pemodelan matematika penyebaran penyakit virus ebola dan

PEMODELAN MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT VIRUS
EBOLA DAN ANALISIS PENGARUH PARAMETER LAJU TRANSMISI
TERHADAP PERILAKU DINAMISNYA
TUGAS AKHIR SKRIPSI
Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan guna
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Oleh :
Yusnita Afrida
NIM. 13305141014
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
2017
i
PEMODELAN MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT VIRUS
EBOLA DAN ANALISIS PENGARUH PARAMETER LAJU TRANSMISI
TERHADAP PERILAKU DINAMISNYA
Oleh :
Yusnita Afrida
NIM. 13305141014
ABSTRAK
Kajian ini bertujuan untuk mendapatkan model matematika dari penyebaran
penyakit virus Ebola, menganalisis dinamika penyebaran penyakit virus Ebola,
dan mengetahui jenis bifurkasi yang terjadi apabila parameter laju transmisi
divariasikan.
Model matematika penyebaran penyakit virus Ebola memiliki titik ekuilibrium
dan bilangan reproduksi dasar yang bergantung pada parameter laju transmisi.
Kestabilan titik ekuilibrium ditentukan berdasarkan nilai eigen titik ekuilibrium.
Perubahan kestabilan titik ekuilibrium digunakan sebagai penanda terjadinya
bifurkasi.
Model matematika penyebaran penyakit virus Ebola yang terbentuk adalah
model
. Sistem persamaan dari model
mengalami bifurkasi pada saat
parameter laju transmisi sama dengan
. Saat parameter laju transmisi
kurang dari
terdapat titik ekuilibrium bebas penyakit yang bersifat
stabil asimtotik artinya ketika individu rentan, individu laten, individu terinfeksi,
individu terisolasi, dan individu sembuh pada jumlah tertentu, kemudian interaksi
antara individu rentan dan individu terinfeksi menghasilkan individu laten kurang
dari
dari banyaknya interaksi tersebut, penyakit tidak akan menyebar
dan menyebabkan populasi terbebas dari penyakit seiring berjalannya waktu. Saat
parameter laju transmisi lebih dari
terdapat titik ekuilibrium endemik
yang bersifat stabil asimtotik artinya ketika individu rentan, individu laten,
individu terinfeksi, individu terisolasi, dan individu sembuh pada jumlah tertentu,
kemudian interaksi antara individu rentan dan individu terinfeksi menghasilkan
individu laten lebih dari
dari banyaknya interaksi tersebut, penyakit
akan menyebar dan menyebabkan populasi berada dalam keadaan endemik seiring
berjalannya waktu. Variasi nilai parameter laju transmisi pada sistem persamaan
model
menyebabkan terjadinya bifurkasi transkritikal.
Kata kunci : penyakit virus Ebola, pemodelan matematika, kestabilan titik
ekuilibrium, bilangan reproduksi dasar, bifurkasi transkritikal.
ii
SURAT PERNYATAAN
iii
LEMBAR PERSETUJUAN
iv
LEMBAR PENGESAHAN
v
MOTTO
Telah menceritakan kepada kami Sa’id bin ‘Ufair berkata, Telah
menceritakan kepadaku Al Laits berkata, Telah menceritakan kepadaku
‘Uqail dari Ibu Syihab dari Hamzah bin Abdullah bin Umar bahwa Ibnu
Umar berkata : aku mendengar Rasulullah shallallahu ‘alaihi wasallam
bersabda: “Ketika aku tidur, aku bermimpi diberi segelas susu
lalu aku meminumnya hingga aku melihat pemandangan yang
bagus keluar dari kuku-kukuku, kemudian aku berikan sisanya
kepada sahabat muliaku Umar bin Al Khaththab”. Orang-orang
bertanya: “Apa ta’wilnya wahai Rasulullah ?” Beliau menjawab
“Ilmu”
(HR. Bukhari)
vi
HALAMAN PERSEMBAHAN
Karya ini saya persembahkan untuk
Ayahanda Sanudin
Ibunda Hesti Lestari
Kayla Dea Aosa
Keluarga Besar Mbah H.Tulus Darapon
Keluarga Besar Mbah Rakwan
Keluarga Besar Bapak Imam Mulyanto
Heskiela Adhi Wibowo
MATHLAB’13
Melda Eka Saputri , Safrina Harfah & Shandi Irma Kharismayanti
Christiani Noni Malau & Leonardus Adi Saktyari
vii
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan
segala rahmat, karunia dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan
skripsi yang berjudul “Pemodelan Matematika Penyebaran Penyakit Virus Ebola
dan Analisis Pengaruh Parameter Laju Transmisi terhadap Perilaku Dinamisnya”.
Skripsi ini disusun untuk memenuhi sebagian persyaratan guna memperoleh gelar
Sarjana Sains Program Studi Matematika di Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta.
Skripsi ini dapat terselesaikan tidak terlepas karena bantuan dari berbagai
pihak. Untuk itu diucapkan terimakasih secara tulus kepada semua pihak yang
telah banyak membantu dalam penyelesaian skripsi ini. Ucapan terimakasih
penulis sampaikan kepada:
1. Ibu Nikenasih Binatari, M.Si. selaku dosen pembimbing dan penasehat
akademik yang telah meluangkan waktunya untuk memberikan bimbingan,
motivasi, bantuan dan arahan dengan sabar dalam penyusunan tugas akhir
skripsi ini.
2. Bapak Kus Prihantoso Krisnawan, M.Si. selaku dosen pembimbing yang telah
meluangkan waktunya untuk memberikan bimbingan, motivasi, bantuan dan
arahan dengan sabar dalam penyusunan tugas akhir skripsi ini.
3. Bapak Dr. Hartono selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam sekaligus dosen penguji yang telah memberikan waktu dan ilmunya
untuk memperbaiki dan menyelesaikan tugas akhir skripsi ini.
viii
4. Ibu Eminugroho Ratna Sari, M.Sc. selaku dosen penguji yang senantiasa
memberikan waktu dan ilmunya untuk memperbaiki dan menyelesaikan tugas
akhir skripsi ini.
5. Bapak Dr. Ali Mahmudi selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematka atas
izin kepada penulis untuk menyusun tugas akhir skripsi ini dan memberikan
kelancaran pelayanan dalam keputusan akademik.
6. Bapak Dr. Agus Maman Abadi selaku Ketua Prodi Matematika yang telah
memberikan kelancaran pelayanan dalam urusan akademik.
7. Bapak Ibu dosen Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY yang telah
mengajarkan ilmunya selama perkuliahan.
8. Teman-teman Matematika B 2013 yang selalu menemani dan memberi
semangat serta bantuan demi kelancaran penyusunan tugas akhir skripsi ini.
9. Semua pihak yang telah membantu baik secara langsung maupun tidak
langsung sehingga tugas akhir skripsi ini dapat diselesaikan.
Penulis menyadari adanya ketidaktelitian, kekurangan dan kesalahan dalam
penulisan skripsi ini. Oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun sangat
terbuka lebar. Semoga skripsi ini bermanfaat bagi pembaca dan pihak yang
terkait.
ix
DAFTAR ISI
HALAMAN SAMPUL .............................................................................................. i
ABSTRAK ............................................................................................................... ii
SURAT PERNYATAAN ......................................................................................... iii
LEMBAR PERSETUJUAN ..................................................................................... iv
LEMBAR PENGESAHAN ....................................................................................... v
MOTTO.................................................................................................................... v
HALAMAN PERSEMBAHAN .............................................................................. vii
KATA PENGANTAR ........................................................................................... viii
DAFTAR ISI ............................................................................................................ x
DAFTAR TABEL .................................................................................................. xii
DAFTAR GAMBAR ............................................................................................. xiii
DAFTAR LAMPIRAN .......................................................................................... xiv
DAFTAR SIMBOL ................................................................................................ xv
BAB I PENDAHULUAN ......................................................................................... 1
A. Latar Belakang ........................................................................................................... 1
B. Identifikasi Masalah ................................................................................................... 3
C. Batasan Masalah ........................................................................................................ 4
D. Rumusan Masalah ...................................................................................................... 4
E. Tujuan ......................................................................................................................... 4
F. Manfaat Penelitian ..................................................................................................... 4
BAB II LANDASAN TEORI ................................................................................... 6
A. Pemodelan Matematika ............................................................................................. 6
x
B. Teorema Taylor .......................................................................................................... 7
C. Nilai Eigen, Vektor Eigen, dan Diagonalisasi ......................................................... 9
D. Sistem Dinamik ........................................................................................................ 11
E. Kestabilan Titik Ekuilibrium ................................................................................... 16
F. Kriteria Routh-Hurwitz............................................................................................ 19
G. Teori Center Manifold ............................................................................................. 20
H. Bifurkasi ................................................................................................................... 22
I.
Bilangan Reproduksi Dasar ..................................................................................... 25
BAB III PEMBAHASAN ....................................................................................... 28
A. Model Matematika Penyebaran Penyakit Virus Ebola .......................................... 28
B. Ilustrasi Model ......................................................................................................... 37
C. Titik Ekuilibrium Model.......................................................................................... 38
D. Bilangan Reproduksi Dasar ..................................................................................... 44
E. Kestabilan Titik Ekuilibrium ................................................................................... 47
F. Grafik Proporsi Jumlah Individu ............................................................................. 54
G. Transformasi Sistem ................................................................................................ 60
BAB IV PENUTUP ................................................................................................ 79
A. Kesimpulan............................................................................................................... 79
B. Saran ......................................................................................................................... 80
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................. 82
LAMPIRAN ........................................................................................................... 84
xi
DAFTAR TABEL
Tabel 1. Routh-Hurwitz .......................................................................................... 20
Tabel 2. Nilai Parameter dari Model Matematis Penyebaran Penyakit Virus Ebola.. 37
Tabel 3. Routh-Hurwitz Persamaan
................................................................ 53
xii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1. Bifurkasi Saddle-Node ...................................................................... 22
Gambar 2. Bifurkasi Transkritikal ...................................................................... 23
Gambar 3. Bifurkasi Pitchfork Superkritikal ...................................................... 24
Gambar 4. Bifurkasi Pitchfork Superkritikal ...................................................... 24
Gambar 5. Diagram Alir Model Matematika Penyebaran Penyakit Virus Ebola . 34
Gambar 6. Grafik Proporsi Kelompok Susceptible ............................................. 55
Gambar 7. Grafik Proporsi Kelompok Exposed .................................................. 55
Gambar 8. Grafik Proporsi Kelompok Infected .................................................. 56
Gambar 9. Grafik Proporsi Kelompok Isolated .................................................. 56
Gambar 10. Grafik Proporsi Kelompok Recovered ............................................. 56
Gambar 11. Grafik Proporsi Kelompok Susceptible ........................................... 58
Gambar 12. Grafik Proporsi Kelompok Exposed ................................................ 58
Gambar 13. Grafik Proporsi Kelompok Infected................................................. 59
Gambar 14. Grafik Proporsi Kelompok Isolated................................................. 59
Gambar 15. Grafik Proporsi Kelompok Recovered ............................................. 59
Gambar 16. Potret Fase Transformasi Sistem
=
....................... 75
Gambar 17. Potret Fase Transformasi Sistem
=
.......................... 76
Gambar 18. Potret Fase Transformasi Sistem
= ............................................ 77
Gambar 19. Diagram Bifurkasi Sistem (126) ...................................................... 78
xiii
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1. Perintah Maple untuk Operasi Baris Elementer Persamaan (71)…..84
Lampiran 2. Perintah Maple untuk Memperoleh Diagram Proporsi Jumlah
Individu dengan
dan
0…………………......86
Lampiran 3. Perintah Maple untuk Memperoleh Diagram Proporsi Jumlah
Individu dengan
dan
......……………....…..88
Lampiran 4. Perintah Maple untuk Memperoleh Diagram Proporsi Jumlah
Individu dengan
………………………………...…..91
Lampiran 5. Perintah Maple untuk Memperoleh Persamaan Center Manifold….95
Lampiran 6. Perintah Maple untuk Memperoleh Potret Fase Sistem (126)……...98
xiv
DAFTAR SIMBOL
: Himpunan bilangan real.
: Himpunan bilangan real pada ruang dimensi .
: Himpunan bilangan asli.
: Tak hingga.
: Sama dengan.
: Tidak sama dengan.
: Didefinisikan sebagai.
: Kurang dari.
: Kurang dari atau sama dengan.
: Lebih dari.
: Lebih dari atau sama dengan.
‖ ‖
: Norm .
: Jika
maka .
̇
: Matriks Jacobian dari .
: Turunan variabel keadaan
terhadap waktu.
: Waktu.
: Jumlah keseluruhan dari.
: Turunan parsial
terhadap
.
: Elemen atau himpunan bagian.
: Matriks identitas.
: Matriks
dengan ukuran
.
xv
: Transpose matriks .
: Invers matriks .
: Determinan dari matriks .
: Bagian real dari .
xvi