Aksioma Kelengkapan

BAB II
KELENGKAPAN BILANGAN REAL
Sebagaimana telah digambarkan pada bab sebelumnya bahwa sistem bilangan rasional,
memenuhi aksioma lapangan dan aksioma urutan, sehingga system bilangan rasional
merupakan lapangan terurut. Tetapi telah ditunjukkan bahwa
3 bukan bilangan
rasional, disini akan ditunjukkan bahwa ℝ  ℚ dengan menunjukan bahwa
3 adalah
bilangan real. Sehingga perlu suatu aksioma tambahan untuk menggambarkan
karakteristik sistem bilangan real. Aksioma itu adalah “Aksioma Kelengkapan” (biasa
disebut sifat kelengkapan). Dengan demikian bilangan real dikatakan sebagai lapangan
terurut yang lengkap.
2.1 Aksioma Kelengkapan ℝ
Untuk memahami aksioma kelengkapan, terlebih dahulu harus memahami pengertian
batas atas dan batas bawah suatu sub himpunan dari ℝ.
Definisi 2.1 Batas Atas dan Batas Bawah
Misalkan S sebuah himpunan bagian tak kosong dari ℝ.
(i).
Sebuah bilangan a ∈ ℝ dikatakan batas atas S apabila x  a untuk semua x  S.
(ii). Sebuah bilangan b ∈ ℝ dikatakan batas bawah S apabila x  b untuk semua x  S.
Berdasarkan definisi diatas, jika S memiliki batas atas, maka S akan memiliki tak
terhingga batas atas sebab jika a merupakan batas atas S maka setiap bilangan c yang
lebih besar dari a akan merupakan batas atas S juga. Demikian juga, jika S memiliki
batas bawah, maka S akan memiliki tak terhingga batas bawah.
Kelengkapan Bilangan Real
1
Definisi 2.2 Himpunan Terbatas
Misalkan S sebuah himpunan bagian tak kosong dari ℝ.
(i).
Himpunan S dikatakan terbatas di atas apabila S memiliki batas atas.
(ii). Himpunan S dikatakan terbatas di bawah apabila S memiliki batas bawah.
(iii). Himpunan S dikatakan terbatas apabila S memiliki batas atas dan batas bawah.
Contoh 2.1
a. Himpunan A = { 1, 3, 7, 11, 19}. Bilangan 1 dan sembarang bilangan yang lebih
kecil dari 1 merupakan batas bawah A, kemudian bilangan 19 dan sembarang
bilangan yang lebih besar dari 19 merupakan batas atas A. Artiya, A merupakan
himpunan terbatas.
b. Himpunan B = {x ∈ ℝ : x < 5 } adalah himpunan terbatas di atas, bilangan 5 dan
sembarang bilangan yang lebih besar dari 5 merupakan batas atas B.
c. Himpunan C = {x ∈ ℝ : x > 3 } adalah himpunan terbatas di bawah, bilangan 3
dan sembarang bilangan yang lebih kecil dari 3 merupakan batas bawah C.
d. Himpunan D = {x ∈ ℝ : -1 < x  7 } adalah himpunan terbatas artinya terbatas di
bawah dan terbatas di atas, bilangan -1 dan sembarang bilangan yang lebih kecil
dari -1 merupakan batas bawah D. Sedangkan bilangan 7 dan sembarang bilangan
yang lebih besar dari 7 merupakan batas atas D.
e. Himpunan E = {x ∈ ℝ : x < 4 atau x > 9 } bukan merupakan himpunan terbatas
karena tidak memiliki batas atas maupun batas bawah. Sembarang bilangan b ∈
ℝ bukan batas atas, karena selalu terdapat x ∈ E sehingga b < x. Demikian juga,
untuk sembarang bilangan a ∈ ℝ bukan batas bawah, karena selalu terbapat y ∈
E sehingga a > y.
Kelengkapan Bilangan Real
2
f. Himpunan F = {1/n : n ∈ℕ } merupakan himpunan terbatas. Himpunan F dapat
dinyatakan dalam bentuk lain, yaitu
 1 1 1 
F = 1, , , ,  
 2 3 4 
Karena elemen F menurun, dapat disimpulkan bahwa bilangan 1 dan sembarang
bilangan yang lebih besar dari 1 merupakan batas atas F, kemudian karena 1/n 
0,  n ∈ℕ, bilangan 0 dan sembarang bilangan yang lebih kecil dari 0 merupakan
batas bawah F.
Perlu dicatat, bahwa himpunan B pada contoh 2.1 bukan merupakan himpunan terbatas
karena tidak memiliki batas bawah, demikian juga himpunan C bukan himpunan terbatas
(kenapa?).
Sekarang masuk pada definisi utama, yaitu definisi supremum dan infimum dari sebuah
himpunan bagian dari bilangan real.
Definisi 2.3 Supremum dan Infimum
Misalkan S sebuah himpunan bagian tak kosong dari ℝ.
(i).
Sebuah bilangan u ∈ ℝ dikatakan supremum (batas atas terkecil) S apabila
a) u batas atas S,
b) jika w batas atas S, maka w  u.
(ii).
Sebuah bilangan v ∈ ℝ dikatakan infimum (batas bawah terbesar) S apabila
a) v batas atas S,
b) jika w batas bawah S, maka w  v.
Untuk selanjutnya,
sup S
dan
inf S,
berturut turut menyatakan supremun S dan infimum S.
Kelengkapan Bilangan Real
3
Lema 2.4 Ketunggalan Supremum dan Infimum
Misalkan S sebuah himpunan bagian tak kosong dari ℝ.
(i).
Jika S mempunyai supremum, maka sup S tunggal.
(ii). Jika S mempunyai infimum, maka inf S tunggal.
Bukti. (i) Misalkan u dan v adalah supremum dari S. Karena u dan v adalah batas atas
dari S dan u = sup S, diperoleh u  v. Sebaliknya, karena v = sup S diperoleh v  u.

Akibatnya, v = u. Bukti (ii) ditinggalkan untuk pembaca.
Kembali pada definisi batas atas dan batas bawah, a ∈ ℝ batas atas S apabila x  a ,
 x  S dan b ∈ ℝ batas bawah S apabila b  x ,  x  S. Sehingga definisi 2.3 dapat
dinyatakan sebagai berikut
(i) Bilangan u = sup S apabila a) x  u,  x  S,
b) jika w batas atas S, maka w  u.
(ii). Bilangan v = inf S apabila a) v  x,  x  S,
b) jika w batas bawah S, maka w  v.
Apakah setiap himpunan bagian dari R mempunyai supremum dan infimum? Jawabnya
belum tentu (kenapa?). Sebuah himpunan bagian R mempunyai supremum apabila
mempunyai batas atas dan akan mempunyai infimum apabila mempunyai batas bawah.
Sedangkan terdapat empat kemungkinan sebuah himpunan bagian dari R dihubungkan
dengan batas atas dan batas bawah, yaitu:
(i) mempunyai batas atas dan batas bawah;
(ii) mempunyai batas bawah tetapi tidak mempunyai batas atas;
(iii) mempunyai batas atas tetapi tidak mempunyai batas bawah;
Kelengkapan Bilangan Real
4
(iv) tidak mempunyai batas bawah dan tidak mempunyai batas atas
Oleh kerena itu terdapat empat kemungkinan pula, apabila dihubungkan dengan
supremum dan infimum (uraikan apa saja kemungkinan itu?).
Lema berikut akan bermanfaat untuk menguji, apakah sebuah batas atas himpunan
merupakan supremum.
Lema 2.5 Supremum
Misalkan S sebuah himpunan terbatas di atas di ℝ. Bilangan u = sup S jika dan hanya
jika untuk sembarang  > 0 terdapat s ∈ S sehingga u -  < s.
Bukti. Untuk membuktikan Lema Supremum diatas harus ditunjukkan dua arah, untuk

Misalkan u = sup S dan  > 0. Karena u    u berarti u   bukan batas atas S.
Akibatnya terdapat suatu s ∈ S sehingga u -  < s.
Untuk sebaliknya  Misalkan u batas atas S demikian sehingga untuk sembarang  > 0
terdapat s ∈ S sehingga u -  < s.. Jika v  u , maka   u  v > 0, karena itu ada s ∈ S
sehingga u -  < s.. Padahal u -  = v, berarti v bukan batas atas S. Karena v merupakan
sebarang bilangan yang kurang dari u, sehingga dapat disimpulkan bahwa u adalah batas

atas terkecil, dengan kata lain u = sup S.
Contoh 2.2
Perhatikan kembali himpunan himpunan pada contoh 2.1.
a. Perhatikan himpunan A = {1, 3, 7, 11, 19}. Bilangan 1 merupakan inf A, karena 1
∈ A dan merupakan batas bawah A. Bilangan 19 merupakan sup A, karena 19 ∈
A dan merupakan batas atas A.
b. Himpunan B = {x ∈ ℝ : x < 5 } tidak mempunyai batas bawah, sehingga tidak
memiliki infimum (kenapa?). Pada himpunan B, bilangan 5 merupakan batas atas.
Untuk menunjukkan bahwa 5 = sup B tinggal ditunjukkan syarat kedua, yaitu jika
Kelengkapan Bilangan Real
5
w sembarang batas bawah B maka w  5. Sekarang andaikan terdapat w batas atas
B sedemikian sehingga w < 5. Karena w < 5, terdapat z = (w + 5)/2 ∈ B
sedemikian sehingga w < z < 5. Akibatnya w bukan batas atas. Karena w diambil
sembarang, jadi jika w batas atas maka w  5.
c. Himpunan C = {x ∈ ℝ : x > 3 } tidak memiliki supremum (kenapa?) dan 3
adalah infimumnya (kenapa?).
d. Himpunan D = {x ∈ ℝ : -1 < x  7 } memiliki supremum 7 dan infimum -1
(tunjukkan!).
e. Himpunan E = {x ∈ ℝ : x < 4 atau x > 9 } tidak memiliki supremum maupun
infimum (tunjukkan!).
f. Sebagaimana telah dikemukakan pada contoh 2.1 bahwa himpunan F = {1/n : n
∈ℕ } merupakan himpunan terbatas. Jadi ada batas atas dan batas bawahnya.
Himpunan F dapat dinyatakan dalam bentuk lain, yaitu
 1 1 1 
F = 1, , , ,  
 2 3 4 
Karena elemen F menurun dan 1 elemen terbesar, maka 1 merupakan supremum
F (kenapa?). Sekarang akan ditunjukkan bahwa 0 adalah infimum F. Karena
untuk setiap n ∈ℕ berlaku 1/n  0, maka 0 merupakan batas bawah. Sehingga
untuk menunjukkan 0 = inf F tinggal ditunjukkan bahwa 0 adalah batas bawah
terbesar. Andaikan terdapat w batas bawah F sedemikian sehingga w > 0. Pilih
bilangan asli k (apakah pasti ada?) sedemikian sehingga kw > 1, sehingga 1/k < w.
Karena w > 0 dan k ∈ ℕ, maka 0 < 1/k < w. Padahal 1/k adalah elemen F,
sehingga w bukanlah batas bawah. Karena w diambil sembarang, jadi jika w batas
bawah maka w  5.
Kelengkapan Bilangan Real
6
Berikut ini menyatakan aksioma penting pada ℝ yaitu aksioma kelengkapan atau disebut
juga sifat kelengkapan ℝ . Dengan aksioma kelengkapan, ℝ menjadi suatu lapangan
terurut lengkap.
Aksioma 2.6 Kelengkapan ℝ
Setiap himpunan bilangan real tak kosong dan memiliki batas atas memiliki supremum
di ℝ.
Aksioma kelengkapan ini disebut juga Sifat Kelengkapan atau Sifat Supremum.
Aksioma kelengkapan diatas dapat pula dinyatakan dalam kalimat yang sedikit berbeda,
yaitu, setiap himpunan tak kosong yang terbatas diatas mempunyai supremum.
2.2 Sifat Aksioma Kelengkapan
Disini terdapat sifat kelengkapan serupa untuk infimum, namun sifat infimum dapat
diturunkan dari sifat supremum, sebagaimana ditunjukkan pada teorema berikut:
Teorema 2.7 Sifat Infimum
Setiap himpunan bilangan real tak kosong dan memiliki batas bawah memiliki infimum
di ℝ.
Bukti.
Misalkan S himpunan bilangan real tak kosong dan memiliki batas bawah.
Definisikan
S- = {-s : s ∈ S }.
Karena himpunan S terbatas dibawah, diperoleh himpunan S- terbatas diatas dan
berdasarkan aksioma kelengkapan terdapat u ∈ ℝ sedemikian sehingga u = sup S-.
Artinya u batas atas S- dan jika w batas atas S- maka w  u, akibatnya v = -u merupakan
Kelengkapan Bilangan Real
7
batas bawah. Sekarang misalkan r batas bawah S maka –r merupakan batas atas S-,
kemudian karena -r  u diperoleh r  -u = v. Jadi v merupakan infimum S.

Dari aksioma kelengkapan ini dapat diturunkan beberapa lema yang berkaitan dengan
supremum dan infimum dari himpunan bilangan real .
Lema 2.8
Misalkan S himpunan bilangan real tak kosong yang terbatas diatas.
(i) Jika a sebuah bilangan real, maka supremum himpunan
a + S = { a + s : s ∈ S } adalah a + sup S.
(ii) Jika a > 0, maka supremum himpunan
a S = { a s : s ∈ S } adalah a (sup S).
Bukti. (i). Misalkan u = sup S. Karena u batas atas S, sehingga diperoleh s  u untuk
setiap s ∈ S dan a + s  a + u untuk setiap s ∈ S. Artinya a + u merupakan batas atas a
+ S. Kemudian, untuk menunjukkan bahwa a + u supremum a + S, misalkan w
merupakan batas atas a + S, artinya a + s  w untuk setiap s ∈ S. Lebih lanjut, diperoleh
s  w – a untuk setiap s ∈ S yang berarti w – a merupakan batas atas S. Karena u = sup
S diperoleh u  w – a, sehingga a + u  w. Karena w sembarang batas atas a + S dapat
disimpulkan bahwa sup (a + S) = a + u = a + sup S. (ii). Misalkan u = sup S. Karena u
batas atas S dan a > 0, sehingga diperoleh s  u untuk setiap s ∈ S dan as  au untuk
setiap s ∈ S. Artinya au merupakan batas atas aS. Sekarang tinggal menunjukkan bahwa
a u adalah supremum a S. Untuk itu, misalkan w merupakan batas atas a S, artinya a s 
w untuk setiap s ∈ S. Karena a > 0, diperoleh s  w/a untuk setiap s ∈ S yang berarti
w/a merupakan batas atas S. Karena u = sup S diperoleh u  w/a, sehingga a u  w.
Kelengkapan Bilangan Real
8
Karena w sembarang batas atas a S dapat disimpulkan bahwa sup (a S) = a u = a ( sup

S).
Teorema dibawah dikenal dengan sifat Archimedean yang menyatakan bahwa untuk
sembarang bilangan real x terdapat bilangan asli n sehingga x < n. Disini disajikan
pembuktian dengan memanfaatkan aksioma kelengkapan.
Teorema 2.9 Sifat Archimedean
Jika x ∈ ℝ, maka tedapat nx ∈ ℕ sedemikian sehingga x < nx.
Bukti. Misalkan x ∈ ℝ. Andaikan tidak ada n ∈ ℕ sedemikian sehingga x < n, dengan
kata lain n  x untuk setiap n ∈ ℕ. Akibatnya, x merupakan batas atas ℕ. Karena
terbatas diatas, berdasarkan aksioma kelengkapan ℕ memiliki supremum. Tuliskan u =
sup ℕ, berarti u - 1 bukan supremum dan akibatnya terdapat k ∈ ℕ sehingga u - 1 < k.
Karena u < k + 1 dan k + 1 ∈ ℕ, sehingga u bukan batas atas ℕ. Hal ini bertentangan
dengan ℕ terbatas diatas. Jadi haruslah ada nx ∈ ℕ sedemikian sehingga x < nx.

Sifat Archimeden secara tidak langsung telah menunjukkan bahwa himpunan semua
bilangan asli tidak terbatas diatas. Lebih lanjut, sifat Archimedean mengakibatkan untuk
sembarang bilangan real positif selalu terdapat bilangan
1
yang lebih kecil untuk suatu
n
bilangan asli n.
Lema 2.10 Akibat Sifat Archimedean
Jika x bilangan real positif, maka terdapat n ∈ ℕ sehingga 0 
1
 x.
n
1
> 0. Berdasarkan sifat Archimedean
x
1
1
terdapat n ∈ ℕ sedemikian sehingga 0   n . Akibatnya 0 
 x.

n
x
Bukti. Misalkan x > 0, sehingga diperoleh
Kelengkapan Bilangan Real
9
Dengan lema akibat sifat Archimedean diatas pertanyaan yang berkaitan dengan
eksistensi pada contoh 2.2 (f) telah terjawab. Pada kasus lain akan diperlukan akibat sifat
Archimedean yang lainnya, sebagaimana dinyatakan pada lema dibawah.
Lema 2.11 Akibat Sifat Archimedean
Jika y dan z dua bilangan real positif, maka
(i)
terdapat n ∈ ℕ sehingga z < ny ;
(ii)
terdapat n ∈ ℕ sehingga n  1  z  n .

Bukti. Ditinggalkan untuk pembaca.
Contoh 2.3 Diberikan himpunan
A= {
n 1
: n ∈ ℕ }.
n
Tunjukkan bahwa sup A = 2 dan inf A = 1.
Sebelum menunjukkan supremum dan infimum, himpunan A dapat dinyatakan dalam
bentuk lain yaitu {1 + 1/n : n ∈ ℕ } atau dengan mendaftar elemennya yaitu
1 1 1
{2, 1 , 1 , 1 , . . . }.
2 3 4
Sekarang akan ditunjukkan bahwa sup A = 2. Untuk sembarang n ∈ ℕ berlaku
n + 1  n + n ⇔ n + 1  2n ⇔
Kelengkapan Bilangan Real
n 1
 2.
n
10
Akibatnya 2 merupakan batas atas A. Kemudian karena 2 ∈ A dan
n 1
 2, sehingga
n
tidak mungkin terdapat batas atas yang kurang dari 2. Jadi haruslah 2 merupakan
supremum A. Kemudian untuk menunjukkan inf A = 1, perhatikan bahwa untuk
sembarang n ∈ ℕ berlaku
n+1 n
⇔
n 1
 1.
n
Akibatnya 1 merupakan batas bawah A. Selanjutnya, andaikan terdapat w batas bawah A
yang lebih besar dari 1. Karena w > 1, maka w – 1 > 0 dan
1
> 0. Labih lanjut,
w 1
berdasarkan sifat Archimedean terdapat k ∈ ℕ sedemikian sehingga
1
< k ⇔ 1 < k (w – 1)
w 1
⇔ 1 < kw – k
⇔ k + 1 < kw
⇔
k 1
< w.
k
Karena k ∈ ℕ, diperoleh
k 1
∈ ℕ. Akibatnya, w bukan bukan batas bawah A. Jadi
k
haruslah 1 = inf A.
Untuk menunjukkan supremum dan infimum A dapat juga ditunjukkan menggunakan
lema 2.8 (ii) Perhatikan himpunan F pada contoh 2.2 (f), pandang A sebagai 1 + F.
Berdasarkan lema 2.8 (ii) sup A = 1 + sup F dan inf A = 1 + inf A. Karena sup F = 1 dan
inf F = 0 (dari contoh 2.2 (f)), maka sup A = 2 dan inf A = 1.
Kelengkapan Bilangan Real
11
Latihan 2.1
1. Misalkan S = {x ∈ ℝ : x > 9 }. Tunjukkan
a. Himpunan S mempunyai batas bawah;
b. Himpunan S tidak mempunyai batas atas;
c. Inf S = 9.
2. Misalkan S = {
(1) n
: n ∈ ℕ }. Tentukan inf S dan sup S.
n
3. Tentukan supremum dan infimum dari himpunan {
1 1

: n, m ∈ ℕ }.
n m
4. Buktikan bahwa infimum sebuah himpunan jika mesti tunggal (lema 2.4 (ii)).
5. Buktikan lema 2.11 (akibat sifat Archimedean).
6. Misalkan S himpunan terbatas di ℝ. Buktikan bahwa inf S  sup S.
7. Misalkan A dan B himpunan terbatas di ℝ.
a. Buktikan bahwa A  B terbatas;
b. Inf (A  B) = inf {inf A, inf B}.
8. Misalkan S himpunan terbatas di ℝ. Jika T  S, tunjukkan bahwa
a. inf S  inf T;
b. sup T  sup S.
9. Misalkan S himpunan terbatas di ℝ, a < 0 dan aS = {as : s ∈ S }.
a. inf (aS) = a sup S;
b. sup (aS) = a inf S.
Kelengkapan Bilangan Real
12
2.3 Kerapatan Bilangan Rasional Dalam ℝ
Pada ℝ terdapat bilangan rasional dan bilangan irrasional,sebagaimana telah ditunjukkan
bahwa
3 merupakan bilangan irrasional. Lema 1.7 telah ditunjukkan bahwa diantara
dua bilangan rasional terdapat bilangan rasional lainnya. Pada bagian ini akan
ditunjukkan bahwa
3 merupakan bilangan real, selain itu juga akan di uraikan tentang
sifat bilangan rasional yaitu diantara dua bilangan real yang berdeda selalu terdapat
bilangan rasional diantara keduanya. Selanjutnya sifat ini dikatakan sebagai sifat
“kepadatan” himpunan bilangan rasional.
Aksioma kelengkapan menjamin eksistensi bilangan real. Dengan aksioma kelengkapan
dapat ditunjukkan bahwa
3 merupakan bilangan real. Bukti ini dapat digunakan untuk
menunjukkan eksistensi bilangan irrasional yang lainnya sebagai bilangan real.
Teorema 2.12 Eksistensi Bilangan Irrasional
Terdapat bilangan real positif x sedemikian sehingga x2 = 3.
Bukti. Untuk menunjukkan aksistensi x ∈ ℝ sedemikian sehingga x2 = 3, perhatikan
himpunan S = { s ∈ ℝ : s  0, s2 < 3 }. S tidak kosong, karena 1 ∈ S dan S terbatas
diatas karena 22 = 4 sehingga s < 2,  s ∈ S. Berdasarkan Aksioma Kelengkapan S
memiliki supremum. Sekarang misalkan sup S = x ∈ ℝ dan x > 0, karena 1 ∈ S. Akan
ditunjukkan bahwa x2 = 3 melalui pengandaian x2 < 3 atau x2 > 3 (Sifat Trichotomy).
Pertama, andaikan x2 < 3. Sekarang akan ditunjukkan bahwa pengandaian x2 < 3 salah,
karena akan terjadi kontradiksi dengan fakta bahwa sup S = x. Dengan menggunakan
fakta bahwa
1
1
 ,  n ∈ ℕ diperoleh
2
n
n
2
1
2x
1

2
+ 2
x   = x +
n
n
n

 x2 +
Kelengkapan Bilangan Real
2x
1
+
n
n
13
= x2 +
1
(2x + 1) ……………………..(*)
n
Dari fakta (2x + 1) > 0 (karena x > 0) dan 3 – x2 > 0 (dari pengandaian) diperoleh
3  x2
> 0.
2x  1
Berdasarkan Lema Akibat Sifat Archimedean, terdapat k ∈ ℕ sedemikian sehingga
1
3  x2
<
.
k
2x  1
Akibatnya,
1
(2x + 1) < 3 – x2 dan dari persamaan (*) diperoleh
k

x

2
1
1
2
(2x + 1)
  x +
k
n
< x 2 + (3 – x2)
= 3.
1

Artinya terdapat k ∈ ℕ sedemikian sehingga  x   ∈ S. Hal ini kontradiksi dengan x
k

sebagai supremum S. Jadi pengandaian x2 < 3 tidak benar. Selanjutnya, andaikan x2 > 3.
Seperti pada pengandaian pertama akan ditunjukkan bahwa pengandaian x2 > 3 tidak
benar. Untuk sembarang n ∈ ℕ, berlaku
2
1
2x
1

2
+ 2
x   = x n
n
n

> x2 -
2x
……………………………...(**)
n
Karena 2x > 0 dan x2 – 3 > 0 (dari pengandaian), diperoleh
x2  3
> 0.
2x
Berdasarkan Lema Akibat Sifat Archimedean, terdapat m ∈ ℕ sedemikian sehingga
x2  3
1
<
.
m
2x
Akibatnya,
2x
< x2 -3 dan dari persamaan (**) diperoleh
m
Kelengkapan Bilangan Real
14
2
1
2x

2
x   > x m
m

> x 2 - ( x2 – 3)
= 3.
1

Artinya terdapat m ∈ ℕ sedemikian sehingga  x   merupakan batas atas, hal ini
m

kontradiksi dengan dengan x sebagai batas atas terkecil S. Jadi pengandaian x2 > 3 tidak

benar. Karena x2 < 3 dan x2 > 3 tidak memungkinkan, haruslah x2 = 3.
Bukti teorema 1.2 dapat diadopsi untuk membuktikan bilangan irrasional yang lain
sebagai bilangan real. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa himpunan bilangan rasional
dan irrasional padat di ℝ.
Teorema 2.13 Kepadatan Himpunan Bilangan Rasional
Misalkan x dan y bilangan real. Jika x < y, maka terdapat bilangan rasional r sedemikian
sehingga x < r < y.
Bukti. Untuk memudahkan pembuktian, masalah dibagi dalam beberapa kasus.
Kasus (i): x > 0.
Karena x < y, sehingga y – x > 0. Kemudian berdasarkan lema 2.10 akibat sifat
Archimedean terdapat n ∈ ℕ sehingga
1
 y  x ⇔ 1 < n( y – x )
n
⇔ 1 < ny – nx
⇔ 1 + nx < ny ………………………….(*)
Selanjutnya karena x > 0, diperoleh nx > 0 dan berdasarkan lema 2.11 (ii) akibat sifat
Archimedean terdapat m ∈ ℕ sehingga
m -1 < nx < m ⇒ m < nx + 1 dan nx < m
⇒ nx < m < nx + 1
Kelengkapan Bilangan Real
15
⇒ nx < m < nx + 1 < ny …………..dari (*)
⇒ nx < m < ny
⇒ x<
Jadi ada bilangan rasional r =
m
< y.
n
m
sedemikian sehingga x < r < y.
n
Kasus (ii): x = 0, sehingga 0 < y.
Berdasarkan lema 2.10 akibat sifat Archimedean terdapat n ∈ ℕ sehingga 0 
Akibatnya ada bilangan rasional r =
1
 y.
n
1
1
, sehingga x 
 y.
n
n
Kasus (iii): x < 0 dan y > 0.
Pilih x1 = 0, kemudian tunjukkan seperti kasus (i).
Kasus (iv): y < 0.
Pembuktian serupa dengan kasus (i). Karena nx < 0 sehingga –nx > 0 akibatnya diperoleh
bilangan rasional r = 
m
.
n

Dari teorema tentang kepadatan bilangan rasional dapat ditunjukkan bahwa himpunan
bilangan irrasional juga padat.
Teorema 2.14 Kepadatan Himpunan Bilangan Irrasional
Misalkan x dan y bilangan real. Jika x < y, maka terdapat bilangan irrasional r sedemikian
sehingga x < r < y.
Bukti. Diberikan x, y ∈ ℝ dengan x < y. Kalikan dengan
x
3
x
3
<
y
3
<r<
1
3
, sehingga diperoleh
. Gunakan teorema 2.13, untuk mendapatkan bilangan rasional r sehingga
y
3

, akibatnya terdapat bilangan irrasional r 3 sehingga x < r 3 < y.
Kelengkapan Bilangan Real
16
Latihan 2.2
1. Tunjukkan bahwa
2 bukan bilangan rasional, kemudian tunjukkan bahwa
2
adalah bilangan real.
2. Untuk a > 0, tunjukkan bahwa
bahwa
a bukan bilangan rasional, kemudian tunjukkan
a adalah bilangan real.
3. Tunjukkan bahwa terdapat bilangan real positif x sehingga x3 = 3.
4. Carilah bilangan rasional yang terletak antara
1
1
dan .
3
2
5. Carilah bilangan rasional r sedemikian sehingga
2 <r<
3.
6. Misalkan a, b ∈ ℝ dengan 0 < a < b. Carilah bilangan rasional r sedemikian
sehingga
a <r<
b.
7. Carilah bilangan irrasional yang terletak antara
1
1
dan .
4
3
8. Carilah bilangan irrasional t sedemikian sehingga
2 <t<
3.
9. Misalkan a, b bilangan rasional dengan a < b. Carilah bilangan irrasional t
sedemikian sehingga a < t < b.
Kelengkapan Bilangan Real
17