BAB II KAJIAN PUSTAKA Kajian pustaka pada bab ini akan

BAB II
KAJIAN PUSTAKA
Kajian pustaka pada bab ini akan membahas tentang pengertian dan
penjelasan yang berkaitan dengan fungsi, turunan parsial, pemrograman linear,
pemrograman nonlinear, fungsi konveks dan konkaf, pengali lagrange, dan
pemrograman kuadratik. Kajian pustaka pada penelitian ini akan digunakan pada
bab selanjutnya.
A. Fungsi
Definisi 2.1. Fungsi (Varberg dan Purcell, 2010 : 29)
Sebuah fungsi
setiap objek
adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan
dalam himpunan yang pertama, disebut daerah asal, dengan
sebuah nilai tunggal
dari himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperoleh
secara demikian disebut daerah hasil fungsi pertama.
Contoh 2.1
Jika
adalah fungsi dengan aturan
{
dan daerah asal dirinci sebagai
} maka daerah hasilnya adalah {
}.
Definisi 2.2. Fungsi Konstanta (Varberg dan Purcell, 2010 : 38)
Suatu fungsi yang berbentuk
dengan
disebut fungsi konstanta.
Contoh 2.2
merupakan fungsi konstanta.
9
konstanta (bilangan real)
Definisi 2.3. Fungsi Identitas (Varberg dan Purcell, 2010 : 38)
Fungsi
, dengan
variabel disebut fungsi identitas.
Contoh 2.3
Fungsi
merupakan fungsi identitas.
Definisi 2.4. Fungsi Polinomial (Varberg dan Purcell, 2010 : 39)
Sebarang fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi konstanta dan fungsi
identitas dengan menggunakan operasi penambahan, pengurangan, dan
perkalian disebut fungsi polinomial.
Suatu fungsi polinomial dapat ditulis dalam bentuk
dengan
, maka
anggota bilangan real. Jika
adalah derajat fungsi polinomial tersebut.
Contoh 2.4
Fungsi
merupakan fungsi polinomial.
Definisi 2.5. Pertidaksamaan Linear (Winston, 2003: 52)
Untuk sebarang fungsi linear
dan sebarang bilangan
pertidaksamaan
dan
,
disebut
pertidaksamaan linear.
Contoh 2.5
dan
sedangkan
merupakan pertidaksamaan linear,
bukan merupakan pertidaksamaan linear.
B. Turunan
Definisi 2.6 (Varberg dan Purcell , 2010: 100)
Turunan fungsi
adalah
yang nilainya pada sebarang
10
adalah
Asalkan limit ini ada.
Contoh 2.6 (Varberg dan Purcell, 2010: 100)
Diberikan fungsi
, tentukan
.
Penyelesaian
[
Jika suatu fungsi
]
memiliki
[
]
variabel, maka turunan fungsi
merupakan
turunan parsial.
C. Turunan Parsial
Definisi 2.7 (Purcell dan Varberg, 2011: 104)
Jika
terhadap
suatu fungsi dengan
di
variabel, maka turunan parsial fungsi
dinyatakan oleh
didefinisikan oleh:
Turunan parsial terhadap
didefinisikan dengan cara yang sama.
11
atau
Contoh 2.7
Diberikan fungsi
. Tentukan turunan parsial
terhadap
Penyelesaian
Berikut diberikan notasi turunan parsial untuk
1.
variabel dan dua variabel.
Turunan parsial fungsi n variabel
Diberikan fungsi
variabel dari
dengan persamaan
, maka turunan-turunan parsialnya yaitu:
Khusus untuk fungsi tiga variabel dari
dengan persamaan
, maka turunan-turunan parsialnya yaitu
,
12
2.
Turunan Parsial Dua Variabel
Pengertian dan notasi turunan parsial derajat dua fungsi
dinyatakan dalam simbol-simbol berikut:
D. Fungsi Konveks dan Konkaf
Berikut diberikan definisi fungsi naik dan turun serta fungsi konkaf dan
konveks.
Definisi 2.8 (Varberg dan Purcell, 2010 : 155)
Misalkan
terdefinisi pada interval
(terbuka, tertutup, atau tidak satupun)
maka
i.
naik pada jika untuk setiap pasang bilangan
dan
dalam ,
,
ii.
turun pada jika untuk setiap pasang bilangan
dan
,
iii.
monoton murni pada jika
naik atau turun pada .
13
dalam ,
Contoh 2.8
Diberikan fungsi
, kapan fungsi tersebut naik dan
fungsi tersebut turun?
Penyelesaian
Diperoleh turunan pertama sebagai berikut:
Dengan menyelesaikan pertidaksamaan
, disimpulkan bahwa
[
naik pada
dan
] dan [
,
turun pada
].
Teorema 2.1 (Varberg dan Purcell, 2010 : 157)
Misalkan
i.
terdiferensial dua kali untuk semua
Jika
, maka
cekung keatas atau konveks untuk semua
, maka
cekung kebawah atau konkaf untuk semua
,
ii.
Jika
.
Definisi 2.9 (Varberg dan Purcell, 2010 : 156)
Misalkan
terdiferensial untuk semua
maka
keatas atau konveks jika
naik untuk semua
dan
kebawah atau konkaf jika
turun untuk semua
.
14
dikatakan cekung
dikatakan cekung
Contoh 2.9 (Varberg dan Purcell, 2010: 157)
Diberikan fungsi
, kapan fungsi tersebut cekung
keatas, dan cekung ke bawah?
Penyelesaian
Diperoleh turunan pertama dan kedua sebagai berikut:
Dengan menyelesaikan pertidaksamaan
, disimpulkan bahwa
[
dan
] dan [
naik pada
,
]. Dengan menyelesaikan pertidaksamaan
diperoleh bahwa
konkaf ke atas
pada
turun pada
dan
dan konkaf ke bawah pada
.
Turunan kedua dari fungsi
disimpulkan bahwa
naik jika
adalah turunan pertama dari
positif dan
turun jika
, sehingga dapat
negatif.
Turunan parsial kedua dapat digunakan untuk menguji konveks atau
konkafnya suatu fungsi
satu variabel
dengan banyak variabel. Uji konveksitas untuk fungsi
yang memiliki turunan kedua untuk setiap
Dengan demikian, fungsi
yang mungkin.
bersifat (Hillier dan Lieberman, 2008: 473):
1.
Konveks jika dan hanya jika
untuk setiap nilai
2.
Konveks ketat jika dan hanya jika
yang mungkin,
untuk setiap nilai
yang
mungkin,
3.
Konkaf jika dan hanya jika
untuk setiap nilai
15
yang mungkin,
4.
Konkaf ketat jika dan hanya jika
untuk setiap nilai
yang
mungkin.
Misal terdapat dua variabel
maka uji konveksitas dapat dilihat pada
Tabel 2.1.
Tabel 2.1 Fungsi Konveks dan Konkaf dengan Dua Variabel
Kuantitas
[
E.
Konveks
Konveks
Ketat
Konkaf
Konkaf
Ketat
]
MAKSIMUM DAN MINIMUM
Berikut diberikan definisi nilai maksimum dan nilai minimum.
Definisi 2.10 (Varberg dan Purcell, 2010: 151)
Jika
i.
domain dari
maka
adalah nilai maksimum dari
semua
ii.
yang memuat titik
di
jika
untuk
,
adalah nilai minimum dari
di
jika
untuk semua
,
iii.
adalah nilai ekstrim dari
atau nilai minimum,
16
di
jika ia berupa nilai maksimum
iv.
Fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan disebut fungsi
tujuan.
Contoh 2.10 (Varberg dan Purcell, 2010: 153)
pada [
Tentukan nilai maksimum dan minimum dari
].
Penyelesaian
Turunan pertama dari fungsi tersebut adalah
dan nol jika
ujungnya
terdefinisi pada
sehingga titik kritisnya
dan
. Sedangkan titik
, sehingga
,
,dan
Dengan demikian diperoleh nilai minimum fungsi
dan nilai maksimum fungsi
adalah
di
adalah
di
.
F. Titik Kritis
Berikut diberikan teorema titik kritis.
Teorema 2.2 (Varberg dan Purcell, 2010:152)
(Teorema Titik Kritis) Andaikan fungsi
memuat titik c. Jika
didefinisikan pada selang
adalah nilai ekstrim, maka
haruslah berupa suatu titik
kritis, yakni berupa salah satu dari:
1) Titik ujung dari ,
2) Titik stasioner dari ; titik dimana
3) Titik singular dari ; titik dimana
17
yang
atau
.
Bukti:
berupa nilai maksimum
pada
dan misalkan bahwa
ujung atau pun titik singular. Harus diperlihatkan bahwa
adalah nilai maksimum, maka
Jadi, jika
sehingga
bukan titik
adalah titik stasioner.
untuk semua
dalam , yaitu
maka
1)
Sedangkan jika
, maka
2)
bukan titik singular maka
ada. Akibatnya, untuk
dalam
Persamaan (1)
untuk
dalam Persamaan (2), maka diperoleh
Jadi dapat disimpulkan bahwa
atau
merupakan titik stasioner.
Teorema 2.3 (Varberg dan Purcell, 2010 : 155)
Misalkan f kontinu pada interval
dan terdiferensial pada setiap titik-dalam
dari
i.
Jika
ii. Jika
untuk semua titik-dalam , maka f naik pada ,
untuk semua titik-dalam , maka f turun pada .
18
Bukti :
Misalkan
terdefinisi pada selang untuk semua
Jika
titik-dalam dari .
, maka dapat ditulis
i.
berarti
Menurut Definisi 2.8 i, fungsi
ii.
naik.
berarti
Menurut Definisi 2.8 ii, fungsi
turun.
Teorema 2.4 (Varberg dan Purcell, 2010 : 163)
Misalkan
kontinu pada interval terbuka
yang memuat sebuah titik
kritis .
i.
Jika
untuk semua
dalam
, maka
ii. Jika
, maka
iii. Jika
dan
untuk semua
adalah nilai maksimum lokal ,
untuk semua
dalam
dalam
dalam
dan
untuk semua
adalah nilai minimum lokal ,
bertanda sama pada kedua pihak , maka
bukan nilai
ekstrim lokal .
Bukti :
i.
Karena
2.3
naik pada
untuk semua
dalam
. Demikian pula karena
19
, maka menurut Teorema
untuk semua
dalam
, maka
turun pada
dalam
, kecuali di
. Jadi
untuk semua
. Dapat disimpulkan bahwa
adalah
maksimum lokal.
Demikian pula untuk pembuktian ii dan iii.
G. Matriks Hessian
Matriks Hessian adalah matriks yang setiap elemennya dibentuk dari
turunan parsial kedua dari suatu fungsi. Misalkan
variabel, maka matriks Hessian dari
suatu fungsi dengan
yaitu :
[
]
H. Matriks Definit Positif dan Definit Negatif
Berikut diberikan definisi matriks definit positif dan definit negatif
Definisi 2.11 (Anton, 1995: 320)
Diberikan A matriks persegi
, maka berlaku :
a. Matriks A disebut Definit Positif
,
b. Matriks A disebut Definit Negatif
,
c. Matriks A disebut Semi Definit Positif
d. Matriks A disebut Semi Definit Negatif
.
20
,
,
Contoh 2.11
*
Diketahiu matriks
definit negatif atau tidak definit. Jika
[
[
]*
definit positif,
dinyatakan dalam bentuk kuadratik, maka
+* +
]* +
Berdasarkan Definisi 2.11, matriks
I.
+. Akan diselidiki apakah
merupakan semi definit positif.
PEMROGRAMAN LINEAR
Pemrograman linear merupakan salah satu teknik dari riset operasi untuk
memecahkan permasalahan optimasi (maksimum atau minimum) dengan
menggunakan persamaan dan pertidaksamaan linear dalam rangka untuk mencari
pemecahan yang optimal dengan memperhatikan pembatasa-pembatasan yang ada
(Supranto, 1991 : 43). Fungsi linear yang hendak dicari nilai optimum berbentuk
sebuah persamaan yang disebut fungsi tujuan. Fungsi linear yang harus terpenuhi
dalam
optimasi
fungsi
tujuan,
dapat
berbentuk
persamaan
maupun
pertidaksamaan yang disebut fungsi kendala (Dumairy, 2012 : 344).
Siswanto (2007 : 26) menyebutkan definisi pemrograman linear yaitu sebagai
metode matematis yang berbentuk linear untuk menentukan suatu penyelesaian
optimal dengan cara memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan
terhadap suatu susunan kendala. Secara keseluruhan, berdasarkan definisi maka
tujuan pemrograman linear adalah memecahkan persoalan memaksimumkan atau
meminimumkan untuk mendapatkan penyelesaian optimal.
21
Masalah pemrograman linear pada dasarnya memiliki ketentuan-ketentuan
berikut ini (Winston, 2003 : 53):
1.
Masalah pemrograman linear berkaitan dengan memaksimumkan (pada
umumnya keuntungan) atau meminimumkan (pada umumnya biaya)
yang disebut sebagai fungsi tujuan dari pemrograman linear. Fungsi
tujuan ini terdiri dari variabel-variabel keputusan.
2.
Terdapat
kendala-kendala
atau
batasan-batasan
yang
membatasi
pencapaian tujuan yang dirumuskan dalam fungsi-fungsi kendala yang
terdiri dari variabel-variabel keputusan yang menggunakan sumbersumber daya yang terbatas.
3.
Ada pembatasan tanda untuk setiap variabel dalam masalah ini. Untuk
sebarang
, pembatasan tanda menentukan
harus non negatif
).
4.
Memiliki sifat linearitas. Sifat ini berlaku untuk semua fungsi tujuan dan
fungsi-fungsi kendala.
Terdapat tiga unsur utama yang membangun suatu pemrograman linear yaitu
(Siswanto, 2007 : 26):
1.
Variabel keputusan.
Variabel keputusan adalah variabel yang akan mempengaruhi nilai
tujuan yang hendak dicapai. Pada proses pembentukan suatu model,
menentukan variabel keputusan merupakan langkah pertama sebelum
menentukan fungsi tujuan dan fungsi kendala.
22
2.
Fungsi tujuan.
Fungsi tujuan pada model pemrograman linear haruslah berbentuk
linear.
Selanjutnya,
fungsi
tujuan tersebut
dimaksimalkan atau
diminimalkan terhadap fungsi-fungsi kendala yang ada.
3.
Fungsi kendala.
Kendala dapat dikatakan sebagai suatu pembatas terhadap variabelvariabel keputusan yang dibuat.
Fungsi
kendala untuk model
pemrograman linear juga harus berupa fungsi linear.
Secara umum, masalah pemrograman linear dapat dirumuskan sebagai berikut
(B. Susanta, 1994:6)
Memaksimumkan / Meminimumkan
(2.1)
dengan kendala
(2.2)
Dalam hal ini,
[
]
(2.3)
(2.4)
[
[
]
]
(2.5)
23
[
Matriks
]
(2.6)
merupakan matriks satu kolom dari variabel yang akan dicari.
merupakan matriks satu baris dari koefisien ongkos
koefisien dari persamaan kendala dan
, matriks
adalah matriks
adalah matriks kolom dari ruas kanan
persamaan kendala.
Jika Persamaan (2.1) dan (2.2) diuraikan menjadi penjumlahan aljabar menjadi
Memaksimumkan / Meminimumkan
(2.7)
dengan kendala
(2.8a)
(2.8b)
(2.8c)
(2.8d)
J.
Metode Simpleks
Metode simpleks merupakan prosedur aljabar yang bersifat iteratif, yang
bergerak selangkah demi selangkah, dimulai dari suatu titik ekstrim pada daerah
fisibel (ruang solusi) menuju ke titik ekstrim optimum (Dimyati,dkk: 1992).
Setiap langkah menghasilkan suatu nilai dan fungsi tujuan yang selalu lebih besar
(lebih kecil) atau sama dari langkah-langkah sebelumnya (Supranto, 1991 :73).
24
Metode simpleks lebih efisien serta dilengkapi dengan suatu tes kriteria yang
dapat memberitahukan kapan hitungan harus dihentikan dan kapan harus
dilanjutkan sampai diperoleh suatu penyelesaian yang optimal. Pada umumnya
dipergunakan tabel-tabel, dari tabel pertama yang memberikan pemecahan dasar
permulaan yang fisibel sampai pada pemecahan terakhir yang memberikan solusi
optimal (Supranto, 1991 :75).
Kendala dari permasalahan yang diselesaikan dengan metode simpleks
harus diubah terlebih dahulu ke dalam bentuk kanonik. Bentuk kanonik yaitu
kondisi dimana semua kendala berbentuk persamaan linear (B. Susanta, 1994 :
70).
Menurut Herjanto (2007 : 45), cara mengubah satu kendala menjadi
bentuk kanonik adalah sebagai berikut :
1.
2.
Menambahkan variabel
untuk kendala yang berbentuk
pertidaksamaan kurang dari sama dengan
.
Mengurangi dengan variabel
untuk kendala yang berbentuk
pertidaksamaan lebih dari sama dengan
3.
Mengalikan dengan
.
terhadap nilai suku tetap
negatif.
Untuk membentuk kendala menjadi bentuk kanonik diperlukan penambahan
variabel basis baru. Variabel basis tersebut adalah
a.
Variabel slack
Variabel slack merupakan variabel yang ditambahkan ke model matematika
kendala untuk mengubah pertidaksamaan
25
menjadi persamaan
.
b.
Variabel surplus
Variabel surplus merupakan variabel yang dikurangkan dari model
matematika
persamaan
c.
kendala
untuk
mengubah pertidaksamaan
menjadi
.
Variabel artificial
yaitu variabel yang ditambahkan pada fungsi kendala
yang belum memuat variabel basis.
Contoh 2.12
Meminimumkan:
dengan kendala
Bentuk kanonik:
Meminimumkan:
dengan kendala
Variabel slack maupun variabel surplus merupakan variabel yang membuat
ruas yang semula tak seimbang menjadi seimbang, sehingga antara ruas kiri dan
kanan bernilai sama (B. Susanta, 1994 : 69). Variabel surplus tidak bisa menjadi
26
basis karena koefisiennya -1 maka perlu ditambahkan suatu variabel yang bernilai
+1 untuk menjadi basis, variabel tersebut dinyatakan sebagai variabel artificial
atau buatan
(B. Susanta, 1994 : 69). Akibatnya muncul syarat perlu agar soal
asli mempunyai penyelesaian optimum, yaitu pada tabel optimum variabel buatan
harus bernilai nol karena dalam hal ini masuknya variabel buatan hanya sebagai
katalisator supaya algoritma simpleks dapat berjalan. Agar variabel buatan
bernilai nol maka disusunlah fungsi sasaran baru untuk fungsi tujuan
memaksimumkan dengan bentuk
awal,
̅
, dengan
adalah suatu variabel buatan, dan
cukup besar. Hal ini diharapkan supaya
adalah fungsi tujuan
merupakan bilangan positif yang
segera keluar dari basis karena koefisien
ongkosnya negatif besar (B. Susanta, 1994 : 89). Sedangkan dalam kasus
meminimumkan, bila terdapat variabel buatan yang masuk maka disusun fungsi
tujuan baru yaitu, ̅
dengan
merupakan bilangan positif yang cukup
besar (B. Susanta, 1994 : 108).
Setelah bentuk kanonik dari setiap kendala telah didapatkan, maka langkah
selanjutnya adalah membuat tabel simpleks.
Tabel 2.2 Bentuk tabel simpleks
27
Keterangan :
: variabel-variabel yang akan dicari
: variabel yang menjadi basis dalam tabel yang ditinjau
: koefisien ongkos
: koefisien ongkos milik variabel basis
: koefisien dalam kendala utama
: suku tetap (nilai di ruas kanan fungsi kendala)
:∑
(jumlah hasil kali
:∑
(jumlah hasil kali
: selisih
dengan
dengan kolom
dengan kolom
)
)
Apabila tabel yang bersangkutan belum optimal dan dipilih
baru maka disusun kolom
hanya untuk
sebagai basis
yang diperoleh dengan :
. Kasus dimana semua fungsi kendalanya berupa
pertidaksamaan satu jenis disebut sebagai maksimum atau minimum baku (B.
Susanta, 1994 : 70).
Pada kasus memaksimumkan, tabel simpleks dinyatakan telah
optimal jika
untuk semua nilai . Jika tabel belum optimal maka
dilakukan perbaikan tabel (iterasi). Pada kasus memaksimumkan,
adalah yang memiliki
mencapai
yang paling kecil sehingga
terpilih
terpilih untuk
masuk menjadi basis baru. Kolom yang terpilih dinamakan kolom kunci. Variabel
yang terpilih keluar dari basis adalah variabel dengan nilai
terpilih untuk keluar dari basis. Baris
terkecil sehingga
disebut baris kunci dan unsur pada baris
28
kunci yang juga pada kolom kunci disebut unsur kunci (B. Susanta, 1994 : 77-78).
Sebaliknya pada kasus meminimumkan,
yang terpilih adalah yang memiliki
yang paling besar sehingga
terpilih untuk masuk menjadi basis.
Variabel yang terpilih keluar dari basis adalah variabel dengan nilai
sehingga
terkecil
terpilih untuk keluar dari basis. Tabel dinyatakan optimal jika
untuk semua nilai (B. Susanta, 1994 : 94-95).
Adapun langkah-langkah yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah
pemrograman linear dengan metode simpleks adalah (Zulian Yamit, 1991: 44):
1.
Mengubah model program linear menjadi model persamaan linear dengan
menambahkan variabel pengetat.
2.
Menyusun tabel simpleks awal dan memasukkan nilai dari koefisien teknis
(
) dan koefisien kapasitas sumber daya
pada fungsi kendala dan
koefisien fungsi tujuan ( ) pada fungsi tujuan ke dalam tabel simpleks.
3.
Menghitung nilai
a) Nilai
pada setiap kolom variabel dan kolom
:
variabel=jumlah perkalian unsur-unsur kolom
dengan
unsur variabel pada kolom tersebut.
b) Nilai
kolom
=jumlah perkalian unsur-unsur kolom
unsur variabel pada kolom
4.
Menghitung nilai
5.
Memeriksa nilai
.
pada setiap kolom variabel.
: untuk tujuan memaksimumkan maka:
a) (
)
; maka lanjut ke langkah selanjutnya,
b) (
)
; optimal maka lanjut ke Langkah 12,
29
dengan
c) Jika tujuan meminimumkan, maka sebaliknya.
6.
Menentukan kolom kunci/kolom masuk yaitu kolom dengan nilai
negatif terbesar untuk tujuan memaksimumkan atau kolom dengan nilai
positif terbesar untuk tujuan meminimumkan.
7.
Menentukan baris kunci yaitu baris yang memiliki nilai (
) positif terkecil.
= angka pada kolom kunci dan baris yang sama.
8.
Menentukan angka kunci
yaitu angka pada perpotongan baris kunci dan
kolom kunci.
9.
Mengganti variabel
pada baris kunci dengan variabel kolom yang terletak
pada kolom kunci. Nama variabel basis menjadi nama variabel yang
dipindahkan.
10. Transformasi dengan metode Eliminasi Gauss Jordan terhadap baris
persamaan.
11. Kembali ke Langkah 3.
12. Solusi optimal diperoleh, dengan nilai variabel basis (nilai penyelesaian
optimal) untuk masing-masing terletak di kolom
.
K. DUALITAS
Dalam kebanyakan pembahasan program linear, masalah dual didefinisikan
untuk berbagai bentuk masalah primal, bergantung pada jenis batasan tanda dari
variabel dan arti dari optimasi (Hamdy A. Taha, 2007 : 149). Setiap persoalan
pemrograman linear mempunyai suatu linear program yang berkaitan disebut
dual. Sehingga solusi dari persoalan asli pemrograman linear juga memberikan
solusi pada dualnya.
30
Bentuk umum masalah primal dual adalah sebagai berikut
Primal
Memaksimumkan/Meminimumkan :
(2.9a)
Dengan kendala :
(2.9b)
, dan
Dual
Meminimumkan/Memaksimumkan :
(2.10a)
Dengan kendala :
(2.10b)
Dalam hal ini,
[
[
],
(2.11)
],
(2.12)
[ ],
dan
Matriks
sedangkan
(2.13)
[ ],
dan
(2.14)
merupakan transpose dari matriks
dan matriks
adalah matriks kolom untuk setiap koefisien ongkos
,
, dan
merupakan matriks kolom dari variabel-variabel dual yang dicari.
Jika Persamaan (2.10a) dan Persamaan (2.10b) langsung ditulis dalam bentuk
matriks secara keseluruhan, maka
Meminimumkan / memaksimumkan :
31
[
][ ]
dengan kendala : [
][
]
[ ].
Bentuk perkalian matriks tersebut jika diuraikan menjadi penjumlahan aljabar
akan menjadi :
Meminimumkan / memaksimumkan
∑
(2.15)
dengan kendala
(2.16a)
(2.16b)
(2.16c)
Lemma 2.1. Dualitas Lemah (Winston, 2003 : 306)
̅
Jika ̅
̅
[
̅
] merupakan solusi layak masalah primal, dan ̅
[
̅
]
̅
merupakan solusi layak masalah dual, maka nilai
.
Bukti :
Pada permasalahan primal yang dinyatakan dalam bentuk
Memaksimumkan
∑
dengan kendala :
dengan
.
Bentuk masalah dual menjadi
Meminimumkan
∑
dengan kendala
dengan
32
.
Perhatikan bahwa
jika dikalikan dengan kendala masalah primal maka
menjadi
untuk
Jika terdapat sejumlah
∑
∑
kendala, maka
∑
(2.17a)
Diperhatikan bahwa
, jika dikalikan dengan kendala masalah primal
maka menjadi
untuk
Jika terdapat sejumlah
∑
.
∑
.
kendala, maka
∑
(2.17b)
Berdasarkan Persamaan (2.17a) dan (2.17b) maka diperoleh
∑
∑
∑
∑
Terbukti bahwa nilai
primal
, atau ∑
∑
.
dual
Teorema 2.5. Teorema Dualitas (Winston, 2003 : 306)
Jika terdapat sebuah pemecahan optimal bagi suatu program primal atau dual
simetris, maka program lainnya juga memiliki suatu pemecahan optimal dan kedua
fungsi tujuannya memiliki nilai optimal yang sama.
Bukti :
Jika masalah primal ditulis dalam bentuk :
Meminimumkan/Memaksimumkan
Bentuk dualnya adalah :
Memaksimumkan/Meminimumkan
i.
Berdasarkan Lemma 2.1, maka
̅ . Suatu titik layak pada
masalah primal harus menghasilkan sebuah nilai
melebihi
primal yang tidak
̅ . Mengingat ̅ adalah solusi layak optimal dan punya
33
suatu nilai fungsi tujuan primal yang memenuhi
̅
̅ , maka ̅
haruslah solusi optimal primal.
ii.
Berdasarkan Lemma 2.1 karena ̅ solusi layak primal, dual lemah
mengisyaratkan bahwa untuk suatu titik layak dual
, maka
̅
. Suatu titik layak dual harus menghasilkan sebuah nilai fungsi
tujuan yang melebihi
̅. Mengingat ̅ merupakan solusi layak dual
dan punya sebuah nilai fungsi tujuan dual yang memenuhi
̅
̅,
maka ̅ haruslah solusi optimal dual.
Berdasarkan penjelasan tersebut maka Teorema 2.3 terbukti.
Jika
permasalahan
permasalahan
dualnya
primalnya
dalam
menjadi
bentuk
bentuk
memaksimalkan
meminimumkan.
maka
Primal-dual
menunjukkan hubungan simetris dengan ketentuan sebagai berikut (Hillier dan
Lieberman, 2008: 179):
1.
Koefisien fungsi tujuan pada permasalahan primal adalah ruas kanan kendala
fungsional pada permasalahan dualnya.
2.
Ruas kanan kendala fungsional pada permasalahan primal merupakan
koefisien fungsi tujuan pada permasalahan dualnya.
3.
Koefisien variabel kendala fungsional pada permasalahan primal menjadi
koefisien kendala fungsional pada permasalahan dualnya.
Contoh 2.13
Meminimumkan :
dengan kendala
34
Bentuk primal
Meminimumkan :
dengan kendala
Bawa model pemrograman linear diatas ke bentuk minimum baku.
Meminimumkan:
dengan kendala
Bentuk Dual
Memaksimumkan:
dengan kendala
35
Contoh 2.14
Diketahui masalah primal program linear sebagai berikut
Memaksimumkan
Dengan kendala
Jelas bentuk dual dari masalah primal diatas adalah
Meminimumkan
Dengan kendala
Menurut Siswanto (2007) hubungan penyelesaian optimal antara primal dan
dual sebuah kasus pemrograman linear adalah sebagai berikut :
1.
Nilai maksimum fungsi tujuan primal sama dengan nilai minimum fungsi
tujuan dual.
2.
Nilai optimal variabel keputusan primal sama dengan nilai
kendala) dual.
36
(ruas kanan
3.
Nilai
(ruas kanan kendala) primal sama dengan nilai optimal variabel
keputusan dual.
Keoptimalan masalah dual dan masalah primal mengakibatkan suatu kondisi
yang disebut dengan kondisi complementary slackness (B. Susanta, 1994 : 186) :
1.
Jika dalam penyelesaian optimal masalah primal, kendala ke-
berupa
pertidaksamaan maka dalam penyelesaian optimal masalah dual variabel kebernilai nol.
2.
Jika dalam penyelesaian optimal masalah primal, variabel ke-
bernilai
positif (kendala tak negatif untuk
) maka
berupa pertidaksamaan
dalam penyelesaian optimal masalah dual kendala ke-
akan berupa
persamaan.
Pada kondisi complementary slackness tersebut dapat ditulis secara matematis
yaitu :
1.
2.
Dimana
= kendala ke= variabel ke= variabel ke= kendala ke-
37
L. PEMROGRAMAN NONLINEAR
Untuk permasalahan-permasalahan optimasi tertentu, fungsi kendala dan
fungsi tujuan tidak dapat dinyatakan dalam bentuk linear. Menurut Bazara (2006 :
1) pemrograman nonlinear merupakan salah satu teknik dari riset operasi untuk
menyelesaikan permasalahan optimasi dengan fungsi tujuan berbentuk nonlinear
dan fungsi kendala dapat berbentuk nonlinear ataupun linear. Bentuk umum dari
permasalahan pemrograman nonliear adalah menentukan nilai
dimana
merupakan variabel keputusan, sehingga
Memaksimumkan / meminimumkan
(2.18)
dengan kendala
untuk setiap
dengan
(2.19a)
merupakan konstanta tak negatif
dan
(2.19b)
Menurut Hillier (2001 : 664) terdapat 3 bentuk permasalahan pemrograman
nonlinear, yaitu :
1.
Pemrograman Nonlinear tanpa Kendala
Pemrograman nonlinear tanpa kendala merupakan optimasi yang tidak
memiliki kendala dengan fungsi tujuan berbentuk nonlinear. Bentuk model
pemrograman nonlinear tanpa kendala untuk menentukan nilai
dengan
Fungsi tujuan : memaksimumkan/meminimumkan
38
Untuk menyelesaikan permasalahan pemrograman nonlinear tanpa kendala
terdapat dua syarat keoptimalan, yaitu (Hillier dan Lieberman, 2008: 478)
a. Syarat Perlu Keoptimalan
Syarat perlu untuk solusi khusus
menjadi minimum atau maksimum
adalah:
pada
(2.20)
Teorema 2.6 (Varberg dan Purcell, 2010 : 164)
Misalkan
dan
ada pada setiap titik interval terbuka
, dan misalkan
i.
yang memuat
.
Jika
, maka
adalah nilai minimum lokal ,
ii. Jika
, maka
adalah nilai maksimum lokal .
Bukti :
i.
Jika
memuat
Untuk semua
pula jika
positif pada
dan
, maka ada selang buka
yang
sedemikian sehingga
dalam
, maka
. Jika
, maka
. Jadi,
berubah dari negatif menjadi
, dan berdasarkan Teorema 2.5,
. Demikian
merupakan minimum
lokal .
Pembuktian ii serupa dengan pembuktian i tersebut.
Nilai
ketat disekitar
pasti merupakan minimum lokal jika
adalah konveks
. Untuk mencari nilai minimum global yaitu nilai terkecil
39
diantara nilai-nilai minimum lokal (solusi
untuk semua nilai
yang memenuhi
) perlu dilakukan perhitungan untuk membandingkan
minimum lokal dan mengidentifikasi nilai
terkecil. Jika nilai tersebut
lebih kecil dari
(atau pada interval tertentu)
pada
dan
maka titik ini merupakan minimum global. Jika
konveks maka solusi apapun untuk
dengan
merupakan fungsi
pada
secara
otomatis dikenali sebagai minimum global. Syarat ini tidak hanya perlu tetapi
juga telah memenuhi syarat cukup untuk minimum global untuk fungsi
konveks. Jika
merupakan konveks ketat maka satu-satunya solusi ini
merupakan minimum global.
b. Syarat Cukup Keoptimalan
Syarat cukup keoptimalan digunakan untuk menentukan apakah titik
optimal yang didapatkan dari syarat perlu keoptimalan merupakan titik
minimum atau titik maksimum.
Syarat cukup keoptimalan yaitu :
i.
Jika
dan matriks Hessian
definit positif maka
titik
dan matriks Hessian
definit negatif maka
titik
minimum,
ii.
Jika
maksimum.
40
2.
Pemrograman Nonlinear dengan Kendala Linear
Pemrograman nonlinear dengan kendala linear merupakan optimasi dengan
kendala berbentuk fungsi linear dan fungsi tujuan berupa fungsi nonlinear. Untuk
menentukan nilai
dengan bentuk umum adalah :
Memaksimumkan/meminimumkan :
(2.21)
dengan kendala :
(2.22a)
untuk setiap
dan
3.
(2.22b)
Pemrograman Nonlinear dengan Kendala Nonlinear
Menurut Taha (2007, 699) pemrograman nonlinear dengan kendala nonlinear
merupakan masalah optimasi dengan fungsi tujuan nonlinear dan fungsi kendala
nonlinear. Pemrograman nonlinear berkendala nonlinear dibedakan menjadi dua
yaitu :
a. Untuk
bentuk umum pemrograman nonlinear dengan
kendala persamaan (equality) adalah
Fungsi tujuan : Memaksimumkan/meminimumkan :
Fungsi kendala :
Dimana
dengan
menunjukkan jumlah kendala dan
menunjukkan jumlah variabel
.
b. Bentuk umum pemrograman nonlinear dengan kendala pertidaksamaan
adalah
Memaksimumkan/meminimumkan :
Dengan kendala :
untuk
41
M. PENGALI LAGRANGE
Pengali lagrange digunakan untuk menyelesaikan permasalahan optimasi
(penentuan harga ekstrim), dimana terdapat kendala-kendala tertentu.
1.
Satu pengali lagrange
Prinsip dari metode ini adalah mencari harga ekstrim (optimasi) suatu fungsi
tujuan
Memaksimumkan / meminimumkan
(2.23)
dengan
kendala-kendala
tertentu
yang
harus
dipenuhi,
yaitu
(2.24)
Fungsi lagrangenya adalah
(2.25)
Parameter
2.
disebut pengali lagrange.
Lebih dari satu pengali lagrange
Jika Pengali lagrange melibatkan lebih dari satu kendala, maka penggunaan
parameter yang dipilih dapat ditambahkan menjadi
atau parameter
lainnya.
Misalnya untuk memperoleh nilai ekstrim
dan
dengan kendala
.
Fungsi lagrange
(2.26)
dengan syarat perlu :
dengan
(2.27a)
42
dengan
(2.27b)
Metode ini dapat diperluas untuk
variabel
dengan
kendala
Fungsi lagrange
dengan syarat perlu :
dengan
adalah pengali lagrange.
Penyelesaian pengali lagrange mempunyai kondisi yang harus dipenuhi untuk
mendapatkan penyelesaian optimal. Jika masalah memaksimumkan maka fungsi
tujuan harus dalam bentuk konkaf dan setiap fungsi kendala berupa fungsi linear
yang konveks, sedangkan jika masalah meminimumkan maka fungsi tujuan harus
konveks dan setiap fungsi kendala berupa fungsi linear yang konveks (Winston,
2003 : 685).
Menurut Purcell (2010) langkah-langkah penyelesaian pengali lagrange
adalah sebagai berikut :
a.
Membentuk fungsi lagrange yaitu fungsi yang memuat hasil penjumlahan
atau selisih fungsi tujuan dan perkalian antara pengali lagrange dengan
fungsi kendala.
43
Berdasarkan Persamaan (2.26) maka fungsi lagrange yang terbentuk adalah :
∑
b.
Membuat turunan pertama pada semua variabel sebagai syarat perlu
meminimumkan fungsi lagrange dalam kondisi stasioner
i.
ii.
iii.
iv.
c.
Memperoleh titik-titik kritis dengan menyelesaikan persamaan yang
diperoleh.
d.
Mencari nilai ekstrim dengan mensubstitusikan titik-titik kritis ke dalam
persamaan nonlinear.
44
Langkah-langkah penyelesaian menggunakan pengali lagrange disajikan
pada Gambar 2.1
Fungsi Tujuan Nonlinear
Membentuk fungsi lagrange
Mencari turunan pertama pada semua variabel pada
fungsi lagrange sebagai syarat perlu untuk
meminimumkan dalam kondisi stasioner
Memperoleh titik-titik kritis.
Mencari nilai ekstrim dengan mensubstitusikan
titik-titik kritis ke dalam fungsi tujuan nonlinear.
Nilai Optimum
Gambar 2.1 Bagan Alir Metode Pengali Lagrange
Contoh 2.15
Meminimumkan
(2.28)
Dengan kendala:
(2.29a)
(2.29b)
45
Penyelesaian
Diperoleh turunan parsial kedua dari Persamaan (2.28) adalah sebagai
berikut:
dan turunan pertama dari Persamaan (2.29) adalah sebagai berikut
karena
maka berdasarkan Teorema 2.1 fungsi
fungsi konveks, sedangkan
merupakan
berdasarkan Definisi 2.9 merupakan
fungsi yang konveks sehingga dapat diselesaikan menggunakan metode
pengali lagrange.
Fungsi lagrange untuk masalah diatas adalah sebagai berikut
(2.30)
Pada titik stasioner turunan pertama pada setiap persamaan bernilai nol,
sehingga diperoleh:
atau
(2.31)
atau
(2.32)
46
atau
(2.33)
atau
(2.34)
Substitusi Persamaan (2.33) ke (2.31), dan Persamaan (2.34) ke (2.32)
diperoleh
,
(2.35)
Dari penyelesaian masalah tersebut diperoleh nilai
,
,
,
(2.36)
Sehingga, nilai minimum fungsi dapat diperoleh dengan substitusi
Persamaan (2.36) ke (2.28), diperoleh nilai minimum
.
N. Kondisi Karush-Kuhn Tucker (KKT)
Pada tahun 1951 Kuhn Tucker menemukan suatu teknik optimasi yang dapat
digunakan untuk mencari titik optimum dari permasalahan berkendala baik
permasalahan dalam bentuk linear maupun nonlinear. Metode Karush Kuhn
Tucker merupakan pengembangan dari penyelesaian model nonlinear berkendala
persamaan yang dikerjakan dengan mencari titik-titik stasionernya, yaitu titik
yang berpotensi menjadi titik optimal. Metode ini membahas suatu kondisi untuk
menjadi solusi optimal untuk pemrograman nonlinear
berikut
Memaksimumkan/meminimumkan
47
Dengan kendala
(2.37)
Semua kendala yang akan diselesaikan dengan metode Karush Kuhn Tucker
harus menggunakan tanda
harus
ditulis
. Kendala yang berbentuk
sebagai
.
harus
diganti
Kendala
dengan
bentuk
dengan
dan
(Winston, 2003 : 673).
Terdapat beberapa syarat Karush Kuhn Tucker untuk masalah optimasi
(maksimasi dan minimasi) yang dirumuskan oleh Karush dan Kuhn Tucker seperti
pada Teorema 2.7 dan 2.8.
Teorema 2.7. Syarat KKT masalah maksimasi (Winston, 2003 : 676)
Diberikan fungsi tujuan
masalah
pemrograman
dan fungsi kendala
nonlinear
berpola
merupakan suatu
memaksimumkan.
merupakan suatu solusi optimal untuk
̅
dan
harus memenuhi (2.37) dan harus ada pengali
serta variabel slack
∑
1.
[
2.
3.
yang memenuhi :
(
, untuk
]
∑
, untuk
)
, untuk
48
Jika
̅
, maka
4.
, untuk
5.
, untuk
Teorema 2.8. Syarat KKT masalah minimasi (Winston, 2003 : 676)
Diberikan fungsi tujuan
dan fungsi kendala
masalah berpola meminimumkan. Jika
̅ dan
solusi optimal untuk
merupakan suatu
, maka
(2.37) dan harus ada pengali
merupakan suau
harus memenuhi
serta variabel surplus
yang memenuhi :
∑
1.
[
2.
3.
(
, untuk
]
∑
4.
, untuk
5.
, untuk
, untuk
)
, untuk
Pada syarat kedua dari Teorema 2.7 dan Teorema 2.8 jika
bentuk umum fungsi kendala yaitu
maka berakibat
dan menurut
.
O. PEMROGRAMAN KUADRATIK
Menurut Hillier & Lieberman (2001: 447) pemrograman kuadratik
merupakan pendekatan permasalahan optimasi nonlinear dimana kendalanya
berupa fungsi linear dan fungsi tujuannya merupakan kuadrat dari variabel
keputusan ataupun perkalian dari dua variabel keputusan. Pemrograman kuadratik
adalah suatu masalah yang mempunyai kendala pertidaksamaan linear dan fungsi
49
tujuan
. Perbedaan
masalah pemrograman kuadratik dengan masalah
pemrograman linear adalah pada pemrograman kuadratik bentuk fungsi tujuannya
melibatkan variabel kuadrat (Hillier & Lieberman, 2001 : 683). Bentuk umum
dari masalah pemrograman kuadratik menurut Pressini, dkk (1998) adalah
Meminimumkan
(2.38)
dengan kendala
(2.39a)
(2.39b)
Konsep matriks
Adapun
dan
sama dengan Persamaan (2.3)-(2.6).
merupakan suatu konstanta sedangkan
merupakan matriks simetris
yang tersusun dari nilai
, dimana
kedua terhadap
dari fungsi tujuan. Matriks
dan
simetris sehingga nilai
merupakan hasil dari turunan parsial
merupakan matriks
.
Persamaan (2.38) jika ditransformasikan ke dalam bentuk aljabar maka akan
menjadi
∑
Bentuk
kuadratik
yang
∑
diperoleh
∑
kemudian
(2.40)
diselesaikan
dengan
menggunakan persyaratan Kuhn-Tucker seperti pada Teorema 2.7 dan Teorema
2.8. Setelah kondisi Kuhn-Tucker terpenuhi maka langkah selanjutnya yaitu
menambahkan variabel buatan
untuk setiap kondisi Kuhn Tucker yang tidak
memiliki variabel basis.
50
Pada pemrograman kuadratik terdapat kondisi complementary slackness
khusus yang secara umum dinyatakan dalam Sifat 2.1 berikut
Sifat 2.1. Complementary slackness pada pemrograman kuadratik
(Winston, 2003 : 687)
1)
dan
pada kondisi Kuhn-Tucker dan
tidak dapat kedua-duanya
bernilai positif,
2) Variabel surplus (excess) ataupun slack untuk kendala ke-i dan
tidak
dapat kedua-duanya bernilai positif.
Bukti :
1) Diketahui Syarat 1) dan 3) pada Teorema 2.7, yaitu :
∑
Syarat 1) yaitu
∑
(
, sehingga
disubstitusikan ke Syarat 3)
∑
)
Jika
maka
Jika
maka
maka
.
, yaitu
.
, yaitu
atau
. Berdasarkan Syarat 4)
Hal ini juga berlaku pada Teorema 2.7, sehingga terbukti bahwa
pada kondisi Kuhn-Tucker dan
positif.
51
dan
tidak dapat kedua-duanya bernilai
[
2) Diperhatikan Syarat 2) yaitu
]
Pada fungsi kendala
yaitu
maka bentuk kanonik kendala tersebut
, sehingga Syarat 2) menjadi
Jika
maka
, yaitu
Jika
maka
, yaitu
maka
.
.
atau
Pada fungsi kendala
. Berdasarkan Syarat 5)
dapat diubah menjadi
Melalui cara yang sama maka didapat pula
.
, sehingga terbukti
bahwa variabel surplus (excess) ataupun slack untuk kendala ke-i dan
tidak dapat kedua-duanya bernilai positif.
P. PEMROGRAMAN KUADRATIK METODE WOLFE
Pemrograman kuadratik menyelesaikan masalah pemrograman nonlinear
dengan
mentransformasikannya
menjadi
masalah
pemrograman
linear
menggunakan syarat Kuhn Tucker. Persamaan baru yang didapat dari syarat Kuhn
Tucker kemudian diselesaikan dengan metode wolfe. adapun langkah-langkah
penyelesaiannya adalah sebagai berikut untuk masalah meminimumkan adalah
(Hillier & Lieberman, 2001):
a.
Membentuk kondisi Kuhn Tucker dari syarat Kuhn Tucker yang diperoleh
Berdasarkan syarat Kuhn Tucker pada Teorema (2.7) dan Teorema (2.8)
maka dapat ditentukan kondisi Kuhn Tucker sebagai berikut :
1)
2)
∑
(2.41)
untuk fungsi kendala
52
, atau
(2.42a)
untuk fungsi kendala
(2.42b)
b.
Mengidentifikasi clompementary slackness sesuai sifat.
c.
Menambahkan variabel buatan
untuk setiap kondisi Kuhn Tucker yang
tidak memiliki variabel basis.
d.
Membuat fungsi tujuan baru yang linear yaitu fungsi tujuan untuk
meminimalkan jumlah nilai variabel buatan
. Fungsi tujuan yang linear ini
dapat dinyatakan sebagai w. Fungsi kendala yang digunakan merupakan
fungsi kendala yang baru yang terbentuk dari Langkah a.
Berdasarkan langkah d, maka fungsi tujuan linear adalah :
∑
Meminimumkan
e.
∑
Melakukan proses iterasi simpleks metode wolfe.
Untuk menjamin bahwa solusi akhir (variabel buatan
bernilai nol)
memenuhi kondisi complementary slackness, metode wolfe memiliki
modifikasi untuk pilihan variabel simpleks yang masuk menjadi basis, yaitu
1)
ataupun
dari kondisi Kuhn Tucker dan
tidak bisa menjadi
variabel basis secara bersamaan.
2) Variabel slack
ataupun variabel surplus
dari kendala ke-i dan
dari
kondisi Kuhn Tucker tidak boleh kedua-duanya menjadi variabel basis.
Syarat basis diatas bersesuaian dengan complementary slackness dari
kuadratik. Jadi, apabila simpleks dikerjakan dengan cara biasa tanpa
menggunakan syarat basis diatas maka pada hasil tabel optimal akan ada
complementary slackness yang tidak terpenuhi. Mensubstitusikan hasil dari
53
tabel optimal ke dalam fungsi tujuan awal (nonlinear) untuk mendapatkan
solusi optimum.
Jika dalam tabel optimum terdapat variabel buatan
maka dapat
disubstitusikan ke fungsi tujuan linear. Begitu pula untuk variabel slack, surplus,
buatan maupun
maka dapat disusbtitusikan ke bentuk kanonik yang telah
terbentuk di awal.
Langkah pemrograman kuadratik metode wolfe disajikan pada Gambar 2.2
berikut :
Fungsi tujuan nonlinear
Membentuk kondisi Kuhn Tucker dari syarat Kuhn
Tucker yang diperoleh
Membuat fungsi tujuan baru yang linear
Melakukan proses iterasi simpleks metode wolfe
Tabel Optimum
Mensubstitusikan hasil dari tabel optimal ke dalam fungsi
tujuan awal (nonlinear) untuk mendapatkan solusi optimum
Gambar 2.2 Bagan Alir Metode Pemrograman Kuadratik.
Contoh 2.16
Meminimumkan
(2.43)
54
dengan kendala
:
(2.44a)
(2.44b)
(2.44c)
Diselidiki apakah
dan
merupakan fungsi konveks
Berdasarkan Tabel 2.1 fungsi
Sedangkan
konveks. Fungsi
merupakan fungsi konveks ketat.
maka berdasarkan Definisi 2.9 merupakan fungsi
konveks dan
konveks maka menurut Bazaraa (2006)
dapat diselesaikan menggunakan pemrograman kuadratik.
Langkah-langkah penyelesaian Persamaan (2.43) dan (2.44) dengan
pemrograman kuadratik metode wolfe sebagai berikut :
a.
Membentuk kondisi Kuhn Tucker dari fungsi tujuan dan fungsi kendala
yang dimiliki.
Berdasarkan Persamaan (2.41) dan (2.42) maka bentuk kanonik yang
diperoleh adalah sebagai berikut
(2.45a)
(2.45b)
(2.45c)
(2.45d)
55
b.
Mengidentifikasi clompementary slackness.
Berdasarkan Sifat 2.1 maka Persamaan (2.45) merupakan kondisi
clompementary slackness, sehingga mengakibatkan :
c.
Menambahkan variabel buatan
untuk setiap kondisi Kuhn Tucker yang
tidak memiliki variabel basis.
(2.46a)
(2.46b)
(2.46c)
(2.46d)
d.
Menentukan fungsi tujuan baru yang linear
Bentuk fungsi tujuan baru yang linear untuk Contoh 2.16 adalah
Meminimumkan
(2.47)
Dengan kendala
(2.48a)
(2.48b)
(2.48c)
(2.48d)
Semua variabel non negatif.
e.
Melakukan proses iterasi simpleks.
56
Tabel 2.3 Tabel simpleks Contoh 2.16
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
-2
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
3
1
1
1
0
1
0
-1
-1
-2
0
1
-1
-1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
-1
0
-1
-1
0
0
-1
-1
-1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
2
10
8
23
Koefisien dari setiap kendala kondisi Kuhn Tucker dimasukkan ke dalam
Tabel 2.2. Nilai
merupakan jumlah hasil perkalian antara koefisien tiap
kolom dengan nilai
menentukan nilai
yang terletak pada baris yang sama. Sedangkan untuk
maka dipilih baris
terbesar yang menjadi pembagi
selanjutnya diisikan pada kolom .
Pada Tabel 2.2 diketahui nilai
, dan
. Karena
dan
. Dalam hal ini dipilih
terbesar yaitu untuk variabel
tidak bisa menjadi basis maka dipilih
, maka semua nilai pada kolom
nilai pada kolom variabel
sehingga diperoleh nilai
,
atau
dibagi dengan
seperti pada Tabel
2.4.
Tabel 2.4 Iterasi 1 Contoh 2.16
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
-2
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
3
3
1
1
1
0
1
0
-1
-1
-2
0
1
-1
-1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
-1
0
-1
-1
0
0
-1
-1
-1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
2
10
8
23
-
57
Nilai
terkecil adalah pada variabel
baru menggantikan variabel
, sehingga variabel
menjadi basis
dengan koefisien ongkos 0. Proses iterasi
dilanjutkan hingga diperoleh tabel optimum seperti Tabel 2.5.
Tabel 2.5 Tabel optimum Contoh 2.16
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
-1
0
1
0
0
0
-1
-2
0
-1
0
0
0
0
-2
0
-1
0
0
2
0
1
0
0
-1
0
2
0
1
0
-1
Pada Tabel 2.5 semua nilai
sehingga tabel telah optimum. Dari
Tabel 2.5 diperoleh nilai variabel
serta nilai minimum
23
18
10
8
0
,
,
, dan
. Selanjutnya nilai variabel-variabel tersebut
disubstitusikan kedalam fungsi tujuan awal untuk memperoleh nilai
minimum, yaitu
. Sehingga penyelesaian optimal dari Contoh 2.16 adalah
215.
Q. Software Geogebra
Software Geogebra merupakan software aplikasi matematika dinamis yang
menggabungkan geometri, aljabar, dan kalkulus. Software ini dilengkapi
fasilitas tampilan untuk membuat grafik suatu fungsi.
58
Gambar 2.3 Tampilan pembuka pada software Geogebra
Gambar 2.4 Tampilan utama software Geogebra
R. Software WinQSB 2.0
Software WinQSB 2.0 merupakan software aplikasi matematika untuk
menyelesaikan masalah optimasi agar didapat solusi optimal. Software ini
menyediakan beberapa menu pilihan untuk menyelesaikan kasus-kasus
dengan kriteria khusus sesuai kebutuhan. Pada skripsi ini, pilihan yang
akan digunakan adalah sub menu Software WinQSB Nonlinear
Programming, yaitu untuk mencari solusi optimal dari kasus optimasi
59
dengan fungsi tujuan nonlinear. Pada Nonlinear Programming untuk
masalah
model
nonlinear
berkendala
yang
dikerjakan
WinQSB
menggunakan metode Penalty Function, sehingga dapat dikatakan bahwa
dalam penelitian ini akan membandingkan metode pengali lagrange dan
pemrograman
kuadratik,
dan
metode
Penalty
Function.
Selain
menggunakan sub menu Nonlinear Programming juga digunakan sub
menu lainnya yaitu Linear and Integer Peogramming untuk membantu
perhitungan simpleks pada fungsi linear.
Gambar 2.5 Tampilan Pembuka WinQSB 2.0 Nonlinear Programming
Gambar 2.6 Tampilan Pilihan Sub Menu WinQSB.
60