TEORI PENDUGAAN (TEORI ESTIMASI)

TEORI PENDUGAAN
(TEORI ESTIMASI)
Pertemuan 10
Pendahuluan :
Tujuan utama kita mengambil sampel
dari suatu populasi adalah untuk
memperoleh informasi mengenai
parameter populasi.
Oleh karena parameter populasi tidak
diketahui, maka dalam statistika
inferensia dipelajari bagaimana cara
mengetahui parameter tersebut.
Ada dua cara untuk mengetahui
parameter populasi yang dipelajari
dalam statistika inferensia, yaitu :
Cara pendugaan (penaksiran/estimasi)
Pengujian hipotesis.
Dua cara ini didasarkan pada besaran
yang dihitung dari sampel.
ˆ
 Parameter populasi ditulis dengan huruf latin , di
mana  bisa berupa:
rata-rata populasi,
simpangan baku populasi,
proporsi populasi.
 Sedangkan statistik dari sampel ditulis  (topi),
bisa berupa :
rata-rata sampel,
simpangan baku sampel,
proporsi sampel.
 Dalam statistika inferensia, statistik  (topi) inilah
yang dipakai untuk menduga parameter  dari
populasi
Teori Pendugaan dikenal dua jenis
pendugaan (estimasi) yaitu :
 Pendugaan Titik (Estimasi Titik).
Bila nilai parameter  dari populasi hanya diduga
dengan memakai satu nilai statistik  (topi) dari
sampel yang diambil dari populasi tersebut
 Pendugaan Interval (Estimasi Interval).
Bila nilai parameter  dari populasi diduga dengan
memakai beberapa nilai statistik  (topi) yang
berada dalam suatu interval, misalnya 1 (topi) <  <
2 (topi)
Estimasi Titik :
X

X 
penduga titik untuk

n
S2 
2
(
X

X
)

X
p
n
n 1
penduga titik untuk
2
penduga titik untuk
P
Estimasi Interval :
 Secara umum:
dengan mengambil sampel acak secara berulang,
maka kita akan memperoleh dist. statistik  (topi)
sehingga probabilitas dari interval 1(topi) <  <
2(topi) akan sama dengan nilai yang diinginkan,
yaitu :
P(1(topi) <  < 2(topi) ) = 1 - 
,0<<1
Di mana :
 disebut koefisien kepercayaan
1-
disebut derajat kepercayaan
P(1(topi) <  < 2(topi) ) disebut interval kepercayaan
Pendugaan Parameter Populasi
Dengan Sampel Besar ( n  30 )
Pendugaan parameter rata-rata  :
 Interval kepercayaan (1 - ) untuk menduga
rata-rata , bila  diketahui adalah:
X  Z / 2

n
   X  Z / 2

n
Bila  tidak diketahui, maka dapat digunakan
penduga dari  yaitu S
Pendugaan perameter proporsi P:
Interval kepercayaan (1 - ) untuk
menduga proporsi P adalah :
p  Z / 2
pq
 P  p  Z / 2
n
Dimana :
X
P
N
dan
x
ˆ
P p
n
pq
n
Pendugaan parameter beda dua ratarata (1 - 2) :
Interval kepercayaan (1 - ) untuk
menduga beda dua rata-rata 1 - 2 bila 1
dan 2 diketahui adalah:
( X 1  X 2 )  Z / 2
 12
n1

 22
n2
 1   2  ( X 1  X 2 )  Z / 2
 12
n1

 22
n2
Pendugaan parameter beda dua
proporsi (P1 - P2):
Interval kepercayaan (1 - ) untuk
menduga beda dua proporsi (P1 - P2)
adalah :
( p1  p2 )  Z / 2
p1q1 p2q2
p1q1 p2 q2

 P1  P2  ( p1  p2 )  Z / 2

n1
n2
n1
n2
Pendugaan Parameter Populasi
dengan Sampel Kecil ( n < 30 ):
Pendugaan parameter rata-rata  :
Interval kepercayaan (1 - ) untuk
menduga rata-rata . dengan sampel
kecil, bila  tidak diketahui adalah:
X  t / 2,
S
S
   X  t / 2,
n
n
Pendugaan parameter beda dua ratarata (1 - 2) :
 Misalkan diketahui dua populasi masingmasing mempunyai rata-rata 1 dan 2 , dan
distribusinya mendekati normal.
 Misalkan variansi dua populasi itu sama yaitu
12 = 22 = 2 tetapi tidak diketahui berapa
besarnya.
( X 1  X 2 )  t / 2, S p
1 1
1 1

 1   2  ( X 1  X 2 )  t / 2, S p

n1 n2
n1 n2
di mana : derajat kebebasan  = n1 + n2 - 2
Simpangan baku gabungan adalah
(n1  1) S1  (n2  1) S 2
n1  n2  2
2
Sp 
2
 bila variansi dua populasi itu tidak sama besarnya yaitu 12
 22 dan kedua variansi tidak diketahui nilainya, maka
interval kepercayaan (1-) untuk beda dua rata-rata (1 2) dari dua populsai tersebut adalah :
2
( X 1  X 2 )  t / 2,
2
2
S1
S
 2  1   2  ( X 1  X 2 )  t / 2,
n1
n2
 S1
S2


 n
n2
 1
2
di mana derajat kebebasan

 S 2 2
  1 n 
1



n

1
1



2




2
S1
S
 2
n1
n2
2
2
 S22
 

 
n
2

 

n2  1 


Pendugaan parameter beda dua rata-rata (1 2) jika kedua sampel tidak bebas :
 Misalnya bila pengamatan dalam kedua
sampel diambil secara berpasangan
sehingga kedua sampel saling terkait, maka
interval kepercayaan (1-) untuk beda dua
rata-rata (1 - 2 = d) dari dua populasi
tersebut adalah :
d  t / 2,v
Sd
n
  d  d  t / 2,v
Dimana derajat kebebasan  = n - 1
Sd
n