Bab1-Konsep Dasar-Persamaan Diferensial

BAB 1
Konsep Dasar
1.1 Klasikasi Persamaan Difrensial
Pada umumnya dikenal dua jenis persamaan difrensial yaitu Persamaan Difrensial Biasa (PDB) dan Persamaan Difrensial Parsial (PDP). Untuk mengetahui
perbedaan kedua jenis persamaan difrensial itu dapat dilihat dalam denisi berikut.
Denisi 1.1.1 Persamaan Difrensial Suatu persamaan yang meliputi turunan
fungsi dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas
disebut Persamaan Difrensial. Selanjutnya jika turunan fungsi itu hanya tergantung pada satu variabel bebas maka disebut Persamaan Difrensial Biasa (PDB)
dan bila tergantung pada lebih dari satu variabel bebas disebut Persamaan Difrensial Parsial (PDP)
Contoh 1.1.1 Kelompokkan persamaan diferensial dibawah ini kedalam PDB
dan PDP.
1.
@y
@x
+ @y
@t +
xy
=5
1
BAB 1. KONSEP DASAR
+
+
2
2.
dy
dx
3.
@2y
@s2
+ @y
@t ; = 0
4.
d3 y
dx3
+
5.
@u
@x
6.
d2 y
dx2
dy
dx
2
;3 =0
x
y
2 3 2
+
d y
dx2
dy
dx
; =2
x
y
@u
+ @u
@y + @z = 5
5
dy
dx
+
d2 y
dx2
+
2
dy
dx
= 7 xy
Dalam bahan ajar ini pembahasan persamaan difrensial akan difokuskan pada
Persamaan Difrensial Biasa (PDB). Sehingga semua contoh soal dan aplikasinya
akan dikaitkan dengan model fenomena persamaan difrensial yang hanya terikat
pada satu variabel bebas.
Denisi 1.1.2 Order Order suatu PDB adalah order tertinggi dari turunan
dalam persamaan F (x y y
0
00
:::y
(n)
) = 0.
Denisi 1.1.3 Linieritas dan Homogenitas PDB Order dikatakan linier
n
bila dapat dinyatakan dalam bentuk
( )
a0 x y
(n)
+ 1( )
a
x y
(n;1)
+ + n( ) = ( )
a
x y
F x dimana a0 (x) 6= 0
Selanjutnya:
1. Bila tidak dapat dinyatakan dengan bentuk diatas dikatakan tak linier
2. Bila koe
sien a0 (x) a1 (x) : : : an (x) konstan dikatakan mempunyai koe
sien
konstan bila tidak, dikatakan mempunyai koe
sien variabel.
3. Bila F (x) = 0 maka PDB tersebut dikatakan homogen bila tidak, disebut
nonhomogen.
BAB 1. KONSEP DASAR
3
1.2 Solusi PDB
Berikut ini akan dijelaskan pengertian dan bentuk solusi suatu PDB.
Denisi 1.2.1 Suatu PDB order yang ditulis dalam persamaan berikut:
n
F
dimana
F
;
0
00
x y y y : : : y
(n)
)=0
(1.1)
adalah fungsi real dengan (n + 2) argumen akan mempunyai solusi
eksplisit dan implisit dengan ketentuan sebagai berikut:
1. Bila f adalah suatu fungsi dimana f 2 C (I ) dan f 2 C n (I ) untuk 8x 2 I
dan I adalah sebarang interval real, maka f dikatakan solusi eksplisit dari
(1.1) jika
F
;
0
00
x f f f : : : f
(n)
) 2 ( ) dan
C I
F
;
0
00
x f f f : : : f
(n)
)=0
untuk 8x 2 I .
2. Sedangkan g(x y) = 0 disebut solusi implisit dari (1.1) jika fungsi
pat ditransformasikan dalam fungsi eksplisit
f
g
da-
2 ( ) untuk 8 2 dan
C I
x
I
minimal satu merupakan solusi eksplisitnya.
Secara umum kedua solusi ini masih dikategorikan lagi kedalam tiga jenis
solusi yaitu
1. Solusi umum, yaitu solusi PDB yang mengandung konstanta esensial, katakanlah . Sebagai contoh, diketahui sutau PDB
C
umunnya adalah = ;1 3 +
y
=
3x
Ce
y
0
= 3 + 1 maka solusi
y
.
2. Solusi khusus, yaitu solusi yang tidak mengandung konstanta esensial yang
disebabkan oleh tambahan sarat awal pada suatu PDB. Misal PDB itu
y
0
= 3 + 1 (0) = 1 maka solusi khususnya adalah = ;1 3 + 43
y
y
y
=
e
3x
.
BAB 1. KONSEP DASAR
4
3. Solusi singular, yaitu solusi yang tidak didapat dari hasil mensubstitusikan
suatu nilai pada konstanta pada solusi umumnya. Contoh =
y
adalah solusi umum dari ( )2 +
y
0
xy
0
Cx
+
C
2
= , namun demikian disisi lain PDB
y
ini mempunyai solusi singular = ; 14 2.
y
x
1.3 Metoda Penyelesaian
Terdapat tiga jenis metoda yang dapat digunakan untuk menentukan solusi dari
suatu PDB yaitu:
1. Metoda Analitik. Metoda ini dapat menghasilkan dua bentuk solusi
yaitu bentuk eksplisit dan implisit, yang dicari melalui teknik deduktif
analogis dengan menggunakan konsep-konsep matematik. Kelebihannya
dapat mengetahui bentuk fungsi solusinya namun tidak cukup eksibel untuk masalah-masalah yang komplek. Dengan komputer dapat diselesaikan
dengan software MATLAB atau MAPLE. Prosedur dalam MATLAB ditulis
sebagai berikut:
%Menggunakan fungsi dsolve
dsolve('Dy=3*y+1, y(0)=1')
2. Metoda kualitatif . Solusi ini hanya dapat memberikan gambaran secara
geometris bagaimana visualisasi dari solusi PDB. Dengan mengamati pola
grak gradien "eld" (direction eld) maka dapat diestimasi solusi PDB
itu. Keunggulannya dapat memahami secara mudah kelakuan solusi suatu
PDB namun fungsi asli dari solusinya tidak diketahui, dan juga kurang
BAB 1. KONSEP DASAR
5
eksibel untuk kasus yang komplek. Dengan MATLAB direction eld dapat
digambar sebagai berikut:
%Menggunakan fungsi eldplot atau DEplot
%Misal akan diamati pola solusi dari PDB = 1 ; 2
with(plots):
eldplot( 1 ; 2 ] = ;1 4 = ;1 2
=
%Atau dengan menggunakan fungsi DEplot
eq1:=di(y(t),t)=1-2*t*y(t)
DEplot(eq1,y(t),t=-1..4,y=-1..2)
y
t
t
y t
:: y
0
ty
:: arrows
LI N E color
= )
t
Hasil dari menjalankan fungsi ini dapat dilihat pada gambar dibawah ini.
Gambar 1.1: Diagram kekonvekan untuk
D
2 R2
Atau dengan menggunakan prinsip-prinsip yang ada dalam matematika untuk menggambar suatu fungsi, (lihat KALKULUS).
3. Metoda Numerik. Pada saat sekarang metoda ini merupakan metoda
BAB 1. KONSEP DASAR
6
yang sangat eksibel. Metoda ini berkembangan sesuai dengan perkembangan komputer dan dapat menyelesaiakan suatu PDB dari level yang
mudah sampai level yang komplek. Walaupun fungsi solusi tidak diketahui secara eksplisit maupun implisit namun data yang diberikan dapat
divisualisir dalam grak sehingga dapat dianalisis dengan baik. Namun
metoda ini berdasarkan pada prinsip-prinsip aproksimasi sehingga solusi
yang dihasilkan adalah solusi hampiran (pendekatan). Sebagai konsukwensi dari penggunaan metoda ini adalah adanya evaluasi berulang dengan menggunakan komputer untuk mendapatkan hasil yang akurat. Salah
satu metoda ang telah anda kenal adalah metoda EULER dengan rumus
=
yn+1
yn
+
( ), (lihat catatan Algoritma dan Pemerograman).
hf t y
Dibawah diberikan programming metoda EULER dengan menggunakan
MATLAB programming.
%Programming Untuk Menyelesaikan PDB
% = ; 2 + 1 (0) = 0 5
%Dengan menggunakan metoda Euler
y
0
y
t
y
:
n=input('Jumlah iterasi :')
y(1)=0.5
t(1)=0
h=0.2
for i=2:n
fprintf('nn ( ) = 1 2 ( ; 1) ; 0 2 ( ; 1)2 + 0 2
( ) = (1) + ( ; 1) end
plot(t,y)
hold on
= 2 + 2 + 1 ; 0 5 ( )
plot(t,f,'o')
y i
t i
f
t
t:
:
i
:
t
y i
:
h
: :
exp t
t i
:
BAB 1. KONSEP DASAR
7
1.4 Masalah Nilai Awal (MNA)
Persamaan difrensial order satu secara umum ditulis dengan
y
0
=
dy
dx
dimana adalah kontinyu atas variabel
f
Misal (
x0 y0
= (
f x y
x y
)
pada domain
D
(dalam bidang
xy
).
) adalah titik pada , maka masalah nilai awal yang berkenaan
dengan dengan
D
y
0
= (
f x y
) adalah masalah untuk menentukan solusi
y
yang
memenuhi nilai awal ( 0) = 0. Dengan notasi umum sebabagai berikut:
y x
y
y
0
= (
)
f x y y
(0) =
(1.2)
y0
Permasalahannya sekarang apakah solusi ( ) yang memenuhi ( 0) =
y x
y x
y0
selalu ada (principle of existence) , kalau benar apakah solusi itu tunggal (principle of uniqueness). Pertanyaan ini merupakan hal yang sangat penting untuk didahulukan mengingat betapa kompleknya suatu model fenomena riel yang
banyak dimungkinkan tidak dapat diselesaikan dengan metoda analitik ataupun
kualitatif. Untuk memudahkan pemeriksaan awal tentang dua hal ini dalam hal
ini dikembangkan teorema Lipschitz dan teorema Picard.
Denisi 1.4.1 (Sarat Lipschitz) Suatu fungsi ( ) dikatakan memenuhi sarat
Lipschitz dalam variabel di suatu domain 2 R 2 jika ada konstanta
0
f t y
y
D
L >
sedemikian hingga
jj (
f t y1
); (
f t y2
)jj jj 1 ; 2jj
L
y
y
untuk sebarang (t y1 ) (t y2 ) 2 D. Selanjutnya konstanta L disebut sebagai konstanta Lipschitz.
BAB 1. KONSEP DASAR
8
Denisi 1.4.2 (Konvek) Suatu himpunan 2 R 2 dikatakn konvek bila untuk
sebarang ( 1 ) ( 2 ) 2 maka titik ((1 ; ) 1 + 2 (1 ; ) 1 + 2 ) juga
merupakan elemen dari untuk 2 0 1].
D
t y
t y
D
t
D
t y
y
Secara geometris dapat digambarkan sebagai berikut
(t , y )
1
(t , y )
1
1
(t , y )
2
1
(t 2 , y 2 )
2
Tidak Konvek
Konvek
Gambar 1.2: Diagram kekonvekan untuk
D
2 R2
Teorema 1.4.1 Teorema Lipschitz. Andaikata ( ) terde
nisi dalam himpunan konvek 2 R 2 dan ada konstanta
0 dimana
f t y
D
L >
( ) df
dy
t y
L
untuk semua ( ) 2
t y
(1.3)
D
maka f memenuhi suatu sarat Lipschitz.
Teorema 1.4.2 Misal = f( )j ;1 1g dan ( ) adalah
D
t y
a
t
b
y
f t y
fungsi kontinyu dalam D, kemudian bila f memenuhi sarat Lipschitz dalam variabel y maka masalah nilai awal
y
0
()= ( )
t
f t y a
t
( )=
b
y a
mempunyai solusi tunggal y(t) untuk a t b.
Contoh 1.4.1
y
0
= 1 + sin( )
t
ty 0 2
persamaan ini mempunyai solusi tunggal.
t
y
(0) = 0. Tentukan apakah
BAB 1. KONSEP DASAR
9
Penyelesaian 1.4.1 ( ) = 1 + sin( ), kemudian terapkan teorema nilai
f t y
t
ty
rata-rata pada KALKULUS yaitu untuk sebarang
2(
y1 y2
y1 < y2
, maka ada bilangan
) sedmikian hingga
(
f t y2
); (
y2
;
f t y1
y1
)=
@
@y
( ) = 2 cos( )
f t t
t :
Kemudian
(
f t y2
jj (
f t y2
); (
f t y1
); (
f t y1
) = ( 2 ; 1) 2 cos( )
y
y
t
t
)jj = jj( 2 ; 1) 2 cos( )jj
y
y
t
t
jj 2 ; 1jjjj 2 cos( )jj
y
y
t
t
2
jj 2 ; 1jjjj 0max
cos( )jj
t 2
y
y
t
t
= 4jj 2 ; 1jj
y
y
:
Degan demikian sarat Lipschitz terpenuhi yaitu jjf (t y1 ) ; f (t y2 )jj Ljjy1 ; y2 jj,
dimana konstanta Lipschitznya adalah L = 4, berarti persamaan itu mempunyai
solusi tunggal.
Teorema 1.4.3 Teorema Picard. Suatu masalah nilai awal = ( ) ( 0) =
0 mempunyai solusi tunggal = ( ) pada interval j ; 0 j , dimana adalah
y
y
y
x
x
x
0
f x y y x
bilangan positif dan kecil sekali, bila
1.
f
2 ( ) dimana adalah daerah pada bidang , yaitu = f( )
g
C D
D
xy
x < b c < y < d
2.
@y
@x
2 ( ) yang memuat nilai kondisi awal (
C D
x0 y0
)
D
x y a <
BAB 1. KONSEP DASAR
10
Latihan Tutorial 1
1. Kelompokkan persamaan diferensial dibawah ini kedalam PDB dan PDP.
(a)
@y
@x
+ @y
@t +
(b)
dy
dx
+
(c)
@2y
@s2
+ @y
@t ; = 0
(d)
d3 y
dx3
+
(e)
@u
@x
(f)
+
d2 y
dx2
=5
xy
2
dy
dx
;3 =0
x
y
2 3 2
+
d y
dx2
dy
dx
; =2
x
y
@u
+ @u
@y + @z = 5
5
+
dy
dx
+
d2 y
dx2
2
dy
dx
= 7 xy
2. Tentukan orde dan sifat-sifat kelinieran dari persamaan diferensial berikut
ini
+
=
(a)
@y
@x
(b)
d4 y
dx4
+3
(c)
d2 y
dx2
+
(d)
d6 u
dt6
+
(e)
x dy
(f)
d y
dx2
+
xsiny
d u
dt2
=
d5 u
dt5
(g)
(h)
2
y
x
x
xe
5
ysinx
y
=0
d2 u
dt2
+
2 5
d5 u
dt5
+
t
dy
dt
+(
t
u
=0
+ =2
2
t
u
) =
cos t y
(i) (1 + 2) dds2y2 +
s
+ =2
=0
2
y dx
4 q
2
d3 y
dt3
+5 =0
d2 y
dx2
s
dy
ds
+ =
y
2
t
s
e
BAB 1. KONSEP DASAR
(j)
(k)
(l)
+ ddt33y + ddt22y + = 0
d4 y
dt4
y
2
+
d3 y
dx3
+ dydt + (
d2 y
dt2
2
( )=0
2
( + 2)) =
xtan
cos
(m) (1 + 2 ) ddt22y +
t
(n)
11
+
d5 y
ds5
cosec
t
xy
t
+
dy
dt
y
t
2
=0
y
te
(2 2 ; 2) =
s
siny
3. Ulangilah soal nomor 2, tentukan sifat kehomgenan dari masing-masing soal
tersebut
4. Selidikilah apakah solusi yang diberikan merupakan solusi dari persamaan
diferensial berikut ini
(a)
y
(b)
ty
(c)
y
+ 2 ; 3 = 0
00
y
0
0
; = 2
y
(4)
()=3 +
t
+4
y
()=
(3)
y t
t
+3 = y
(e)
y
0
00
ty
0
y
; 2 = 1
ty
e
0
t >
()=
y t
t2
e
e
()=
e
y2 t
y2 t
t
2
( ) = 3t
()=
t
y1 t
t
(d) 2 2 + 3 ; = 0
t y
3t
;
y1 t
y
Rt
0
()=
1
t2 y1 t
s2 ds
;
e
+
t
;
+ 3t
()=
y2 t
t
1
;
t2
e
5. Cermati apakah fungsi solusi dibawah ini merupakan solusi terhadap masalah
nilai awal yang bersesuaian
(a)
y
(b)
y
(c)
y
0
=; y
y
(0) = 2
00
+ 4 = 0
00
+ 3 + 2 = 0
y
y
0
y
( )=2
y
y x
(0) = 1
y
y
0
x
;
e
(0) = 0
(0) = 0
y
0
( )=
y x
(0) = 1
(2 )
cos
( )=
y x
x
x
;
e
;
e
2x
;
6. Periksalaha mana diantara soal berikut ini yang memenuhi teorema Lipschitz:
BAB 1. KONSEP DASAR
(a) ( ) = cos
f t y
y
0 1
t
t
(b) ( ) = 1 + sin
f t y
t
(c) ( ) = 2t +
4t3 y
(d) ( ) = 1+
t4
f t y
t
1 2
t e t
0 1
y
0 2
y
2 2
y
f t y
12
t
y
(0) = 1
y
y
(0) = 0
(1) = 0
(0) = 1
dan tentukan besar konstanta Lipschitz dari masing-masing soal ini.
7. Selidiki apakah persamaan diferensial berikut ini mempunyai solusi tunggal
pada interval yang memuat kondisi awal berikut
(a)
y
(b)
y
(c)
y
(d)
y
0
= ;1 ; 2
0
= ;2 + ;
0
=
0
= ; xy
y
t
+
t
;
e
y
(0) = 0
y
y
(1) = 3
y
y
y
(0) = 1
(0) = 1
8. Tentukan untuk titik-titik (
x0 y0
) yang mana PDB berikut ini memenuhi
teori kewujudan dan ketunggalan dari Picard.
(a)
y
(b)
y
(c)
y
0
= xx2 +yy
(d) 2
;
0
= (2 ; ) 31
0
= (1 ;
x
xy
0
=
x
y
2
2
x
+
; 2 2)
xy
y
2
3
2