Matriks - Universitas Brawijaya

MATRIKS
PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS BRAWIJAYA 2010
DAFTAR SLIDE
Operasi Matriks
Jenis-Jenis Matriks
Determinan Matriks
Inverse Matriks
2
DEFINISI MATRIKS
Apakah yang dimaksud dengan Matriks ?
kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur
dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi
panjang, serta termuat diantara sepasang tanda
kurung.
3
NOTASI MATRIKS
 Nama matriks menggunakan huruf besar
 Anggota-anggota matriks dapat berupa huruf kecil
maupun angka
 Digunakan kurung biasa atau kurung siku
 1 3 2

A  
 5 7 6
a b
H   d e
 g h
c
f 
i 
 Ordo matriks atau ukuran matriks merupakan
banyaknya baris (garis horizontal) dan banyaknya
kolom (garis vertikal) yang terdapat dalam matriks
tersebut.
4
NOTASI MATRIKS
 Jadi, suatu matriks yang mempunyai m baris dan n
kolom disebut matriks berordo atau berukuran m x n.
Notasi A = (aij)
 Memudahkan menunjuk anggota suatu matriks
 a11

 a21
A =a
 31
 ...
a
 m1
5
a12
a13
...
a22
a23
...
a32
a33
...
...
...
...
am 2
am 3 ...
a1n 

a2 n 
a3n 

... 
amn 
Dengan
i = 1,2,...,m
j = 1,2,...,n
MATRIKS
 Contoh : Matriks A merupakan matriks berordo 4x2
1 4 
3 1 

A
2 1 


6  1
 Bilangan-bilangan yang terdapat dalam sebuah matriks
dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga
elemen atau unsur.
6
NOTASI MATRIKS
 a11
a
21

A
 

am1
a12
a22

am 2
Kolom
Baris
 a1n 

 a2 n 

 

 amn 
Unsur Matriks
Matriks berukuran m x n
atau berorde m x n
7
7
MATRIKS BARIS DAN KOLOM
 Matriks baris adalah matriks yang hanya mempunyai satu
baris
C  1 2 1 4
 Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu
kolom.
1
E  3
4
8
MATRIKS A = B
 Dua buah matriks A dan B dikatakan sama (A = B) apabila A
dan B mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama (berordo
sama) dan semua unsur yang terkandung di dalamnya sama.
 aij = bij dimana
- aij = elemen matriks A dari baris i dan kolom j
- bij = elemen matriks B dari baris i dan kolom j
 A=B
 2 4
A

0 1 
dan
 2 4 2
A

0 1 5 
dan
 2 4
B

0 1 
 A≠B
9
1 4
B

3 1
PENJUMLAHAN MATRIKS
 Apabila A dan B merupakan dua matriks yang ukurannya
sama, maka hasil penjumlahan (A + B) adalah matriks yang
diperoleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang
seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut.
 Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat
ditambahkan.
 a11
A  a 21
a31
a12
a 22
a32
a13 
a 23 
a33 
 a11  b11
A  B  a 21  b21
 a31  b31
10
dan
a12  b12
a 22  b22
a32  b32
b11 b12
B  b21 b22
b31 b32
a13  b13 
a 23  b23 
a33  b33 
b13 
b23 
b33 
PENJUMLAHAN MATRIKS
 Contoh Soal
4 2
A   1 3 
 2  2
3  4
B  2 1 
1  2
24 
 43
A  B   1  2 3  1 
 2  1  2  2
7  2 
A  B  1 4 
3  4
11
PENGURANGAN MATRIKS
 A dan B adalah suatu dua matriks yang ukurannya sama,
maka A-B adalah matriks yang diperoleh dengan
mengurangkan bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian
dalam kedua matriks tersebut.
 Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat
dikurangkan.
 a11
A  a 21
a31
a12
a 22
a32
 a11  b11
A  B  a 21  b21
 a31  b31
12
a13 
a 23 
a33 
a12  b12
a 22  b22
a32  b32
dan
b11 b12
B  b21 b22
b31 b32
a13  b13 
a 23  b23 
a33  b33 
b13 
b23 
b33 
PENGURANGAN MATRIKS
 Contoh :
1 0  1
A  2 2  3
3 4 0 
 1 1 1
B   1 2 4
 3 4 2
1  1 0  1  1  1 
A  B   2  1 2  2  3  4
3  3 4  4 0  2 
0  1  2 
A  B  3 0  7
0 0  2
13
PERKALIAN MATRIKS
DENGAN SKALAR
Jika k adalah suatu bilangan skalar dan matriks A=(aij ) maka
matriks kA=(kaij ) adalah suatu matriks yang diperoleh dengan
mengalikan semua elemen matriks A dengan k.
Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan
atau dibelakang matriks.
[C]=k[A]=[A]k
3 8
A

5
1


14
4 * 3 4 * 8
4A  

4
*
5
4
*
1


12 32
4A  

20
4


PERKALIAN MATRIKS
DENGAN SKALAR
Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar :
k(B+C)
= kB + kC
k(B-C)
= kB-kC
(k1+k2)C
= k1C + k2C
(k1-k2)C
= k1C – k2C
(k1.k2)C
= k1(k2C)
15
PERKALIAN MATRIKS
DENGAN SKALAR
Contoh :
0 1 
A

2  1
3 4
B

1 1
dengan k = 2, maka
K(A+B) = 2(A+B) = 2A+2B
0 1  3 4
3 5 6 10
2( A  B)  2 * ( 

)

2
*
 1 1
3 0  6 0 
2

1

 


 

TERBUKTI
0 1 
3 4 0 2  6 8 6 10
2 A  2B  2 * 
 2*








2

1
1
1
4

2
2
2
6
0



 
 
 

16
PERKALIAN MATRIKS
DENGAN SKALAR
Contoh :
1 1 
C

2  1
dengan k1 = 2 dan k2 = 3, maka
TERBUKTI
(k1+k2)C = k1.C + k2.C
1 1 
1 1   5 5 
(k1  k 2 ) * C  (2  3) * 

5
*

2  1  10  5
2

1



 

1 1 
1 1  2 2  3 3   5 5 
(k1 * C  k 2 * C )  (2) * 

(
3
)
*

2  1  4  2  6  3  10  5
2

1



 
 
 

17
PERKALIAN MATRIKS
 Perkalian matriks dengan matriks pada umumnya tidak
bersifat komutatif.
 Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama
matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua.
 Jika matriks A berukuran mxn dan matriks B berukuran nxp
maka hasil dari perkalian A*B adalah suatu matriks C=(cij )
berukuran mxp dimana
18
PERKALIAN MATRIKS
 Contoh :
A  3 2 1
3
B  1 
0 
3
A * B  3 2 1* 1  (3 * 3)  (2 *1)  (1 * 0)  11
0
3
3 * 3 3 * 2 3 *1 9 6 3
B * A  1 * 3 2 1  1 * 3 1 * 2 1 *1  3 2 1
0
0 * 3 0 * 2 0 *1 0 0 0
19
PERKALIAN MATRIKS
 Apabila A merupakan suatu matriks persegi, maka A² = A.A ;
A³=A².A dan seterusnya
 Apabila AB = BC maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=C
(tidak berlaku sifat penghapusan)
 Apabila AB = AC belum tentu B = C
 Apabila AB = 0 maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=0 atau
B=0
 Terdapat beberapa hukum perkalian matriks :
1. A(BC) = (AB)C
2. A(B+C) = AB+AC
3. (B+C)A = BA+CA
4. A(B-C)=AB-AC
5. (B-C)A = BA-CA
6. A(BC) = (aB)C= B(aC)
7. AI = IA = A
20
PERPANGKATAN MATRIKS
Sifat perpangkatan pada matriks sama seperti sifat perpangkatan
pada bilangan-bilangan untuk setiap a bilangan riil, dimana
berlaku :
A2 = A A
A 3 = A2 A
A 4 = A3 A
A5 = A4 A; dan seterusnya
21
PERPANGKATAN MATRIKS
Tentukan hasil A² dan A³
 1 1
A

 2 0
 1 1  1 1  3  1
A 2  AxA  
  2 0    2 2 
2
0


 

 1 1  3  1  5 3 
A3  AxA2  
   2 2    6  2
2
0


 

22
PERPANGKATAN MATRIKS
Tentukan hasil 2A² + 3A³
 1 1
A

 2 0
 3  1  6  2
2 A2  2  
   4 4 

2
2

 

  5 3  15 9
3 A3  3  
    6 6

2
2

 

 6  2  15 9   9 7 
2 A 2  3 A3  
    6 6   10 10

4
4

 
 

23
JENIS –JENIS MATRIKS
 Matriks bujursangkar
berukuran n x n
(persegi)
adalah
matriks
yang
1 4
A

3 1
 Matriks nol adalah matriks yang setiap entri atau elemennya
adalah bilangan nol
O3x 2
0 0 
 0 0
0 0
Sifat-sifat dari matriks nol :
-A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0
-A*0=0, begitu juga 0*A=0.
24
JENIS –JENIS MATRIKS
 Matriks Diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen
diatas dan dibawah diagonalnya adalah nol. Dinotasikan
sebagai D.
Contoh :
D3x 3
1 0 0 
 0 2 0
0 0 5
 Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang semua elemen
pada diagonalnya sama
D3x 3
25
5 0 0
 0 5 0
0 0 5
JENIS –JENIS MATRIKS
 Matriks Identitas adalah matriks skalar yang elemen-elemen
pada diagonal utamanya bernilai 1.
1 0 0 Sifat-sifat matriks identitas :
A*I=A
D  0 1 0
I*A=A
0 0 1
 Matriks Segitiga Atas adalah matriks persegi yang elemen di
bawah diagonal utamanya bernilai nol
 Matriks Segitiga Bawah adalah matriks persegi yang elemen
di atas diagonal utamanya bernilai nol
2 4 5
A  0 1 2
0 0 6
26
1 0 0 
B  3 4 0
2 5 1 
DETERMINAN MATRIKS
 Setiap matriks persegi atau bujur sangkar memiliki
nilai determinan
 Nilai determinan dari suatu matriks merupakan
suatu skalar.
 Jika nilai determinan suatu matriks sama dengan
nol, maka matriks tersebut disebut matriks singular.
27
NOTASI DETERMINAN
 Misalkan matriks A merupakan sebuah matriks
bujur sangkar
 Fungsi determinan dinyatakan oleh det (A)
 Jumlah det(A) disebut determinan A
 det(A) sering dinotasikan |A|
28
NOTASI DETERMINAN
 Pada matriks 2x2 cara
determinannya adalah :
a11 a12
 a11 a12 
 det( A) 
A  
a21 a22
 a21 a22 
menghitung
det( A) a11a22  a12a21
 Contoh :
 2 5

A  
 1 3
29
det( A) 
2 5
1 3
nilai
det( A)  6  5  1
METODE SARRUS
 Pada matriks 3x3 cara menghitung nilai
determinannya adalah menggunakan Metode Sarrus
 Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3
 a11

A   a21
a
 31
a12
a22
a32
a13 

a23 
a33 
det( A) a11a22a33  a12a23a31  a13a21a32  a31a22a13  a32a23a11  a33a21a12
30
METODE SARRUS
 Contoh :
  2 2  3


A   1 1 3 
 2 0 1


 Nilai Determinan dicari menggunakan metode
Sarrus
det(A) = (-2·1 ·-1) + (2 ·3 ·2) + (-3 ·-1 ·0) – (-3 ·1 ·2) –(-2 ·3
·0)-(2 ·-1 ·-1)
= 2 +12+0+6-0-2
= 18
31
MINOR
 Yang dimaksud dengan MINOR unsur aij adalah
determinan yang berasal dari determinan orde ke-n
tadi dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j.
 Dinotasikan dengan Mij
 Contoh Minor dari elemen a₁₁
 a11

A   a21
a
 31
 a11

a
A   21
a
 31
a
 41
32
a12
a22
a32
a13 

a23 
a33 
a12
a13
a22
a23
a32
a33
a42
a43
a22
a23
a32
a33
a22
a23
a24
M 11  a32
a33
a34
a42
a43
a44
M 11 
a14 

a24 
a34 

a44 
MINOR
 Minor-minor dari Matrik A (ordo 3x3)
33
KOFAKTOR MATRIKS
 Kofaktor dari baris ke-i dan kolom ke-j dituliskan
dengan
 Contoh :
Kofaktor dari elemen a11
c23  (1) 23 M 23   M 23
34
TEOREMA LAPLACE
 Determinan dari suatu matriks sama dengan jumlah
perkalian elemen-elemen dari sembarang baris atau
kolom dengan kofaktor-kofaktornya
35
TEOREMA LAPLACE
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris
 Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3
 a11

A   a21
a
 31
a12
a22
a32
a13 

a23 
a33 
 Determinan Matriks A dengan metode ekspansi
kofaktor baris pertama
|A|  a11c11  a12c12  a13c13
 a11 M 11  a12 M 12  a13 M 13
 a11
36
a22
a23
a32
a33
 a12
a21
a23
a31
a33
 a13
a21
a22
a31
a32
TEOREMA LAPLACE
 Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris
kedua
|A|  a 21c 21  a 22 c 22  a 23c 23
 a 21 M 21  a 22 M 22  a 23 M 23
 a 21
a12
a13
a32
a33
 a 22
a11
a13
a31
a33
 a 23
a11
a12
a31
a32
 Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris
ketiga
|A|  a31c31  a32 c32  a33c33
 a31 M 31  a32 M 32  a33 M 33
 a31
37
a12
a13
a 22
a 23
 a32
a11
a13
a 21
a 23
 a33
a11
a12
a 21
a 22
TEOREMA LAPLACE
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom
 Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3
 a11

A   a21
a
 31
a12
a22
a32
a13 

a23 
a33 
 Determinan Matriks A dengan metode ekspansi
kofaktor kolom pertama
|A|  a11c11  a 21c 21  a31c31
 a11 M 11  a 21 M 21  a31 M 31
 a11
38
a 22
a 23
a32
a33
 a 21
a12
a13
a32
a33
 a31
a12
a13
a 22
a 23
TEOREMA LAPLACE
 Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom
kedua
|A|  a12 c12  a 22 c 22  a32 c32
 a12 M 12  a 22 M 22  a32 M 32
 a12
a 21
a 23
a31
a33
 a 22
a11
a13
a31
a33
 a32
a11
a13
a 21
a 23
 Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom
ketiga
|A|  a13c13  a 23c 23  a33c33
 a13 M 13  a 23 M 23  a33 M 33
 a13
39
a 21
a 22
a31
a32
 a 23
a11
a12
a31
a32
 a33
a11
a12
a 21
a 22
DET MATRIKS SEGITIGA
 Jika A adalah matriks segitiga bujur sangkar berupa
segitiga atas atau segitiga bawah maka nilai det(A)
adalah hasil kali diagonal matriks tersebut
det( A)  a11  a22  a33    dst
 Contoh
det( A)  2  (3)  6  9  4  1296
40
TRANSPOSE MATRIKS
 Jika A adalah suatu matriks m x n, maka tranpose A
ͭ
dinyatakan oleh A dan didefinisikan dengan matriks n x m
yang kolom pertamanya adalah baris pertama dari A, kolom
keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juga dengan
kolom ketiga adalah baris ketiga dari A dan seterusnya.
 Contoh :
1 3 1
matriks A : A  
berordo 2 x 3

4 1 3
transposenya :
41
1 4
A t  3 1
1 3
berordo 3 x 2
TRANSPOSE MATRIKS
Beberapa Sifat Matriks Transpose :
1.( A  B ) T  AT  B T
2.( AT ) T  A
3.( AB) T  B T AT
4.( kA) T  kAT
42
TRANSPOSE MATRIKS
Pembuktian aturan no1 :
a12
a
A  B   11
a21 a22
a13  b11 b12

a23  b21 b22
 a11  b11
( A  B) T  a12  b12
 a13  b13
 a11
AT  a12
a13
43
a 21 
a 22 
a 23 
a 21  b21 
a 22  b22 
a 23  b23 
b11
B T  b12
b13
b21 
b22 
b23 
a
A   11
a 21
a12
a 22
a13 
b11 b12
B

b
a 23 
 21 b22
b13   a11  b11 a12  b12

b23  a21  b21 a22  b22
b13 
b23 
a13  b13 
a23  b23 
TERBUKTI
 a11
AT  B T  a12
a13
a 21  b11 b21   a11  b11
a 22   b12 b22   a12  b12
a 23  b13 b23   a13  b13
a 21  b21 
a 22  b22 
a 23  b23 
TRANSPOSE MATRIKS
Pembuktian aturan no 2 :
a
A   11
a 21
 a11
AT  a12
a13
 a11
( AT ) T  a12
a13
44
a12
a 22
a13 
a 23 
a 21 
a 22 
a 23 
TERBUKTI
T
a 21 
a
a 22    11
a 21
a 23 
a12
a 22
a13 
a 23 
MATRIKS SIMETRI
Sebuah matriks dikatakan simetri apabila hasil dari transpose
matriks A sama dengan matriks A itu sendiri.
A A
T
Contoh :
1.
1
A  3
2
1
AT  3
2
45
2.
3 2
0 0
0 0
3 2
0 0
0 0
2
B 
1
2
BT  
1
1
2
1
2
INVERS MATRIKS
 Matriks invers dari suatu matriks A adalah matriks B
yang apabila dikalikan dengan matriks A memberikan
satuan I
 AB = I
 Notasi matriks invers : A 1
 Sebuah matriks yang dikalikan matriks inversenya
akan menghasilkan matrik satuan
A 1 A  I
 Jika
a b 
A

c
d


46
Maka
A 1 
1  d  b
ad  bc  c a 
INVERS MATRIX
 Langkah-langkah untuk mencari invers matriks M
yang berordo 3x3 adalah :
- Cari determinan dari M
- Transpose matriks M sehingga menjadi M T
- Cari adjoin matriks
- Gunakan rumus
M
47
1
1

(adjoin( M ))
det( M )
INVERS MATRIX
 Contoh Soal :
1 2 3
M  0 1 4
5 6 0
- Cari Determinannya :
det(M) = 1(0-24)-2(0-20)+3(0-5) = 1
- Transpose matriks M
MT
48
1 0 5 
  2 1 6
 3 4 0
INVERS MATRIX
- Temukan matriks kofaktor dengan menghitung minorminor matriksnya
- Hasilnya :
 24  18 5
 20  15 4


  5  4 1
49
==>
   
  


   
==>
5
 24 18
 20  15  4


  5
4
1 
INVERS MATRIX
 Hasil Adjoinnya :
5 
  24 18


 20  15  4 
 5
4
1 

 Hasil akhir
M 1
50
5    24 18
5 
  24 18
 

1
  20  15  4    20  15  4 
1
4
1    5
4
1 
 5
REFERENSI
1. Discrete Mathematics and its Applications;
Kenneth H. Rosen; McGraw Hill; sixth edition;
2007
2. http://p4tkmatematika.org/
3. http://www.idomaths.com/id/matriks.php
51