Add to collection(s) Add to saved
  1. Matematika
  2. Geometri

TUGAS GEOMETRI TRANSFORMASI Tentang Isometri dan Sifat

advertisement 
TUGAS
GEOMETRI TRANSFORMASI
Tentang
Isometri dan Sifat-sifat Isometri
Oleh :
EVI MEGA PUTRI : 412. 35I
Dosen Pembimbing :
ANDI SUSANTO, S. Si, M.Sc
TADRIS MATEMATIKA A
FAKULTAS TARBIYAH
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN)
IMAM BONJOLPADANG
1435 H/2014 M
Vi_detective^_^
Page 1
DAFTAR ISI
A. Isometri ................................................................................................. 1
a. Pengertian isometric......................................................................... 1
B. Sifat-sifat Isometri .................................................................................. 1
a. Memetakan garis menjadi garis ................................................................... 2
b. Mempertahankan ukuran besarnya sudut antara dua garis ...... 3
c. Mempertahankan kesejajaran dua garis................................................. 4
Vi_detective^_^
Page 2
ISOMETRI
A. Pengertian Isometri
Isometri merupakan suatu transformasi atas Refleksi (pencerminan),
Translasi (pergeseran), dan Rotasi (perputaran) pada sebuah garis yang
mempertahankan jarak (panjang suatu ruas garis).
Secara matematis, Isometri didefinisikan sebagai berikut :
“misalkan T suatu transformasi, transformasi T ini disebut isometri jika dan
hanya jika untuk setiap pasangan titik P dan Q anggota dari bidang Euclid 𝑣 berlaku
bahwa 𝑃’𝑄’ = 𝑃𝑄 π‘‘π‘–π‘šπ‘Žπ‘›π‘Ž 𝑃’ = 𝑇(𝑃) π‘‘π‘Žπ‘› 𝑄’ = 𝑇(𝑄).
B. Sifat-sifat Isometri
Suatu isometri memiliki sifat-sifat sebagai berikut :
a. Memetakan garis menjadi garis
b. Mempertahankan ukuran besarnya sudut antara dua garis
c. Mempertahankan kesejajaran dua garis
Bukti :
I.
Memetakan garis menjadi garis
Andaikan g sebuah garis dan 𝑇 suatu isometri. Kita akan membuktikan
bahwa 𝑇(𝑔) = β„Ž adalah suatu garis juga.
B
B’
A
g
Vi_detective^_^
A’
h
Page 3
Kemudian ditetapkan 𝑇 𝑔 = {π‘Œπ‘Œ = 𝑇(𝑋), 𝑋 ∈ 𝑔} akibatnya 𝐴’, 𝐡’ ∈ 𝑇(𝑔).
Untuk membuktika bahwa T(g) merupakan garis lurus.
Ambil 𝐴 ∈ 𝑔 dan 𝐡 ∈ 𝑔. maka 𝐴’ = 𝑇(𝐴) ∈ β„Ž, 𝐡’ = 𝑇(𝐡) ∈ β„Ž melalui
𝐴’ π‘‘π‘Žπ‘› 𝐡’ ada satu garis. Misalnya β„Ž’. Untuk ini akan dibuktikan β„Ž’ ⊂ β„Ž π‘‘π‘Žπ‘› β„Ž ⊂ β„Ž’.
οƒ˜ Bukti β„Ž’ ⊂ β„Ž
Ambil 𝑋’ ∈ β„Ž’. oleh karena bidang kita adalah bidang Euclides, maka kita
andaikan (𝐴’ 𝑋’ 𝐡’), artinya 𝐴’ 𝑋’ + 𝑋’ 𝐡’ = 𝐴’ 𝐡’. oleh karena 𝑇 suatu isometric. Jadi
suatu transformasi maka ada 𝑋 sehingga 𝑇 (𝑋) = 𝑋’ dan oleh karena 𝑇 suatu
isometric maka 𝐴𝑋 = 𝐴’𝑋’ ; begitu pula 𝑋𝐡 = 𝑋’𝐡’.
Maka 𝐴𝑋 + 𝐡𝑋 = 𝐴𝐡
Ini berarti bahwa 𝐴, 𝑋, 𝐡 π‘ π‘’π‘”π‘Žπ‘Ÿπ‘–π‘  π‘π‘Žπ‘‘π‘Ž 𝑔
Ini berarti lagi bahwa 𝑋’ = 𝑇(𝑋) ∈ β„Ž.
Sehingga β„Ž’ ⊂ β„Ž sebab bukti serupa berlaku untuk posisi 𝑋’ dengan
(𝑋’ 𝐴’ 𝐡’) π‘Žπ‘‘π‘Žπ‘’ (𝐴’ 𝐡’ 𝑋’).
οƒ˜ Bukti β„Ž ⊂ β„Ž’
Misalkan π‘Œ’ ∈ β„Ž
Maka ada π‘Œ ∈ 𝑔 sehingga 𝑇(π‘Œ) = π‘Œ’ dengan π‘Œ misalnya (𝐴 π‘Œ 𝐡), artinya
π‘Œ ∈ 𝑔 dan π΄π‘Œ + π‘Œπ΅ = 𝐴𝐡. Oleh karena 𝑇 sebuah isometric.
maka 𝐴’π‘Œ’ = π΄π‘Œ, π‘Œ’𝐡’ = 𝐴𝐡. Sehingga 𝐴’π‘Œ’ + π‘Œ’𝐡’ = 𝐴’𝐡’. Ini berarti bahwa
𝐴’, π‘Œ’, 𝐡’ segaris, yaitu garis yang melalui 𝐴’ π‘‘π‘Žπ‘› 𝐡’.
Oleh karena β„Ž’ satu-satunya garis yang melalui 𝐴’ π‘‘π‘Žπ‘› 𝐡’ π‘šπ‘Žπ‘˜π‘Ž π‘Œ’ ∈ β„Ž’.
Jadi haruslah Bukti β„Ž ⊂ β„Ž’
Vi_detective^_^
Page 4
Bukti serupa berlaku untuk keadan (π‘Œ 𝐴 𝐡) π‘Žπ‘‘π‘Žπ‘’ (𝐴 𝐡 π‘Œ) sehingga β„Ž = β„Ž’.
Jadi, kalau π’ˆ sebuah garis maka 𝒉 = 𝑻(π’ˆ) adalah sebuah garis juga, maka
terbuktilah bahwa sifat isometri memetakan garis menjadi garis.
II.
Mempertahankan ukuran besarnya sudut antara dua garis
Ambil sebuah ∠ 𝐴𝐡𝐢
𝐴
𝐡
𝐢
𝐴’
𝐡’
𝐢’
Andaikan 𝐴’ = 𝑇(𝐴), 𝐡’ = 𝑇(𝐡), 𝐢’ = 𝑇(𝐢)
Menurut (π‘Ž), π‘šπ‘Žπ‘˜π‘Ž 𝐴’𝐡’ π‘‘π‘Žπ‘› 𝐡’𝐢’ adalah garis lurus
Oleh karena ∠𝐴𝐡𝐢 = 𝐡𝐴 ∪ 𝐡𝐢 maka,
∠𝐴’𝐡’𝐢’ = 𝐡’𝐴’ ∪ 𝐡’𝐢’
Vi_detective^_^
Page 5
Sedangkan 𝐴’𝐡’ = 𝐴𝐡, 𝐡’𝐢’ = 𝐡𝐢, 𝐢’𝐴’ = 𝐴𝐢
Sehingga ⊿ 𝐴𝐡𝐢 = ⊿ 𝐴’𝐡’𝐢’. π‘—π‘Žπ‘‘π‘– ∠ 𝐴’𝐡’𝐢’ = ∠𝐴𝐡𝐢
Sehingga terbuktilah suatu isometri mempertahankan besarnya sebuah
sudut.
III.
Mempertahankan kesejajaran dua garis
𝐴
𝐡
𝐴’
𝐡’
Kita harus memperlihatkan bahwa π‘Ž’ ⁄⁄ 𝑏’
Andaikan π‘Ž’ memotong 𝑏’ disebuah titik 𝑃’ π‘—π‘Žπ‘‘π‘– 𝑃’ ∈ π‘Ž’ π‘‘π‘Žπ‘› 𝑃’ ∈ 𝑏’. oleh
karena 𝑇 sebuah transformasi,
maka ada 𝑃 π‘ π‘’β„Žπ‘–π‘›π‘”π‘”π‘Ž 𝑇(𝑃) = 𝑃’ π‘‘π‘’π‘›π‘”π‘Žπ‘› 𝑃 ∈ π‘Ž π‘‘π‘Žπ‘› 𝑃 ∈ 𝑏.
Ini berarti bahwa π‘šπ‘’π‘šπ‘œπ‘‘π‘œπ‘›π‘” 𝑏 𝑑𝑖 𝑃 ; jadi bertentangan dengan yang
diketahui bahwa π‘Ž ⁄⁄ 𝑏
Maka Pengandaian bahwa π‘Ž’ π‘šπ‘’π‘šπ‘œπ‘‘π‘œπ‘›π‘” 𝑏’ 𝑆𝐴𝐿𝐴𝐻
Jadi haruslah π‘Ž’ ⁄⁄ 𝑏’.
Sehingga terbuktilah suatu isometri mempertahankan kesejajaran dua garis.
Vi_detective^_^
Page 6
DAFTAR PUSTAKA
Rawuh, 1993. Geometri Transformasi. Bandung : Perpustakaan Fakultas Keguruan
dan Ilmu Pendidikan
Lipschutz, Seymour, Teori dan Soal-soal Teori Himpunan(seri buku Schaum), Jakarta :
Erlangga, 1995
Juliartawan, I Wayan, Matematika(contoh soal dan penyeleseain), Yogyakarta : Andi,
2004
Rasmedi S, Ame, Darhim, Geometri transformasi, Jakarta :Universitas Terbuka, 2007
http://id.wikipedia.org/wiki/Isometri_(matematika)
http://ms.wikipedia.org/wiki/Geometri_Transformasi
Vi_detective^_^
Page 7
Download
advertisement