Antara Operator Swadamping (Self-Adjoint) dan

Antara Operator Swadamping (Self-Adjoint)
dan Hermitan
M. Ardhi K
Kelompok Riset Fisika Matematis
Jurusan Fisika, FST UIN Walisongo
Dalam beberapa tempat, orang menjumpai istilah operator Hermitan dipertukarkan dengan operator swadamping tanpa pensyaratan tertentu. Kesan yang
tampak adalah kedua operator tersebut sejatinya sama. Padahal keduanya
tidaklah sama. Dalam artikel ini akan dijelaskan perbedaan antara keduanya
beserta contohnya.1
1
Definisi Operator Swadamping dan Hermitan
Definisi 1 Andaikan Ô operator yang terdefinisikan secara rapat di ruang Hilbert
H. Operator adjoint Ô† bagi Ô merupakan operator yang didefinisikan untuk semua |ψi ∈ H dan menjadikan |ψi 7→ hÔψ|φi sebagai fungsional linier di dom(Ô)
sedemikian rupa sehingga berlaku
hÔψ|φi = hψ|Ô† φi,
∀|ψi ∈ dom(Ô)
dan
|φi ∈ dom(Ô† ).
(1)
Definisi 2 Suatu operator Ô yang terdefinisikan secara rapat di H dikatakan
sebagai operator swadamping jika berlaku Ô = Ô†
Definisi 2 bermakna bahwa dom(Ô) = dom(Ô† ) dan Ô|ψi = Ô† |ψi untuk setiap
|ψi ∈ dom(Ô).
Definisi 3 Suatu operator Ô yang terdefinisikan secara rapat di H dikatakan
simetris atau hermitan jika
hÔψ|φi = hψ|Ôφi,
∀|ψi, |φi ∈ dom(Ô).
(2)
Sesuai definisi 3 jelas bahwa jika Ô operator hermitan maka
Ô† |dom(Ô) = Ô.
(3)
1 Artikel ini disadur dari sebagian halaman di Tesis S2 : Peluang Majemuk : Sebuah
Inspirasi Dari Mekanika Kuantum Untuk Matematika, Dan Untuk Kembali Ke Mekanika
Kuantum
1
Namun ini tidak mengharuskan berlakunya dom(Ô† ) = dom(Ô), karena masih
memungkinkan berlaku dom(Ô) ⊂ dom(Ô† ).
Sebagai contoh akan dibahas operator momentum P̂ di L2 (R, dx) dan di
2
L ([a, b], dx). Operator tersebut didefinisikan menurut
P̂ ψ ≡ −i~ψ 0
(4)
dengan
d
ψ(x).
dx
ψ 0 (x) ≡
2
(5)
Operator momentum P̂ di L2 (R, dx)
Pada kasus ini, definisi operator momentum seperti pada pers.(4) menjadikan
domain P̂ berupa
dom(P̂ ) ≡ {ψ ∈ L2 (R, dx)|ψ 0 ∈ L2 (R, dx)}.
(6)
Namun domain P̂ itu mengharuskan unsur-unsurnya juga mematuhi sifat berikut
ψ(x) → ∞
jika
x → ±∞.
(7)
Selanjutnya untuk menunjukkan bahwa P̂ swadamping, dengan domain diberikan
oleh pers.(6), dilakukan perhitungan sebagai berikut
Z ∞
hg|P̂ f i =
(g(x))∗ (−i~f 0 (x))dx
−∞
∞
(8)
Z ∞
+
(−i~g 0 (x))∗ f (x)dx.
= −i~(g(x))∗ f (x) −∞
−∞
†
Karena suku pertama lenyap, maka P̂ dapat didefinisikan sebagai
P̂ † g ≡ −i~g 0 ,
(9)
dan domainnya didefinisikan sebagai
dom(P̂ † ) ≡ {g ∈ L2 (R, dx)|g 0 ∈ L2 (R, dx)} = dom(P̂ ).
(10)
Dari sini dapat disimpulkan bahwa P̂ swadamping.
3
Operator momentum P̂ di L2 ([a, b], dx)
Sekarang akan dibahas operator P̂ di L2 ([a, b], dx). Jika f unsur dalam dom(P̂ ),
maka tentunya f 0 harus merupakan unsur dalam L2 ([a, b], dx). Kemudian jika
pers.(8) diterapkan pada kasus ini, diperoleh
Z b
hg|P̂ f i =
(g(x))∗ (−i~f 0 (x))dx
a
(11)
b Z b
= −i~(g(x))∗ f (x) +
(−i~g 0 (x))∗ f (x)dx.
a
2
a
Persamaan terakhir menentukan apakah P̂ di L2 ([a, b], dx) swadamping atau
hanya sekedar hermitan.
Jika ditentukan bahwa
dom(P̂ ) ≡ {f ∈ L2 ([a, b], dx) : f 0 ∈ L2 ([a, b], dx) dan f (a) = f (b) = 0}, (12)
maka pers.(11) menghasilkan
hg|P̂ f i = hP̂ g|f i,
∀g, f ∈ dom(P̂ ).
(13)
Kemudian karena dom(P̂ ) merupakan rapatan di L2 ([a, b], dx), maka P̂ † maujud
dan diberikan oleh
P̂ † g ≡ −i~g 0 .
(14)
Tetapi karena dalam persamaan terakhir tidak dipersyaratkan bahwa g harus
memenuhi syarat batas apapun, maka dom(P̂ † ) ⊃ dom(P̂ ) dan P̂ † merupakan
perluasan dari P̂ . Hal ini menunjukkan bahwa P̂ di L2 ([a, b], dx), dengan domain yang diberikan oleh pers.(12), tidak swadamping, melainkan hermitan.
Untuk menjadikan P̂ di L2 ([a, b], dx) swadamping, maka domainnya perlu
disesuaikan. Dari pers.(11) telah diketahui bahwa P̂ di L2 ([a, b], dx) hermitan
jika
b
(15)
−i~(g(x))∗ f (x) = 0.
a
Syarat ini juga dapat dicapai jika f (a) = f (b) dan g(a) = g(b). Pada kasus ini,
P̂ † g = −i~g 0
dan
dom(P̂ † ) = dom(P̂ ).
(16)
Jika {f ∈ L2 ([a, b], dx) : f 0 ∈ L2 ([a, b], dx) dan f (a) = f (b) = 0} saja merupakan rapatan di L2 ([a, b], dx), apalagi
dom(P̂ ) ≡ {f ∈ L2 ([a, b], dx) : f 0 ∈ L2 ([a, b], dx) dan f (a) = f (b)},
(17)
sehingga dari sini dapat disimpulkan bahwa P̂ di L2 ([a, b], dx), dengan domain
diberikan oleh pers.(17), swadamping.
4
Tanggapan atas komentar saudara/i pemerhati
Berikut ini komentar yang diberikan oleh saudara/i pemerhati pada postingan
saya yang berjudul ”Cacat Mekanika Kuantum dan Beberapa Kesalahan dalam
Buku Teks Mekanika Kuantum” (http://www.abu-khadijah.web.id/?p=657#
comment-449)
3
Terhadap ruang yang dikontruksi oleh saudara/i pemerhati itu, saya belum
bisa menjamin bahwa ruang tersebut merupakan ruang Hilbert. Ruang tersebut
jelas tidak sama dengan L2 ([a, b], dx). Seandainya yang sebenarnya ada dibenak
saudara/i pemerhati adalah ruang L2 ([a, b], dx) maka pembahasan di atas telah
mencukupi.
5
Kesimpulan
Dari pembahasan dua contoh di atas dapat dilihat bahwa sesungguhnya operator hermitan tidak sama dengan operator swadamping. Keduanya akan sama
jika dipenuhi syarat-syarat tertentu. Untuk ruang yang saudara/i pemerhati
kontruksi belum dapat kami jamin bahwa itu merupakan ruang Hilbert.
Daftar Pustaka
[1] Khalif, M. A., Peluang Majemuk : Sebuah Inspirasi Dari Mekanika Kuantum Untuk Matematika, Dan Untuk Kembali Ke Mekanika Kuantum, Tesis
S2 (Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Gadjah
Mada, Yogyakarta, 2010)
4