Metode Interpolasi Selisih-terbagi Newton

Metode Interpolasi
Selisih-terbagi Newton
Metode Numerik
Ir. Kutut Suryopratomo, MT, MSc
Teknik Fisika, Universitas Gadjah Mada
1
Interpolasi & Regresi
 Keduanya sama-sama metode
penaksiran suatu nilai berdasarkan
sehimpunan data yang dimiliki.
 Keduanya berbeda dalam hal
bagaimana fungsi penaksir disusun
berdasarkan himpunan data yang
dimiliki.
2
Fungsi Penaksir Interpolasi
 Fungsi penaksir disusun agar tepat
memenuhi semua nilai himpunan
data yang diberikan.
 Interpolasi baik dilakukan jika
data yang dimiliki presisi atau
sebarannya nihil.
3
Fungsi Penaksir Regresi
 Fungsi penaksir disusun agar paling
pas/baik memodelkan kecenderungan
perubahan yang diperlihatkan oleh
himpunan data yang diberikan.
 Regresi dilakukan jika
data yang dimiliki kurang presisi atau
sebarannya signifikan.
4
Ide dasar Interpolasi
 Jika diberikan sehimpunan n+1 data:
(xi, yi) dengan i=0..n
 Dari data disusun fungsi penaksir
y=f(x) yang memenuhi ketentuan
nilai f(xi) = yi di semua nilai
himpunan data.
5
Ide dasar Interpolasi
7
6
5
y
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
x
6
Fungsi2 Penaksir
 Fungsi penaksir yang paling sering dipilih
adalah polinom, karena mudah:
 Dievaluasi,
 Diturunkan, dan
 Diintegralkan.
x
 Polinom penaksir bisa berupa:
 1 fungsi untuk seluruh himpunan data, atau
 1 fungsi per pasang data.
7
Fungsi2 Penaksir
 Polinom penaksir bisa dibentuk dalam
berbagai ungkapan:
 Langsung
f x   a0  a1 x  a2 x 2  a3 x 3  ...
 Tak Langsung
x
 Lagrange
f x   L0 y0  L1 y1  L2 y2  ...  Ln yn
 Selisih-terbagi Newton
f x   a0  a1 x  x0   a2 x  x0 x  x1   ...
 Spline – 1 polinom per pasang data
8
Fungsi Penaksir
Metode Selisih-terbagi Newton
9
Fungsi Penaksir
Metode Selisih-terbagi Newton
 Dari (n+1) data: (xi, yi) dg i=0..n bisa
disusun polinom orde n.
 Polinom penaksir dipilih berbentuk:
f  x   a0
 a1 x  x0 
 a2 x  x0 x  x1 
 a3 x  x0 x  x1 x  x2 
 ...
 Koefisien a0, a1, …, an ditentukan dengan
mensyaratkan: f(xi) = yi.
10
Jarak interval seragam
Metode Selisih-terbagi Newton
11
Koefisien Fungsi Penaksir
Interval antar-x seragam (h)
 Di x=x0, f(x0)=y0:
y 0  a0
 a1  x0  x0 



0
 a2  x0  x0  x0  x1 



0
 a3  x0  x0  x0  x1  x0  x2   ...



0
a0  y 0
12
Koefisien Fungsi Penaksir
Interval antar-x seragam (h)
 Di x=x1, f(x1)=y1:
y1  y0
 a1 x1  x0 
 a2  x1  x0 x1  x1 



0
 a3  x1  x0  x1  x1  x1  x2   ...



0
a1 
y1  y0 y1  y0

x1  x0
h
13
Koefisien Fungsi Penaksir
Interval antar-x seragam (h)
 Di x=x2, f(x2)=y2:
y 2  y0

y1  y0
x2  x0 
x1  x0
 a2  x2  x0 x2  x1 
 a3  x2  x0 x2  x1  x2  x2   ...



0
y1  y0
y2  y1 y1  y0
y 2  y0 
2h

y

2
y

y
h
h
h
1
0
a2 
 2

2h  h
2h 2
2h
14
Koefisien Fungsi Penaksir
Interval antar-x seragam (h)
a0  y0  0 y0
y1  y0
 1 y0
h
y2  y1 y1  y0

1 y1  1 y0
h
h
a2 

 2 y0
2h
2h
.
a1 
.
.
2 y1  2 y0
a3   y0 
3h
n 1 y1  n 1 y0
n
an   y0 
nh
3
15
Koefisien Fungsi Penaksir
Interval antar-x seragam (h)
 Evaluasi koefisien a0 s/d an menjadi
sangat mudah dilakukan dengan
bantuan tabel pada slide berikut.
a0  0 y0  y0  data
a1  1 y0
a2  2 y0
a3  3 y0
n 1
n 1

y


y0
n
1
an   y0 
nh
16
Persamaan Interpolasi
 Persamaan Interpolasi dengan
demikian bisa ditulis sebagai:
f x   0 y0
 1 y0 x  x0 
 2 y0 x  x0 x  x1 
 3 y0 x  x0 x  x1 x  x2 
 4 y0 x  x0 x  x1 x  x2 x  x3 
 ...
17
x0
y0=a0
1y0=a1
x1
2y0=a2
y1
1y1
x2
3y0=a3
2y1
y2
1y2
x3
1y3
x4
y4
3y0
2y2
y3
4y0=a4
Contoh:
 Diberikan data berikut:
i
0
1
2
3
4
xi
1
2
3
4
5
yi
9,78
12,51
17,18
23,77
32,28
19
Grafik Sebaran Data
35
30
25
y
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
x
20
1
9,78
2,73
2
12,51
0,97
4,67
3
17,18
-0,00221
0,96
6,60
4
23,77
-0,00012
-0,0027
0,96
8,51
5
32,28
f  x   9,78
 2,73 x  1
 0,97 x  1 x  2 
 0,00221 x  1 x  2  x  3
 0,00012 x  1 x  2  x  3 x  4 
f  x   0 y0
 1 y0  x  x0 
 2 y0  x  x0  x  x1 
 3 y0  x  x0  x  x1  x  x2 
 4 y0  x  x0  x  x1  x  x2  x  x3 
Eksak vs. Prediksi
 Himpunan 5 pasangan data dalam
contoh ini sebenarnya dihitung dari
fungsi:
f ( x)  10  x 2  exp  15 x 
 Dengan demikian, nilai prediksi
dengan fungsi interpolasi bisa
dibandingkan dengan nilai eksaknya.
22
Eksak vs. Prediksi
Eksak
Prediksi
22
20
f ( x)  10  x 2  exp  15 x 
18
f  x   9,78
y
16
 2,73 x  1
14
 0,97 x  1 x  2 
12
 0,00221 x  1 x  2  x  3
10
 0,00012 x  1 x  2  x  3 x  4 
8
0
1
2
3
4
x
23
Error Prediksi
x
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
y
exact
8,99
9,00
9,03
9,08
9,14
9,23
9,34
9,47
9,61
9,78
y
predicted
8,99
9,00
9,03
9,08
9,14
9,23
9,34
9,47
9,61
9,78
error abs %
0,0047
0,0036
0,0028
0,0020
0,0015
0,0010
0,0006
0,0003
0,0001
0,0000
24
Jarak interval sembarang
Metode Selisih-terbagi Newton
25
Koefisien Fungsi Penaksir
Interval antar-x sembarang
 Dengan cara serupa seperti pada
kasus dengan interval antar-x
seragam, akan bisa diperoleh hasil
serupa pula.
 Perbedaan hanya terletak pada nilai
selisih penyebutnya saja.
26
Koefisien Fungsi Penaksir
Interval antar-x sembarang
a0  y0  0 y0
a1 
y1  y0
 1 y0
x1  x0
y2  y1 y1  y0

x2  x1 x1  x0 1 y1  1 y0
a2 

 2 y0
x2  x0
x2  x0
.
.
2 y1  2 y0
a3   y0 
x3  x0
3
n 1 y1  n 1 y0
an   y0 
xn  x0
n
27