Pendugaan parameter model dinamik HIV dengan

I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam model dinamik, pembahasan
seringkali hanya berkisar pada masalah titik
tetap, kestabilan dan analisanya dengan
menggunakan parameter-parameter yang
sudah diberikan atau diketahui. (Gao 1995,
Ackerman 1986). Pada kenyataanya, nilainilai parameter tersebut sulit diperoleh pada
dunia nyata. Di sisi lain apabila terdapat
sejumlah data pengamatan, belum tentu model
yang dipunyai cocok dengan data tersebut.
Tulisan ini membahas tentang teknik
pendugaan
parameter
model
dinamik
berdasarkan segugus data pengamatan untuk
suatu model yang sudah diketahui. Pendugaan
parameter dapat dilakukan secara langsung
ataupun tidak langsung jika segugus data
diberikan
beserta
representasi
model
dinamiknya. Pendugaan parameter model
dinamik secara tidak langsung dimulai dengan
mencari solusi analitik dari model dinamik
kemudian dilanjutkan dengan melakukan
regresi. Namun tidak semua model dinamik
dapat ditentukan solusi analitiknya. Oleh
karena itu, diperkenalkan pendugaan secara
langsung yakni dengan menggunakan metode
pendugaan parameter model dinamik. Metode
yang sering digunakan adalah metode kuadrat
terkecil. Pendugaan parameter model dinamik
dengan menggunakan metode kuadrat terkecil
telah diaplikasikan pada beberapa model
dinamik.
Model yang digunakan dalam tulisan
ini adalah model dinamik epidemik
HIV/AIDS (De Arazoza 1999). Model
dinamik epidemik HIV tersebut berupa model
nonlinear, selanjutnya model dinamik
HIV/AIDS akan diduga parameternya
berdasarkan segugus data pengamatan dengan
metode kuadrat terkecil.
1.2 Tujuan
Tujuan dari penulisan ini adalah:
1. Mengkaji metode pendugaan parameter
suatu model dinamik.
2. Mengimplementasikan metode pendugaan
parameter kuadrat terkecil pada model
dinamik epidemik HIV ke dalam program
Mathematica.
II LANDASAN TEORI
2.1 Persamaan Diferensial Biasa
Persamaan diferensial biasa diartikan
sebagai suatu persamaan yang melibatkan
turunan pertama atau lebih dari fungsi
sebarang
y, terhadap peubah x, yang
dinyatakan sebagai :
F ( x, y , y ', y '', ..., y
(n)
)=0
(1)
(Rice 1993)
2.2 Persaman Diferensial Mandiri
Persamaan
diferensial
mandiri
didefinisikan sebagai persamaan diferensial
yang secara eksplisit tidak menyertakan
variabel waktu t . Misalkan diberikan
persaman diferensial orde 1.
dx
(2)
= F ( x)
dt
Persamaan diferensial (2) adalah mandiri
karena tidak menyertakan t pada ruas sebelah
kanan.
(Lomen 1988)
2.3 Sistem Persaman Diferensial Mandiri
Bila persamaan diferensial F ( x )
pada persamaan (2) adalah suatu matriks
berukuran m x m, maka diperoleh sistem
persamaan diferensial mandiri berikut:
dxi
= Fi ( x1 , x2 ,..., xm ) untuk i =1,2,..., m
dt
atau
dx1
= F1 ( x1 , x2 , ..., xm )
dt
(3)
dx2
= F2 ( x1 , x2 , ..., xm )
dt
#
dxm
dt
## #
#
= Fi ( x1 , x2 ,..., xm )
Jika pada persamaan (3) x1 , x2 ,..., xm
dinyatakan sebagai vektor x, maka diperoleh
bentuk sistem persamaan mandiri sebagai
berikut: