EK110-032049-807-12 259KB Sep 17 2011 11

UNIVERSITAS MERCU BUANA
Mata Kuliah
Materi Kuliah
Fakultas
Semester
Modul
Penyusun
: Matematika Ekonomi
: Integral tak tentu
: Ekonomi / Manajemen
: Ganjil 2008/2009
: XI
: Dra. Yuni Astuti, MS.
Jakarta
Nopember 2008
2
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS :
Mahasiswa diharapkan mampu :
1. Mengenal 2 macam kalkulus integral ; integral tak tentu dan integral tertentu
2. Menerapkan kaidah integral tak tentu pada model-model ekonomi.
Daftar Isi :
Integral
A. Kaidah-kaidah Integral Tek tentu
1.Formula Pangkat
2. Formula logaritma
3. Formula Ekponensial
4. Formula Penjumlahan.
5. Formula Perkalian
6. Formula Substitusi
B. Penerapan Ekonomi
1. Fungsi Biaya
2. Fungsi Penerimaan
3. Fungsi Utilitas
4. Fungsi Produksi
Pustaka
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Dra. Yuni Astuti, MS. MATEMATIKA EKONOMI
2
3
Integral
Kalkulus Integral
1). Integral taktentu ( indefinite integral)
2). Integral tertentu (definite integral)
I. Integral taktentu ( indefinite integral)
Kebalikan dari diferensial, yaitu suatu konsep yang berhubungan dengan proses
penemuan suatu fungsi asal apabila turunan atau derivatif dari fungsinya diketahui.
Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti mencari integral atau turunan antinya
(Fx)
Bentuk umum integral dari f(x) adalah :
 f ( x)dx  F ( x)  k
k : konstanta yang nilainya tidak tertentu
  tanda integral
f(x) dx
: diferensial dari F(x)
f(x)
: integran
dx
: diferensial
F(x)
: integral partikular
F(x) + k
: fungsi asli atau fungsi asal
Dalam diferensial, jika fungsi asal dilambangkan dengan F(x) dan fungsi turunannya
dengan f(x), maka :
Untuk fungsi asal
: F(x) = x2 + 5
Fungsi turunannya
: f ( x) 
dF ( x )
dx
 2x
Jika prosesnya dibalik, yaitu fungsi turunan f(x) diintegralkan, maka :
 f ( x)dx  F ( x)  k  x
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
2
k
Dra. Yuni Astuti, MS. MATEMATIKA EKONOMI
3
4
A. Kaidah-kaidah Integral Tak tentu
1. Formula Pangkat
n
 X dx 
X n 1
k
n 1
n ≠ -1
Contoh
(a).
4
 x dx 
Bukti
(b).
 4dx 
:
d
( 0. 2 x 5  k )  x 4
dx
4 x 01
 k  4x  k
0 1
Bukti
(c).
x 41
x5
k 
 k  0.2 x 5  k
4 1
5
2
 3x dx 
Bukti
:
d
(4 x  k )  4
dx
3x 21
 k  x3  k
2 1
:
d 3
( x  k )  3x 2
dx
x 01
k  xk
(d).  dx 
0 1
Bukti
:
d
(x  k)  1
dx
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Dra. Yuni Astuti, MS. MATEMATIKA EKONOMI
4
5
(e).
2
 ( x  1) dx 
Bukti
(f).
4
 x dx 
( x  1) 21
1
 k  ( x  1) 3  k
2 1
3
d 1
( x  1) 3  k  ( x  1) 2
dx 3
:
x 41
x 3
1
k 
 k   x 3  k
 4 1
3
3
Bukti
d
1
(  x 3  k )  x  4
dx 3
:
2. Formula logaritma
1
 x dx  ln x  k
ingat
y = ln x

y’ =
1
x
Contoh:
(a).
3
1
 x dx  3 x dx  3 ln x  k
Bukti
(b).
:
d
3
(3 ln x  k ) 
dx
x
3
 x  1 dx 
Mis : z = x + 1
dz
1
dx
dz = dx
d(x+1) = dx
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Dra. Yuni Astuti, MS. MATEMATIKA EKONOMI
5
6
3
 x  1 dx 
3d ( x  1)
 3 ln( x  1)  k
x 1
Bukti
:
d
3
(3 ln( x  1)  k ) 
dx
x 1
3. Formula Ekponensial
e
e
x
dx  e x  k
u
du  e u  k
u = f(x)
Contoh.
(a).
e
x2
dx 
Misal : u = x + 2
du
1
dx

du = dx
d ( x + 2 ) = dx
e
x2
dx   e x  2 d ( x  2)  e x  2  k
Bukti
(b).
e
2x
:


d x2
e  k  e x2
dx
dx 
Misal : u = 2 x
du
2
dx

dx = ½ du = ½ d(2x)
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Dra. Yuni Astuti, MS. MATEMATIKA EKONOMI
6
7
e
2x
dx   e 2 x
Bukti
(c).
e
3 x  2
1
1
d (2 x)   e 2 x d (2 x)
2
2
:

=
1 2x
e k
2
d  1 2x

2x
 e k  e
dx  2

dx 
Misal : u = -3 x +2
du
 3
dx
e
Bukti
:
3 x  2

1
1
dx  du  d (3x  2)
3
3
1
1
1
 d (3x  2)    e 3 x  2 d (3x  2)   (e 3 x  2 )  k
3
3
3
d  1 3 x  2

 k   e 3 x  2
 e
dx  3

4. Formula Penjumlahan.
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx
= F(x) + g (x) + k
Contoh.
(a).
 x
4

 3x 2 dx   x 4 dx   3x 2 dx 0.2 x 5  x 3  k
Cara penyelesaian:
4
 x dx 
x 41
 k  0.2 x 5  k
4 1
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Dra. Yuni Astuti, MS. MATEMATIKA EKONOMI
7
8
2
 3x dx 
x
4
dx +  3 x 2 dx = 0.2 x5 + k + x3 + k  = 0.2 x5 + x3 + k
Bukti.
(b).

  e
3x 21
 k  x3  k
2 1
d
(0.2 x5 + x3 + k) = x4 + 3x2
dx
1
 dx =
x
x
e
x
Kaidah 3
Bukti. :
(c).
x
+ ln x + k
kaidah 2
d
1
( ex + ln x + k) = ex +
x
dx
 3x
Bukti. :
1
 x dx = e
dx +
2

 10 x dx =
 3x
2
dx +
 10 xdx = x
3
– 5x2 + k
d
( x3 - 5 x2 + k) = 3 x2 - 10 x
dx
5. Formula Perkalian

n f(x) dx = n

f(x) d(x)
 n ≠0
Contoh
(a).
 x 21 
2
2

  k  x 3  k
3
x
dx

3
x
dx

3


 2  1
Bukti
:
d 3
( x  k )  3x 2
dx
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Dra. Yuni Astuti, MS. MATEMATIKA EKONOMI
8
9
(b).
 x 31

1
3
3


x
dx


1
x
dx


1
 k    x 4  k


4
 3 1

Bukti
:
d  1 4

3
  x  k   x
dx  4

6. Formula Substitusi
du
 f (u ) dx dx   f (u )du  F (u )  k
 du : subtitusi  dx
Dimana : u = g(x) dan
Contoh
 6 x(3x
(a). selesaikan
2
 10)dx
(1). Dengan penyelesaian langsung
 6 x(3x
2
 10)dx =  (18 x 2  60 x)dx
Menggunakan kaidah 1
 (18 x
2
 60 x)dx = 4,5 x4 -30 x2 + k
(2). Dengan substitusi
Misalkan u = 3 x4 -10
du
 6x
dx
dx 

 6 x(3x
=
2
du
6x
 10)dx =  6 xu
du
6x
u2
=  udu =
k
2
(3x 2  10) 2
 k = ½ (9x4 – 60 x2 + 100) +k = 4.5 x4 – 30 x2 + 50 + k
2
= 4.5 x4 – 30 x2 + k
(b) Selesaikan
x

50 + k ≡ k
x3
dx
 6x
2
Misalkan u = x2 + 6x
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Dra. Yuni Astuti, MS. MATEMATIKA EKONOMI
9
10
du
 2 x  6 = 2 (x + 6)
dx
x
=
x3

x3
1 / 2(du / dx)
dx = 
dx =
u
 6x
2

1  du 
 
2  dx 
1 / 2 du
u
1 du
1 1
1
  du  ln u  k

2 u
2 u
2
= ½ ln (x2 + 6x) + k
B. Penerapan Ekonomi
1. Fungsi Biaya
Biaya total
: C = f(Q)
Biaya Marjinal : MC = C’ =
dC
 f ' (Q)
dQ
Biaya total adalah integral dari biaya marjinal
C=

MC dQ =
 f ' (Q)dQ
Kasus:
Biaya marjinal suatu perusahaan ditunjukkan oleh : MC = 3Q2 – 6 Q + 4
Carilah persamaan biaya total dan biaya rata-rata
Penyelesaian :
Biaya total
:C=

MC dQ
C=

(3Q2 – 6 Q + 4) dQ
C=

3Q2 dQ -
=

6Q dQ +

4 dQ
3Q 21
4Q 01
6Q 11
+
+k
2 1
0 1
11
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Dra. Yuni Astuti, MS. MATEMATIKA EKONOMI
10
11
= Q 3 – 3 Q2 + 4 Q + k
Biaya rata-rata
AC = C/Q = Q2 – 3 Q + 4 + k/Q
Konstanta k adalah biaya tetap
Jika diketahui biaya tetap tersebut sebesar 4 :
C = Q3 – 3 Q2 + 4 Q + k
Maka
AC = C/Q = Q2 – 3 Q + 4 + k/Q
2. Fungsi Penerimaan
Penerimaan total :
R = f (Q)
Penerimaan marjinal :
MR = R’ =
dR
=f’(Q)
dQ
Penerimaan total adalah integral dari penerimaan marjinal
R=

MR dQ =

f’(Q) dQ
Kasus :
Carilah persamaan penerimaan total dan penerimaan rata-rata dari suatu perusahaan,
jika penerimaan marjinalnya MR = 16 – 4Q
Penyelesaian :
Penerimaan total
R=

MR dQ

(16 – 4Q) dQ

16 dQ -

4Q dQ
16Q 01 4Q11
=
= 16 Q – 2 Q2

0 1
11
Penerimaan total = 16 Q – 2 Q2
Penerimaan rata-rata AR =
R
= 16 – 2 Q
Q
Dalam persamaan penerimaan total, konstanta k = 0, sebab penerimaan tidak akan ada
jika tidak ada barang yang dihasilkan atau terjual.
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Dra. Yuni Astuti, MS. MATEMATIKA EKONOMI
11
12
3. Fungsi Utilitas
Utilitas total :
U = f (Q)
Utilitas marjinal :
MU = U’ =
dU
= f ’(Q)
dQ
Utilitas total adalah integral dari utilitas marjinal
U=


MU dQ =
f ‘(Q) dQ
Kasus :
Carilah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas marjinal :
MU = 90 – 10 Q
Penyelesaian :
Utiltas total
=
U=

MU dQ
=

(90 – 10 Q) dQ
=

90 dQ –

10 Q dQ
90Q 01 10Q11
= 90 Q - 5 Q2

0 1
11
Seperti halnya produk total dan penerimaan total, disini konstanta k =0, sebab tidak ada
kepuasan atau utilitas yang diperoleh seseorang jika tidak ada barang yang diikonsumsi.
4. Fungsi Produksi
Produksi total : P = f(x) dimana :
P : keluaran , x : masukan
Produk marjinal
MP = P’ =
dP
= f ’(x)
dx
Produk total adalah integral dari produk marjinal
P=

MP dx =

f ‘(x) dx
Kasus :
Produk marjinal sebuah perusahaan dicerminkan oleh : MP = 18 x – 3x2
Carilah persamaan produk total dan produk rata-rata
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Dra. Yuni Astuti, MS. MATEMATIKA EKONOMI
12
13
Penyelesaian.:
P=

MP dx =
P=

18x dx -
=
Produk rata-rata AP =


(18 x – 3x2 ) dx
3x2 dx
18 x11 3x 21
= 9 x2 – x3

11
2 1
P
= 9x - x2
x
Dalam persamaan produk total, jika konstanta k =0, sebab tidak akan ada barang (P)
yang dihasilkan jika tidak ada bahan (x) yang diolah atau digunakan.
Pustaka:
Dumairy, 1999., Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi, ed 2, BPFE UGM
Yogyakarta
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Dra. Yuni Astuti, MS. MATEMATIKA EKONOMI
13