengecil tanpa batas (menuju –). Selanjutnya dikatakan
bahwa limit f(x) untuk x mendekati 2 dari arah kanan adalah  atau

h
h–

h
Untuk memecahkan limit tak hingga perhatikan teorema berikut!
87




Bukti:
Jika semua suku dibagi dengan xm maka,

Jika m < n, maka



Jika m = n, maka


Jika m > n, maka

Contoh 4.11
Penyelesaian
4.7 Asimtot
Dalam menganalisa suatu fungsi kita sering memerlukan nilai atau harga fungsi tersebut
ada jarak tak hingga dari titik nol. Jika kurva suatu fungsi mendekati perilaku garis lurus,
maka garis lurus tersebut adalah asimtot dari kurva.
88
4.7.1 Asimtot tegak
Jika jarak suatu kurva terhadap suatu garis vertikal mendekati nol, maka garis
tegak lurus tersebut adalah asimtot tegak dari kurva. Contoh asimtot tegak dapat
dilihat pada Gambar 4.6 berikut. Asimtot tegak suatu kurva dapat ditentukan
sebagai berikut.
y
x
0
x=–a
x=a
Gambar 4.6
h
4.7.2 Asimtot datar
Jika jarak suatu kurva terhadap suatu garis datar mendekati nol, maka garis
tersebut adalah asimtot datar dari kurva. Contoh dari asimtot datar dapat silihat
pada Gambar 4.7 berikut.
y
y=a
0
x
Gambar 4.7
h

kurva f(x).
89
4.7.3 Asimtot miring
Jika jarak suatu kurva terhadap suatu garis miring mendekati nol, maka garis
tersebut adalah asimtot miring dari kurva. Contoh dari asimtot miring dapat
silihat pada Gambar 4.8 berikut.
y
y=ax+b
x
0
Gambar 4.8
h
miring kurva f(x). Jika a = 0 maka tidak terdapat asimtot miring.
Contoh 4.12
Penyelesaian
h
h

asimtot miring
y
0
x = –4
Gambar 4.9
90
x
Contoh 4.13
Penyelesaian
h
h


asimtot miring
Contoh 4.14
Penyelesaian
h


Jadi asimtot miring adalah y = x +2
Soal-soal
Tentukan semua asimtot dari fungsi-fungsi berikut, jika ada!
4.8 Kekontinuan
Suatu fungsi dikatakan kontinu disuatu titik a jika tiga syarat berikut terpenuhi.
91
Contoh 4.15
Jelaskan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu di titik a
Penyelesaian
h
Soal-soal
Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu di titik a
, a=3
c
, a = –2
4.9 Kekontinuan yang dapat dihapus dan yang tak dapat dihapus
Telah disebutkan diatas bahwa bila ketiga syarat kekontinuan terpenuhi maka suatu
fungsi dikatakan kontinu di suatu titik a. Akan tetapi bila salah satu syarat tidak
terpenuhi maka fungsi tersebut tak kontinu di titik a. Jika syarat kekontinuan tidak
terpenuhi, tetapi
ada, maka dikatakan bahwa ketakkontinuan f(x) di titik a
dapat dihapuskan dengan jalan mendefinisikan f(a) =
maka f(x) menjadi
kontinu di titik a. Jika syarat kekontinuan tidak terpenuhi dan
tidak ada
maka ketakkontinuan f(x) di titik a tidak dapat dihapuskan.
Contoh 4.16
h
Tentukan ketak-kontinu-an fungsi tersebut!
Penyelesaian
f(-2) tak terdefinisi
92
Jadi f(x) tak kontinu di titik a = -2. Akan tetapi ketakkontinuan tersebut dapat
dihapuskan karena
Selanjutnya lakukan definisi ulang seperti,
sehingga f(x) dapat
ditulis menjadi,
Contoh 4.17
h
Penyelesaian
dapat dihapuskan
Soal-soal
Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu atau tak kontinu di titik a. Jika tak
kontinu tentukan apakah ketak kontinuan tersebut dapat dihapuskan atau tidak.
93
BAB V
DIFFERENSIASI
5.1 Garis singgung
Garis singgung adalah garis yang menyinggung suatu titik tertentu pada suatu kurva.
Pengertian garis singgung tersebut dapat dilihat pada Gambar 5.1. Akan tetapi jika
terdapat dua buah titik pada suatu kurva maka berkemungkinan garis singgung yang
menyinggung salah satu titik akan memotong kurva pada titik lainnya. Untuk lebih
jelasnya dapat dilihat pada Gambar 5.2
l
A
Gambar 5.1
A
B
l
Gambar 5.2
Untuk mendapatkan pengertian yang lebih jelas mengenai garis singgung kita perlu
mendefinisikan kemiringan garis singgung l pada titik A(x1,f(x1)) yang terletak pada
94
grafik fungsi. Selanjutnya pada grafik fungsi tersebut kita pilih suatu titik B(x,f(x)). Jika
kita hubungkan titik A dan B maka akan terbentuk garis l1 yang mempunyai kemiringan
y
m =
f(x ) − f(x)
x −x
(5.1)
l1
A
B
Kemiringan garis l1 = m1
Kemiringan garis l = m
x
0
l
x1
h
x
Gambar 5.3
Jika f(x) kontinu pada selang [A,B] maka kita dapat mendekatkan titik B ke titik A
dengan jalan memperkecil jarak antara x dan x1. Dalam bentuk limit hal tersebut dapat
ditulis dalam bentuk,
f(x ) − f(x)
lim m = lim
(5.2)
®
®
x −x
Persaman (5.2) adalah kemiringan garis l1 jika x mendekati x1. Jika kita perhatikan
Gambar 5.3 maka kita dapat melihat bahwa kemiringan garis l1 jika x mendekati x1
adalah mendekati kemiringan garis l. Dalam bentuk limit dapat ditulis menjadi
lim m = lim
®
®
Sehingga m = lim
®
f(x ) − f(x)
=m
x −x
f(x ) − f(x)
x −x
(5.3)
95
f(x + h) − f(x)
®
h
f(x + Dx) − f(x)
Jika dimisalkan h = Dx, maka m = lim
D ®
Dx
(5.4)
Karena x − x = h, maka m = lim
(5.5)
Persamaan 5.3 s/d 5.5 adalah kemiringan garis l pada titik (x, f(x))
Contoh 5.1
Diketahui f(x) = 3x2 + 5
Tentukan kemiringan dan persamaan garis singgung yang melalui titik (a,a2)
Penyelesaian
f(x + Dx) − f(x)
m = lim
D ®
Dx
3(x + Dx) + 5 − 3x − 5
3x + 6x Dx + 3(Dx) + 5 − 3x − 5
= lim
= lim
D ®
D
®
Dx
Dx
= lim 6x + 3Dx = 6x
D ®
Jadi m = 6x
(*)
Persamaan garis singgung : y = mx + n (**)
Karena garis singgung melalui titik (a,a2) maka :
persamaan (*) menjadi :m = 6a
persamaan (**) menjadi : a2 = 6a2 + n. Sehingga n = -5a2
Persamaan garis singgung menjadi : y = 6ax – 5a2
5.2 Turunan
Turunan adalah hasil dari proses differensiasi suatu fungsi. Untuk mendapatkan
pengertian yang jelas dari turunan dan differensiasi perhatikan Gambar 5.4 berikut.
Differensiasi dapat dimisalkan sebagai suatu mesin yang memproses masukan f(x)
menjadi turunan f(x) atau f’(x).
f(x)
Differensiasi
Gambar 5.4
f’(x)
Selanjutnya turunan didefinisikan sebagai kemiringan garis yang menyinggung kurva
f(x) di titik (x,f(x)). Berdasarkan persamaan 4.3 dan Gambar 4.3 maka definisi turunan
dapat ditulis dalam bentuk,
f'(x) = lim
®
f(x ) − f(x)
, jika nilai limitnya ada
x −x
(5.6)
Jika persamaan 5.6 dapat dipenuhi berarti f(x) dapat didifferensiasikan
(differensiable) pada x. Maka dikatakan f(x) mempunyai turunan pada x.
Contoh 4.2
Jika f(x) = 2x2 + 5x – 7, tentukan f’(x), f’(c) dan f’(3)
Penyelesaian
96
f(x) = 2x2 + 5x – 7
f(x+x) = 2(x+x)2 + 5(x+x) – 7 = 2x2 + 4xx +2(x)2 + 5x + 5x – 7
f(x+x) – f(x) = 4xx + 2(x)2 + 5x
f(x + Dx) − f(x)
4x Dx + 2(Dx) + 5Dx
f'(x) = lim
= lim
D ®
D ®
Dx
Dx
= lim 4x + 2Dx + 5 = 4x + 5
D ®
Jadi f'(x) = 4x + 5
f'(c) = 4c + 5
f'(3) = 4(3) + 5 = 17
5.3 Notasi turunan
Pada pasal terdahulu kita telah menggunakan notasi turunan dengan lambang f’ yaitu
lambang turunan dari suatu fungsi f yang diperkenalkan pertama kali oleh
matematikawan Perancis Louis Lagrange (1646 – 1716). Selain notasi tersebut masih
terdapat notasi lain yang sering digunakan yaitu notasi double “d”. Jadi kita juga dapat
menulis lambang turunan sebagai dy/dx, dy/dz, … dimana x dan z adalah peubahpeubah bebas dan y sebagai peubah tak bebas. Hubungan antara notasi-notasi turunan
yang disebut diatas adalah sebagai berikut,
Jika terdapat suatu persamaan y = f(x), maka : dy/dx = f’(x).
5.4 Differensiabilitas dan kontinuitas
Jika f adalah fungsi yang differensiabel pada x maka f dikatakan kontinu pada x.
Bukti :
Pada uraian terdahulu telah dijelaskan bahwa suatu fungsi f dikatakan differensiable
jika memenuhi persamaan 4.6 yaitu,
f(x + Dx) − f(x)
f(x + Dx) − f(x)
ada, maka f'(x) = lim
D ®
D ®
Dx
Dx
f(x + Dx) − f(x)
f(x + Dx) − f(x) =
(Dx)
Dx
f(x + Dx) − f(x)
lim (f(x + Dx) − f(x)) = lim
. lim Dx = f'(x).0 = 0
D ®
D ®
D ®
Dx
Sehingga lim f(Dx + x) = lim f(x)® lim f(x) = f(x) (terbukti)
Jika lim
D ®
D ®
D ®
Sebaliknya jika f adalah fungsi yang kontinu pada x, maka tidak secara otomatis f
differensiable pada x.
5.5 Teorema
5.5.1 Turunan bilangan konstan
Jika c suatu bilangan konstan dan y didefinisikan sebagai,
y = f(x) = c, maka
Bukti
dy
= f'(x) = 0
dx
97
(5.7)
f(x) = c ; f(x+x) = c
dy
f(x + Dx) − f(x)
c−x
= f'(x) = lim
= lim
= 0 (terbukti)
D ®
D ® Dx
dx
Dx
5.5.2 Jika n adalah sembarang bilangan bulat, k adalah sembarang bilangan ril dan jika y
didefinisikan sebagai,
y = f(x) = kx , maka
Bukti
dy
= f'(x) = knx
dx
(5.8)
f(x) = kx ; f(x + Dx) = k(x + Dx)
Dengan mengunakan teorema binomial didapat,
k(x + Dx) =
=
knx Dx kn(n − 1)x
kx
+
+
1!
2!
0!
(Dx)
dy
f(x + Dx) − f(x)
= f'(x) = lim
= knx
D ®
dx
Dx
+⋯+
Contoh 5.3
Tentukan turunan pertama dari f(x) = 5x7
Penyelesaian,
dy
= f'(x) = (5)(7)x
= 35x
dx
k(n − 1)! Dx
(n − 1)!
(terbukti)
+
kn! Dx
n!
5.5.3 Aturan penjumlahan
Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan
sebagai,
y = h(x) = f(x) + g(x), maka
dy
= f'(x) + g'(x)
dx
(5.9)
Bukti :
h(x) = f(x) + g(x)
h(x+x) = f(x+x) + g(x+x)
h(x + Dx) − h(x)
f(x + Dx) + g(x + Dx) − f(x) − g(x)
h'(x) = lim
= lim
D ®
D
®
Dx
Dx
f(x + Dx) − f(x)
g(x + Dx)
= lim
+ lim
= f'(x) + g'(x) (terbukti)
D ®
D ®
Dx
Dx
Contoh 5.4
Diketahui y = 5x + 2x
dy
Tentukan
dx
98
Penyelesaian:
f(x) = 5x
g(x) = 2x
f'(x) = 30x
g'(x) = −6x
dy
= f'(x) + g'(x) = 30x − 6x
dx
5.5.4 Aturan perkalian
Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan
sebagai,
dy
= f'(x). g(x) + f(x). g'(x)
dx
y = h(x) = f(x). g(x), maka
Bukti
(5.10)
f(x + Dx). g(x + Dx) − f(x). g(x)
D ®
Dx
f(x + Dx). g(x + Dx) − f(x + Dx). g(x) + f(x + Dx). g(x) − f(x). g(x)
= lim
D ®
Dx
g(x + Dx) − g(x)
f(x + Dx) − f(x)
= lim f(x + Dx)
+ lim g(x)
D ®
D ®
Dx
Dx
h'(x) = lim
= f(x).g’(x) + g(x).f’(x) (terbukti)
Contoh 5.5
Diketahui y = (3x + 2x
)(7x + 3). Tentukan
dy
dx
Penyelesaian
f(x) = 3x + 2x
g(x) = 7x + 3
f'(x) = 15x − 4x
g'(x) = 7
dy
= f'(x). g(x) + g'(x). f(x) = (15x − 4x )(7x + 3) + (3x + 2x
dx
= 105x − 28x + 45x − 12x + 21x + 14x
= 126x + 45x − 14x − 12x
)(7)
5.5.5 Aturan pembagian
Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan
sebagai,
y = h(x) =
Bukti
h(x) =
f(x)
;
g(x)
f(x)
dy f'(x). g(x) − f(x). g'(x)
, maka
=
{g(x)}
g(x)
dx
h(x + Dx) =
f(x + Dx)
g(x + Dx)
f(x + Dx) f(x)
−
h(x + Dx) − h(x)
g(x + Dx) g(x)
h'(x) = lim
= lim
D ®
D ®
Dx
Dx
99
(5.11)
= lim
D ®
= lim
D ®
g(x). f(x + Dx) − g(x + Dx). f(x)
Dx. g(x + Dx). g(x)
g(x). f(x + Dx) − f(x). g(x) − g(x + Dx). f(x) + f(x). g(x)
Dx. g(x + Dx). g(x)
= lim g(x)
D ®
f(x + Dx) − f(x)
g(x + Dx) − g(x)
− lim f(x)
Dx. g(x + Dx). g(x) D ®
Dx. g(x + Dx). g(x)
f(x + Dx) − f(x)
g(x + Dx) − g(x)
Dx
Dx
= lim g(x)
− lim f(x)
D ®
D ®
g(x + Dx). g(x)
g(x + Dx). g(x)
=
g(x). f'(x) − g'(x). f(x)
(terbukti)
[g(x)]
Contoh 5.6
Tentukan turunan h'(x) jika h(x) =
2x − 3x
4x
Penyelesaian :
f(x) = 2x4 – 3x2
f’(x) = 8x3 – 6x
g(x) = 4x3
g’(x) = 12x2
f'(x). g(x) − f(x). g'(x) (8x − 6x)(4x ) − (2x − 3x )(12x )
=
h'(x) =
[g(x)]
(4x )
32x − 24x − 24x − 35x
12x − 60x
3x − 15
=
=
=
16x
15x
4x
5.5.6 Turunan fungsi komposisi
y = f(u) dan u = g(x), maka
dy dy du
=
.
dx du dx
(5.12)
Bukti :
Jika y = f(u) dan u = g(x) maka y = f(g(x)). Fungsi tersebut mempunyai bentuk
komposisi dan dapat ditulis sebagai (fog)(x).
u = g(x)
u= g(x+x) – g(x)  g(x+x) = g(x) + u = u + u
Jika u  0 maka x  0
y = f(g(x))
y = f(g(x+x)) – f(g(x))
Dy f(g(x + Dx)) − f(g(x)) f(g(x + Dx)) − f(g(x)) Du
=
=
Du
Dx
Dx
Dx
Dy f(u + Du) − f(u) Du
Dy
f(u + Du) − f(u) Du dy
=
® lim
= lim
=
Dx
Du
Dx D ® Dx D ®
Du
Dx dx
100
dy
f(u + Du) − f(u)
Du dy du
= lim
. lim
=
(terbukti)
D ® Dx
dx D ®
Du
dx dx
Persamaan 5.12 disebut aturan rantai
Contoh 5.7
Tentukan
dy
jika y = (4x3 + 5x2 – x + 4)3
dx
Penyelesaian :
Misal u = 4x3 + 5x2 – x + 4
y = u3
dy
du
= 12x + 10x − 1
= 3u
du
dx
dy dy du
=
= 3u (12x + 10x − 1)
dx du dx
= 3(12x + 10x − 1)(4x + 5x − x + 4)
Soal-soal
Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut!
4x 1
5
1. f(t) = at − bt + 7
6. f(x) =
− √3x
+
5 x
4x
3
2. f(x) = 3x + 5x
2 x
3. g(x) = +
x 2
4x 1
4. h(x) =
+
5 x
5. w(x) =
7
− √2x + 3
4x
7. g(t) = (at + bt + c) (3at − 7)
b − aw
8. h(w) =
w+c
(at − bt)
9. v(t) =
(ct − d)
10. g(t) = t
5.6 Turunan fungsi-fungsi trigonometri
y = f(x) = sin x , maka
Bukti
(2t + 3)
t−3
dy
= f'(x) = cos x
dx
dy
f(x + Dx) − f(x)
sin(x + Dx) − sin x
= f'(x) = lim
= lim
D ®
D ®
dx
Dx
Dx
= lim
D ®
= lim
D ®
sin x cos Dx + cos x sinDx − sin x
Dx
sin x (cos Dx − 1) + cos x sinDx
Dx
= lim sin x
D ®
(cos Dx − 1)
sin Dx
+ cos x
Dx
Dx
101
(5.13)
= sin x lim
D ®
cos Dx − 1
sin Dx
+ cos x lim
D ®
Dx
Dx
= (sinx)(0) + (cosx)(1) = cos x (terbukti)
Jika y = sin u dan u = f(x) , maka
Bukti
y = sin u
u = f(x)
dy
= cos u
du
du
= f'(x)
dx
dy
du
= cos u
dx
dx
(5.14)
dy dy du
du
=
= cos u
(terbukti)
dx du dx
dx
Jika y = f(x) = cos x , maka
Bukti
dy
= f'(x) = −sin x
dx
(5.15)
dy
f(x + Dx) − f(x)
cos(x + Dx) − cos x
= f'(x) = lim
= lim
D ®
D ®
dx
Dx
Dx
cos x cos Dx − sin x sinDx − cos x
= lim
D ®
Dx
cos x (cos Dx − 1) − sinx sinDx
= lim
D ®
Dx
(cos Dx − 1)
sin Dx
= lim cos x
− sin x
D ®
Dx
Dx
cos Dx − 1
sin Dx
= cos x lim
− sin x lim
D ®
D ®
Dx
Dx
= (cosx)(0) - (sinx)(1) = -sinx (terbukti)
Jika y = cos u dan u = f(x) , maka
Bukti
dy
= −sin u
du
du
u = f(x)
= f'(x)
dx
dy dy du
du
=
= −sin u
(terbukti)
dx du dx
dx
y = cos u
dy
du
= −sin u
dx
dx
102
(5.16)
Contoh 5.8
Jika y = sin(p − 2x), tentukan
dy
dx
Penyelesaian
Misa u = –2x
y = sin u
du
dy
= −2
= cos u
dx
du
dy dy du
=
= (cos u)(−2) = −2cos(p − 2x)
dx du dx
Contoh 5.9
x
dy
Jika y = cos , tentukan
2
dx
Penyelesaian
x
Misal u =
y = cos u
2
1
1
x
du dy du
=
= (−sin u)( ) = − sin
2
2
2
dx du dx
Contoh 5.10
Jika y = sin2x cos 3x, tentukan
dy
dx
Penyelesaian
Misa u = sin2x
v=cos3x
du
dv
= 2cos2x
= −3sin3x
dx
dx
dv
dy du
=
. v + u = (2cos2x)(cos3x) + (sin2x)(−3sin3x)
dx
dx dx
= 2cos2x cos3x − 3sin2x sin3x)
Contoh 5.11
sin3x
dy
Jika y =
, tentukan
cos4x
dx
Penyelesaian
Misal u = sin 3x
v = cos 4x
du
dv
= 3cos3x
= −4sin4x
dx
dx
du
dv
dy dx . v − u. dx (3cos3x)(cos4x) − (sin3x)(−4sin4x)
=
=
dx
v
(cos4x)
3cos3x cos4x + 4sin3x sin4x)
=
cos 4x
Jika y = f(x) = tan x , maka
dy
= f'(x) = sec x
dx
103
(5.17)
Bukti
y = tan x =
sinx
cosx
u = sin x
v = cos x
du
dv
= cos x
= −sin x
dx
dx
du
dv
dy dx . v − u. dx (cosx)(cosx) − (sinx)(−sinx)
=
=
dx
v
cos x
cos x + sin x
1
=
=
= sec x (terbukti)
cos x
cos x
Jika y = tan u , maka
Bukti
dy
du
= (sec u)
dx
dx
(5.18)
dy
= sec u
du
du
= f'(x)
u = f(x)
dx
dy dy du
du
=
= (sec u)
(terbukti)
dx du dx
dx
y = tan u
Contoh 5.12
Jika y = 5 tan3x, tentukan
dy
dx
Penyelesaian
Misal u = 3x
y = 5 tan u
dy
du
=3
= 5 sec u
dx
du
dy dy du
=
= (5 sec u)(3) = 15 sec 3x
dx du dx
Jika y = f(x) = cot x , maka
Bukti
y = cot x =
cosx
sinx
dy
= f'(x) = −csc x
dx
u = cos x
v = sin x
du
dv
= −sin x
= cos x
dx
dx
du
dv
dy dx . v − u. dx (−sinx)(sinx) − (cosx)(cosx)
=
=
dx
v
sin x
104
(5.19)
=
−sin x − cos x −(sin x + cos x)
−1
=
=
= −csc x
sin x
sin x
sin x
Jika y = cot u , maka
Bukti
dy
du
= (−csc u)
dx
dx
(terbukti)
(5.20)
dy
= −csc u
du
du
u = f(x)
= f'(x)
dx
dy dy du
du
=
= (−csc u)
(terbukti)
dx du dx
dx
y = cot u
Contoh 5.13
1
dy
1
Jika y = cot x, tentukan
3
dx
2
Penyelesaian
1
1
Misal u = x
y = cot u
3
2
1
du 1
dy
=
= − csc u
2
dx 3
du
dy dy du
1
1
1
1
=
= (− csc u) = − csc x
dx du dx
2
3
6
3
Jika y = f(x) = sec x , maka
Bukti
1
cosx
Misal u = 1
du
=0
dx
y = secx =
dy
= f'(x) = secx tanx
dx
(5.21)
v = cosx
dv
= −sinx
dx
dv
du
dy dx . v − u. dx (0)(cosx) − (1)(−sinx)
sinx
=
=
=
= secx tanx (terbukti)
v
dx
cos x
cos x
Jika y = sec u , maka
Bukti
dy
du
= (sec u tan u)
dx
dx
105
(5.22)
dy
= secu tanu
du
du
u = f(x)
= f'(x)
dx
dy dy du
du
=
= (secu tanu)
(terbukti)
dx du dx
dx
y = sec u
Jika y = f(x) = csc x , maka
Bukti
1
sinx
Misal u = 1
du
=0
dx
y = cscx =
dy
= f'(x) = −cscx cotx
dx
(5.23)
v = sinx
dv
= cosx
dx
du
dv
dy dx . v − u. dx (0)(sinx) − (1)(cosx) −cosx
=
=
=
= −cscx cotx (terbukti)
dx
v
sin x
sin x
Jika y = csc u , maka
Bukti
dy
du
= −cscu cotu)
dx
dx
dy
= −csc u cot u
du
du
= f'(x)
u = f(x)
dx
dy dy du
du
=
= (−cscu cotu)
(terbukti)
dx du dx
dx
(5.24)
y = csc u
Contoh 5.15
1
dy
Jika y = csc(p − x), tentukan
3
dx
Penyelesaian
1
Misal u = p − x
y = cscu
3
du
dy
1
= −1
= − cscu cotu
dx
du
3
dy dy du
1
1
1
=
= (− cscu cotu)(−1) = cscu cotu = csc(p − x) cot(p − x)
dx du dx
3
3
3
106
Soal-soal
Tentukan turunan pertma dari fungsi-fungsi berikut!
x p
p
1. f(x) = sin −
6. f(x) = csc
−x
2 3
3
p x
1
2. f(x) = cos −
7. g(t) = sin2t cospt
2 3
2
sin(aw − p)
3. g(x) = tan x
8. h(w) =
cos(p − bw)
at − sin2t
4. h(x) = cot x
9. v(t) =
cos(b − t)
x p
cos2t
5. w(x) = sec
−
10. g(t) = sint
2 3
sin3t
5.7 Turunan fungsi-fungsi trigonometri invers
Jika y = f(x) = arcsinx, maka
Bukti
y = arcsin x
dy
1
= f'(x) =
dx
√1 − x
(5.25)
® sin y = x
dy
1
dy dx
=
=1®
=
cos y
dx cos y
dx dx
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini!
sin y = x
cos y = 1 − x
dy
1
=
(terbukti)
dx √1 − x
1
y
dy
1
=
du √1 − u
dy dy du
1
du
=
=
(terbukti)
dx du dx √1 − u dx
y = arcsin u
1−x
dy
1
du
=
dx √1 − u dx
Jika y = arcsin u dan u = f(x), maka
Bukti
x
®
Contoh 5.16
3
1
dy
Jika y = arcsin − x , tentukan
8
3
dx
107
(5.26)
Penyelesaian
1
3
Misal u = − x
y = arcsin u
3
8
du
1
dy 3
1
=−
=
dx
3
du 8 √1 − u
1
1
dy dy du 3
1
=
=
− =−
3
dx du dx 8 √1 − u
1
8 1− x
9
Jika y = f(x) = arccos x, maka
Bukti
y = arccos x
dy
1
= f'(x) = −
dx
√1 − x
(5.27)
® cos y = x
dy dx
dy
1
−sin y
=
=1®
=−
dx dx
dx
sin y
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini!
cos y = x
sin y = 1 − x
dy
1
=−
dx
√1 − x
Jika y = arccos u dan u = f(x), maka
Bukti
1
(terbukti)
y
1−x
x
dy
1
du
=−
dx
√1 − u dx
1
dy
=−
du
√1 − u
dy dy du
1
du
=
=−
(terbukti)
dx du dx
√1 − u dx
y = arccos u
Contoh 5.17
®
Jika y = −3 arccos 2x, tentukan
dy
dx
Penyelesaian
Misal u = 2x
y = −3 arccos u
du
dy
1
=2
=3
dx
du
√1 − u
dy dy du
1
6
6
=
=3
(2) =
=
dx du dx
√1 − u
√1 − 4x
1 − (2x)
108
(5.28)
Jika y = f(x) = arctan x , maka
Bukti
y = arctan x
dy
1
= f'(x) =
dx
1+x
(5.29)
® tan y = x
dy
1
dy dx
=
=1®
=
sec y
dx sec y
dx dx
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini!
tan y = x
sec y = 1 + x
dy
1
=
(terbukti)
dx 1 + x
1+x
x
y
1
Jika y = arctan u dan u = f(x) , maka
Bukti
1
dy
=
du 1 + u
1 du
dy dy du
=
=
(terbukti)
dx du dx 1 + u dx
dy
1 du
=
dx 1 + x dx
(5.30)
y = arctan u ®
Contoh 5.18
3
1
dy
Jika y = arctan x, tentukan
5
3
dx
Penyelesaian
1
3
Misal u = x
y = arctan u
3
5
du 1
dy 3 1
=
=
dx 3
du 5 1 + u
dy dy du 3 1 1
1
1
=
=
=
=
1
dx du dx 5 1 + u 3
1
5 1+ x
5 1+ x
9
3
Jika y = f(x) = arccot x , maka
Bukti
y = arccot x
dy
1
= f'(x) = −
dx
1+x
® cot y = x
dy dx
dy
1
−csc y
=
=1®
=−
dx dx
dx
csc y
109
(5.31)
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini!
cot y = x
csc y = 1 + x
dy
1
=−
(terbukti)
dx
1+x
1+x
y
x
Jika y = arctan u dan u = f(x) , maka
Bukti
1
dy
=−
1+u
du
1 du
dy dy du
=
=−
(terbukti)
1 + u dx
dx du dx
y = arccot u ®
Contoh 5.19
Jika y = 2 arccot 3x, tentukan
1
dy
1 du
=
dx 1 + x dx
(5.32)
dy
dx
Penyelesaian
Misal u = 3x
y = 2arccot u
dy
1
du
=3
= −2
du
1+u
dx
dy dy du
1
1
6
=
= −2
(3) = −6
=−
(1 + (3x) )
(1 + 9x )
dx du dx
1+u
Jika y = f(x) = arcsec x , maka
Bukti
y = arcsec x
dy
1
= f'(x) =
dx
x√x − 1
® sec y = x
dy dx
dy
1
sec y tan y
=
=1®
=
dx dx
dx sec y tan y
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini!
sec y = x
sec y tan y = x x − 1
dy
1
=
(terbukti)
dx x√x − 1
x
x −1
y
1
110
(5.33)
Jika y = arcsec u dan u = f(x) , maka
Bukti
1
dy
=
du u√u − 1
dy dy du
1
du
=
=
(terbukti)
dx du dx u√u − 1 dx
y = arcsec u ®
Contoh 5.20
Jika y = arcsec
dy
1
du
=
dx u√u − 1 dx
dy
p
− x , tentukan
dx
2
Penyelesaian
p
Misal u = − x
y = arcsec u
2
dy
1
du
= −1
=
du u√u − 1
dx
dy dy du
1
=
=
(−1) = −
dx du dx u√u − 1
p
2−x
Jika y = f(x) = arccsc x , maka
Bukti
y = arccsc x
(5.34)
1
p
2−x
−1
dy
1
= f'(x) = −
dx
x√x − 1
(5.35)
®
csc y = x
dy dx
dy
1
−csc y cot y
=
=1®
=−
dx dx
dx
csc y cot y
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini!
csc y = x
csc y cot y = x x − 1
dy
1
=−
(terbukti)
dx
x√x − 1
x
y
1
x −1
Jika y = arccsc u dan u = f(x) , maka
Bukti
y = arccsc u ®
dy
1
=−
du
u√u − 1
dy
1
du
=−
dx
u√u − 1 dx
111
(5.36)
du
dy dy du
1
=
=−
(terbukti)
dx du dx
u√u − 1 dx
Contoh 5.21
Jika y = arccsc x −
Penyelesaian
p
dy
, tentukan
2
dx
p
Misal u = x −
y = 2arccot u
2
du
dy
1
=1
=−
dx
du
u√u − 1
1
1
dy dy du
=
=−
(1) = −
=−
dx du dx
u√u − 1
u√u − 1
Soal-soal
Carilah turunan pertama dari soal-soal berikut!
cos2x
1. y = arcsin(p − x)
3. y =
arccos x
2. y = −3arccos 4x
p
2
x−
p
−1
2
4. y = arctan x − sin3x
5.8 Turunan fungsi eksponen
Jika y = f(x) = e , maka
Bukti
x−
1
dy
= f'(x) = e
dx
x
®
n
Dengan menggunakan teorema binomial didapat,
(5.37)
e dide inisikan sebagai lim 1 +
1+
x
n
=
1 x
0! n
+
(n). 1
1!
x
n
+
n(n − 1). 1
2!
x
n
+
n(n − 1)(n − 2). 1
x
+⋯
3!
n
2
1
1
1−
(1 − )(1 − )
n
n
n .x + ⋯
=1+x+
.x +
2!
3!
1
1
2
1−n
(1 − n)(1 − n)
x
= lim 1 + x +
.x +
.x + ⋯
lim 1 +
®
®
n
2!
3!
e = 1+x+
x
x
+ +⋯
2! 3!
(5.38)
112
e= 1+1+
1 1
+ +⋯
2! 3!
(5.39)
Jika y = f(x) = ex
f(x + Dx) − f(x)
e D −e
e (eD − 1)
dy
= f'(x) = lim
= lim
= lim
Maka
D ®
D ®
D ®
Dx
Dx
Dx
dx
x
x
Dx
Dx
Karena e = 1 + x + + + ⋯ , maka eD − 1 = Dx +
+
+⋯
2! 3!
2!
3!
e (eD − 1)
Dx Dx
Sehingga lim
= lim e 1 +
+
+ ⋯ = e (terbukti)
D ®
D ®
Dx
2!
3!
Jika y = e dan u = f(x), maka
Bukti
dy
=e
du
du
u = f(x)
= f'(x)
dx
du
dy dy du
=
=e
(terbukti)
dx
dx du dx
dy
du
=e
dx
dx
(5.40)
y=e
Contoh 5.22
Jika y = −2e
, tentukan
dy
dx
Penyelesaian
Misal u = a – bx
du
= −b
dx
dy
= e
(−b) = −be
dx
5.9 Turunan fungsi logaritma
Jika y = f(x) = ln x , maka
lim
D ®
Jika
dy
1
= f'(x) =
dx
x
(5.41)
1
Dx
1
x
Dx
1
Dx
ln 1 +
= lim
ln 1 +
= lim ln 1 +
x
x D ® Dx
x
xD ®
x
Dx
1
Dx
= ln lim 1 +
D ®
x
x
Dx
x
1
= u, maka
= , sehingga
x
Dx u
113
D
D
1
Dx
ln lim 1 +
D ®
x
x
D
1
= ln lim [1 + u]
®
x
Jika y = ln u dan u = f(x) , maka
Bukti
y = ln u
u = f(x)
dy dy du 1 du
=
=
dx du dx u dx
Contoh 5.23
dy 1
=
du u
du
= f'(x)
dx
1
1
= ln e = (terbukti)
x
x
dy 1 du
=
dx u dx
(5.42)
(terbukti)
dy
1
ln x, tentukan
dx
3
Penyelesaian
Jika y = e
1
v = ln x
3
dv 1
du
= 2e
=
dx x
dx
dy du
dv
1
1
=
. v + u. = 2e . ln x + e . = e
dx dx
dx
3
x
Misal u = e
Jika y = f(x) = log x , maka
Bukti
y = log x ® a = x
dy
1
= f'(x) =
dx
(ln a)x
1
ln x
ln a
1
dy
=
(terbukti)
dx (ln a)x
1
1
ln x +
3
x
(5.43)
y ln a = lx ® y =
Jika y = log u dan u = f(x) , maka
Bukti
dy
1
=
du (ln a)u
dy dy du
1 du
=
=
(terbukti)
dx du dx (ln a)u dx
dy
1 du
=
dx (ln a)u dx
y = log u ®
114
(5.44)
Contoh 5.24
Jika y = log (3 − 5x), tentukan
dy
dx
Penyelesaian
= −5
Diketahui a = 7. Misal u = 3 − 5x ®
dy dy du
1 du
1
−5
=
=
=
(−5) =
dx du dx (ln a)u dx
(ln 7)u
(ln 7)(3 − 5x)
Soal-soal
Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut!
2ln3x
1. y = xe
6. y =
5 − 6x
2. y =
3x
2e
3. y = x ln2x
x ln3x
e
x(ln4x + e )
5. y =
e
4. y =
5.10 Turunan fungsi hiperbolik
e
ln4x
3 log (1 − x)
8. y =
e
x e
9. y =
log 4x
xln5x − e
10. y =
e lnx
Jika y = f(x) = sinhx , maka
Bukti
7. y =
dy
= f'(x) = coshx
dx
(5.45)
1
y = f(x) = sinhx = (e − e )
2
dy
1
= f'(x) = (e + e ) = coshx (terbukti)
dx
2
Jika y = sinh u dan u = f(x) , maka
Bukti
dy
= cosh u
du
dy dy du
du
=
= cosh u
(terbukti)
dx du dx
dx
dy
du
= cosh u
dx
dx
y = sinh u ®
Contoh 5.25
1
dy
Jika y = 3sinh x, tentukan
5
dx
Penyelesaian
115
(5.46)
1
y = 3sinh u
Misal u = x
5
du 1
dy
=
= 3cosh u
dx 5
du
dy dy du
1
3
1
=
= (3cosh u)( ) = cosh x
dx du dx
5
5
5
Jika y = f(x) = coshx , maka
Bukti
dy
= f'(x) = sinhx
dx
(5.47)
1
y = f(x) = sinhx = (e + e )
2
1
dy
= f'(x) = (e − e ) = sinhx (terbukti)
2
dx
Jika y = sinh u dan u = f(x) , maka
Bukti
dy
y = cosh u ®
= sinh u
du
dy dy du
du
=
= sinh u
(terbukti)
dx du dx
dx
Contoh 5.26
Jika y = cosh(1 − 2x), tentukan
dy
du
= cosh u
dx
dx
(5.48)
dy
dx
Penyelesaian
Misal u = 1–2x
y = sinh u
du
dy
= −2
= coshu
dx
du
dy dy du
=
= (coshu)(−2) = −2cosh(1 − 2x)
dx du dx
Jika y = f(x) = tanh x , maka
Bukti
dy
= f'(x) = sech x
dx
sinhx
coshx
dy
(coshx)(coshx) − (sinhx)(sinhx) cosh x − sinh x
= f'(x) =
=
(coshx)
dx
cosh x
1
=
= sech x (terbukti)
cosh x
y = f(x) = tanhx =
116
(5.49)
dy
du
= sech u
dx
dx
Jika y = tanh u dan u = f(x) , maka
Bukti
dy
= sec u
du
dy dy du
du
=
= sech u
(terbukti)
dx du dx
dx
(5.50)
y = tanh u ®
Contoh 5.27
Jika y = tanh(a + bx), tentukan
dy
dx
Penyelesaian
Misal u = a+bx
y = tanh u
du
dy
=b
= sech u
dx
du
dy dy du
=
= (sech u)(b) = b sech (a + bx)
dx du dx
Jika y = f(x) = coth x , maka
Bukti
dy
= f'(x) = −csch x
dx
(5.51)
coshx
sinhx
(sinhx)(sinhx) − (coshx)(coshx) sinh x − cosh x
dy
= f'(x) =
=
(sinhx)
sinh x
dx
−1
=
= −csch x (terbukti)
sinh x
y = f(x) = cothx =
Jika y = coth u dan u = f(x) , maka
Bukti
dy
du
= −csch u
dx
dx
dy
= −csch u
du
du
dy dy du
=
= −csch u
(terbukti)
dx du dx
dx
y = tanh u ®
Contoh 5.28
Jika y = coth(a + bt), tentukan
Penyelesaian
Misal u = a+bt
du
=b
dx
dy
dt
y = coth u
dy
= −csch u
du
117
(5.52)
dy dy du
=
= (−csch u)(b) = −b csch (a + bt)
dx du dx
Jika y = f(x) = sech x , maka
Bukti
y = f(x) = sechx =
Misal
1
coshx
dy
= f'(x) = −tanhx sechx
dx
(5.53)
u=1
v = coshx
du
dv
=0
= sinhx
dx
dx
du
dv
dy dx . v − u. dx (0)(coshx) − (1)(sinhx) −sinhx
=
=
=
= −tanhx sechx (terbukti)
v
cosh x
cosh x
dx
Jika y = sech u dan u = f(x) , maka
Bukti
dy
du
= −tanhu sechu
dx
dx
(5.54)
dy
= −tanhu sechu
du
dy dy du
du
=
= −tanhu sechu
(terbukti)
dx du dx
dx
y = sech u ®
Contoh 5.29
1 1
dy
Jika y = 2 sech( − x), tentukan
3 5
dt
Penyelesaian
1 1
Misal u = − x
y = 2 sechu
3 5
du
1
dy
=−
= −2 tanhu sechu
dx
5
du
dy dy du
1
2
=
= (−2 tanhu sechu)(− ) = tanhu sechu
dx du dx
5
5
2
1 1
1 1
= tanh − x sech − x
5
3 5
3 5
Jika y = f(x) = csch x , maka
Bukti
y = f(x) = cschx =
Misal
u=1
du
=0
dx
1
sinhx
dy
= f'(x) = −cschx cothx
dx
v = sinhx
dv
= coshx
dx
118
(5.55)
du
dv
dy dx . v − u. dx (0)(sinhx) − (1)(coshx) −coshx
=
=
=
= −cschx cothx (terbukti)
dx
v
sinh x
sinh x
Jika y = csch u dan u = f(x) , maka
Bukti
dy
du
= −cothu cschu
dx
dx
dy
y = csch u ®
= −cothu cschu
du
dy dy du
du
=
= −cothu cschu
(terbukti)
dx du dx
dx
(5.56)
Contoh 5.30
dy
1 1
Jika y = −3 csch( + x), tentukan
dx
5 2
Penyelesaian
1 1
Misal u = + x
y = −3cschu
5 2
du 1
dy
=
= 3cothu cschu
dx 2
du
dy dy du
1
3
1 1
1 1
=
= (3 cothu cschu)( ) = coth + x csch + x
dx du dx
2
2
5 2
5 2
Soal-soal
Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut!
ax + bx + c
1. y = sinh(2 − 3x)
6. y =
coth(1 + 2x)
e
2. y = cosh(ax − b)
7. y =
sech2x
sech3x
3. y = x sinh5x
8. y =
ln(4 − 5x)
1
4. y = e cosh2x
9. y = x csch(x − 1)
5
5. y = ln(2 − x) tanh3x
5.11 Turunan fungsi hiperbolik invers
Jika y = f(x) = sinh
x , maka
10. y = e csch(a − bx)
dy
1
= f'(x) =
dx
√x + 1
Bukti
y = f(x) = sinh x = ln(x + x + 1)
x
1+
dy
1
1
√x + 1 = √x + 1 + x
=
=
(terbukti)
dx x + √x + 1
√x + 1 x + √x + 1 √x + 1
119
(5.57)
dy
1
du
= f'(x) =
dx
√u + 1 dx
Jika y = sinh u dan u = f(x) , maka
Bukti
dy
1
=
du √u + 1
dy dy du
du
1
=
=
(terbukti)
dx du dx √u + 1 dx
y = sinh
u®
Contoh 5.31
Jika y = −3 sinh
dy
1
x, tentukan
dx
2
Penyelesaian
1
y = −3sinh u
Misal u = x
2
du 1
dy
1
=
=
dx 2
du √u + 1
1
1
dy dy du
1
=
=
=
=
dx du dx
2√u + 1
√u + 1 2
Jika y = cosh x , maka
2
1
1
x
2
dy
1
= f'(x) =
,x > 1
dx
√x − 1
Bukti
y = f(x) = cosh x = ln(x + x − 1)
x
1+
dy
1
1
√x − 1 = √x − 1 + x
=
=
,
dx x + √x − 1
√x − 1 x + √x − 1 √x − 1
Jika y = cosh u dn u = f(x) , maka
Bukti
dy
1
=
du √u − 1
dy dy du
1
du
=
=
(terbukti)
dx du dx √u − 1 dx
y = cosh
(5.58)
dy
1
du
=
,
dx √u − 1 dx
u®
Contoh 5.32
Jika y = cosh
Penyelesaian
3
Misal u = x
4
3
dy
x, tentukan
4
dx
y = cosh u
120
+1
=
2
1
x +1
4
x>1 (
x>1
1
(5.59)
)
(5.60)
du 3
dy
1
=
=
dx 4
du √u − 1
dy dy du
1
3
3
=
=
=
=
dx du dx
√u − 1 4
4√u − 1
Jika y = f(x) = tanh x , maka
Bukti
3
x
4
−1
dy
1
= f'(x) =
, |x| < 1
dx
1−x
1 1+x
, |x| < 1
y = f(x) = tanh x = ln
2 1−x
2
1−x
dy 1
1
|x| < 1 (
=
=
,
dx 2 (1 − x) 1 + x 1 − x
Jika y = tanh u dan u = f(x) , maka
Bukti
1
dy
=
du 1 − u
dy dy du
1 du
=
=
, |u| < 1 (
dx du dx 1 − u dx
Jika y = tanh (2x − 1), tentukan
=
4
3
9
x −1
16
(5.61)
)
dy
1 du
=
, |u| < 1
dx 1 − u dx
y = tanh u ®
Contoh 5.33
4
3
(5.62)
)
dy
dx
Penyelesaian
Misal u = 2x − 1
y = tanh u
du
dy
1
=2
=
dx
du 1 − u
1
2
dy dy du
=
=
(2) =
dx du dx
1−u
1 − (2x − 1)
Jika y = f(x) = coth x , maka
Bukti
dy
1
= f'(x) =
, |x| > 1
dx
x −1
1 x+1
y = f(x) = coth x = ln
, |x| > 1
2 x−1
dy 1 −2 1 − x
1
1
=
=−
=
,
dx 2 (1 − x) 1 + x
1−x
x −1
Jika y = coth u dan u = f(x) , maka
|x| > 1 (
dy
1 du
=
, |u| > 1
dx u − 1 dx
121
(5.63)
)
(5.64)
Bukti
dy
1
=
du u − 1
dy dy du
1 du
=
=
, |u| > 1 (
dx du dx u − 1 dx
y = coth u ®
Contoh 5.34
Jika y = 3 coth (2 − 3x), tentukan
)
dy
dx
Penyelesaian
Misal u = 2 − 3x
y = 3coth u
du
dy
3
= −3
=
dx
du u − 1
dy dy du
3
−9
=
=
(−3) =
dx du dx
u −1
(2 − 3x) − 1
Jika y = f(x) = sech x , maka
Bukti
y = f(x) = sech x = ln
dy
1
=−
,
dx
x√1 − x
Jika y = sech
Bukti
dy
1
= f'(x) = −
,0 <
dx
x√1 − x
1 + √1 − x
,
x
0<
<1 (
)
u dan u = f(x) , maka
dy
1
=−
du
u√1 − u
dy dy du
1
du
=
=−
, 0<
dx du dx
u√1 − u dx
y = sech u ®
Contoh 5.35
0<
Jika y = −2 sech (1 − x), tentukan
dy
dx
)
Penyelesaian
Misal u = 1 − x
y = −2 sech u
du
dy
−2
= −1
=
dx
du u√1 − u
dy dy du
−2
2
=
=
(−1) =
dx du dx
u√1 − u
(1 − x) 1 − (1 − x)
122
(5.65)
<1
dy
1
du
=
,
dx u√1 − u dx
<1 (
<1
0<
<1
(5.66)
Jika y = f(x) = csch x , maka
Bukti
y = f(x) = csch x = ln
dy
1
= f'(x) = −
dx
|x|√1 + x
(5.67)
1 + √1 + x
x
dy
1
=−
(terbukti)
dx
|x|√1 + x
Jika y = csch u dan u = f(x) , maka
Bukti
dy
1
du
=−
dx
|u|√1 + u dx
(5.68)
dy
1
=−
du
|u|√1 + u
dy dy du
1
du
=
=−
(terbukti)
dx du dx
|u|√1 + u dx
y = csch u ®
Contoh 5.36
Jika y = csch (sinx), tentukan
dy
dx
Penyelesaian
Misal u = sin x
y = csch u
dy
1
du
= cos x
=−
du
dx
|u|√1 + u
dy dy du
1
cos x
cos x
=
=−
(cos x) = −
=
dx du dx
|u|√1 + u
|sin x|√1 + sin x
|sin x| 1 + (sin x)
Soal-soal
Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi:
1. y = sinh (cos x)
4. y = x coth x
2. y = cosh (sin 2x)
5. y = sech (x sinx)
3. y = tanh (3x + p)
6. y = e
csch (1 − 2x)
5.12 Turunan tingkat tinggi
Jika terdapat suatu fungsi f(x) yang differensiable, maka kita dapat mencari turunan
pertamanya yaitu f’(x). Jika turunan pertama tersebut juga differensiable maka kita
dapat menentukan turunan kedua dari fungsi tersebut. Secara umum jika turunan ke
(n-1) differensiable maka kita dapat menentukan turunan ke n dari fungsi tersebut.
Biasanya turunan kedua dan seterusnya dari suatu fungsi disebut turunan tingkat
tinggi. Turunan pertama, kedua dan ketiga ditulis dengan lambang:
dy d y
d y
,
dan
atau f'(x), f''(x) dan f'''(x). Sedangkan untuk turunan ke n, dengan n³4,
dx dx
dx
d y
kita gunakan lambang
atau f ( ) (x).
dx
123
Contoh 5.37
Tentukan turunan pertama sampai dengan turunan keempat dari f(x) = (x − 4)
Penyelesaian
dy
= f'(x) = 3(x − 4) (2x) = 6x(x − 4)
dx
d y
= f''(x) = 6(x − 4) + 6x(2(x − 4)(2x)) = 6(x − 4) + 24x (x − 4)
dx
d y
= f'''(x) = 12(x − 4)(2x) + 48x(x − 4) + 24x (2x) = 120x − 208x
dx
d y
= f ( ) (x) = 360x − 208
dx
Soal-soal
Tentukan turunan kedua dari fungsi-fungsi,
1. f(x) = 2xe
4. f(x) =
2. f(x) = ln(a − bx)
x +4
1−x
5. f(x) = sin (a − bx)
3. f(x) =
x
x +1
6. f(x) = cos (mx + n)
5.13 Differensial
Pada pembahasan mengenai masalah turunan kita telah menggunakan lambang dy/dx
sebagai suatu kesatuan dan merupakan lambang dari turunan pertama suatu fungsi x.
Pada pasal ini kita akan membahas pengertian dy dan dx secara terpisah. Misal
terdapat suatu persamaan y = f(x). Dari Gambar 5.5
y
f(x + x)
y
f(x)
l1
l
0
didapat Dy =
Dy
Dx
Dx
dy
x = dx
f(x)
x
Gambar 5.5
124
x+x
x
(5.69)
Jika harga x sangat kecil, maka y menjadi sangat kecil juga. Sehingga persamaan
5.68 dapat ditulis menjadi,
dy = f'(x) dx
(5.70)
Pada persamaan 5.70 diatas dx dan dy disebut differensial dari x dan y. Differensial y
atau dy adalah perubahan kecil pada peubah y akibat adanya perubahan kecil pada
peubah x atau dx.
Contoh 5.38
Jika y = x2 - 2x – 3, tentukan differensial y
Penyelesaian :
f(x) = x2 - 2x – 3
f’(x) = 2x – 2
Sehingga : dy = (2x-2) dx = 2(x-1) dx
Contoh 5.39
Volume sebuah silinder adalah V = r2h. Jika jari-jari silinder tersebut membesar 1%
dari jari-jari asal, tentukan perubahan volumenya.
Penyelesaian :
f(r) = r2h
f’(r) = 2rh
dV = f’(r) dr = 2rh (0,01r) = 0,02 r2h
Jadi perubahan volume silinder adalah sebesar 0,02 r2h
Soal-soal
1. Sebuah bola mempunyai jari-jari 15 cm. Akibat meningkatnya temperatur maka
jari-jari bola tersebut meningkat menjadi 15,02 cm. Berapakah perubahan volume
bola tersebut ?
2. Sebuah kolam renang berisi penuh dengan air.Ukuran kolam renang tsb adalah
sebagai berikut : panjang = 50 m, lebar = 20 meter dan kedalaman = 3 meter.
Akibat adanya penguapan kedalaman air berkurang menjadi 2,98 m. Berapakah
volume air yang menguap ?
5.14 Turunan fungsi implisit
Pada pasal-pasal sebelumnya kita telah mempelajari turunan fungsi-fungsi eksplisit,
yaitu fungsi yang mempunyai bentuk y =f(x). Akan tetapi tidak semua fungsi
mempunyai bentuk eksplisit. Sebagian mempunyai bentuk implisit, yaitu fungsi yang
mempunyai bentuk F(x,y) = 0. Untuk mencari turunan fungsi implisit kita gunakan
aturan sebagai berikut.
1. Jika pada F(x,y) = 0 mengandung suku g(x) maka,
d
g(x) = g'(x)
dx
125
(5.71)
2. Jika pada F(x,y) = 0 mengandung suku h(y) maka,
d
dy
h(y) = h'(y)
dx
dx
3. Jika pada F(x,y) = 0 mengandung suku u(x) dan v(y) maka,
d
[ ( ) ( )] = u'(x) v(y) + u(x) v'(y)
dx
Contoh 5.40
dy
dari x − 3xy + y = 4
Tentukan
dx
Penyelesaian
x − 3xy + y = 4 ® x − 3xy + y − 4 = 0
dy
dy
2x − 3y − 3x + 2y − 0 = 0
dx
dx
dy
dy 3y + 2x
(2y − 3x) = 3y − 2x ®
=
dx
dx 2y − 3x
Contoh 5.41
dy
dari x y + xy = 6 pada titik (1,2)
dx
Penyelesaian
Tentukan
x y + xy = 6 ® x y + xy − 6 = 0
2xy + x
dy
dy
+ y + 2xy = 0
dx
dx
(x + 2xy)
dy
dx
dy
dy −(2xy + y )
= −(2xy + y ) ®
=
dx
dx
(x + 2xy)
=−
8
5
Soal-soal
dy
dari:
dx
i) x + y = sin xy
ii) xy = cos(x + y)
iii) y = e
iv) y = ln(xy)
1. Tentukan
2. Tentukan nilai
i) 3xy + e
dy
pada titik (1,0) dari:
dx
=e
ii) x + y + xy = 1
126
(5.72)
(5.73)
5.15 Turunan fungsi parameter
Fungsi parameter adalah fungsi yang mempunyai bentuk,
x = f(t) dan y = g(t) , dengan t adalah parameter
(5.74)
dy dy/dt
=
dx dx/dt
(5.75)
Untuk menentukan turunan pertama atau dy/dx dari fungsi parameter, terlebih
dahulu kita tentukan dx/dt dan dy/dt. Selanjutnya dy/dx dicari dengan rumus:
Soal-soal
Tentukan
1.
2.
3.
dy
dari fungsi parameter berikut.
dx
x = (t + 3)
y = (t − 4)
x=e
y = ln(5t − 7)
x = sin(t − p)
y = cos2t
t +1
t+1
4.
1−t
⎨
⎩y = t
⎧x =
127
BAB VI
PENERAPAN DIFFERENSIASI
6.1 Persamaan garis singgung
Bentuk umum persamaan garis adalah y = mx + n, dimana m adalah koeffisien arah
atau kemiringan garis dan n adalah penggal garis. Sekarang perhatikan Gambar 6.1.
y
dy
f(x + x)
y
f(x)
l1
x = dx
f(x)
l
0
x
x+ x
x
Gambar 6.1
Jadi dapat disimpulkan bahwa kemiringan garis yang menyinggung titik (x,y) pada f(x)
adalah
Jika garis tersebut menyinggung titik P(x1,y1) maka kemiringannya adalah
128
Contoh 6.1
Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2 + x -3 di titik P(2,3)
Penyelesaian
Kemiringan garis singgung yang menyinggung titik P(2,3) adalah
Persamaan garis : y = mx + n. Karena menyinggung titik P(2,3) maka
3 = 5(2) + n n = –7.
Jadi garis singgung yang menyinggung titik P(2,3) adalah
y = 5x – 7
6.2 Persamaan garis normal
Garis normal adalah garis yang tegak lurus terhadap garis singgung. Dari pembahasan
terdahulu kita telah mengetahui bahwa dua garis dikatakan saling tegak lurus jika
perkalian kemiringan garisnya sama dengan -1; atau dalam bentuk rumus dapat ditulis
menjadi,
dimana m1 adalah kemiringan garis singgung dan m2 adalah kemiringan garis
normalnya.
Contoh 6.2
Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di titik (1,6) pada kurva
y = 3x2 – 2x + 5
Penyelesaian
Jadi,
Persamaan garis singgung y1 = m1x1 + n1
y1 = 4x1 + 2
Contoh 6.3
Tentukan persamaan garis singgung, garis normal dan titik singgung pada t = 2
Penyelesaian
Titik singgung untuk t = 2 adalah (–2,12)
129
Persamaan garis singgung y = 12x + 36
Soal-soal
1. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal dari kurva:
2. Tentukan persamaan garis singgung, garis normal dan titik singgung dari fungsi
parameter
6.3 Kelengkungan (Curvature)
Besarnya kelengkungan suatu kurva di titik tertentu dipengaruhi seberapa cepatnya
perubahan arah dari kurva di titik tersebut. Jika perubahan arah suatu kurva di titik
tertentu terjadi secara berangsur-angsur maka harga kelengkungannya besar.
Sebaliknya jika perubahan arah kurva terjadi secara mendadak maka kelengkungannya
kecil.
6.3.1 Jari-jari kelengkungan
y
C

R
R
Q
s
P
+ 

0
Gambar 6.2
130
x
Pada Gambar 6.2 dapat dilihat bahwa garis normal CP dan CQ berpotongan di
titik C. Panjang busur PQ = s. Jika jarak titik P dan titik Q sangan kecil, maka CP
= CQ = R dan panjang busur s
0. Telah diketahui bahwa panjang busur
suatu lingkaran yang dibatasi oleh sudut  adalah R. Sehingga panjang busur,




s

y
x
Gambar 6.3
Perhatikan Gambar 6.3





















Jadi jari-jari kelengkungan di titik (x,y) adalah
Sedangkan jari-jari kelengkungan di titik (x1,y1) adalah
131
Contoh 6.4
Tentukan jari-jari kelengkungan dari hiperbola xy = 9 si titik (3,3)
Penyelesaian
6.3.2 Pusat kelengkungan ( Center of Curvature )
y
C

R
k
L
P(x,y)

0
h
x1
Gambar 6.4
132
x
Dari Gambar 6.4 didapat
LC = R cos 
LP = R sin 
h = x1 – LP
k = y1 + LC
Sehingga,


Contoh 6.5
Tentukan pusat kelengkungan dari kurva pada contoh 6.4
Penyelesaian


Soal-soal
1. Tentukan jari-jari kelengkungan dan pusat kelengkungan untuk kurva :
a) y = x2 + lnx–24 di titik (1,–23)
c) y2 = –x2 +4x – 3 di titik (1,0)
2. Tentukan jari-jari dan pusat kelengkungan dari fungsi parametrik



6.4 Nilai ekstrim
Misal terdapat suatu hasil pengukuran seperti yang situnjukkan pada Gambar 6.5.
Pengukuran tersebut dapat berupa pengukuran temperatur, tekanan atau
pertumbuhan suatu jenis bakteri terhadap waktu atau pengukuran lainnya. Jika kita
perhatikan Gambar 6.5, harga pengukuran meningkat pada [x0,x1], menurun pada
[x1,x2] dan seterusnya hingga konstan pada selang [x6 , x7].
Definisi 6.4.1
Misal suatu fungsi terdefinsi pada selang I. Jika x1 dan x2 adalah dua buah bilangan yang
terletak pada selang I, maka :
i) fungsi f naik pada selang I, jika x1 < x2 menghasilkan f(x1) < f(x2)
ii) fungsi f naik pada selang I, jika x1 < x2 menghasilkan f(x1) > f(x2)
iii) fungsi f konstan selang I jika f(x1) = f(x2) untuk setiap harga x1 dan x2
133
y
0
x0 = a
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x
x7
Gambar 5.5
Teorema 6.4.2
Jika suatu f kontinu pada selang tertutup [a,b] maka f setidak-tidaknya mempunyai
satu nilai maksimum dan minimum [a,b].
Contoh 6.6
Jika diketahui f(x) = x2 + 5x + 6, tentukan nilai ekstrim f untuk selang-selang berikut :
a) [-2,0]
b) (-3, 1)
c) [-3,-2)
d) (-1,1]
Penyelesaian :
y
-2 0
y
x
-3
(a)
(b)
y
-3
x
0 1
-2 0
y
x
-1 1
(d)
(c)
Gambar 5.6
134
x
a) Pada selang [-2,0]
Maksimum =f(0)=6
Minimum = f(-2) = 0
b) Pada selang (-3,1)
Maksimum tidak ada (f tak kontinu pada x=-3)
Minimum tidak ada (f tak kontinu pada x = 1)
c) Pada selang [-3,-2)
Maksimum =f(-3)=0
Minimum tidak ada (f tak kontinu pada x = -2)
d) Pada selang (-1,1]
Maksimum tidak ada (f tak kontinu pada x = -1
Minimum = f(1) = 12
6.4.1 Nilai Ekstrim Lokal
Istilah nilai ekstrim lokal sering digunakan apabila terdapat suatu selang
terbuka yang mengandung bilangan c sedemikian rupa sehingga f mempunyai
nilai terbesar (maksimum) atau terkecil (minimum). Setiap harga f yang
mempunyai harga maksimum atau minimum disebut ekstrim lokal.
Definisi 6.4.3
Jika c adlah bilangan yang terletak dalam daerah definisi (domain) fungsi, maka
i) f(c) adalah maksimum lokal f jika terdapat suatu selang terbuka (a,b) yang
mengandung c sedemikian rupa sehingga f(x)  f(c) untuk setiap x pada
(a,b).
ii) f(c) adalah minimum lokal f jika terdapat suatu selang terbuka (a,b) yang
mengandung c sedemikian rupa sehingga f(x)  f(c) untuk setiap x pada
(a,b).
y
Maksimum
lokal
0
a
x
Minimum
lokal
b
x1
c
x
Gambar 6.7
Teorema 6.4.4
Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang terbuka (a,b). Suatu fungsi f
j
’
Teorema 6.4.5
Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang terbuka (a,b). Suatu fungsi f
j
’
sama dengan 0.
135
Teorema 6.4.6
Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang tertutup [a,b]. Suatu fungsi f
j
’
Teorema 6.4.7
’
6.4.2 Nilai Ekstrim Mutlak
Jika f(c) adalah nilai maksimum mutlak dari fungsi f, maka kita dapat
menyimpulkan bahwa titik (c, f(c)) merupakan titik tertinggi pada garafik f.
Sebaliknya f(c) adalah minimum mutlak dari fungsi f, maka titik (c,f(c))
merupakan titik terendah pada grafik f. Nilai maksimum dan/atau minimum
sering disebut juga dengan nilai ekstrim fungsi f.
Teorema 6.4.8
Misal fungsi f terdefinisi pada suatu himpunan bilangan ril S. Jika c terletak pada
S, maka :
i) f(c) adalah nilai maksimum mutlak f jika f(x)  f(c) untuk setiap nilai x yang
terletak dalam S.
ii) f(c) adalah nilai minimum mutlak f jika f(x)  f(c) untuk setiap nilai x yang
terletak dalam S.
Tuntunan untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang kontinu pada
selang tertutup [a,b] :
1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b)
2. Tentukan titik ujung
a) Jika fungsi f terletak pada selang tertutup [a,b] maka titik ujungnya adalah
a dan b.
b) Jika fungsi f terletak pada selang terbuka (a,b) maka f tidak mempunyai
titik ujung.
c) Jika fungsi f terletak pada selang setengah terbuka (a,b] maka titik
ujungnya adalah b.
d) Jika fungsi f terletak pada selang setengah terbuka [a,b) maka titik
ujungnya adalah a.
3. Hitung nilai f(c) untuk setiap bilangan kritis c yang didapat dari nomor 1
diatas.
4. Hitung harga f pada setiap titik ujung.
5. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan terkecil
yang dihitung pada nomor 3 dan 4 diatas.
Tuntunan untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang kontinu pada
selang terbuka (a,b) :
1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b).
2. Hitung nilai f(c) untuk seluruh nilai kritis.
3. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan terkecil
yang dihitung pada nomor 2 diatas.
Tuntunan untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang kontinu pada
selang setengah terbuka [a,b) :
1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b).
2. Hitung nilai f(c) untuk seluruh nilai kritis.
136
3. Hitung nilai f(a)
4. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan terkecil
yang dihitung pada nomor 2 dan 3 diatas.
Tuntunan untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang kontinu pada
selang setengah terbuka (a,b] :
1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b).
2. Hitung nilai f(c) untuk seluruh nilai kritis.
3. Hitung nilai f(b)
4. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan terkecil
yang dihitung pada nomor 2 dan 3 diatas.
Contoh 5.7
Jika diketahui f(x) = 2x3 - 3x2 – 12x + 10, tentukan nilai maksimum dan
minimum f pada selang tertutup [-4,3]
Penyelesaian :
Menentukan bilangan kritis (lihat teorema 5.4.7)
f(x) = 2x3 - 3x2 – 12x + 10
2 – 6x – 12 = 0
’
2
6x – 6x – 12 = 0 6(x2 – x – 2) = 0 6(x-2)(x+1) = 0
x1 = 2 ; x2 = -1
f(x1) = f(2) = 16 – 12 – 24 + 10 = -10
f(x2) = f(-1) = -2 – 3 + 12 + 10 = 17
Titik ujung : -4 dan 3
f(-4) = -64 – 48 + 48 + 10 = -54
f(3) = 54 – 27 -36 + 10 = 1
Jadi : f(2) adalah minimum lokal
f(-1) adalah maksimum lokal dan maksimum mutlak
f(-4) adalah minimum mutlak
y
17
-4
-3 -2
-1
1 2 3
0
Gambar 6.8
137
x
Soal-soal
1. Tentukan nilai-nilai ekstrim dari fungsi berikut ini serta gambarkan grafiknya!
a) f(x) =
1 2
x  2x ; [2,5]
2
c) f(x) = 3x2  1 0x  7 ; [-1,3)
b) f(x) = 5  6x2  2x3 ; (-3,1]
d) f(x) = x 4  5x2  4 ; (-2,2)
2. Tentukan nilai-nilai kritis dari fungsi-fungsi berikut ini!
a) f(x) = 4x2  3x  2
c) f(x) = 2x3  x2  2 0x  4
b) f(x) = 2x + 5
d) f(x) = 4x3  5x2  4 2x  7
6.5 Kecekungan dan kecembungan
Jika terdapat sebuah persamaan lingkaran x2 + y2 = r2, maka persamaan tersebut dapat
ditulis menjadi
atau
y
y
-r
-r
0
r
r
x
x
(a)
(b)
Gambar 6.9
Jika kita perhatikan Gambar 6.7 (a) maka akan terlihat bahwa garis singgung yang
menyinggung kurva pada sembarang titik selalu berada pada bagian atas kurva pada
selang terbuka (–r,r). Sedangkan pada Gambar 6.7 (b) garis singgung yang
menyinggung kurva selalu berada bagian bawah kurva pada selang terbuka (–r,r).
Bentuk Gambar 6.7 (a) biasanya disebut cembung keatas atau cekung kebawah dan
Gambar 6.7 (b) biasanya disebut cembung kebawah atau cekung keatas.
Definisi 6.5.1
Kurva f dikatakan cembung ke bawah (cekung keatas) pada selang (a,b) jika garis
singgung yang menyinggung kurva pada sembarang titik pada selang (a,b) selalu
terletak pada bagian bawah kurva f. Sebaliknya kurva f dikatakan cembung keatas
(cekung kebawah) jika garis singgung yang menyinggung kurva pada sembarang titik
pada selang (a,b) selalu terletak pada bagian atas kurva f.
138
Kurva f pada Gambar 5.10 cembung keatas pada selang (a,b) dan cembung kebawah
pada selang (b,c).
y
cembung ke bawah
cembung keatas
0
a
b
c
x
Gambar 6.10
Definisi 6.5.2
Jika pada selang (a,b) terdapat sembarang bilangan ril xo dan harga turunan kedua f
pada x = xo
’’ o) < 0 maka kurva f pada selang tersebut cekung kebawah atau
cembung keatas. Jika pada selang (a,b)
’’ o) > 0, maka kurva f pada selang
tersebut cekung keatas atau cembung kebawah.
Definisi 6.5.3
Misal kurva f mempunyai persamaan y = f(x) dan kontinu di titik x = xo
’’ o) = 0
dan disekitar x = xo
’’ >
< o
’’
< 0 untuk x>xo atau berlaku
’’ <
< o
’’
>
> o, maka titik (xo,f(xo)) merupakan titik
belok dari kurva tersebut.
Contoh 6.8
Tentukan daerah cembung keatas dan cembung kebawah jika diketahui :
f(x) = 6 – 5x + x2.
Penyelesaian :
f(x) = 6 – 5x + x2 ’
’’
’’
>
o, maka kurva f cembung kebawah.
Contoh 6.9
Jika diketahui persamaan f(x) = 2+x+3x2-x3, tentukan daerah pada kurva f yang
merupakan daerah cembung kebawah, daerah cembung keatas dan titik belok dari
kurva yang dimaksud !
Penyelesaian :
f(x) = 2+x+3x2-x3
’
– 3x2
’’
– 6x
Daerah cembung keatas : ’’
– 6x < 0
x>1
Daerah cembung kebawah : ’’
– 6x > 0
x<1
Titik belok : ’’
– 6x = 0
x=1
139
Soal-soal
Tentukan daerah cembung kebawah, cembung keatas dan titik belok kurva dari
fungsi berikut jika ada!
6.6 Kecepatan dan percepatan sesaat
6.6.1 Kecepatan
Sebelum kita membahas kecepatan dan percepatan sesaat, kiranya kita perlu
mengetahui apa yang dimaksud dengan kecepatan dan percepatan rata-rata.
Kecepatan rata-rata
pada bidang datar didefinisikan sebagai,
dimana s2 dan s1 adalah masing-masing posisi akhir dan awal terhadap titik
acuan. Sedangkan t2 dan t1 adalah waktu yang dibutuhkan untuk mencapai
posisi akhir dan posisi awal. Untuk selisih waktu ( t) yang cukup besar, maka
persamaan 6.8 hanya dapat digunakan untuk menentukan kecepatan rata-rata
saja; tidak dapat digunakan untuk menghitung kecepatan untuk suatu saat
tertentu. Sebetulnya persamaan 6.8 dapat digunakan untuk menentukan
kecepatan untuk suatu saat tertentu, dengan catatan t sangat kecil atau dalam
bentuk rumus,
dimana v adalah kecepatan sesaat dan ds/dt adalah turunan pertama dari
lintasan. Lintasan (s) adalah fungsi waktu atau dapat ditulis dalam bentuk s =
s(t).
6.6.2 Percepatan
Percepatan rata-rata ( a ) pada bidang datar didefinisikan sebagai berikut.
dimana v2 dan v1 adalah masing-masing posisi akhir dan awal terhadap titik
acuan. Sedangkan t2 dan t1 adalah waktu yang dibutuhkan untuk mencapai
posisi akhir dan posisi awal. Untuk selisih waktu ( t) yang cukup besar, maka
persamaan 6.8 hanya dapat digunakan untuk menentukan percepatan rata-rata
saja; tidak dapat digunakan untuk menghitung percepatan untuk suatu saat
tertentu. Sebetulnya persamaan 6.10 dapat digunakan untuk menentukan
percepatan untuk suatu saat tertentu, dengan catatan t sangat kecil atau dalam
bentuk rumus,
140
dimana a adalah kecepatan sesaat dan dv/dt adalah turunan pertama dari
kecepatan.
Contoh 6.10
Lintasan sebuah partikel ditunjukkan oleh persamaan s = 3t2 – 5t + 2, dimana t
dalam detik dan s dalam satuan meter. Tentukan panjang lintasan, kecepatan
dan percepatan pada saat t = 15 detik.
Penyelesaian
Untuk t = 15 detik :
Didapat : s = 15(45 – 5) = 600 meter
v = 90 – 5 = 85 m/detik
a = 6 m/detik2
Soal
Berikut adalah lintasan partikel yang bergerak dengan percepatan konstan.
Tentukan panjang lintasan dan kecepatan partikel pada waktu t = 50 detik!
s (meter)
240
110
0
10
15
141
t (detik)
BAB VII
INTEGRAL TAK TENTU
7.1 Anti turunan dan integral tak tentu
Pada bab terdahulu kita telah membahas turunan dari suatu fungsi, yaitu jika dikatahui
f(x) maka proses differensiasi dari f(x) akan menghasilkan turunan f(x) dan ditulis
dengan f’(x). Pada bab ini kita akan membahas kebalikan dari proses differensiasi atau
lebih dikenal dengan proses integrasi . Jika pada proses differensiasi menghasilkan
turunan maka pada proses integrasi akan menghasilkan anti turunan. Misal diketahui
fungsi f maka proses integrasi adalah proses menentukan F(x) sedemikian rupa
sehingga F’(x) = f(x). F(x) dinamakan anti turunan dari f(x). Sebagai contoh F(x) = x 3
adalah anti turunan f(x) = 3x2, karena
F (x) =
dF(x) d(x )
=
= x = f(x)
dx
dx
Akan tetapi masih terdapat banyak anti turunan dari x3, seperti : x3 + 1, x3 + , x3 – e
dll. Jadi dapat disimpulkan bahwa setiap (x3 + bilangan konstan) merupakan anti
turunan ( disebut juga primitif ) dari 3x2. Jika bilangan konstan kita lambangkan
dengan C maka anti turunan dari 3x2 adalah x3 + C. Proses untuk menentukan anti
turunan dari f(x) disebut proses integrasi dan ditulis dalam bentuk,
f(x) dx = F(x)
( . )
Simbol “∫” disebut tanda integral dan persamaan 7.1 dibaca “integral tak tentu dari
f(x) terhadap x adalah F(x) ditambah bilangan konstan”. f(x) adalah integran, F(x) + C
adalah anti turunan dari f(x), C adalah konstanta integrasi, sedangkan faktor dx
menunjukkan bahwa peubah integrasi adalah x.
7.2 Rumus-rumus integral tak tentu
.
f (x) dx =
d
dx
.
df(x)
dx = f(x)
dx
f (x) dx = f(x)
.
kf(x) dx = k
.
f(x)
f(x) dx
g(x) dx =
k adalah bilangan konstan
f(x)dx
g(x)dx
V. Rumus-rumus teknis
Berikut diberikan rumus-rumus teknik integral yang bersifat standar dan dapat
dipakai langsung untuk menentukan anti turunan (primitif) dari suatu fungsi.
142
.
du = u
.
k u du =
.
.
.
u
k
u
n
n
du = ln u
k
du = e
n
ka
ka du =
n lna
ke
cosu
.
cscu du = ln cscu
.
sec u du = tanu
.
csc u du =
.
secu tanu du = secu
.
cscu cot du =
.
sinu du =
.
.
cosu du = sinu
.
.
tanu du =
.
.
cotu du = ln sinu
.
secu du = ln secu
ln cosu
a
a
u
x dx
.
.
x
dx
.
du = tan
a
u
a
x dx
.
Penyelesaian
.
x dx =
.
x
x
dx =
.
x dx =
.
tanx
dx =
secx
x
= x
dx =
x
x dx =
=
x
sinx
. cosx dx =
cosx
x
=
x
= x
sinx dx =
cosx
Contoh 7.2
Selesaikan
( x
cosx) dx
Penyelesaian
( x
cosx) dx =
= x
x dx
cosx dx =
sinx
143
cscu
du = sin
Contoh 7.1
Selesaikan
.
cotu
u
a
u
a
du = sec
a
u u
a
u
du = ln
a
u
a u
.
tanu
u
cotu
x
sinx
du = ln u
tanx
dx
secx
u
a
a
a
u
a
Contoh 7.3
(
)
Pen elesaian
(
)
=
=
= x
x
x
(
)
= x
x
x
7.3 Integrasi dengan substitusi
Rumus-rumus integral tak tentu yang telah dijelaskan pada pasal 7.2 hanya dapat
digunakan untuk mengevaluasi integral-integral dari fungsi yang sederhana saja.
Sehingga tidak dapat digunakan untuk mengevaluasi integral seperti ∫
dx atau
∫sin3x dx. Pada pasal ini kita akan menggunakan metode untuk mngubah variabel dari
integran agar menjadi bentuk standar. Dari rumus terdahulu telah diketahui bahwa,
d
d
h(x) dx =
h(x) dx
dx
dx
Jika h(x) adalah fungsi komposisi Fog maka h(x) = F(g(x)). Sehingga,
d
d
d
F(g(x)) dx =
F(g(x)) dx
= F(g(x))
F(g(x)) = F (g(x)). g (x)
dx
dx
dx
d
arena F = f maka
F(g(x)) = f(g(x)). g (x)
dx
d
Sehingga didapat
F(g(x)) dx = f(g(x)). g (x)
( )
dx
Jika u = g(x) du = g’(x)dx
(**)
Substitusi (*) ke (**) didapat,
d
F(g(x)) dx =
dx
f(u) du = F(u)
( . )
Contoh 7.4
Selesaikan
x dx
Penyelesaian
Misal u = 1–2x
du = –2 dx
x dx =
u du =
Contoh 7.5
Selesaikan
x
x
Penyelesaian
Misal u = x2 – 1
x
dx =
x
u
=
dx
du = 2x dx
du
= ln u
u
= ln(x
144
)
u
=
(
x)
Soal-soal
Selesaikan
.
x x
.
e
dx
.
cosx dx
.
x
x
dx
x
(tan x
) ln(tanx) dx
7.4 Integrasi bagian demi bagian (Integration by parts)
Dalam mengevaluasi integral sering kali kita menjumpai integran dalam bentuk
perkalian fungsi-fungsi. Salah satu teknik untuk mengevalusai integral tersebut adalah
dengan menggunakan teknik integrasi bagian demi bagian atau sering juga digunakan
istilah integral parsial. Pada saat kita mempelajari turunan, kita telah mengetahui
bahwa,
dh(x)
df(x) dg(x)
=
. h(x) g(x).
ika f(x) = g(x). h(x) maka
dx
dx
dx
dg(x)
dh(x)
df(x)
dx = h(x)
dx
g(x)
dx
ntegrasikan semua suku
dx
dx
dx
Misal u = g(x) dan v = h(x)
d(u )
du
d
aka
dx =
dx
u
dx
dx
dx
dx
u =
du
ud
ud =u
du
( . )
Persamaan 7.3 digunakan untuk menyelesaikan integral bagian demi bagian atau
integral parsial.
Dalam membuat permisalan u, biasanya kita tentukan prioritas-prioritas agar
penyelesaian menjadi lebih sederhana. Prioritas tersebut adalah sebagai berikut.
i) ln x
ii) xn n = bilangan bulat positif
iii) ekx
Contoh 7.6
Selesaikan
x e dx
Penyelesaian
Misal
u=x
v = ex
adi
x e dx =
= xe
du = dx
dv = ex
ud =u
∫ e dx = xe
du
∫ e = xe
Contoh 7.7
Selesaikan
(x
) ln( x) dx
Penyelesaian
145
e
= e (x
)
Misal
u = ln2x
adi (x
dv= (x-1)dx
du = dx
x
) ln( x) dx =
= x
x
ud =u
= (ln x)( x
x)
= (ln x)( x
x)
du
( x
x)( ) dx
x
) dx = ( x
∫( x
x) ln( x)
x
Contoh 7.8
Selesaikan
x sinx dx
Penyelesaian
Misal u = x2
du = 2x dx
x sinx dx =
dv = sinx dx
v = –cosx
=
Perhatikan
du = (x )( cosx)
ud =u
x cosx
( cosx)( x) dx
x cosx dx
( )
x cosx dx pada ( )
Misal u = 2x
du = 2 dx
dv = cosx dx
v= sin x
x cosx dx =
ud =u
du = x sinx
= 2x sinx + 2 cosx +C
Substitusi (**) ke (*) didapat
x sinx dx =
ud =u
du =
sinx dx
(**)
x cosx
x sinx
cosx
Contoh 7.9
Selesaikan
e cosx dx
Penyelesaian :
Misal u = ex
du = ex dx
e cosx dx =
Perhatikan
ud =u
du = e sinx
sinx e dx
= e sinx
e sinx dx
( )
e sinx dx pada ( )
Misal u = ex
du = ex dx
e sinx dx =
dv = cosx dx
v = sinx
dv = sinx dx
v = –cos x
ud =u
du =
=
e cosx
e cosx dx
e cosx
e cosx dx
Substitusi (**) ke (*) didapat,
146
( )
x
e cosx dx = e sinx
( e cosx
e cosx dx = e sinx
e cosx
e cosx dx = e sinx
e cosx dx)
e cosx dx
e cosx
e cosx dx = (e sinx
e cosx)
Soal-soal
Selesaikan integral berikut.
.
x ln(
. (
x) dx
. ( x
x) sin x dx
.
)e dx
e sin(
x)dx
7.5.Integrasi fungsi pecah
Fungsi pecah adalah fungsi rasional yang mempunyai bentuk P(x)/Q(x), dimana P(x)
dan Q(x) adalah polinomial dan Q(x)  0. Dalam bentuk rumus fungsi pecah dapat
ditulis dalam bentuk,
P(x)
f(x) =
(x)
(x)
Jika ∫f(x)dx tidak dapat diselesaikan dengan metode substitusi, maka gunakan metode
pecahan parsial. Langkah-langkah yang dapat digunakan adalah sebagai berikut:
1. Periksa derajad P(x) dan Q(x). Jika derajad P(x) lebih besar dari derajad Q(x) maka
cari hasil bagi P(x)/Q(x). Jika derajad P(x) lebih kecil dari Q(x) maka langsung ke
nomor 2.
2. Faktorkan Q(x)
a. Untuk faktor axn pecahan parsialnya ditulis dalam bentuk,
ax
ax
ax
b. Untuk faktor (ax+b)n pecahan parsialnya adalah,
ax
b
(ax
b)
(ax
b)
c. Untuk faktor (ax2+bx+c)n pecahan parsialnya adalah,
x
x
x
ax
bx c (ax
bx c)
(ax
bx c)
Koeffisien-koeffisien A1, A2, A3 … n dapat diganti dengan A, B, C dst.
Contoh 7.10
Selesaikan
x
x
x
x
x
dx
Penyelesaian
Karena derajad P(x) lebih kecil dari derajad Q(x) maka faktorkan Q(x).
x
x
x
x
=
x
x
x x(x
)(x
)
147
x
x(x
x
)(x
)
=
=
x
x
(x
)(x
x
x
=
=
( )
x
)
(x)(x
x(x
)(x
x
)(x
((x)(x
x
)
x(x
)x
(
x
x
(
)
)
x
)
x
)x
( )
x
Untuk menentukan nilai A, B, dan C, bandingkan pembilang pada (**) dengan
pembilang pada soal, sehingga didapat,
A+B+C = 1
–A+2B-3C = 5
–6A = –12
Tiga persamaan tersebut menghasilkan A = 2 ; B = 4/5 ; C = -9/5
Dengan memasukkan harga A, B dan C ke (*) maka didapat,
x
x
=
x(x
)(x
) x
(x
)
(x
)
x
x
dx
adi
dx =
x(x
)(x
)
x
(x
)
(x
)
=
x
dx
ln(x
= ln x
= ln
(x
x (x
)
)
)
dx
(x
)
dx
ln x
= ln
x (x
)
(x
x
)
Contoh 7.11
x
Selesaikan
x
x
x
x
dx
x
x
Penyelesaian
Karena derajad P(x) lebih tinggi dari derajad Q(x) maka lakukan pembagian.
x3 + 6x2 +5x – 12
x+1
x4 + 7x3 +12x12 – 10x –7
x4 + 6x3 + 5x2 – 12x
x3 + 7x2 + 2x – 7
x3 + 6x2 + 5x – 12
x2 – 3x + 5
adi
x
x
x
=
x
x
x
x
(x
) dx
dx =
(x
(x
)
dx
148
) dx
(x
x
x
)
x
x
dx
dx
x
(x
)
= x
x
ln x
ln x
ln x
Soal-soal
Selesaikan integral berikut
.
.
x
dx
x
( x
x
x
x
)
x
x
.
dx
x
.
x
x (
x
x
x
x
x )
x
dx
dx
7.6. Integrasi fungsi trigonometri
7.6.1 Integrasi fungsi sinu, cosu, tanu, cotu, secu dan cscu
sinu du =
cosu
( . )
Bukti
Pada pasal terdahulu telah di elaskan bah a
arena sinu =
d( cosu)
maka
du
sinu du =
df(u)
du = f(u)
du
d( cosu)
du = cosu
du
cosu du = sinu
Bukti
arena cosu =
tanu du =
Bukti
tanu du =
( . )
d(sinu)
maka
du
cosu du =
d(sinu)
du = sinu
du
ln cosu
( . )
sinu
du =
cosu
d( cosu)
=
cosu
ln cosu
cotu du = ln sinu
Bukti
cotu du =
( . )
cosu
du =
sinu
secu du = ln secu
d(sinu)
= ln sinu
sinu
tanu
( . )
149
Bukti
secu du =
cosu
cosu
du =
cos u
du =
cosu
du
sin u
cosu
du
(
sinu)(
sinu)
isal = sinu d = cosu du
d
secu du =
= ln
(
)(
)
=
= ln
sinu sin u
cos u
= ln
= ln sec u
= ln (secu
= ln (secu
cscu du = ln cscu
tanu secu
tan u
tanu)
tanu)
= ln secu
sinu
du =
sinu
sin u
sinu
du
=
(
cosu)(
cosu)
isal = cosu d = sinu du
d
cscu du =
= ln
(
)(
)
= ln
= ln csc u
= ln (cscu
= ln (cscu
(terbukti)
( . )
du =
= ln
tanu
cotu
Bukti
cscu du =
)
sinu sin u
sin u
= ln
= ln
(
(
sinu
du
cos u
= ln
= ln
(
(
)
cosu cos u
cos u
cosu cos u
sin u
cotu cscu
cot u
cotu)
cotu)
= ln cscu
cotu
(terbukti)
7.6.2 Integrasi fungsi sinmu dan cosmu
Langkah untuk menyelesaikan ∫sinmu du dan∫cosmu du adalah sebagai berikut.
150
1. Jika m adalah bilangan bulat positif ganjil yang lebih besar dari satu, maka
sin u ditulis dalam bentuk sin
u sinu. Sedangkan cos u ditulis dalam
bentuk cos
u cosu. Selanjutnya gunakan identitas trigonometri,
sin2 u + cos2 u = 1 dan metode substitusi.
2. Jika m adalah bilangan bulat positif genap yang lebih besar dari dua, maka
sin u ditulis dalam bentuk (sin u) . Sedangkan cos u ditulis dalam
bentuk(cos u) . Selanjutnya gunakan identitas trigonometri,
sin u =
cos u atau cos u =
cos u
Contoh 7.12
Selesaikan
sin x dx
Penyelesaian
sin x dx =
sin x sinx dx =
Misal u = cosx
adi
(
cos x) sinx dx
–du = sinx dx
sin x dx =
(
u )( du) =
= u
u
(u
= cos x
) du
cosx
Contoh 7.13
Selesaikan
cos x dx
Penyelesaian
cos x dx =
cos x cosx dx =
Misal u = sinx
du = cosx dx
adi
cos x dx =
(
(
sin x) cosx dx
u )(du) = u
u
= sinx
sin x
Contoh 7.14
Selesaikan
sin x dx
Penyelesaian
sin x dx =
=
(sin x) dx =
(
= x
(
cos x
sin x
cos x)dx =
sin x
Contoh 7.15
Selesaikan
cos x) dx =
cos x dx
Penyelesaian
151
(
(
cos x
cos x
cos
x)dx
cos x) dx
(cos x) dx =
cos x dx =
=
(
cos x
= x
cos x) dx =
(
cos x)dx =
sin x
(
(
cos x
cos x
cos
x)dx
cos x) dx
sin x
7.6.3 Integrasi fungsi trigonometri sinmu cosnu
Untuk menyelesaikan integral yang mengandung integran sinmu cosnu berikut
diberikan langkah-langkah penyelesaian.
1. Jika m adalah bilangan bulat ganjil  3, maka
a. sin x cos x ditulis dalam bentuk sin
x sinx cos x
b. anti sin
x dengan menggunakan identitas sin x =
cos x
c. Lakukan substitusi u = cosx
2. Jika n adalah bilangan bulat ganjil  3, maka
a. sin x cos x ditulis dalam bentuk sin
x sinx cos x cosx
b. anti cos x dengan menggunakan identitas cos x =
sin x
c. Lakukan substitusi u = sinx
3. Jika m dan n adalah bilangan genap  2, maka
a. sin x cos x ditulis dalam bentuk (sin x)
(cos x)
b. Gunakan identitas trigonometri,
sin x =
cos x atau cos x =
cos x
Contoh 7.16
Selesaikan
sin x cos x dx
Penyelesaian
sin x cos x dx =
sin x cos x sinx dx =
= ∫(cos x
Misal u = cosx
cos x
(
cos x) cos x sinx dx
cos x) sinx dx
–du = sinx dx
sin x cos x dx =
=
(u
u
u
u
u )du =
u
u
=
u
cos x
u
cos x
cos x
Contoh 7.17
Selesaikan
sin x cos x dx
Penyelesaian
sin x cos x dx =
(sin x) (cos x) dx =
152
(
cos x) (
cos x) dx
=
(
=
(
cos
cos
cos x
=
=
x) dx = (
cos x
x
x
cos
x) dx
cos x
cos x
cos x
sin x
sin x
Soal-soal
Selesaikan
.
sin x dx
.
cos x dx
.
sin x cos x dx
.
sin x cos x dx
7.6.4 Integrasi fungsi trigonometri tanmu secnu
Untuk menyelesaikan integral yang mengandung integran tan u sec u berikut
diberikan langkah-langkah penyelesaian.
1. Jika m adalah biilangan bulat ganjil 3, maka
a) tan x sec x ditulis dalam bentuk tan
x sec x secx tanx
b) unakan identitas trigonometri tan x = sec x
c) Lakukan substitusi u = secx
2. Jika n adalah bilangan bulat genap  2, maka :
a) tan x sec x ditulis dalam bentuk tan x sec x sec x
b) Gunakan identitas trigonometri sec2x = tan2x + 1
c) Lakukan substitusi u = tanx
d) Jika m adalah bilangan genap dan n adalah bilangan ganjil,
berkemungkinan metode yang digunakan adalah integral parsial.
Contoh 7.18
Selesaikan
tan x sec x dx
Penyelesaian
tan x sec x dx =
tan x sec x tanx secx dx =
Misal u = sec x
du = secx tanx dx
Sehingga
)u du =
(u
(u
(sec x
u ) du = u
= sec x
sec x
Soal-soal
Selesaikan
.
tan x sec x dx
.
tan x sec x dx
.
tan x sec x dx
.
tan x sec x dx
153
u
)sec x tanx secx dx
7.7. Integrasi fungsi trigonometri invers
sin du = u sin u
u
Bukti
isal
= sin u
d =
( .
)
du
u
dw = du
w=u
Gunakan rumus integral parsial ∫v dw=vw – ∫w dv
u
adi sin u du =
d = u sin u
du
u
= u sin u
u
(terbukti)
Contoh 7.19
Selesaikan
sin
Penyelesaian
isal u = x
x dx
du = dx
sin
x dx =
sin u du = x sin
cos
du = u cos
u
= cos
d =
u
x
u
Bukti
isal
x
( .
)
( .
)
du
u
dw = du
w=u
Gunakan rumus integral parsial ∫v dw=vw – ∫w dv
u
adi cos u du =
d = u cos u
du
u
= u cos u
u
(terbukti)
tan u du = u tan u
Bukti
isal
d
= tan u
= du
d =
=u
ln
u
du
u
unakan rumus integral parsial
d
=
154
d
tan u du =
d
= u tan u
cot
u du = u cot
ln
u
d
= cot
u
ln
=u
u du =
d
= u cot
= u cot
sec
u
u du = u sec
d
= sec
u
d =
= du
=u
u du =
d
= u sec
u
csc
u du = u csc
d
= sec
u
d =
= du
=u
d
u du =
d
= u csc
d
u u
u
ln u
(terbukti)
u
( .
du
u u
= u csc
u
=
u du
u
unakan rumus integral parsial
csc
)
u u
Bukti
isal
( .
(terbukti)
du
ln u
u
)
du
u
= u sec
u
( .
d
u
unakan rumus integral parsial
sec
=
u
u
ln u
Bukti
isal
d
ln
u
(terbukti)
u
unakan rumus integral parsial
cot
du
du
u
d =
= du
u
u
Bukti
isal
u
= u tan u
ln u
d
=
d
u du
u
u u
u
(terbukti)
155
)
7.8 Integrasi dengan substitusi trigonometri
7.8.1 Integrasi fungsi irrasional
Langkah awal untuk menyelesaikan integral fungsi irrasional adalah dengan
mengu8bah integran yang berbentuk irrasional menjadi rasional. Biasanya
untuk mencapai hal tersebut kita lakukan substitusi trigonometri. Pada pasal ini
akan dibahas beberapa fungsi irrasional.
dx
a
x
x
a
= sin
( .
)
Bukti
a
x
u
a
x
Dari gambar diatas didapat
x
x
sinu =
u = sin
a
a
a sinu = x a cos u du = dx
a cosu du
dx
=
=
adi
a cosu
a
x
a dx
x x
a
= sec
du = u
= sin
x
a
(terbukti)
x
a
( .
)
Bukti
x
x
a
u
a
Dari gambar diatas didapat
x
x
secu =
u = sec
a
a
a secu = x a secu tanu du = dx
a dx
a secu tanu du
adi
=
=
a secu tanu
x x
a
dx
x
a
= ln x
x
a
du = u
= sec
x
a
(terbukti)
( .
156
)
Bukti
x
a
x
u
a
Dari gambar diatas didapat,
x
x
tanu =
u = tan
a
a
a tanu = x a sec2u du = dx
a sec u du
= secu du = ln secu
a secu
x
a
x
= ln
a
a
dx
x
a
= ln x
x
a
= ln x
x
a
tanu
x
= ln
x
a
a
(terbukti)
( .
)
Bukti
x
x
a
u
a
Dari gambar diatas didapat
x
x
secu =
u = sec
a
a
a secu = x a secu tanu du = dx
dx
a secu tanu du
adi
=
=
a tanu
x
a
x
a
x
= ln x
x
a
a
x
a
x
a
a
= ln
x
a dx =
sin
a
a
Bukti
157
secu du = ln secu
= ln
x
x
a
tanu
a
(terbukti)
x
( .
)
a
x
u
a
x
Dari gambar diatas didapat
x
x
sinu =
u = sin
a
a
a sinu = x a cos u du = dx
adi
x
a dx =
=
=
=
a
x dx =
a
a cosu (a cos u du) =
(
a
cos u) du =
sin
a
(u
x
sinu cosu)
a
x x
a
x
a
(sin
a
a
ln x
x
a
a cos u du
sin u)
a
=
(sin
x
a
x a
x
a
a
(terbukti)
x
a
a
x
( .
)
Bukti
x
a
x
u
a
Dari gambar diatas didapat
x
x
tanu =
u = tan
a
a
a tanu = x a sec du = dx
a
x dx =
Misal v = sinu
a
=
dv = cosu du
x dx =
=a
a
a sec u du = a
a sec u du = a
d
(
ln(
=
)
)
a
(
d
)
158
cos u
du = a
du = a
cos u
d
(
)
ln(
)
cosu
du
cos u
cosu
du
cos u
d
d
(
(
)
)
=
=
=
x
a
ln
a
a
ln
=
(
sinu)
sin u
ln x
a dx =
x
a
ln
sinu
sin u
x
a
x
a
x
a
x
(
)
a
=
a
ln x
ln
(
sinu)
cos u
sinu
cos u
(terbukti)
x
a
( .
)
Bukti
x
x
a
u
a
Dari gambar diatas didapat
x
x
secu =
u = sec
a
a
a secu = x a secu tanu du = dx
adi
x
a dx =
(a tanu)(a secu tanu du) = a
=a
=
x
(sec u
x
a
tan u secu du
) secu du = a
a
ln x
x
(sec u
a
secu) du
(terbukti)
7.8.2 Integrasi fungsi yang mempunyai bentuk 1/(x2+a2)
dx
x
x
a
= tan
a
a
( .
Bukti
x
a
x
u
a
Dari gambar diatas didapat,
159
)
x
x
u = tan
a
a
a tanu = x a sec du = dx
dx
a sec u
=
du =
x
a
a sec u
tanu =
du = u
a
a
= tan
a
x
a
(terbukti)
Dari pembahasan yang telah diuraiankan diatas dapat disimpulkan bahwa :
a) Jika integran mengandung a
x maka substitusi x = a sinu
b) Jika integran mengandung a
x maka substitusi x = a tanu
c) Jika integran mengandung x
a maka substitusi x = a secu
d) Jika integran mengandung a2 + x2 maka substitusi x = a tanu
Soal-soal
.
x
dx
x
.
x
x
dx
.
x
.
x
x
dx
. .
Jika ax2+bx+c merupakan faktor terkecil dan d(ax2+bx+c)  (Ax+B)dx, maka
x
ax
bx
c
dx =
a
ln x
b
x
a
c
a
a a
a
c
a
b
b
a
tan
Bukti
ax
bx
x
=
Misal,
u=x
du = dx
bx
b
a
c
dx =
c
a
x
b
a
x=u
x
a
x
b
a
b
a
b
a
m=
n=
c
=a
a
c
a
x
x
ax
b
x
a
c=a x
b
a
160
c
a
b
dx
a
b
a
x
c
a
b
a
b
a
( .
)
x
(u
u
m)
u
du =
du
ax
bx c
a
n
a u
n
u
m
n
tan
= ln u
a
n
a n
Substitusi nilai u, m dan n, didapat,
dx =
x
ax
bx
dx =
c
Contoh 7.20
Selesaikan
a
ln x
x
x
b
x
a
c
a
a a
b
c
a
a
b
a
m
a
u
n
du
x
tan
c
a
b
a
b
a
dx
x
Penyelesaian
A = 1 ; B = -2 ; a = 1 ; b = 2 ; c = 5
x
dx = ln x
x
x
x
x
tan
7.8.4 Integrasi fungsi irrasional yang sejenis
Jika integran hanya memuat bentuk irrasional dari satu jenis fungsi, misalnya
f(x), maka kita dapat menggunakan substitusi u = f(x), dimana n adalah
kelipatan persekutuan terkecil dari pangkat-panglat akar.
Contoh 7.21
x
Selesaikan
x
Penyelesaian
u=
x=x
dx
u =x
u du = dx
x
Sehingga
x
dx =
u
u
( u du) =
u
=
u du
u du
=
u du
u du
= u
u
ln u
= x
x
ln x
161
u
u
u
du
(u
u
)(u
ln u
u
ln x
du
u
)
du
tan
x
tan
u
x
adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran.
7.8.5 Jika
Jika ax
bx c adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran, maka
kita dapat melakukan substitusi sebagai berikut,
b
c
b
b
ac
ax
bx c = a x
x
=a x
a
a
a
a
b
Substitusi ang digunakan adalah u = x
a
Contoh 7.22
dx
Selesaikan
Penyelesaian
dx
(x
Misal
(x
) x
x
dx
=
) x
x
(x
) (x
u = x – 3 → du = dx
dx
du
=
=
) x
x
u u
x
=
sec
(x
)
du
=
u u
sec
u
. .
x
x
ika
a
adalah satu
b
satun a bentuk irrasional pada integran maka kita
x
x
dapat melakukan substitusi u =
a
b
Contoh 7.23
Selesaikan
x
x
dx
(x
) =
Penyelesaian
isal u =
u =
x
x
u du =
dx =
(x
(u
x
x
)
(x
u
(x
)
)
)
u
dx =
(x
du
162
)
dx =
(u
)
dx
x
x
adi
dx =
u
(u
du
=
=
du
(u
u
ln u
(u
u
u
= ln
u
= ln
du
)
du
)
du
(u
u
ln u
)
(u
)
)
u
x
x
x
x
x
Soal-soal
Selesaikan
.
.
.
dx
. (x
dx
.
x x
x
x
x
x
x
dx
.
) x
(x
) x
x
x
163
x
dx
dx
dx
x
.
.
dx
x
x
x
dx
BAB VIII
INTEGRAL TENTU DAN PENERAPANNYA
8.1 Integral tentu
Sebelum membahas tentang integral tentu, terlebih dahulu kita akan membicarakan
luas bidang pada koordinat Kartesius. Menentukan luas bidang tsb. sesederhana
seperti kita menentukan luas bidang seperti lingkaran, persegi panjang, segitiga atau
bangun-bangun sederhana lainnya. Cara yang sederhana untuk menentukan luas
bidang yang dibatasi oleh kurva f(x), sumbu x, x=x1 dan x=x2 kita harus membagi
bidang tersebut menjadi beberapa bagian. Makin banyak pembagian bidang tersebut
akan semakin akurat pula hasilnya.
y
0
y
y=f(x)
a
(a)
b
x
0
Bidang yang terletak
dibawah grafik f
y=f(x)
a
b
x
(b)
Sejumlah persegi panjang
yang terletak dibawah grafik
f
Gambar 8.1
Pembagian bidang menjadi sejumlah n persegi panjang dapat berupa Gambar 8.1(a)
atau (b). Pada analisa berikut kita akan membagi bidang seperti Gambar 8.1(a). Misal
terdapat suatu bidang R yang terletak pada koordinat kartesius yang dibatasi oleh garis
x=a, garis x=b, sumbu x dan grafik f yang kontinu dan tak negatif pada selang tertutup
[a,b]. Jika luas bidang R adalah A, maka untuk menentukan luas A yang mendekati
harga sebenarnya adalah dengan jalan membagi bidang tersebut menjadi beberapa
persegi panjang yang mempunyai lebar yang sama (lihat Gambar 8.1(a)). Misal luas
seluruh persegi panjang pada Gambar 8.1(a) adalah Ai. Jika lebar setiap persegi
panjang sangat kecil, maka luas Ai  A.
Jika selang tertutup [a,b] dibagi menjadi n sub-selang dengan lebar x maka akan
didapat x = (b-a)/n. Selanjutnya dengan memilih batasan sub-selang : x0, x1, x2, x0, …
xn dengan x0 = a dan xn = b, maka

, , ,
,
seperti yang ditunjukkan pada Gambar 8.2 berikut.
164
y
y=f(x)
x
f(uk)
0
x0=a
x1
x2
xk-1 uk xk
xn=b
x
Gambar 8.2
Sehingga : x0=a ; x1=a+x ; x2=a+2x ; x3=a+3x
xk-1=a+(k-1)x ; xk=a+kx ; xn=a+nx
Luas persegi panjang adalah
Ai = f(u1) x + f(u2)  + … + f k) x + f(un) x
Ji
me gg
f
o si pe j ml h
“”, m

Persamaan 9.2 disebut jumlah Riemann dan f(uk) adalah harga minimum f pada
sub-selang tertutup [xk-1,xk]. Jika jumlah persegi panjang (n) sangat besar maka
x menjadi sangat kecil. Luas bidang (A) yang dibatasi oleh f(x), sumbu x, x 0 = a
dan xn = b sama dengan luas persegi panjang Ai bila x sangat kecil (atau n
sangat besar). Dalam bentuk rumus dapat ditulis,
lim

f

Definisi
Misal terdapat suatu fungsi f yang kontinu pada selang tertutup [a,b]. Integral
tentu fungsi f dari a ke b didefinisikan sebagai limit jumlah Riemann atau,
f
lim

f

Dari Gambar 8.2 dan persamaan 8.1 didapat

+ 
165
f
lim
f

+ 

8.2 Sifat-sifat integral tentu
Berdasarkan persamaan 8.5 maka dapat ditentukan sifat utama integral tentu yaitu,
f
F(x) adalah anti turunan f(x)
Sifat-sifat integral tentu lainnya
Ji
Ji
,
f
f
,m
Ji
f
f
l h il
g
il, m
4. Jika f terintegralkan pada [a,b] dan c adalah sembarang bilangan ril, maka cf
terintegralkan pada [a,b].
f
f
5. Jika f dan g terintegralkan pada [a,b] maka f+g dan f–g juga terintegralkan pada [a,b].
f
+g
f
f
g
f
+
g
g
6. Jika a<c<b dan f(x) terintegralkan pada [a,c] dan [c,b], maka f(x) ter-integralkan
pada [a,b].
f
f
+
f
7. Jika f terintegralkan pada [a,b] dan f  0 untuk setiap x yang terletak pada [a,b], maka
f

166
Contoh 8.1
Selesaikan
+
+
+
+
Penyelesaian
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
is l
Soal-soal
Selesaikan
e
l
e+
8.3 Luas Bidang
Secara umum bidang yang berada pada koordinat Kartesius dibatasi oleh y1= f(x), y2=
g(x), x1 = a dan x2 = b. Bidang tersebut ditunjukkan oleh bidang yang diarsir pada
Gambar 8.3. Luasnya adalah
f
g
167
y
f(x)
g(x)
0
x1=a
x2=b
x
Gambar 8.3
Bentuk khusus dari bidang pada Gambar 8.3 adalah bidang seperti yang terlihat pada
Gambar 8.4, yaitu bidang yang dibatasi oleh y1=f(x), y2 = 0, x1 =a dan x2 = b. Luasnya
adalah
f
y
f(x)
f(uk)
0
x1=a
x2=b
Gambar 8.4
Contoh 8.2
e
l
s i
g
g i
si oleh
Penyelesaian
168
,
,
x
y
x2
¼x2
0
f
x=1
x
x=3
g
Contoh 8.3
Tentukan luas bidang yang dibatasi oleh x2 +1, ¼x2+4, x=0 dan x=3.
Penyelesaian
y
x2 + 1
0
+
+
+
+
x
x=2 x=3
+
+
+
¼ x2 + 4
+
+
+
+
+
+
169
Soal-soal
Tentukan luas bidang yang dibatasi oleh :
3
1. y= x + 3 , y = x2, sumbu y dan x = 2
4
2. y = x+6, sumbu y, y= - x2+4, sumbu x dan x = 4
3. y = 1/x , y = x2 dan sumbu x
4. y = 1/x , y = x2, y = -x2 + 8, x = 1 dan x=5/2
8.4 Volume dan luas kulit benda putar
Jika suatu grafik fungsi diputar mengelilingi sumbu x, maka akan terbentuk suatu
benda putar yang mempunyai volume dan luas kulit tertentu. Grafik fungsi dapat juga
diputar mengelilingi sumbu y. Pada Gambar 8.5 diperlihatkan suatu fungsi f(x) yang
diputar mengelilingi sumbu x. Akibatnya akan terbentuk suatu benda putar seperti
Gambar 8.5 b.
y
y=f(x)
0
x=a
(a)
x=b
x
f(x)
y
x
0
xi
x
x1 =a
(b)
Gambar 8.5
xn=b
Volume benda putar dapat ditentukan dengan cara menganalisa elemen tipis yang
mempunyai ketebalan x.
170
Luas kulit elemen (A) = 2[f(xi)].x
s
li
e
p
f
lim


Berdasarkan persamaan 8.4 maka luas kulit benda putar dapat ditulis menjadi
f
Volume elemen (V) = [f(x)]2.x
ol me e
p
lim

f

Jadi volume benda putar adalah
 f
Jika f(x) diputar mengelilingi sumbu y, maka akan terbentuk bangun seperti Gambar
8.6 berikut.
y
y2=b
f(y)
y1= a
0
x
Gambar 8.6
Dengan cara yang sama seperti sebelumnya, maka luas kulit benda putar yang
diputar mengelilingi sumbu y adalah
f
Sedangkan volumenya adalah
 f
171
Contoh 8.4
Tentukan luas kulit dan volume benda putar jika y= 1 4 x3 diputar mengelilingi
a) sumbu x mulai dari x=1 sampai x=3
b) sumbu y mulai dari y=1 sampai y=2
Penyelesaian
Grafik y = ¼ x3
y
x
0
a) Perputaran mengelilingi sumbu x dari x=1 sampai x=3
y
x
0
x=1
x=3
s
f
li
ol me e

 f
p






172



b) Perputaran mengelilingi sumbu y dari y=1 sampai y=2
y
y=2
y=1
x
0
f
s
f
f
li



ol me

 f



,


,

Soal-soal :
1. Tentukan volume dari suatu daerah yang dibatasi oleh sumbu
dan x = 0 yang berputar pada :
a) Sumbu y
b) Garis y = 2
,y=2
2. Tentukan volume dari suatu daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan garis
y = 4 yang berputar pada :
a) Sumbu y
b) Sumbu x
c) garis x = 2
a) garis y = 4
173
BAB IX
MATRIKS DAN DETERMINAN
9.1 Matriks
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering membuat hubungan antar dua atau beberapa
besaran, seperti mata kuliah yang diikuti oleh mahasiswa pada suatu program studi tertentu
atau nilai hasil semester mahasiswa seperti yang ditunjukkan pada contoh berikut.
Matematika
Diskrit (M)
Teknik Informatika
40
Sistem Informasi
45
Teknik Komputer
42
Manaj. Informatika
37
Komp. Akuntasi
39
Struktur
Data (S)
42
35
31
40
26
Pemrograman
(P)
29
30
22
45
35
Basis Data
(B)
29
40
37
30
27
Dalam bentuk matriks tabel diatas dapat dibuat menjadi,
Dari bentuknya, matriks dapat didefinisikan sebagai susunan elemen-elemen sedemikian rupa
sehingga membentuk baris dan kolom. Elemen-elemen tersebut diletakkan diantara dua buah
kurung siku. Bentuk matriks dapat ditunjukkan sebagai berikut. Misal terdapat matriks A yang
terdiri dari m baris dan n kolom, maka bentuk matriks tersebut adalah,
Ukuran suatu matriks ditunjukkan oleh jumlah baris m dan kolom n. Pada matriks diatas
ukuran matriks A adalah m x n. Masing-masing elemen pada matriks disebut entri. Entri aij
adalah elemen matriks yang berada pada baris ke i dan kolom ke j. Umumnya suatu matriks
ditunjukkan dengan huruf kapital yang dicetak tebal. Selain cara penulisan diatas, matriks
dapat juga ditulis sebagai A = [aij]. Jika m sama dengan n , maka matriks disebut matriks bujur
sangkar dan entri-entri aij dengan i sama dengan j disebut diagonal matriks.
9.2 Matriks Bentuk Khusus
Jika kita identifikasi masing-masing entri dari suatu matriks, maka terdapat beberapa matriks
yang dapat dikategorikan sebagai matriks berbentuk khusus yaitu,
9.2.1 Vektor Kolom
Vektor kolom adalah matriks yang mempunyai m baris dan satu kolom. Berikut
adalah contoh matriks 4 x 1 (4 baris dan 1 kolom).
12
40
32
25
174
9.2.2 Vektor Baris
Vektor baris adalah matriks yang mempunyai satu baris dan n kolom. Contoh matriks 1
x 4 atau 1 baris dan 4 kolom adalah [ 4 2 5 1 ]
9.2.3 Matriks Persegi
Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama.
Berikut diberikan contoh matriks persegi yang berukuran 5 x 5 (5 baris dan 5 kolom).
9.2.4 Matriks Segitiga
Matriks segitiga dapat dikelompokkan menjadi dua bagian, yaitu matriks segitiga atas
dan segitiga bawah. Jika seluruh entri yang berada diatas diagonal matriks mempunyai
nilai 0 dan setidak-tidaknya ada satu entri yang berada dibawah diagonal ≠ 0, maka
matriks tersebut adalah matriks segitiga bawah atau untuk setiap i<j, aij = 0.
Sedangkan matriks yang mempunyai entri dibawah diagonal = 0 dan setidak-tidaknya
ada satu entri yang berada diatas diagonal ≠ 0, maka matriks tersebut adalah matriks
segitiga atas atau untuk setiap i> j, aij = 0
9.2.5 Matriks Diagonal
Jika seluruh entri diatas dan dibawah diagonal sama dengan 0 dan setidak-tidaknya ada
satu entri pada diagonal ≠ 0, maka matriks tersebut adalah matriks diagonal atau untuk
setiap i ≠ j, aij=0.
9.2.6 Matriks Skalar
Matriks skalar adalah matriks yang mempunyai nilai entri yang sama pada diagonal. Jika
matriks diagonal adalah matriks D, maka d11 = d22 = d.. ..= dnn
9.2.7 Matriks Identitas
Matriks identitas adalah matriks yang mempunyai entri-entri baik diatas maupun
dibawah diagonal sama dengan nol dan entri pada diagonal sama dengan 1.
9.2.8 Matriks 0
Matriks 0 adalah matriks yang seluruh entrinya sama dengan 0.
175
9.2.9 Matriks Transpose
Matriks transpose adalah matriks yang didapat dengan cara menukar posisi setiap entri
dari baris menjadi kolom dan dari kolom menjadi baris. Jika terdapat matriks A = [aij],
maka transpose dari A (ditulis AT) adalah AT = [aji].
Contoh 9.1
Jika A =
, maka AT =
9.2.10 Matriks Simetri dan Skew-Simetri
Jika sebuah matriks sama dengan transposenya (A = AT) maka matriks tersebut adalah
matriks simetri.
Contoh 9.2
Jika A =
, maka AT =
Karena A = AT, maka A adalah matriks simetri. Sedangkan matriks skew- simetri adalah
matriks yang memenuhi –A = AT.
Contoh 9.3
Misal A =
, maka AT =
, –A =
Karena –A = AT, maka A adalah matriks skew-simetri.
9.3 Operasi Aritmatika pada Matriks
Operasi aritmatika pada matriks terdiri dari penjumlahan, perkalian skalar dengan matriks,
perkalian matriks dengan matriks serta kombinasi linier beberapa matriks.
9.3.1 Penjumlahan
Misal terdapat matriks A = [aij] dan B = [bij] yang masing-masing berukuran m x n.
Jumlah A dan B, ditulis A+B, adalah C = [cij], dengan [cij] = [aij] + [bij]. Perlu diingat,
bahwa dua buah matriks hanya dapat dijumlahkan jika mempunyai orde yang sama.
Contoh 9.4
Misal A =
B=
Maka A + B = C =
9.3.2 Perkalian Skalar dengan Matriks
Jika terdapat sebuah skalar c dan matriks A = [aij], maka perkalian antara skalar c
dengan matriks A adalah cA = [c.aij], atau dapat ditulis dalam bentuk:
cA = c
=
176
Contoh 9.5
Jika A =
maka 3A =
=
9.3.3 Perkalian Matriks dengan Matriks
Perkalian dua buah matriks hanya dapat dilakukan jika jumlah kolom matriks pertama
dan jumlah baris matriks kedua sama. Misal matriks A = [aij] berukuran m x n dan
matriks B = [bij] berukuran n x p, maka perkalian antara matriks A matriks B, ditulis AB,
adalah sebuah matriks C = [cij] yang berukuran m x p. Nilai dari cij adalah,
Contoh 9.6
Diketahui :
A=
B=
Jika terdapart matriks C = A.B, maka
C=
C=
9.3.4 Kombinasi linier matriks
Jika A1 , A2,
, Ap adalah matriks yang mempunyai ukuran yang sama dan k1, k2
adalah skalar, maka k1A1 + k2A2 + + kpAp disebut kombinasi linier dari A1 , A2,
Contoh 9.7
Jika ,
A1 =
A2 =
A3 =
tentukan A1 + 3A2 – 2A3
Penyelesaian
A1 + 3A2 – 2A3 =
+3
–2
177
,
, kp
, Ap
9.3.5 Sifat-sifat Operasi Matriks
Jika a dan b adalah skalar dan A, B, dan C adalah matriks, maka berlaku:
i) A + B = B + A
hukum komutatif penjumlahan
ii) A + (B + C) = (A + B) + C
hukum asosiatif penjumlahan
iii) A(BC) = (AB)C
hukum asosiatif perkalian
iv) A(B ± C) = AB ± AC
hukum distributif kiri
v) (B ± C)A = BA ± CA
huklum distributif kanan
vi) a(B ± C) = aB ± aC
vii) (a ± b)C = aC ± bC
viii) (ab)C = a(bC)
ix) a(BC) = (aB)C = B(aC)
x) (AT)T = A
xi) (A + B)T = AT ± BT
xii) (cA)T =cAT
xiii) (AB)T = BT AT
9.4 Matriks yang Diperluas (Augmented matrix)
Matriks yang diperluas adalah matriks yang berhubungan dengan penyajian sebuah sistem
persamaan linier. Misal terdapat sistem persamaan linier,
Dari sistem persamaan linier tersebut, dapat disajikan matriks koeffisien,
9.5 Matriks dalam bentuk Eselon Baris
Suatu matriks dikatakan mempunyai bentuk eselon baris jika memenuhi:
i) Setiap baris yang keseluruhan elemennya nol diletakkan pada bagian bawah matriks
ii) Elemen pertama dari setiap baris yang bukan nol (disebut leading coefficient atau pivot )
harus terletak disebelah kanan leading coefficient pada baris sebelumnya.
Contoh 9.8
Matriks dalam bentuk eselon baris
Contoh 9.9
Matriks berikut tidak/belum dalam bentuk eselon baris
Matriks segitiga atas adalah matriks yang termasuk yang mempunyai bentuk eselon baris.
178
9.6 Matriks dalam bentuk Eselon Baris Tereduksi
Suatu matriks dikatakan mempunyai bentuk eselon baris tereduksi jika:
i) Matriks tersebut sudah dalam bentuk eselon baris
ii) Elemen leading coefficient harus mempunyai nilai 1 (selanjutnya disebut leading 1) dan
satu-satunya elemen matriks yang bukan 0 pada kolom yang bersangkutan.
Perlu diketahui bahwa matriks satuan adalah bentuk khusus dari matriks eselon baris
tereduksi
Contoh 9.10
Matriks dalam bentuk eselon tereduksi
Suatu matriks yang belum dalam bentuk eselon baris dapat ditransformasikan kedalam
bentuk matriks eselon tereduksi dengan cara melakukan operasi baris elementer terhadap
matriks tersebut.
9.7 Operasi Baris Elementer
Operasi yang dapat dilakukan terhadap baris dan kolom suatu matriks adalah:
i) Perkalian sembarang baris dengan skalar
ii) Penukaran posisi suatu baris dengan baris tertentu
iii) Penjumlahan antara a) dan b).
Ketiga operasi diatas disebut Operasi Baris Elementer (OBE)
Contoh penggunaan notasi yang digunakan pada operasi baris dan kolom:
i) R3  2R3 artinya baris ketiga matriks diganti dengan 2 kali baris ke tiga
ii) R1  R2 artinya baris pertama dan kedua saling dipertukarkan.
iii) R2  R2 + 3R3 artinya baris kedua diganti dengan baris kedua ditambah dengan tiga kali
baris ketiga
Contoh 9.11
Lakukan OBE terhadap matriks berikut, sehingga menjadi matriks eselon baris tereduksi.
Penyelesian
Elemen pivot
A=
2
1
-1
5
3
4
4
7
5
Elemen dieliminasi
Langkah pertama
Ubah elemen pivot menjadi 1 dengan cara mengalikan baris pertama dengan 1/2.
179
9.8 Determinan
Determinan adalah besaran atau nilai yang berhubungan dengan matriks persegi. Jika
determinan suatu matriks persegi tidak sama dengan nol maka matriks persegi tersebut
mempunyai balikan (inverse). Sebaliknya, jika determinan suatu matriks persegi tidak sama
dengan nol, maka matriks tersebut tidak mempunyai balikan.
, maka determinan matriks A adalah
Contoh 9.12
Penyelesaian
9.8.1 Sifat-sifat determinan
i) Setiap matriks dan transposenya mempunyai determinan yang sama atau
det A = det AT
ii) Jika terdapat matriks A dan matriks B, maka berlaku det(AB)=det (A) det (B)
iii) Determinan dari matriks segitiga adalah perkalian dari diagonalnya
iv) Jika matriks B adalah matriks yang didapat dari mempertukarkan dua buah baris
matriks A, maka determinan matriks B berlawanan dengan determinan matriks A
v) Jika matriks A =
180
a)
b)
vi) Jika seluruh elemen dari salah satu baris suatu matriks sama dengan nol, maka
determinan matriks tersebut sama dengan nol.
9.8.2 Kofaktor
Misal A = [aij] adalah matriks nxn, dan misalkan M adalah matriks (n-1)x(n-1) yang
diperoleh dari A dengan menghapus baris ke i dan kolomn ke j pada matriks A.
Determinan dari M disebut minor dari aij (selanjutnya ditulis Mij). Sedangkan cij adalah
kofaktor aij dan didefinisikan sebagai,
Contoh 9.9
Diketahui
Tentukan minor dan kofaktor dari a11dan a13
Penyelesaian
9.8.3 Determinan dari matriks n x n
Secara umum untuk menghitung determinan dari matriks orde n x n adalah sebagai
berikut.
Jika A adalah matriks persegi n x n, maka determinan dari matriks A adalah
atau
Contoh 9.10
Penyelesaian
Karena A adalah matriks 3 x 3, maka nilai i diambil antara 1, 2, atau 3. Kita tentukan i=1
Dari rumus 9.4a didapat, det A =
181
det A =(–4)(2)+(1)(9)+(5)(–6) = –8 + 9 – 30 = –29
Kerjakan ulang contoh 9.10 dengan menggunakan rumus 9.4b dengan nilai j = 2.
Selain menggunakan rumus 9.4, menentukan determinan matriks orde 3 dapat juga
menggunakan cara Sarrus.
–( ) –( ) –( )
Maka det A =
a11
a12
a13
a11
a12
a21
a22
a23
a21
a22
a31
a32
a33
a31
a32
+( ) +( ) +( )
A =a11a22a33 + a12a23a34 + a13a21a32 – a31a22a13 – a32a23a11– a33a21a12
9.9 Adjoin Matriks

Contoh 9.11
, tentukan adjoin A
Penyelesaian
182
9.10 Balikan Matriks (Inverse of a Matrix)
Jika matriks A = [aij] adalah matriks persegi n x n, maka balikan (inverse) dari A
dilambangkan dengan
merupakan matriks n x n sedemikian, sehingga memenuhi,
Salah satu cara untuk menentukan balikan matriks adalah dengan mencari adjoin dan
determinan dari matriks yang dicari balikannya terlebih dahulu. Setelah itu gunakan
Contoh 9.12
, tentukan
Penyelesaian
9.10.2 Balikan matriks dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan
Untuk menentukan balikan matriks A dengan eliminasi Gauss-Jordan berarti kita harus
melakukan eliminasi matriks A menjadi bentuk eselon baris tereduksi.
183
Misal A adalah matriks non-singular n x n.
AB = I jika dan hanya jika B =
Bukti
AB = I 


atau
 AB  I
Berarti, jika kita berhasil mengeliminasi
menjadi
bahwa X =
Contoh 9.13
Dari contoh 9.12, tentukan
Penyelesaian
, maka kita dapat memastikan
dengan metode eliminasi Gauss-Jordan
R2 –2/3 R1
R3 –R1
R3 –6/7 R2
R1 + 2/3R2
R2 +4/7R3
R1–9/7R3
Soal-soal
1. Diketahui matriks-matriks :
a) Tentukan:
i) A + B
ii) A – B
iii) 3(A – B)
iv) 2A + 3B – 2C
v) CT – B
vi) A + BT
184
b) Lakukan operasi baris berikut ini pada matriks A (soal nomor 1)


2. Jika matriks-matriks,
Tentukan
a) K x LT
b) L x KT
4. Dari matriks-matriks berikut, tentukan matriks-matriks yang mempunyai bentuk eselon
baris yang tereduksi! Berikan alasan!
5. Ubah matriks
, sehingga menjadi bentuk eselon baris yang tereduksi!
185
BAB X
SISTEM PERSAMAAN LINIER
10.1 Definisi
Sebelum membahas sistem persamaan linier, perlu dijelaskan kembali bahwa yang
dimaksud persamaan linier adalah persamaan aljabar yang terdiri dari satu atau lebih
peubah. Sebagai contoh persamaan ax + by + cz + dw = h adalah persamaan linier yang
terdiri dari empat peubah, yaitu x, y, z, dan w. Sedangkan a, b, c, dan d adalah koefisienkoefisien. Jika nilai h pada persamaan tersebut sama dengan nol, maka persamaan linier
tersebut dikatakan persamaan linier homogen. Apabila nilai h tidak sama dengan nol, maka
dikatakan persamaan linier tak homogen.
Jika persamaan linier adalah persamaan seperti tersebut diatas, maka sistem persamaan
linier terdiri dari beberapa persamaan linier seperti yang ditunjukkan berikut ini.
b
b
b
Jika seluruh nilai b1, b2, … , bm sama dengan nol, maka persamaan 10.1 disebut sistem
persamaan linier homogen. Akan tetapi, jika setidak-tidaknya ada salah satu dari nilai b1,
b2, … , bm tidak sama dengan nol, maka persamaan 10.1 disebut sistem persamaan linier tak
homogen.
Persamaan 10.1 dapat ditulis dalam bentuk matriks berikut.
b
b
(10.2)
b
Contoh 10.1
Berikut diberikan beberapa contoh sistem persamaan linier
b
Contoh 10.2
Tulis contoh 10.1 dalam bentuk matriks
Penyelesaian
b
10.2 Penyelesaian Sistem Persaman Linier
10.2.1 Penyelesaian dengan Balikan Matriks
Persamaan 10.2 adalah sistem persmaan linier yang ditulis dalam bentuk matriks.
Jika dimisalkan,
186
b
b
, maka Ax = b
b
Sehingga,
Persamaan 10.3 digunakan untuk penyelesaian sistem persamaan linier dengan
cara menentukan balikan matriks A terlebih dahulu.
Contoh 10.3
Selesaikan sistem persamaan linier berikut!
Penyelesaian
10.2.2 Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss
Selain dengan cara balikan matriks, kita juga dapat menyelesaikan sistem
persamaan linier dengan cara eliminasi Gauss. Untuk tujuan tersebut persamaan
10.1 ditulis dalam bentuk matriks yang diperluas (augmented matrix).
b
b
b
Untuk melakukan eliminasi Gauss, kita harus mereduksi matriks A menjadi bentuk
eselon baris atau matriks segitiga atas.
Langkah-langkah untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dengan eliminasi
Gauss:
1. Jika a11 ≠ 0, maka a11 merupakan elemen pivot. Jika a11 = 0, lakukan pertukaran
baris.
2. Eliminasi a21 dengan menggunakan rumus R2 – (a21/a11)R1
a31 dengan menggunakan rumus R3 – (a31/a11)R1
am1 dengan menggunakan rumus Rm – (am1/a(m-1)1)R(m-1)
3. Eliminasi a32 dengan menggunakan rumus R3 – (a32/a22)R2
a42 dengan menggunakan rumus R4 – (a42/a22)R2
am2 dengan menggunakan rumus Rm – (am2/a22)R2
187
4. dst. sampai baris m dan kolom ke (n–1)
Contoh 10.3
Selesaikan sistem persamaam linier berikut!
Penyelesaian:
R2 – ½ R1
R3 – 3R1
R3 – (–16/3)R2
11/3 x3 = –64/3
x3 = –64/11
Untuk menentukan nilai x1 dan x2 lakukan substitusi balik!
3/2 x2 +1/2x3 = –5/2
3/2 x2 = 32/11 – 5/2
x1 + 3/2x2 + 1/2x3 = 5/2
x2 = 3/11
x1 = – 9/22 +32/11+ 55/22
x1 = 110/22 = 5
10.2.3 Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss-Jordan
Cara lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linier adalah dengan metode
eliminasi Gauss-Jordan. Sistem persamaan linier dapat ditulis dalam bentuk [A|b].
Selanjutnya lakukan transformasi sehingga matriks A menjadi matriks eselon baris
yang tereduksi atau matriks identitas [I].
Langkah-langkah untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dengan eliminasi
Gauss-Jordan:
1. Jika a11 ≠ 0, maka a11 merupakan elemen pivot. Jika a11 = 0, lakukan pertukaran
baris.
2. Jika a11 ≠ 1, bagi elemen a11 dengan a11, sehingga a11=1
3. Eliminasi a21 dengan menggunakan rumus R2 – a21 R1
a31 dengan menggunakan rumus R3 – a31 R1
am1 dengan menggunakan rumus Rm – am1Rm–1
4. Jika setelah langkah 3, a22 ≠ 0, maka a22 merupakan elemen pivot. Jika a22 = 0,
lakukan pertukaran baris.
5. Jika a22 ≠ 1, bagi elemen a22 dengan a22, sehingga a22=1
6. Eliminasi a12 dengan menggunakan rumus R1 – a12 R2
a32 dengan menggunakan rumus R3 – a32 R2
am2 dengan menggunakan rumus Rm – am2 R2
7. dst. sampai seluruh elemen di luar diagonal terleliminasi, sehingga matriks A
berhasil ditransformasikan menjadi matriks identitas.
188
Contoh 10.4
Selesaikan sistem persamaam linier berikut!
Penyelesaian:
,
,
10.2.4 Penyelesaian dengan Aturan Cramer
Selain metode penyelesaian yang telah dijelaskan terdahulu, sistem persamaan
linier dapat juga diselesaikan dengan menggunakan Aturan Cramer.
Telah dijelaskan terdahulu bahwa sistem persamaan linier dapat ditulis dalam
bentuk matriks berikut.
b
b
b
Aturan Cramer
xn = Nilai variabel yang akan dicari
,
b
189
Dari persamaan (10.4) secara tersirat diketahui bahwa Aturan Cramer hanya dapat
Artinya, jumlah persamaan dalam sistem persamaan linier
digunakan jika
harus sama dengan jumlah variabel.
Contoh 10.5
Selesaikan sistem persamaam linier berikut dengan menggunakan Aturan Cramer!
Penyelesaian
10.3 Soal-soal
Diketahui sistem persamaan linier
Tentukan nilai x, y, dan z dengan menggunakan metode:
a. Balikan matriks
b. Gauss
c. Gauss-Jordan
d. Cramer
10.4 Ringkasan
b
b
b
190
Jika seluruh nilai b1, b2, … , bm = 0 maka sistem persamaan linier disebut homogen.
Jika setidak-tidaknya ada salah satu dari nilai b1, b2, … , bm 0 sitem persamaan linier
disebut tak homogen.
Sistem persamaa linier dapat ditulis dalam bentuk matriks.
b
b
b
b
b
Jika
b
Maka Ax = b
Penyelesaian dengan Balikan Matriks
Persamaan 10.2 adalah sistem persmaan linier yang ditulis dalam bentuk matriks. Jika
dimisalkan,
b
b
b
b
b
b
Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss
Selain dengan cara balikan matriks, kita juga dapat menyelesaikan sistem persamaan linier
dengan cara eliminasi Gauss. Untuk tujuan tersebut persamaan 10.1 ditulis dalam bentuk
matriks yang diperluas (augmented matrix).
b
b
b
C adalah matriks segitiga atas.
191