Matriks - WordPress.com

MATRIKS
Muhammad Zainal Abidin | SMAN 1 Bone-Bone
http://meetabied.wordpress.com
http://meetabied.wordpress.com
Setelah menyaksikan
tayangan ini anda dapat
menentukan penyelesaian
persoalan matriks
dengan menggunakan
operasi perkalian matriks
dan invers matriks
beserta sifat-sifatnya.
http://meetabied.wordpress.com
Perkalian matriks
dengan matriks
Perhatikan ilustrasi berikut:
Randy dan Lya ingin membeli
buku dan pensil. Randy membeli
3 buku dan 1 pensil. Lya membeli 4 buku dan 2 pensil.
http://meetabied.wordpress.com
Jika harga sebuah buku
Rp500,00 dan
sebuah pensil Rp150,00;
Berapa masing-masing mereka
harus membayar?
http://meetabied.wordpress.com
Randy
Lya
Jawab:
= 3 x 500 + 1 x 150
= Rp1.650,00
= 4 x 500 + 2 x 150
= Rp2.300,00
Penyelesaian di atas dapat
diselesaikan dengan perkalian
matriks sebagai berikut:
http://meetabied.wordpress.com
3

4

1 

2 

500


150 
 
(2 x 2)
kolom = baris
(2 x 1)

3 x 500 + 1 x 150
=

4 x 500 + 2 x 150

1650

= 
2300
 (2 x 1)
http://meetabied.wordpress.com




Syarat Perkalian Matriks
Matriks A dapat dikalikan
dengan matriks B
jika
banyak kolom matriks A =
banyak baris matriks B
http://meetabied.wordpress.com
Jika matriks A berordo m x n
dan matriks B berordo n x p
maka A x B = C
dengan C berordo m x p
Am
xn
x Bn x p = Cm x p
http://meetabied.wordpress.com
Cara Mengalikan Matriks
misal A x B = C
maka
elemen matriks C
adalah penjumlahan dari hasil kali
elemen baris matriks A
dengan elemen kolom matriks B
yang bersesuaian
http://meetabied.wordpress.com
Am x n x Bn x p = Cm x p
Baris 1  x
Baris 2 
… … … 

=





K
ol
o
m
1
K
ol
o
m
2
…
…
…
…
…






Baris 1 x kolom 1
Baris 1 x kolom 2
Baris 1 x…….
Baris 2 x kolom 1
Baris 2 x kolom 2
…………..
……….x kolom1
……………..
http://meetabied.wordpress.com
Contoh 1:
1
3

2
4
 5
x 6
 
1x5 + 2x6

= 
3x5 + 4x6

7
8





3x7 + 4x8

1x7 + 2x8
http://meetabied.wordpress.com
=
=
1x5 + 2x6


3x5 + 4x6

17
39



3x7 + 4x8 
1x7 + 2x8
23

53
http://meetabied.wordpress.com
Contoh 2:
 1
x
8  3

5
6

=
=
7
5x1 + 7x3


6x1 + 8x3

26
30

2
4
5x2 + 7x4
6x2 + 8x4
38 
44 

http://meetabied.wordpress.com






Contoh 3:
  2 5
 3  1

 dan B = 
A = 
1
8
2
4




Hitunglah: A x B dan B x A
http://meetabied.wordpress.com
-1 -2 5
3

AxB= 
2 4  1 8



 3 x (-2) + (-1) x 1 3 x 5 + (-1) x 8 

=


 2 x (-2) + 4 x 1
2x5+4x8 
-7 7
= 

0 42


http://meetabied.wordpress.com
-2 5  3 -1
 

B x A = 
1 8  2 4
(-2) x 3 + 5 x 2 (-2) x (-1) + 5 x 4

= 


1 x 3 + 8 x 2 1 x (-1) + 8 x 4 


4
22
=



19 31 
http://meetabied.wordpress.com
kesimpulan
AxB BxA
artinya
perkalian matriks
tidak bersifat komutatif
http://meetabied.wordpress.com
Contoh 4:
Nilai a dari persamaan matriks:
  1 d   4  5   2  1  2c 1 

 + 
 = 
 


  b 3    3 b    4 3   c a 1
adalah….
http://meetabied.wordpress.com
Bahasan
-1 d   4 -5
 =

 +
-b 3  -3 b
2 -1 2c

 
c
3
-4


1 

a +1

4c + (-c) 2 + (-1)(a + 1)
3

d
5




=




-b - 3 3 + b  
-8c + 3c -4+ 3(a + 1)

d  5   3c
2 - a -1 
 3

 = 

  b  3 3  b    5c  4  3a  3 
http://meetabied.wordpress.com
3 = 3c  c = 1
-b – 3 = -5c
-b – 3 = -5
-b = -2  b = 2
3 + b = -1 + 3a
3 + 2 = -1 + 3a
5 = -1 + 3a
6 = 3a
Jadi nilai a = 2
http://meetabied.wordpress.com
Invers Matriks
Pengertian:
Jika hasil kali dua buah matriks
adalah matriks identitas,
(A x B = B x A = I)
maka
matriks A adalah invers matriks B
atau sebaliknya
matriks B invers matriks A
http://meetabied.wordpress.com
Contoh 1
  5  3
3
 1

 dan B = 
A = 
 2 1
  2  5
3    5  3
 1
A x B = 
 

  2  5  2 1 
-5+6 -3+3
=
10-10 6-5 



1 0
 = I
= 
0 1
http://meetabied.wordpress.com
Contoh 2
  5  3
3
 1

 dan B = 
A = 
 2 1
  2  5
3
  5  3  1
 

B x A = 
 2 1    2  5
-5+6 -15+15

=
2-2

6-5


1 0
 = I
= 
0 1
http://meetabied.wordpress.com
karena A x B = B x A = I
berarti
B = invers A, atau A = invers B.
Jika B = invers A dan di tulis A-1
maka
A. A-1 = A-1. A = I
http://meetabied.wordpress.com
Invers Matriks (2 x 2)
a
Jika A = 
c
b

d
maka invers matriks A
d -b 
1




a
ad - bc -c

adalah A-1 =
ad – bc = determinan matriks A
http://meetabied.wordpress.com
Jika
ad – bc = 0
berarti
matriks tsb tidak mempunyai invers.
Sebuah matriks yang tidak
mempunyai invers disebut
matriks singular
http://meetabied.wordpress.com
Contoh
 2 1

Jika A = 
 5 3
maka invers matriks A
adalah….
http://meetabied.wordpress.com
Bahasan
1  d  b


A 
ad - bc   c a 
1
2
A  
5
1
3 -1
1
1
  A 


3
2.3 - 1.5 -5 2
1  3  1



6 - 5  5 2 
 3  1

 
 5 2 
http://meetabied.wordpress.com
Sifat-sifat Invers Matriks:
1.
A.A-1 = A-1.A = I
2.
(A. B)-1 = B-1. A-1
3.
(A-1 )-1 = A
http://meetabied.wordpress.com
Contoh 1
1 2
Diketahui A =  3 4 


 2 0 
dan B = 

 3  1
maka (AB)-1 adalah….
http://meetabied.wordpress.com
Bahasan
1 2   2 0 
 

AB = 
 3 4   3  1
-2 + 6
 

-6 + 12

 4  2

 
 6  4
0 - 2

0 - 4

http://meetabied.wordpress.com
 4  2

AB  
 6  4
-4 2
1
1


(AB) 
 16  (12) -6 4
1   4 2



 4   6 4
1
-1
Jadi (AB)   1
1 2
 12 

1 
http://meetabied.wordpress.com
Contoh 2
3 1

Jika invers matriks A = 
 4 2
maka matriks A adalah….
http://meetabied.wordpress.com
Bahasan
A = (A-1 )-1
3 1

A  
 4 2
2 -1
1
1 1


(A ) 
3.2  1.4 -4 3 
1  2  1

 
2  4 3 
1
http://meetabied.wordpress.com
1  2  1

(A )  A  
2  4 3 
1 1
 1  12 

Jadi matriks A  
3 
 2 2 
http://meetabied.wordpress.com
Penyelesian
Persamaan Matriks
Jika A, B dan M adalah
matriks ordo (2x2)
dan A bukan matriks singular
maka
penyelesaian persamaan matriks
☻AM = B adalah M = A-1.B
☺MA = B adalah M = B.A-1
http://meetabied.wordpress.com
Contoh 1
 5 3
  2 1
Jika A = 
 dan B = 

 2 1
 5 0
Tentukan matriks M berordo (2x2)
yang memenuhi: a. AM = B
b. MA = B
http://meetabied.wordpress.com
Bahasan
 5 3

A  
 2 1
1  1  3


A 
5.1 - 3.2   2 5 
1
1  1  3   1 3 
  

 
-1   2 5   2  5 
http://meetabied.wordpress.com
a.Jika AM = B
maka M = A-1.B
 1 3    2 1 
x

 
 2  5  5 0
 (1)x( 2)  3x5 (1)x1  3x0 

 
 2x( 2)  (5)x5 2x1  (5)x0 
 1
 17

Jadi M  
  29 2 
http://meetabied.wordpress.com
b. Jika MA = B
maka M = B.A-1
  2 1   -1 3 
x

 
 5 0   2 5
 2  2 (6)  (5) 

 
15  0 
 (5)  0
 4  11

Jadi M  
  5 15 
http://meetabied.wordpress.com
Contoh 2
Diketahui hasil kali matriks
 4 3   a b  16 3 

 x
  

 1 2  c d   9 7
Nilai a + b + c + d sama
dengan….
http://meetabied.wordpress.com
Bahasan
 4 3   a b  16 3 

 x
  

 1 2  c d   9 7
a b 
1  2  3 16 3 

 



 c d  8  3   1 4  9 7 
a

c
b  1  32  27
6  21 
  

d  5   16  36  3  28 
1  5  15 

 
5  20 25 
http://meetabied.wordpress.com
a

c
b  1  5  15 
  

d  5  20 25 
 a b   1  3

  

c d  4 5 
diperoleh
a = 1, b = -3, c = 4 dan d = 5
berarti
a+b+c+d=1–3+4+5=7
http://meetabied.wordpress.com