Fungsi Bernilai Vektor

Fungsi Bernilai Vektor
Teorema Fungsi Invers
Wono Setya Budhi
KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
1 / 13
Teorema Fungsi Invers
Teorema Fungsi Invers
Misalkan kita mempunyai sistem persamaan y = f (x ) dengan
x, y ∈ Rn , yaitu variabel dan persamaan sama banyak.
Dengan menggunakan teorema fungsi implisit, kita dapat menentukan
syarat agar persamaan tersebut dapat diselesaikan x = g (y ) dengan
f (g (y )) = y . Fungsi g disebut fungsi invers dari f .
Syarat agar sistem persamaan dapat diselesaikan di sekitar titik x0
adalah
∂ (f1 , . . . , fn )
6= 0
∂ (x1 , . . . , xn )
di titik x0 .
Dalam hal ini
∂ ( f1 , . . . , fn )
= f 0 (x )
∂ ( x1 , . . . , xn )
di titik x0 .
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
2 / 13
Teorema Fungsi Invers
Teorema Fungsi Invers
Misalkan kita mempunyai sistem persamaan y = f (x ) dengan
x, y ∈ Rn , yaitu variabel dan persamaan sama banyak.
Dengan menggunakan teorema fungsi implisit, kita dapat menentukan
syarat agar persamaan tersebut dapat diselesaikan x = g (y ) dengan
f (g (y )) = y . Fungsi g disebut fungsi invers dari f .
Syarat agar sistem persamaan dapat diselesaikan di sekitar titik x0
adalah
∂ (f1 , . . . , fn )
6= 0
∂ (x1 , . . . , xn )
di titik x0 .
Dalam hal ini
∂ ( f1 , . . . , fn )
= f 0 (x )
∂ ( x1 , . . . , xn )
di titik x0 .
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
2 / 13
Teorema Fungsi Invers
Teorema Fungsi Invers
Misalkan kita mempunyai sistem persamaan y = f (x ) dengan
x, y ∈ Rn , yaitu variabel dan persamaan sama banyak.
Dengan menggunakan teorema fungsi implisit, kita dapat menentukan
syarat agar persamaan tersebut dapat diselesaikan x = g (y ) dengan
f (g (y )) = y . Fungsi g disebut fungsi invers dari f .
Syarat agar sistem persamaan dapat diselesaikan di sekitar titik x0
adalah
∂ (f1 , . . . , fn )
6= 0
∂ (x1 , . . . , xn )
di titik x0 .
Dalam hal ini
∂ ( f1 , . . . , fn )
= f 0 (x )
∂ ( x1 , . . . , xn )
di titik x0 .
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
2 / 13
Teorema Fungsi Invers
Teorema Fungsi Invers
Misalkan kita mempunyai sistem persamaan y = f (x ) dengan
x, y ∈ Rn , yaitu variabel dan persamaan sama banyak.
Dengan menggunakan teorema fungsi implisit, kita dapat menentukan
syarat agar persamaan tersebut dapat diselesaikan x = g (y ) dengan
f (g (y )) = y . Fungsi g disebut fungsi invers dari f .
Syarat agar sistem persamaan dapat diselesaikan di sekitar titik x0
adalah
∂ (f1 , . . . , fn )
6= 0
∂ (x1 , . . . , xn )
di titik x0 .
Dalam hal ini
∂ ( f1 , . . . , fn )
= f 0 (x )
∂ ( x1 , . . . , xn )
di titik x0 .
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
2 / 13
Teorema Fungsi Invers
Teorema Fungsi Invers
Example
Misalkan diketahui pemetaan
1
x+ y =u
2
1
1
x+ y =v
2
3
Apakah pemetaan ini mempunyai invers.
Solution
Syarat pemetaan mempunyai invers adalah
1 1
1
ux uy
1 12
det
6= 0
= det 1 1 = − =
vx vy
3
4
12
2
3
Perhatikan bahwa syarat ini sesuai syarat untuk sistem persamaan
linear (lihat Aljabar Linear)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
3 / 13
Teorema Fungsi Invers
Teorema Fungsi Invers
Example
Misalkan diketahui pemetaan
1
x+ y =u
2
1
1
x+ y =v
2
3
Apakah pemetaan ini mempunyai invers.
Solution
Syarat pemetaan mempunyai invers adalah
1 1
1
ux uy
1 12
det
6= 0
= det 1 1 = − =
vx vy
3
4
12
2
3
Perhatikan bahwa syarat ini sesuai syarat untuk sistem persamaan
linear (lihat Aljabar Linear)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
3 / 13
Teorema Fungsi Invers
Teorema Fungsi Invers
Example
Misalkan diketahui pemetaan
1
x+ y =u
2
1
1
x+ y =v
2
3
Apakah pemetaan ini mempunyai invers.
Solution
Syarat pemetaan mempunyai invers adalah
1 1
1
ux uy
1 12
det
6= 0
= det 1 1 = − =
vx vy
3
4
12
2
3
Perhatikan bahwa syarat ini sesuai syarat untuk sistem persamaan
linear (lihat Aljabar Linear)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
3 / 13
Teorema Fungsi Invers
Teorema Fungsi Invers
Example
Misalkan diketahui pemetaan
1
x+ y =u
2
1
1
x+ y =v
2
3
Apakah pemetaan ini mempunyai invers.
Solution
Syarat pemetaan mempunyai invers adalah
1 1
1
ux uy
1 12
det
6= 0
= det 1 1 = − =
vx vy
3
4
12
2
3
Perhatikan bahwa syarat ini sesuai syarat untuk sistem persamaan
linear (lihat Aljabar Linear)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
3 / 13
Teorema Fungsi Invers
Teorema Fungsi Invers
Solution
Syarat pemetaan mempunyai invers adalah
1
1 1
ux uy
1 12
6= 0
det
= det 1 1 = − =
vx vy
3 4
12
2
3
Perhatikan bahwa syarat ini sesuai syarat untuk sistem persamaan
linear (lihat Aljabar Linear)
Inversnya adalah
x = 4u − 6v , y = 12v − 6u
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
4 / 13
Teorema Fungsi Invers
Teorema Fungsi Invers
Solution
Syarat pemetaan mempunyai invers adalah
1
1 1
ux uy
1 12
6= 0
det
= det 1 1 = − =
vx vy
3 4
12
2
3
Perhatikan bahwa syarat ini sesuai syarat untuk sistem persamaan
linear (lihat Aljabar Linear)
Inversnya adalah
x = 4u − 6v , y = 12v − 6u
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
4 / 13
Teorema Fungsi Invers
Teorema Fungsi Invers
Solution
Syarat pemetaan mempunyai invers adalah
1
1 1
ux uy
1 12
6= 0
det
= det 1 1 = − =
vx vy
3 4
12
2
3
Perhatikan bahwa syarat ini sesuai syarat untuk sistem persamaan
linear (lihat Aljabar Linear)
Inversnya adalah
x = 4u − 6v , y = 12v − 6u
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
4 / 13
Teorema Fungsi Invers
Teorema Fungsi Invers
Example
Misalkan diketahui pemetaan
F (s, t ) = (x (s, t ) , y (s, t ))
dan mempunyai invers. Buktikan bahwa
∂s
1 ∂y
=
∂x
J ∂t
∂t
1 ∂y
=−
∂x
J ∂t
dengan J =
∂s
1 ∂x
=−
∂y
J ∂t
∂t
1 ∂x
=
∂y
J ∂s
∂(x,y )
∂(s,t )
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
5 / 13
Teorema Fungsi Invers
Teorema Fungsi Invers
Example
Misalkan diketahui pemetaan F (s, t ) = (x (s, t ) , y (s, t )) dan
∂s
mempunyai invers. Buktikan bahwa ∂x
= J1 ∂y
∂t ,
∂s
∂y
∂t
1 ∂y
= − J1 ∂x
∂t , ∂x = − J ∂t ,
∂t
∂y
=
1 ∂x
J ∂s dengan
Solution
Perhatikan bahwa bentuk yang dicari dari
#
"
∂x
∂s
∂y
∂s
∂x
∂t
∂y
∂t
#
∂s
∂x
∂t
∂x
∂s
∂y
∂t
∂y
J=
∂(x,y )
∂(s,t )
1 0
0 1
"
∂y
∂t
− ∂y
∂s
=
maka
"
∂s
∂x
∂t
∂x
∂s
∂y
∂t
∂y
=
∂x
∂s
∂y
∂s
∂x
∂t
∂y
∂t
−1
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
1
=
J
− ∂x
∂t
#
∂x
∂s
6 / 13
Teorema Fungsi Invers
Teorema Fungsi Invers
Example
Misalkan diketahui pemetaan F (s, t ) = (x (s, t ) , y (s, t )) dan
∂s
mempunyai invers. Buktikan bahwa ∂x
= J1 ∂y
∂t ,
∂s
∂y
∂t
1 ∂y
= − J1 ∂x
∂t , ∂x = − J ∂t ,
∂t
∂y
=
1 ∂x
J ∂s dengan
Solution
Perhatikan bahwa bentuk yang dicari dari
#
"
∂x
∂s
∂y
∂s
∂x
∂t
∂y
∂t
#
∂s
∂x
∂t
∂x
∂s
∂y
∂t
∂y
J=
∂(x,y )
∂(s,t )
1 0
0 1
"
∂y
∂t
− ∂y
∂s
=
maka
"
∂s
∂x
∂t
∂x
∂s
∂y
∂t
∂y
=
∂x
∂s
∂y
∂s
∂x
∂t
∂y
∂t
−1
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
1
=
J
− ∂x
∂t
#
∂x
∂s
6 / 13
Teorema Fungsi Invers
Koordinat Lengkung
1
Misalkan kita mempunyai fungsi dua variabel dengan nilai di R2
dengan
x = x (u, v ) dan y = y (u, v )
dengan determinan Jacobi tak nol di daerah definisinya.
2
Tanpa mengurangi keumuman, kira dapat menganggap bahwa nilai
determinan tersebut positif.
3
Berdasarkan teorema inivers, maka kita dapat mendefinsikan fungsi
u = u (x, y ) dan v = v (x, y )
4
Masalah yang sulit di bidang x, y dapat diselesaikan di bidang u, v
atau sebaliknya.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
7 / 13
Teorema Fungsi Invers
Koordinat Lengkung
1
Misalkan kita mempunyai fungsi dua variabel dengan nilai di R2
dengan
x = x (u, v ) dan y = y (u, v )
dengan determinan Jacobi tak nol di daerah definisinya.
2
Tanpa mengurangi keumuman, kira dapat menganggap bahwa nilai
determinan tersebut positif.
3
Berdasarkan teorema inivers, maka kita dapat mendefinsikan fungsi
u = u (x, y ) dan v = v (x, y )
4
Masalah yang sulit di bidang x, y dapat diselesaikan di bidang u, v
atau sebaliknya.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
7 / 13
Teorema Fungsi Invers
Koordinat Lengkung
1
Misalkan kita mempunyai fungsi dua variabel dengan nilai di R2
dengan
x = x (u, v ) dan y = y (u, v )
dengan determinan Jacobi tak nol di daerah definisinya.
2
Tanpa mengurangi keumuman, kira dapat menganggap bahwa nilai
determinan tersebut positif.
3
Berdasarkan teorema inivers, maka kita dapat mendefinsikan fungsi
u = u (x, y ) dan v = v (x, y )
4
Masalah yang sulit di bidang x, y dapat diselesaikan di bidang u, v
atau sebaliknya.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
7 / 13
Teorema Fungsi Invers
Koordinat Lengkung
1
Misalkan kita mempunyai fungsi dua variabel dengan nilai di R2
dengan
x = x (u, v ) dan y = y (u, v )
dengan determinan Jacobi tak nol di daerah definisinya.
2
Tanpa mengurangi keumuman, kira dapat menganggap bahwa nilai
determinan tersebut positif.
3
Berdasarkan teorema inivers, maka kita dapat mendefinsikan fungsi
u = u (x, y ) dan v = v (x, y )
4
Masalah yang sulit di bidang x, y dapat diselesaikan di bidang u, v
atau sebaliknya.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
7 / 13
Teorema Fungsi Invers
Koordinat Lengkung
Example
1
Misalkan diketahui x = u − v dan y = u + v
2
Nilai determinan Jacobinya adalah
3
Inversnya u =
4
Grafik u konstan dan v konstan
x +y
2
dan v =
∂(x,y )
∂(u,v )
= det
1 −1
1 1
=2
−x +y
2
4
2
-4
-2
2
4
-2
-4
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
8 / 13
Teorema Fungsi Invers
Koordinat Lengkung
Example
1
Misalkan diketahui x = u − v dan y = u + v
2
Nilai determinan Jacobinya adalah
3
Inversnya u =
4
Grafik u konstan dan v konstan
x +y
2
dan v =
∂(x,y )
∂(u,v )
= det
1 −1
1 1
=2
−x +y
2
4
2
-4
-2
2
4
-2
-4
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
8 / 13
Teorema Fungsi Invers
Koordinat Lengkung
Example
1
Misalkan diketahui x = u − v dan y = u + v
2
Nilai determinan Jacobinya adalah
3
Inversnya u =
4
Grafik u konstan dan v konstan
x +y
2
dan v =
∂(x,y )
∂(u,v )
= det
1 −1
1 1
=2
−x +y
2
4
2
-4
-2
2
4
-2
-4
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
8 / 13
Teorema Fungsi Invers
Koordinat Lengkung
Example
1
Misalkan diketahui x = u − v dan y = u + v
2
Nilai determinan Jacobinya adalah
3
Inversnya u =
4
Grafik u konstan dan v konstan
x +y
2
dan v =
∂(x,y )
∂(u,v )
= det
1 −1
1 1
=2
−x +y
2
4
2
-4
-2
2
4
-2
-4
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
8 / 13
Teorema Fungsi Invers
Koordinat Lengkung
Example
1
Misalkan diketahui x = u − v dan y = u + v
2
Misalkan sekarang kita mempunyai persamaan gelombang
∂2 z
∂2 z
− ∂y
2 = 0 akan ditulis dalam koordinat u, v
∂x 2
3
Hasilnya adalah
∂2 z
=0
∂u∂v
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
9 / 13
Teorema Fungsi Invers
Koordinat Lengkung
Example
1
Misalkan diketahui x = u − v dan y = u + v
2
Misalkan sekarang kita mempunyai persamaan gelombang
∂2 z
∂2 z
− ∂y
2 = 0 akan ditulis dalam koordinat u, v
∂x 2
3
Hasilnya adalah
∂2 z
=0
∂u∂v
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
9 / 13
Teorema Fungsi Invers
Koordinat Lengkung
Example
1
Misalkan diketahui x = u − v dan y = u + v
2
Misalkan sekarang kita mempunyai persamaan gelombang
∂2 z
∂2 z
− ∂y
2 = 0 akan ditulis dalam koordinat u, v
∂x 2
3
Hasilnya adalah
∂2 z
=0
∂u∂v
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
9 / 13
Teorema Fungsi Invers
Koordinat Lengkung Terkenal
1
Di bidang, ada juga koordinat lengkung terkenal yaitu koordinat polar
x = r cos θ dan y = r sin θ
2
Nilai determinan Jacobinya adalah
∂ (x, y )
=r
∂ (r , θ )
3
Jadi, persamaan di atas merupakan koordinat untuk r 6= 0
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
10 / 13
Teorema Fungsi Invers
Koordinat Lengkung Terkenal
1
Di bidang, ada juga koordinat lengkung terkenal yaitu koordinat polar
x = r cos θ dan y = r sin θ
2
Nilai determinan Jacobinya adalah
∂ (x, y )
=r
∂ (r , θ )
3
Jadi, persamaan di atas merupakan koordinat untuk r 6= 0
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
10 / 13
Teorema Fungsi Invers
Koordinat Lengkung Terkenal
1
Di bidang, ada juga koordinat lengkung terkenal yaitu koordinat polar
x = r cos θ dan y = r sin θ
2
Nilai determinan Jacobinya adalah
∂ (x, y )
=r
∂ (r , θ )
3
Jadi, persamaan di atas merupakan koordinat untuk r 6= 0
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
10 / 13
Teorema Fungsi Invers
Koordinat Lengkung Terkenal
1
Di ruang, ada juga koordinat lengkung terkenal yaitu koordinat tabung
x = r cos θ dan y = r sin θ dan z = z
2
Nilai determinan Jacobinya adalah
∂ (x, y , z )
=r
∂ (r , θ, z )
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
11 / 13
Teorema Fungsi Invers
Koordinat Lengkung Terkenal
1
Di ruang, ada juga koordinat lengkung terkenal yaitu koordinat tabung
x = r cos θ dan y = r sin θ dan z = z
2
Nilai determinan Jacobinya adalah
∂ (x, y , z )
=r
∂ (r , θ, z )
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
11 / 13
Teorema Fungsi Invers
Koordinat Lengkung Terkenal
1
Di ruang, ada juga koordinat lengkung terkenal yaitu koordinat bola
z = r sin φ
x = r cos φ cos θ
y = r cos φ sin θ
2
Nilai determinan Jacobinya adalah
∂ (x, y , z )
=r
∂ (r , θ, z )
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
12 / 13
Teorema Fungsi Invers
Koordinat Lengkung Terkenal
1
Di ruang, ada juga koordinat lengkung terkenal yaitu koordinat bola
z = r sin φ
x = r cos φ cos θ
y = r cos φ sin θ
2
Nilai determinan Jacobinya adalah
∂ (x, y , z )
=r
∂ (r , θ, z )
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
12 / 13
Teorema Fungsi Invers
Koordinat Bola di dimensi Lebih Tinggi
1
Misalkan kita mempunyai dimensi 4, bola mempunyai persamaan
x 2 + y 2 + z 2 + u2 = r 2
2
Tuliskan v 2 = x 2 + y 2 + z 2 , maka persamaan di atas menjadi
v 2 + u2 = r 2
3
Dengan koordinat polar, maka
v = r cos θ1 dan u = r sin θ1
4
Selanjutnya, tuliskan x 2 + y 2 = w 2 , maka v 2 = x 2 + y 2 + z 2 menjadi
w 2 + z 2 = (r cos θ1 )2
5
Dengan koordinat polar, maka
w = r cos θ1 cos θ2
z = r cos θ1 sin θ2
dst
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
13 / 13
Teorema Fungsi Invers
Koordinat Bola di dimensi Lebih Tinggi
1
Misalkan kita mempunyai dimensi 4, bola mempunyai persamaan
x 2 + y 2 + z 2 + u2 = r 2
2
Tuliskan v 2 = x 2 + y 2 + z 2 , maka persamaan di atas menjadi
v 2 + u2 = r 2
3
Dengan koordinat polar, maka
v = r cos θ1 dan u = r sin θ1
4
Selanjutnya, tuliskan x 2 + y 2 = w 2 , maka v 2 = x 2 + y 2 + z 2 menjadi
w 2 + z 2 = (r cos θ1 )2
5
Dengan koordinat polar, maka
w = r cos θ1 cos θ2
z = r cos θ1 sin θ2
dst
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
13 / 13
Teorema Fungsi Invers
Koordinat Bola di dimensi Lebih Tinggi
1
Misalkan kita mempunyai dimensi 4, bola mempunyai persamaan
x 2 + y 2 + z 2 + u2 = r 2
2
Tuliskan v 2 = x 2 + y 2 + z 2 , maka persamaan di atas menjadi
v 2 + u2 = r 2
3
Dengan koordinat polar, maka
v = r cos θ1 dan u = r sin θ1
4
Selanjutnya, tuliskan x 2 + y 2 = w 2 , maka v 2 = x 2 + y 2 + z 2 menjadi
w 2 + z 2 = (r cos θ1 )2
5
Dengan koordinat polar, maka
w = r cos θ1 cos θ2
z = r cos θ1 sin θ2
dst
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
13 / 13
Teorema Fungsi Invers
Koordinat Bola di dimensi Lebih Tinggi
1
Misalkan kita mempunyai dimensi 4, bola mempunyai persamaan
x 2 + y 2 + z 2 + u2 = r 2
2
Tuliskan v 2 = x 2 + y 2 + z 2 , maka persamaan di atas menjadi
v 2 + u2 = r 2
3
Dengan koordinat polar, maka
v = r cos θ1 dan u = r sin θ1
4
Selanjutnya, tuliskan x 2 + y 2 = w 2 , maka v 2 = x 2 + y 2 + z 2 menjadi
w 2 + z 2 = (r cos θ1 )2
5
Dengan koordinat polar, maka
w = r cos θ1 cos θ2
z = r cos θ1 sin θ2
dst
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
13 / 13
Teorema Fungsi Invers
Koordinat Bola di dimensi Lebih Tinggi
1
Misalkan kita mempunyai dimensi 4, bola mempunyai persamaan
x 2 + y 2 + z 2 + u2 = r 2
2
Tuliskan v 2 = x 2 + y 2 + z 2 , maka persamaan di atas menjadi
v 2 + u2 = r 2
3
Dengan koordinat polar, maka
v = r cos θ1 dan u = r sin θ1
4
Selanjutnya, tuliskan x 2 + y 2 = w 2 , maka v 2 = x 2 + y 2 + z 2 menjadi
w 2 + z 2 = (r cos θ1 )2
5
Dengan koordinat polar, maka
w = r cos θ1 cos θ2
z = r cos θ1 sin θ2
dst
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
13 / 13