x - TI

Dasar dan Pemahaman
Pada dasarnya kalkulus predikatif merupakan
perluasan dari kalkulus proposisi dimana kalkulus
predikatif mengatasi kelemahan pada kalkulus
proposisi dengan menambahkan representasi
 Objek yang memiliki sifat tertentu
 Relasi antar objek
Dasar dan Pemahaman
Logika proposisi tidak dapat menjelaskan konsep
objek dan relasi antar objek.
 Contoh
Batuan di Mars berwarna putih
atau
Batuan di Mars tidak berwarna putih
Dengan aturan proposisi, pernyataan tersebut dapat
dibuat menjadi skema kalimat
(P or not P)
dan selanjutnya dapat ditentukan nilai kebenarannya.
Dasar dan Pemahaman
 Jika ada pernyataan lain,
Ada batuan di Mars berwarna putih
atau
Semua batuan di Mars berwarna putih,
maka pernyataan di atas tidak dapat dibentuk menjadi skema
kalimat proposisi.
Hal ini disebabkan karena pernyataan tersebut mengandung
kuantisasi dari objek.
Oleh karena itu, dibutuhkan bahasa baru yang mengenal adanya
konsep objek dan relasi antar objek, yaitu menggunakan
kalkulus predikatif.
Dasar dan Pemahaman
Dengan kalkulus predikatif maka pernyataan tersebut
diubah menjadi :
(for some x) (p(x) and q(x))
or
(for all x)(if p(x) then q(x))
dimana :
p(x) = x adalah batuan di Mars
q(x) = x adalah batuan berwarna putih
KUANTOR
Eksistensial
Universal
Kuantor khusus
KUANTOR EKSISTENSIAL
Kuantor digunakan untuk mengubah kalimat terbuka
menjadi kalimat deklaratif
KUANTOR EKSISTENSIAL ‘’
 Kalimat “x” dibaca: “There Exist an x such that”




Terdapat suatu x sedemikian hingga.
Ada x yang memenuhi
Sekurang-kurangnya satu x
Beberapa x
 Ditambah sifat dari : (x)P(x), dibaca
 Terdapat suatu x sedemikian hingga x tersebut memenuhi sifat
P.
 Ada x yang memenuhi sifat P.
 Sekurang-kurangnya satu x memenuhi sifat P.
 Beberapa x mempunyai sifat P.
 Jika Himpunan Penyelesaian (HP) dari P(x)  ,
maka (x) P(x) benar.
 Sedangkan jika himpunan penyelesaian dari P(x) =
, maka (x) P(x) salah.
 Contoh 1:
Semesta Pembicaraan (SP) adalah himpunan
bilangan asli, N.
P(x) : x + 4 < 7.
(xN) P(x) = (xN) (x + 4 < 7)
HP = {1,2}  
Jadi, (x) P(x) bernilai benar.
 Contoh 2:
SP adalah himpunan bilangan riil, R.
P(x) : x2 + 2x + 3 = 0.
(xR) P(x) = (xR) (x2 + 2x + 3 = 0)
HP = {}
Jadi, (x) P(x) bernilai salah.
KUANTOR UNIVERSAL
KUANTOR UNIVERSAL ‘’
 Kalimat “x” dibaca: “for All x it holds” atau “Untuk
semua x memenuhi”.
 Ditambah sifat dari (x) P(x), dibaca: untuk semua x
memenuhi sifat P.
 Jika HP dari P(x) adalah SP nya, maka (x)
P(x)bernilai benar.
 Tetapi, jika HP dari P(x) bukan SP nya, maka (x)
P(x) bernilai salah.
 Contoh 1:
Semesta Pembicaraan (SP) adalah himpunan
bilangan asli, N.
P(x) : x + 4 > 3.
(xN) P(x) = (xN) (x + 4 > 3)
HP = {1,2, ...} = N (merupakan SP nya)
Jadi, (x) P(x) bernilai benar.
 Contoh 2:
SP adalah himpunan bilangan riil, R.
P(x) : x2 - 5x + 6 = 0.
(xR) P(x) = (xR) (x2 - 5x + 6 = 0)
HP = {2,3}  R (bukan SP nya)
Jadi, (x) P(x) bernilai salah.
 Catatan:
 Huruf ‘x’ yang terdapat dalam kuantor eksistensial /
universal disebut juga peubah tak sejati (bound
variable), untuk membedakan dengan peubah
bebas (free variable) yang terdapat dalam
kalimat terbuka.
 Hal ini untuk menyatakan bahwa huruf ‘x’ dikatakan
diikat oleh kuantor yang bersangkutan atau ‘x’
berada dalam pengaruhnya kuantor tersebut.
Urutan Kuantor
Teorema 1:
(x).(y) g(x,y)  (y).(x) g(x,y)
Teorema 2:
(x).(y) g(x,y)  (y).(x) g(x,y)
 Teorema 1 dan 2 di atas menyatakan bahwa kuantor-
kuantor sejenis boleh ditukar tempat.
Kuantor Universal digunakan secara
1. Distributif
(x)(y) R(x,y) : Untuk setiap x dapat ditemukan
suatu y sedemikian hingga memenuhi R.
2. Kolektif
(y)(x) R(x,y) : Ada suatu y sedemikian hingga
untuk semua x berlakulah R.
 Misal SP adalah himpunan bilangan alam N.
R = relasi lebih dari
(x)(y) R(x,y) : (x)(y) (y > x)
“Untuk setiap x dapat ditemukan suatu y sedemikian
hingga y lebih dari x.”
Menyatakan bahwa tidak ada bilangan alam yang terbesar.
(y)(x) R(x,y) : (y)(x) (y > x)
“Ada suatu y sedemikian hingga untuk semua x
berlakulah y lebih dari x.”
Menyatakan adanya bilangan alam terbesar.
 Sehingga tidak berlaku:
(x)(y) R(x,y)  (y)(x) R(x,y)
 SP = {1, 2, ..., 10}
R = relasi lebih dari atau sama dengan
(x)(y) R(x,y) : (x)(y) (y  x)
Yaitu y = 10.
(y)(x) R(x,y) : (y)(x) (y  x)
Yaitu y = 10.
 Sehingga berlaku:
(y)(x) R(x,y)  (x)(y) R(x,y)
 Jadi berlaku: Kolektif  Distributif.
Teorema 3:
(y).(x) g(x,y)  (x).(y) g(x,y)
Hubungan Antara Kuantor-kuantor
Teorema 4:
((x)g(x))  (x).g(x)
 Mengingkari bahwa semua anggota dari SP mempunyai
sifat g, adalah sama dengan mengatakan bahwa ada
anggota dari SP (sekurang-kurangnya satu) yang tidak
mempunyai sifat g.
Teorema 5 :
((x)g(x))  (x).g(x)
 Mengingkari bahwa ada suatu anggota dari SP
mempunyai sifat g, adalah sama dengan mengatakan
bahwa semua anggota dari SP tidak mempunyai sifat g
 Ingkaran kuantor adalah pada kuantor dan sifat. Yakni,
kuantor berubah jenis dan tanda negasi diperbaiki.
 Contoh:
SP adalah himpunan bilangan alam.
B(x,y,z) : z terletak diantara x dan y.
(x)(y). x  y  (z)B(x,y,z)
Negasinya:
((x)(y). x  y  (z)B(x,y,z))
 “Tidak benar bahwa untuk setiap x dan untuk setiap y, apabila
x  y, maka dapat ditemukan suatu z sehingga G(x,y,z)”, atau
 “Untuk setiap pasangan bilangan alam yang berbeda dapat
ditemukan suatu bilangan alam lain yang terletak diantaranya
 Hasil negasinya:
((x)(y). x  y  (z)B(x,y,z))
(x) ((y). x  y  (z)B(x,y,z))
(x)( y). (x  y  (z)B(x,y,z))
(x)( y). x  y   ((z)B(x,y,z))
(x)( y). x  y  (z). B(x,y,z)
 “Ada sepasang bilangan alam yang berbeda dan untuk
semua bilangan alam lain, bilangan alam tersebut tidak
terletak diantara pasangan bilangan alam tersebut.”
 Contoh:
Negasikan pernyataan
1. (x) (x + 2 > 8)
2. (x) (x + 4 < 7)
3. (x) (x2 – 5x + 6 = 0)
Jawab:
 ((x) (x + 2 > 8)) =
=
 (x) (x + 4 < 7) =
=
 (x) (x2 – 5x + 6 = 0)
(x).(x + 2 > 8)
(x). (x + 2  8)
(x).(x + 4 < 7)
(x). (x + 4  7)
=
(x).(x2 – 5x + 6 = 0)
=
(x). (x2 – 5x + 6  0)
KUANTOR KHUSUS ‘!’
 Semua kuantor dapat dinyatakan dengan kuantor
eksistensial maupun universal, kecuali kalimat
berikut:
“Ada satu dan tidak lebih dari satu x yang
mempunyai sifat P”
 Secara simbolis:
(x) [P(x)  (y) (P(y)  x = y)]
“Ada suatu x sedemikian hingga x itu mempunyai
sifat P dan untuk setiap entitas y lainnya, jika y itu
memiliki sifat P juga, maka x = y”
 Diadakan simbol khusus:
(!x)P(x)
 Dibaca:
 Dapat ditemukan dengan tunggal satu x yang memenuhi sifat
P.
 Satu dan hanya satu x yang mempunyai sifat P.
 Terdapat tepat satu x yang mempunyai sifat P.
 Contoh:
(!x).(x2 – 4x + 4 = 0)
2. SP adalah bilangan prima. (!x).((x – 2)2 = 0)
1.
KUANTIFIKASI TERBATAS
 Misal SP adalah himpunan bilangan riil.
1. Kalimat: “Ada suatu x yang positif dengan sifat P”, ditulis
simbolik
(x). x > 0  P(x) ... (1)
2. Kalimat: “Semua x yang positif mempunyai sifat P”, dengan
cala analog ditulis simbolik
(x). x > 0  P(x) ... (2)
Kalimat (2) ini salah, sebab menyatakan semua x  riil adalah
positif.
 Padahal yang dimaksud:
“Untuk semua x, apabila x itu positif, maka mempunyai sifat
P”.
 Jadi seharusnya ditulis
(x). x > 0  P(x) ... (2’)
Kalimat (1) dan (2’) dapat disingkat:
 (x > 0) P(x) :
“Ada suatu x positif yang mempunyai sifat P”
 (x > 0) P(x) :
“Untuk semua x positif berlakulah bahwa mereka
mempunyai sifat P”
Ingkaran dari Kuantifikasi Terbatas
 ((x > 0) P(x)) = ((x).x > 0  P(x))
= (x). (x > 0  P(x))
= (x). (x > 0)  P(x)
= (x). (x > 0)  P(x)
= (x > 0). P(x)
 Jadi, ingkaran dari ada x positif mempunyai sifat P
adalah semua x positif tidak mempunyai sifat P.
 ((x > 0) P(x)) = ((x).x > 0  P(x))
= (x). (x > 0  P(x))
= (x). (x > 0  P(x))
= (x > 0). P(x)
 Jadi, ingkaran dari semua x positif mempunyai sifat
P adalah ada x positif yang tidak mempunyai sifat P.
Ketentuan Penghubung Logika dan Kuantor
 Kuantor mengikat lebih kuat dari tanda-tanda penggandeng kalimat
apapun.
 Tanda titik () dapat digunakan untuk mengganti peranan tanda
kurung ke arah sebelah dimana tanda titik itu diletakkan.
Contoh:
A   B  C maksudnya
A  (B  C)
A  B   C maksudnya
(A  B)  C
 Urutan daya pisah dari yang terkuat adalah sebagai berikut


, 


, 
Contoh
1. (A  B)  C dapat ditulis
ABC
A  (B  C) dapat ditulis
ABC
(A  B)  C
dapat ditulis
ABC
(A  B)  C
tidak dapat ditulis
ABC
2. Dapatkah tanda kurung dihilangkan?
(A  B)  C jawab : dapat
A  (B  C)
jawab : tidak dapat
(A  B)  C
jawab : tidak dapat
3.
Minimalkan tanda kurung kalimat berikut:
((A  B)  C)  (((C  D)  A)  B)
Jawab:
(A  B)  C  ((C  D)  A)  B
A  B  C  ((C  D)  A)  B
4.
(x) P(x)  (C  D) dimaksud ((x) P(x))  (C  D)
(x) [P(x)  Q(x)] dimaksud (x). P(x)  Q(x)
5.
Dalam praktek ilmu pasti, kuantor universal yang terletak di
permulaan suatu kalimat tidak ditulis.
x2 – y2 = (x + y) (x - y)
dimaksud,
(x)(y).(x2 – y2)= (x + y) (x - y)
atau,
(x, y).(x2 – y2)= (x + y) (x - y)
Dibaca: “Untuk semua x dan untuk semua y berlakulah ...”