teknik pengintegralan

TEKNIK PENGINTEGRALAN
Departemen Matematika
FMIPA IPB
Bogor, 2012
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
1 / 21
Topik Bahasan
1
Pendahuluan
2
Manipulasi Integran
3
Integral Parsial
4
Dekomposisi Pecahan Parsial
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
2 / 21
Pendahuluan
Manfaat Teknik Pengintegralan
Teknik-teknik pengintegralan memungkinkan kita:
menaksir luasan berbagai bentuk bidang datar,
menghitung atau mencari formula volume berbagai bentuk geometris,
menghitung ketinggian roket t menit setelah diluncurkan,
memprediksi ukuran populasi penduduk dunia pada suatu waktu,
memperlambat pertumbuhan serangga dengan menambahkan
serangga jantan yang mandul,
dsb.
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
3 / 21
Pendahuluan
Teknik Integral
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
4 / 21
Pendahuluan
Ringkasan Formula Integral Taktentu
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
R
R
R
R
R
R
R
xn dx = xn+1 / (n + 1) + C, n 6=
sin x dx =
1
cos x + C
cos x dx = sin x + C
sec2 x dx = tan x + C
csc2 x dx =
cot x + C
sec x tan x dx = sec x + C
csc x cot x dx =
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
csc x + C
Bogor, 2012
5 / 21
Pendahuluan
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
R
R
tan x dx =
ln jcos xj + C
cot x dx = ln jsin xj + C
R 1
dx = ln jxj + C
x
R x
e dx = ex + C
Z
ax
ax dx =
+ C, a > 0, a 6= 1
ln a
Z
x
1
p
= sin 1
+C
a
a2 x2
Z
1
1
x
= tan 1
+C
a2 + x2
a
a
Kalkulus I
Bogor, 2012
6 / 21
Manipulasi Integran
Manipulasi Integran
Manipulasi aljabar terhadap integran seringkali diperlukan sebelum
dapat menggunakan teknik integral tertentu.
Beberapa teknik manipulasi aljabar:
Melengkapi kuadrat
Menambahkan "0"
Mengalikan "1"
Substitusi merasionalkan
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
7 / 21
Manipulasi Integran
Contoh (Manipulasi Integran)
Tentukan integral berikut:
1
2
3
4
Melengkapi kuadrat:
Z
Z
x2
1
dx
+ 2x + 2
1
dx
1 + ex
Z
1
Mengalikan "1":
dx
1 cos x
Menambah "0":
Substitusi merasionalkan:
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Z
1
p dx
x
x
Kalkulus I
Bogor, 2012
8 / 21
Manipulasi Integran
Substitusi Merasionalkan
Integran yang melibatkan bentuk akar
p
n
ax + b
seringkali dapat dibuat menjadi bentuk rasional dengan mengambil
substitusi
p
u
= n ax + b, atau
un
nun
1 du
= ax + b, sehingga
= a dx
(1)
Contoh
Tentukan
Z 9
4
1
p dx
x
x
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
9 / 21
Manipulasi Integran
Soal (Manipulasi Integran)
Lakukan manipulasi aljabar terhadap integran untuk menentukan integral
berikut:
Z r
p
1+x
1
dx, jawab: sin 1 x
1 x2 + C
1 x
Z 1
1
p
dx, jawab: 12 ln 8
2
3
0 x+ x
Z
2x + 1
1
1 x+1 + C
3
dx, jawab: ln x2 + 2x + 5
2 tan
2
x2 + 2x + 5
4
5
Z 1
Z
p
1
x2
2x
1
dx,
x10 x
1/2
dx,
jawab:
jawab:
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
1
9
1
6π
ln 1
1
x9
Kalkulus I
+C
Bogor, 2012
10 / 21
Integral Parsial
Integral Parsial
Kapan Integral Parsial Digunakan?
Pada dasarnya integral parsial merupakan teknik substitusi ganda.
Banyak digunakan pada pengintegralan yang melibatkan fungsi
transenden (logaritma, eksponen, trigonometri beserta inversnya)
Fungsi transenden
komposisi)
R
Rtertentu (tunggal,
R
Contoh: ln x dx, sin 1 x dx, cos (ln x) dx
Perkalian beberapa jenis fungsi (umumnya perkalian dengan fungsi
transenden)
R
R
R
Contoh: xex dx, x2 sin x dx, ex cos x dx
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
11 / 21
Integral Parsial
Teknik Pengintegralan Parsial
d
[f (x) g (x)] = f (x) g0 (x) + g (x) f 0 (x)
dx
Z
Z
0
f (x) g (x) dx +
Z
g (x) f 0 (x) dx = f (x) g (x)
0
f (x) g (x) dx = f (x) g (x)
Z
g (x) f 0 (x) dx
(2)
Ambil u = f (x) ) du = f 0 (x) dx, dv = g0 (x) dx ) v = g (x) .
Akibatnya, (2) menjadi
Z
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
u dv = uv
Kalkulus I
Z
(3)
v du
Bogor, 2012
12 / 21
Integral Parsial
Penentuan u dan dv
Z
u dv = u v
Z
v du
dv mudah diintegralkan (menjadi v),
R
R
v du lebih mudah dibandingkan u dv.
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
13 / 21
Integral Parsial
Contoh (Integral Parsial)
Tentukan:
R2
1
ln x dx (hanya ada 1 alternatif u, dv)
1
R
R2
Jawab: ln x dx = x ln x x + C ) 1 ln x dx = 2 ln 2
R 2 x
2
x e dx (perlu pemilihan u, dv yang tepat)
Jawab: ex x2 2x + 2 + C
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
1.
Bogor, 2012
14 / 21
Integral Parsial
Soal (Integral Parsial)
Hitung integral (1 3)
p
R
1
sin 1 x dx, jawab: x sin 1 x + 1 x2 + C
R x
2
e cos x dx, jawab: 12 ex (cos x + sin x) + C)
R px
p
3
e dx, ambil u = x, lalu gunakan integral parsial
4
5
CarilahRkesalahan dalam pembuktian berikut, bahwa 0 = 1.
"Pada (1/t) dt ambil u = 1/t dan
R dv = dt sehingga
R
du = 1/t2 dt, v = t. Akibatnya, (1/t) dt = 1 + (1/t) dt atau
0 = 1."
p
Andaikan Gn = n (n + 1) (n + 2)
(n + n), perlihatkan bahwa
limn!∞ (Gn /n) = 4/e. Petunjuk: Tinjau ln (Gn /n) , kenali sebagai
suatu jumlah Riemann, dan gunakan hasil Contoh 1.
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
15 / 21
Dekomposisi Pecahan Parsial
Dekomposisi Pecahan Parsial
Masalah: pengintegralan fungsi rasional (nisbah dua fungsi
polinom) sejati:
Z
Z
p (x)
r (x) dx =
dx
q (x)
dengan derajat (pangkat tertinggi) p (x) < derajat q (x) .
Bila derajat p (x) derajat q (x), lakukan pembagian sehingga
diperoleh sisa berupa fungsi rasional sejati.
Metode pengintegralan: Dekomposisi Pecahan Parsial dengan cara
menguraikan (dekomposisi) fungsi pecahan rasional sejati r (x)
menjadi jumlah fungsi-fungsi rasional sejati yang sederhana.
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
16 / 21
Dekomposisi Pecahan Parsial
Metode Dekomposisi Pecahan Parsial
Z
p (x)
dx
q (x)
Kasus 1: q (x) berupa hasil kali faktor linear yang berbeda,
q (x) = (a1 x + b1 ) (a2 x + b2 ) . . . (ak x + bk ),
Z
p (x)
dx =
q (x)
Z
Contoh
Z
Z
dx
=
x2 4
(x
A1
dx +
(a1 x + b1 )
Z
dx
=
2) (x + 2)
Z
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
A2
dx +
(a2 x + b2 )
A
x
Kalkulus I
2
dx +
Z
+
Z
Ak
dx
( a k x + bk )
B
dx
x+2
Bogor, 2012
17 / 21
Dekomposisi Pecahan Parsial
Z
p (x)
dx
q (x)
Kasus 2: q (x) berisi hasil kali faktor linear yang berulang,
q (x) = (ax + b)r ,
Z
p (x)
dx =
q (x)
Z
A1
dx +
ax + b
Z
A2
(ax + b)
2
dx +
+
Z
Ar
dx
(ax + b)r
Contoh
Z
5x2 + 3x 2
dx =
(x + 2) x2
Z
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
A
dx +
x+2
Z
B
dx +
x
Kalkulus I
Z
C
dx
x2
Bogor, 2012
18 / 21
Dekomposisi Pecahan Parsial
Z
p (x)
dx
q (x)
Kasus 3: q (x) berisi faktor kuadratik yang tak teruraikan,
q (x) = ax2 + bx + c dengan b2 4ac < 0,
Z
p (x)
dx =
q (x)
Contoh
Z
2x + 4
(x2
+ 1) (x
1)
dx =
2
Z
Z
Ax + B
dx +
x2 + 1
Jawab koe…sien: A = 2, B = 1, C =
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Ax + B
dx
+ bx + c
ax2
Z
C
x
1
dx +
Z
D
(x
1)2
dx
2, D = 1.
Kalkulus I
Bogor, 2012
19 / 21
Dekomposisi Pecahan Parsial
Soal (Integral Terkait Dekomposisi Pecahan Parsial)
Hitung integral berikut
1
2
3
4
5
6
Z
3
dx, jawab: ln x+x 3 + C
x2 + 3x
Z 2
x +x 1
dx, jawab: ln x + 2 ln (x 1) x 1 1 + C
x (x 1)2
Z
x4
1
1x+C
dx, jawab: x + 14 ln xx+11
2 tan
x4 1
Z 16 p
x
dx, jawab: 2 + ln 25
9
x
4
Z9
cos x
dx, jawab: ln sinsinx+x 1 + C
2
sin x + sin x
Z
1
ex 1
dx, jawab: 12 ln jex +1j + C
x
x
e
e
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
20 / 21
Dekomposisi Pecahan Parsial
Tentang Slide
Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika FMIPA
IPB)
Versi: 2012 (sejak 2009)
Media Presentasi: LATEX - BEAMER (PDFLATEX)
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
21 / 21