Algebra of Sets

Set of Theory
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Department of Mathematics FMIPA UNS
Lecture 1: ALGEBRA OF SETS
Himpunan dapat dikomposisikan satu sama lain. Komposisi yang
menyangkut dua himpunan disebut operasi biner, seperti
Gabungan (union),
∪ ={ | ∈ ∨ ∈ }
Irisan (intersection),
∩ ={ | ∈ ∧ ∈ }
Selisih (difference),
− ={ | ∈ ∧ ∉ }
= ∩
Selisih simetri (symmetric difference)
△ = { | ∈ ( ∪ ) dan ∉ ( ∩ )}
=( ∪ )−( ∩ )
Hasil kali (cartesian product)
× = {( , )| ∈ dan ∈ }.
Kompisisi yang menyangkut satu himpunan, misalnya adalah komplemen
(complement):
= { | ∈ dan ∉ } = − . Berikut diberikan rumusru-mus pokok dari aljabar himpunan.
Proposition 1. Jika A, B, dan C sembarang himpunan, maka berlaku
(a) Sifat refleksif (reflexivityi)
⊆
(b) Sifat antisimetris (antisymmetry)
( ⊆ dan B ⊆ ) jika dan hanya jika =
(c)
Sifat transitif (transitivity)
jika ( ⊆ dan ⊆ ) maka ⊆ .
Bukti
Turunkan langsung dari bukti inklusi (⊆).
(c)
Diambil sembarang ∈ .
Karena ⊆ , maka ∈ .
Karena ⊆ , maka ∈ .
Jadi, ∈ ⟶ ∈ , yaitu ⊆ .
(buktikan untuk (a) dan (b))
Theorem 2. Jika A, B, dan C sembarang himpunan, maka berlaku
(a) Sifat idempoten
∩ =
∪ =
(b) Sifat komutatif
∩ = ∩
∪ = ∪
(c)
Sifat asosiatif
( ∩ )∩ = ∩( ∩ )
( ∪ )∪ = ∪( ∪ )
Set of Theory
(d)
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Department of Mathematics FMIPA UNS
Sifat distributif
∩( ∪ )= ( ∩ )∪( ∩ )
∪( ∩ )= ( ∪ )∩( ∪ )
Bukti
(a)
∩
(b)
(c)
(d)
= { | ∈ dan ∈ }
={ | ∈ }
=
Begitu juga untuk ∪ = , caranya analog.
∩ = { | ∈ dan ∈ }
= { | ∈ dan ∈ }
= ∩
Begitu juga untuk ∪ = ∪ , caranya analog.
(buktikan)
Langkah 1: dibuktikan ∪ ( ∩ ) ⊆ ( ∪ ) ∩ ( ∪ ).
Ambil sembarang ∈ ∪ ( ∩ ), maka berlaku
∈ atau ∈ ∩ .
Jika ∈ , maka ∈ ∪ dan ∈ ∪ , jadi
∈( ∪ )∩( ∪ )
Jika ∉ , maka
∈ ∩ ⟶ ∈ dan x ∈ C
⟶ ∈ ∪ dan ∈ ∪
⟶ ∈( ∪ )∩( ∪ )
Terbukti: ∈ ∪ ( ∩ ) ⟶ ∈ ( ∪ ) ∩ ( ∪ ), artinya
∪ ( ∩ ) ⊆ ( ∪ ) ∩ ( ∪ ).
Langkah 2: dibuktikan (
Ambil sembarang ∈ ( ∪
Jika ∈ , maka
∈ ∪ ( ∩ ).
Jika ∉ , maka ∈ dan
∈ ∪ ( ∩ ).
Terbukti: ∈ ( ∪ ) ∩ ( ∪
( ∪ )∩( ∪ )⊆ ∪(
∪ )∩( ∪ ) ⊆ ∪( ∩ )
) ∩ ( ∪ ), maka berlaku
∈ , sehingga
)⟶ ∈
∩ ).
∈ ( ∩ ), maka
∪ ( ∩ ), artinya
Dari langkah 1 dan 2, terbukti sifat distributif. Begitu juga untuk
∩ ( ∪ ) = ( ∩ ) ∪ ( ∩ ), caranya analog.
Proposition 3. Jika A, B, dan C subset dari S, maka berlaku
(a) Existence of a least element and a greatest element
⊆ ⊆
(b) Existence of joins
⊆ ( ∪ ) dan ⊆ ( ∪ )
Jika ⊆ dan ⊆ , maka ( ∪ ) ⊆
Set of Theory
(c)
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Department of Mathematics FMIPA UNS
Existence of meets
( ∩ ) ⊆ dan ( ∩ ) ⊆
Jika ⊆ dan ⊆ , maka
⊆( ∩ )
Bukti. Langsung dari definisi (buktikan).
Proposition 4. Jika A dan B sembarang himpunan, maka
⊆
⟷ ∩ =
⟷ ∪ =
⟷ − =
⟷
⊆
Artinya, pernyataan-pernyataan tersebut ekuivalen.
Bukti. Langsung dari definisi (buktikan).
Proposition 5 (Rumus De Morgan). Jika A dan B sembarang himpunan,
(a) ( ∪ ) =
∩
(b) ( ∩ ) =
∪
Bukti
(a) (buktikan)
(c)
Langkah 1: dibuktikan (
Ambil sembarang ∈ ( ∩
⟶ ∉ ( ∩ ) artinya
⟶ ∈ dan ∈
⟶ ∈
∨ ∈
⟶ ∉
∨ ∉
⟶ ∈
∨ ∈
⟶ ∈( ∪ )
Terbukti: ∈ ( ∩ ) ⟶
( ∩ ) ⊆
∪
Langkah 2: dibuktikan
Bukti analog.
∩ ) ⊆
∪
)
∈( ∩ )
∈(
∪
). Artinya
∪
⊆( ∩ ) .
Dari langkah 1 dan 2, terbukti bahwa ( ∩ ) ⊆
∪
.
Proposition 6. Jika A subset dari himpunan semesta U, maka
(a) Double complement or involution law
( ) =
(b) Complement laws for the universal set and empty set
=
=
Bukti
Set of Theory
(a)
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Department of Mathematics FMIPA UNS
Langkah 1: dibuktikan ( ) ⊆
Ambil sembarang ∈ ( ) ⟶ ∉
⟶ ∈ .
Terbukti ∈ ( ) ⟶ ∈ . Artinya,
( ) ⊆
Langkah 2: dibuktikan ⊆ ( )
Ambil sembarang ∈ ⟶ ∉
⟶ ∈( ) .
Terbukti ∈ ⟶ ∈ ( ) . Artinya,
⊆( )
Dari langkan 1 dan 2, terbukti bahwa (
(b)
) ⊆ .
(buktikan)
Proposition 7. Jika A subset dari himpunan semesta U, maka
(a)
⊆ ⊆
(b) Hukum identitas (identity laws)
∪ =
∩ =
(c)
Hukum dominasi (domination laws)
∪ =
∩ =
(d) Hukum komplemen (complement laws)
∪
=
∩
=
Bukti. (buktikan).
Proposition 8. Jika A dan B sembarang himpunan, maka
(a) Hukum absorbsi (absorption laws)
∪( ∩ )=
∩( ∪ )=
(b)
− = ∩
Bukti. (buktikan).
Proposition 9. Jika A, B, dan C sembarang himpunan, maka
(a)
△ =( ∩ )∪( ∩ )
(b)
△ = △
( △ )△ = △( △ )
(c)
(d)
∩( △ )=( ∩ )△( ∩ )
Bukti.
(a)
△
=(
=(
=(
={
∪ ) − ( ∩ ) (definisi selisih simetri)
∪ ) ∩ ( ∩ ) (definisi selisih)
∪ ) ∩ ( ∪ ) (h. De Morgan)
∩ ( ∪ )} ∪ { ∩ ( ∪ )} (h. distributif)
Set of Theory
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Department of Mathematics FMIPA UNS
= {( ∩ ) ∪ ( ∩ )} ∪ {( ∩ ) ∪ ( ∩ )} (h. distributif)
= { ∪ ( ∩ )} ∪ {( ∩ ) ∪ } (h. komplemen)
= ( ∩ ) ∪ ( ∩ ) (h. identitas)
(buktikan (b), (c), dan (d))
Proposition 10. Jika A dan B subset dari himpunan semesta U, maka
Jika ∪ = dan ∩ = , maka =
Bukti. (buktikan)