Statistika - evangsmailoa

&
Probabilitas
Statistika
Dispersi
Data
Dispersi Data
 Dispersi adalah ukuran penyebaran suatu
kelompok data terhadap pusat data.
 Beberapa jenis ukuran dispersi data :
 Jangkauan (range)
 Simpangan rata-rata (mean deviation)
 Variansi (variance)
 Standar deviasi (standard deviation)
 Simpangan kuartil (quartile deviation)
 Koefisien variasi (coeficient of variation)
Jangkauan (Range)
 Dirumuskan : Range (r) = nilai max - nilai min
 Contoh 1. untuk data tak berkelompok:
Data 1: 50,50,50,50,50 ; mempunyai r = 50-50=0
Data 2: 30,40,50,60,70 ; mempunyai r = 70-30=40
 Contoh 2. untuk data berkelompok:
Kelas Berat Badan
Nilai Tengah(X)
Frekuensi (f)
60-62
63-65
66-68
69-71
72-74
61
64
67
70
73
5
18
42
27
8
mempunyai range data = 73 – 61 = 12
Simpangan Rata-rata (SR)
 Dirumuskan :
SR adalah jumlah nilai mutlak dari selisih semua
nilai dengan nilai rata-rata dibagi banyaknya data.
 Bila data tidak berkelompok, maka:
|X X |

SR 
n
 Bila data berkelompok, maka:
SR 

f |X X |
n
, di mana n   f
di mana :
X  nilai data
X  rata  rata hitung
n  banyak data
Simpangan Rata-rata (SR)
Contoh 3. untuk data tak berkelompok:
Tentukanlah simpangan rata-rata untuk kelompok data :
20, 30, 50, 70, 80!
Jawab
Rata  rata hitung
X  50 dan n  5, maka
| 20  50 |  | 30  50 |  | 50  50 |  | 70  50 |  | 80  50 |
5
30  20  0  20  30
100


 20
5
5
SR 
Simpangan Rata-rata (SR)
Contoh 4. untuk data berkelompok:
Tentukanlah SR data modal 40 perusahaan berikut!
Kelas (Modal)
Nilai Tengah (X)
Frekuensi (f)
112-120
121-129
130-138
139-147
148-156
157-165
166-174
116
125
134
143
152
161
170
4
5
8
12
5
4
2
 f  40
Simpangan Rata-rata (SR)
Jawaban
Tentukanlah SR data modal 40 perusahaan berikut! Dimana
rata – rata = 140,525
Kelas (Modal)
Nilai Tengah (X)
f
112-120
121-129
130-138
139-147
148-156
157-165
166-174
116
125
134
143
152
161
170
4
5
8
12
5
4
2
X–X
24,525
15,525
6,525
2,475
11,475
20,475
29,475
40
SR 
f
|X X |
f

455,850
 11,396
40
f |X – X|
98,100
77,625
52,200
29,700
57,375
81,900
58,950
455,950
Variansi (Variance)
 Dirumuskan :
Variansi adalah rata-rata kuadrat selisih atau
kuadrat simpangan dari semua nilai data terhadap
rata-rata hitung.
 Bila data tidak berkelompok, maka:
S
2
(X  X )

2
n 1
 Bila data berkelompok, maka:
S2 
 f (X  X )
n 1
2
di mana :
, di mana n   f
X  nilai data
X  rata  rata hitung
n  banyak data
Variansi (Variance)
Contoh 5. untuk data tak berkelompok:
Tentukanlah variansi untuk kelompok data :
20, 30, 50, 70, 80!
Jawab
(20  50) 2  (30  50) 2  (50  50) 2  (70  50) 2  (80  50) 2
S 
5 1
900  400  0  400  900

 650
4
2
Variansi (Variance)
Contoh 6. untuk data berkelompok:
Tentukanlah variansi data modal 40 perusahaan berikut!
Kelas (Modal)
Nilai Tengah (X)
Frekuensi (f)
112-120
121-129
130-138
139-147
148-156
157-165
166-174
116
125
134
143
152
161
170
4
5
8
12
5
4
2
 f  40
Variansi (Variance)
Jawaban
Kelas (Modal)
Nilai Tengah (X)
f
112-120
121-129
130-138
139-147
148-156
157-165
166-174
116
125
134
143
152
161
170
4
5
8
12
5
4
2
(X – X)2
601,4756
241,0256
42,5756
6,1256
131,6756
419,2256
868,7756
40
S
2
 f (X  X )

n 1
2

8097,9741
 207,64
39
f |X – X|2
2405,9024
1205,1280
340,6048
73,5072
658,3780
1676,9024
1737,5513
8097,9741
Standar Deviasi (Standard Deviation)
 Dirumuskan :
Standar Deviasi adalah akar pangkat dua dari variansi.
 Bila data tidak berkelompok, maka:
S 
(X
 X )2
n 1
 Bila data berkelompok, maka:
S 
2
 f (X  X )
n 1
2
, di mana n   f
Standar Deviasi (Standard Deviation)
Contoh 7. untuk data tak berkelompok:
Tentukanlah standar deviasi untuk kelompok data :
20, 30, 50, 70, 80!
Jawab
(20  50) 2  (30  50) 2  (50  50) 2  (70  50) 2  (80  50) 2
S
5 1
900  400  0  400  900

 650  25,495
4
Standar Deviasi (Standard Deviation)
Contoh 8. untuk data berkelompok:
Tentukanlah standar deviasi data modal 40 perusahaan
berikut!
Kelas (Modal)
Nilai Tengah (X)
Frekuensi (f)
112-120
121-129
130-138
139-147
148-156
157-165
166-174
116
125
134
143
152
161
170
4
5
8
12
5
4
2
 f  40
Standar Deviasi (Standard Deviation)
Jawaban
Kelas (Modal)
Nilai Tengah (X)
f
112-120
121-129
130-138
139-147
148-156
157-165
166-174
116
125
134
143
152
161
170
4
5
8
12
5
4
2
(X – X)2
f |X – X|2
601,4756
241,0256
42,5756
6,1256
131,6756
419,2256
868,7756
40
S
 f (X  X )
n 1
2

8097,9741

39
2405,9024
1205,1280
340,6048
73,5072
658,3780
1676,9024
1737,5513
8097,9741
207,64  14,410
Simpangan Kuartil
(Quatile Deviation)
 Simpangan Kuartil adalah setengah jarak
antara kuartil ke 3 dan kuartil ke 1.
 Rumusnya:
SK = [ K3 – K1 ] / 2
Koefisien Variasi
(Coeficient of Variance)
 Digunakan untuk membandingkan beberapa
kumpulan data yang berbeda.
 Rumusnya:
S
V  100%
X
V = Ukuran variasi relatif (koefisien variasi)
S = Simpangan baku
X = Mean
Koefisien Variasi
(Coeficient of Variance)
 Contoh 9.
Hasil ujian dari 120 orang
• MK Statistika
– Rata-rata = 65
– Simpangan Baku = 30
• MK Matematika
– Rata-rata = 56
– Simpangan Baku = 23
Hasil ujian matakuliah manakah
yang variansinya lebih besar?
Karena Vs > Vm
berarti hasil ujian
statistika lebih bervariasi
(heterogen) dibanding
hasil ujian matematika!
Kemiringan Distribusi Data
 Kemiringan adalah derajat atau ukuran dari asimetri
suatu distribusi data, ada tiga jenis :
a) Simetris
Letak nilai rata-rata hitung, median dan modus berhimpit
b) Miring ke kanan/kemiringan positif
Nilai modus paling kecil dan rata-rata hitung paling besar
c) Miring ke kiri/ kemiringan negatif
Nilai modus paling besar dan rata-rata hitung paling kecil
Kemiringan Distribusi Data
Simetris
Miring Kanan
Miring Kiri
frekuensi
x
frekuensi
frekuensi
x
x
Mod=Med=X
Mod
Med X
Mod Med X
Kemiringan Distribusi Data
 Beberapa cara yang dipakai untuk menghitung
derajat kemiringan distribusi data:
a) Pearson
b) Momen
c) Bowley
Pearson
• Dirumuskan :
• Rumus ini dapat dipakai untuk data tidak berkelompok
maupun data berkelompok, dengan aturan sbb:
– Bila  = 0, distribusi data simetri
– Bila  = negatif, distribusi data miring ke kiri
– Bila  = positif, distribusi data miring ke kanan
• Semakin besar , distribusi data akan semakin miring atau
makin tidak simetri.
Momen
• Dirumuskan :
Bila data tidak berkelompok, maka:
Bila data berkelompok, maka:
Bila 3 = 0, distribusi data simetri
Bila 3 < 0, distribusi data miring ke kiri
Bila 3 > 0, distribusi data miring ke kanan
Bowley
• Dirumuskan :
Jika distribusi simetris maka
sehingga
mengakibatkan
Jika distribusinya MIRING, ada 2 kemungkinan:
Q1 = Q2 maka  = 1
Q2 = Q3 maka  = -1
 = 0.
Mari dikerjakan..... 
Diketahui data berat badan 100 mahasiswa
kelas Statistika dan Probabilitas adalah
sebagai berikut:
Berat Badan
60 – 62
63 – 65
66 – 68
69 – 71
72 – 74
Frekuensi (f)
5
18
27
8
42
100
Mari dikerjakan..... 
Tentukanlah:
1. Jangkauan, Simpangan Rata-rata, Variansi, dan
Standar Deviasi-nya.
2. Derajat kemiringan dan jenisnya dari data tersebut!
Silahkan kerjakan secara matematis (gunakan rumus yang tadi
dipelajari) dan buktikan dengan SPSS! (harus disertai printscreen).
Boleh melakukan diskusi tetapi dilarang menyontek!
Kumpulkan secara pribadi ke [email protected] dengan
subject: dispersi_data_NIM. Paling lambat pukul 12.00WIB
Keruncingan Distribusi Data
 Keruncingan adalah derajat atau ukuran tinggi
rendahnya puncak suatu distribusi data terhadap
distribusi normalnya data, ada tiga jenis:
a) Leptokurtis
Distribusi data yang puncaknya relatif tinggi.
b) Mesokurtis
Distribusi data yang puncaknya normal.
c) Platikurtis
Distribusi data yang puncaknya rendah atau terlalu datar.
Keruncingan Distribusi Data
Leptokurtis
Platikurtis
Mesokurtis
frekuensi
frekuensi
frekuensi
Puncak runcing
Puncak normal
Puncak tumpul
Koefisien Kurtosis
• Dirumuskan :
Bila data tidak berkelompok, maka:
Bila data berkelompok, maka:
Bentuk kurva keruncingan – kurtosis:
Mesokurtik,
4 = 3
Leptokurtik,
4 > 3
Platikurtik,
4 < 3
Mau bertanya..?