1- akar bentuk lainnya

PANGKAT BULAT
POSITIF
PANGKAT
BULAT
PANGKAT BULAT
NEGATIF DAN NOL
SIFAT-SIFAT
PANGKAT BULAT
PANGKAT
(EKSPONEN)
PANGKAT
PECAHAN
PANGKAT, AKAR,
DAN LOGARITMA
PERSAMAAN
EKSPONEN
PERTIDAKSAMAAN
EKSPONEN
PENJUMLAHAN
DAN
PENGURANGAN
SIFAT BENTUK
AKAR
BENTUKLAINNYA
AKAR
SIFAT BANTU
MERASIONALKAN
PENYEBUT
BEBERAPA
BENTUK KHUSUS
DEFINISI DAN SIFAT-SIFAT
LOGARITMA
PERTIDAKSAMAAN
LOGARITMA
LOGARITMA
PERSAMAAN
LOGARITMA
-1-
PERKALIAN DAN
PEMBAGIAN
PANGKAT
(EKSPONEN)
v Pangkat Bulat
1.
Pangkat Bulat Positif
an = a ´ a ´ a ´ .... ´ a
perkalian a sebanyak n kali, dan n adalah bilangan bulat positif
n – faktor
keterangan :
a disebut bilangan pokok
n disebut bilangan pangkat
2.
Pangkat Bulat Negatif
a-n =
3.
1
an
dan a ¹ 0
Pangkat Bulat Nol
a0 = 1 dan a ¹ 0
v Sifat- Sifat Pangkat Bulat
Dengan a , b, m, dan n Î R berlaku sifat :
•
•
•
am . an = am + n
am
a
n
= am - n
(a )
m n
= a mn
-2-
•
a n . bn = ( a . b )
an
•
æaö
=ç ÷
bn è b ø
•
æaö
ç ÷
èbø
-n
n
n
æbö
=ç ÷
èaø
n
-3-
Contoh 1
50 + 40 + 30 + 20 + 10 = ....
Jawab :
50 + 40 + 30 + 20 + 10 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5
Contoh 2
Bentuk sederhana dari
7 x 2 y -3 z 2
54 x -1 y -5 z -4
´
27 x y -1 z -8
adalah ....
84 x -6 y 4 z -2
Jawab :
7 x 2 y -3 z 2
54 x
-1
y
-5
z
-4
´
27 x y -1 z -8
84 x
-6
4
y z
-2
=
7 . 27 10 -3 1 10 -3
x y =
x y
54 . 84
24
Contoh 3
(a - b)
-3
æa +bö
.ç
÷
èb -aø
-2
æa +bö
.ç
÷
èb-aø
-2
.
1
( a + b )-3
= ....
Jawab :
(a - b)
-3
( a + b )-2
3
.
= (a - b) .
. (a + b)
-3
-2
(a + b)
(b - a )
1
-3
= (a - b)
-3
. (a + b)
= (a + b) . (a - b)
1
=
-2
( a - b )2 . ( a + b )3
-1
a+b
a-b
Contoh 4
2n + 2 - 2n
2n - 2n - 1
= ....
Jawab :
2n + 2 - 2n
2n - 2n - 1
=
=
2n . 22 - 2n
2n - 2n . 2-1
(
)= 3
2n 22 - 1
æ 1ö
2n ç1 - ÷
è 2ø
1
2
=6
-4-
LATIHAN SOAL
1.
(5a
4
) (
)
b-3 ´ 2a -2 b5 = ....
(A) 10 a
-8
b
-15
(B) 10 a-2 b-2
(C) 10 a -2 b2
(D) 10 a 2 b-2
(E) 10 a2 b2
Jawab : (E)
2.
( 4 x y ) ´ æçè 21
5
3
2
ö
x -3 y -3 ÷ = ....
ø
(A) 2
(B) x 2
(C) 2x 2
(D) xy
(E) 2xy
Jawab : (B)
1 1 ö
æ
ç2 - - 2 ÷
2 2 ø
è
4
(A)
25
16
(B)
49
16
(C)
25
25
(D)
16
25
(E)
4
Jawab : (B)
-2
3.
4.
3n + 2 - 3n
3n - 3n -1
1
(A)
12
(B) 1
16
(C)
3
(D) 12
(E) 24
Jawab : (D)
= ....
= ....
-5-
3
æ1ö æ1ö
ç ÷ :ç ÷
è2ø è2ø
1
(A)
16
1
(B)
8
1
(C)
4
1
(D)
2
(E) 16
Jawab : (A)
-1
= ....
5.
6.
2-3 a3 b -4
4
æ 1 ö 4 -5
ç ÷ a b
è2ø
ab
(A)
2
b
(B)
2a
2a
(C)
b
2b
(D)
a
(E) 2ab
Jawab : (D)
7.
(2 )
a a
æ1ö
´ç ÷
è2ø
(A) a 2a
(B) – 2
1
(C)
2
(D) 1
(E) 2
Jawab : (E)
8.
2
= ....
a2 - 1
= ....
-1
æ æ 2
3
çç 2 . ç 2 . 2
è
è
1
(A)
8
1
(B)
2
( )
-1 ö-2 ö
÷ ÷÷ = ....
ø ø
(C) 1
(D) 2
(E) 8
Jawab : (E)
-6-
9.
1080 = ....
(A) 2 . 32 . 52
(B) 22 . 32 . 52
(C) 23 . 33 . 5
(D) 23 . 32 . 52
(E) 23 . 33 . 52
Jawab : (C)
2
2
3 5
æ2ö æ 3ö
10. ç ÷ ´ ç - ÷ - 3 : = ....
2 8
è3ø è 4ø
(A) – 0,35
(B) – 0,25
(C) 0,54
(D) 0,85
(E) 1
Jawab : (A)
11.
43 ´ ( 3,5)
2
= ....
42 ´ 7 2
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
Jawab : (A)
12.
32 ´ 0, 04
æ3ö
1 + 2ç ÷
è 15 ø
(A) 3-1
(B) 3-2
(C) 1
(D) 3
(E) 32
Jawab : (D)
2
= ....
13. 0,12 ´ 1,8 = ....
æ 6ö
(A) ç ÷
è 10 ø
2
æ 6ö
(B) ç ÷
è 10 ø
3
æ 6ö
(C) ç ÷
è 10 ø
4
æ 6ö
(D) ç ÷
è 10 ø
5
æ 6ö
(E) ç ÷
è 10 ø
Jawab : (B)
6
-7-
æ 8 . m-9 . n -2 ö
14. ç
ç 64 . m-6 . n ÷÷
è
ø
-3
(A) ( 2mn )
(B) 2mn
(C)
(D)
(E)
-1
= ....
( 2mn )2
( 2mn )3
( 3mn )2
Jawab : (D)
15.
3n + 4 - 3 . 3n + 1
8 . 3n + 2
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
Jawab: (B)
16.
(
= ....
)
56 . 66 - 38 . 24
3
11. 5 .104
= ....
(A) 32
(B) 33
(C) 34
(D) 35
(E) 36
Jawab : (E)
17. Bentuk
3x -1 - y -2
x -2 + 2 y -1
negatif menjadi ....
x (3 y - x )
(A)
y y + 2x2
dapat ditulis tanpa eksponen
(
)
x (3 y - x )
y ( x + 2x )
x (3 y - x )
y ( y - 2x )
x (3 y - x )
y ( y + 2x )
x (3 y - x )
y ( x - 2x )
2
(B)
2
2
(C)
2
2
(D)
2
2
(E)
2
Jawab : (D)
-8-
5
æ 1 ö æ 1 ö
18. ç
÷ .ç
÷
è1 + p ø è1 - p ø
(A) p
-7
æ p - 1ö
.ç
÷
è1 + p ø
-6
= ....
(B) 1 - p 2
(C) p2 - 1
(D) p2 + 2 p + 1
(E) p2 - 2 p + 1
Jawab : (B)
( 3x y )
Bentuk sederhana
2( x y )
2
19.
-3 -1
2 -2
(
é 2 x 2 y -1
ê
.ê
x2 y
êë
)
3 ù3
ú
ú
úû
adalah ....
4
(A) x -4 y -7
3
4 12 -5
(B)
x y
3
16 -4 -1
(C)
x y
3
16 -4 -7
(D)
x y
3
(E) 3x5 y3
Jawab : (B)
( 2a b )
3
20. Bentuk sederhana
æ a2 ö
çç 3 ÷÷
è 4b ø
2 2
4
(a b)
æ 4b5 ö
çç
÷÷
è a ø
3
adalah ....
(A) ab2
(B) a 2 b
(C) 4a2 b2
(D) 16a 2 b2
(E) 64a2 b2
Jawab : (D)
-9-
PR
1.
2.
Tentukanlah nilai x, y dan z dari bentuk-bentuk berikut.
a.
675 = 2x . 3y . 5z
b.
1458 = 2x . 3y . 5z
Sederhanakanlah.
a.
4n + 1 - 22 n + 1
4n
(a )
a (a
p+q 2
b.
3.
4.
2p
)
-1
Tentukan nilai dari :
a.
{( -6)
b.
102 + 101 + 100 + 10-1
2
}
+ ( -2 ) ´ 3 + 8 : 2-1
3
Sederanakan dan nyatakan dalam bentuk pangkat positif.
a.
b.
5.
q
- a 2q
a - 1 b-2 + a -2b-1
a -2 - b-2
æ x -1 + y -1 ö
çç -1
-1 ÷
÷
èx -y ø
Diketahui
-1
( 30 )2 . ( 49 ) 6
( 28 )5 . ( 96 )2 . ( 625 )2
= 2a . 3b . 5c . 7 d , hitunglah nilai a + b + c + d
-10-
PANGKAT / EKSPONEN
(MAT- 2)
v Pangkat Pecahan
1
1.
an = n a
2.
a n = n am
m
v Persamaan Eksponen
1.
a f ( x) = a p Þ f ( x) = p
2.
a f ( x) = a g ( x) Þ f ( x) = g ( x)
3.
a f ( x) = 1 Þ f ( x) = 0
, a¹0
v Pertidaksamaan Eksponen
a f ( x) > a g ( x)
1.
Jika a > 1
Þ
f ( x) > g ( x)
2.
Jika a < 1
Þ
f ( x) < g ( x)
-11-
-12-
Contoh 1
1
2
æ x -1 + y -1 ö
Jika x > 0 dan y > 0 maka ç
ç
÷÷ = ....
xy
è
ø
Jawab :
1
æ x -1 + y -1 ö
çç
÷÷
xy
è
ø
1
2
1
æ 1 1 ö2 æ x + y ö2
çx+ y÷
ç xy ÷
÷ =ç
÷ =
=ç
ç xy ÷
ç xy ÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
x+ y
xy
Contoh 2
-3
Jika x = 25 dan y = 64 maka nilai dari
x 2 . 3 y2
1
1
y3 - x2
= ....
Jawab :
-3
x 2 . 3 y2
1
3
y -x
1
2
(5 ) . ( 4 )
=
( 4 ) - (5 )
2
-3
2
3
1
3
3
2
3
2
1
2
=
5-3 . 42
16
=4-5
25
Contoh 3
æ a 23
ç 1
ç b2
è
-1
1
ö
2
1
b2
÷ . a 3 . b 2 : 1 = ....
÷
a3
ø
(
)
Jawab :
æ a 23
ç 1
ç b2
è
-1
1
1
1
ö
2
1
1
1
b 2 b 2 23 12 a 3
3
2
÷ . a . b : 1 = 2 . a . b . 1 = a3 . b2
÷
b2
a3 a3
ø
(
)
-13-
Contoh 4
Solusi persamaan
4
(2 )
x-3 2
=3
1
adalah ....
4
Jawab :
4
(2 )
x-3 2
=3
1
4
-2
®
22 - (2 x - 6) = 2 3
®
8 - 2x =
-2
3
®
24 - 6 x = - 2
®
x=4
Contoh 5
Nilai x yang memenuhi pertaksamaan 4x - 2 > 23x + 1 adalah ....
Jawab :
4
x-2
3x + 1
> 2
2( x - 2)
>
(3 x + 1)
2 2
®
2
®
22 x - 4 > 2
®
2x - 4 >
®
4 x - 8 > 3x + 1
®
x>9
3 x +1
2
3x + 1
dikali 2
2
-14-
1
3
LATIHAN SOAL
1.
Jika a ≠ 0 , maka
( -2a )3 . ( 2a )-
2
3
(16a )
4
= ....
(A) -22 a
(B) -2a
(C) -2a2
(D) 2a 2
(E) 22 a
Jawab : (B)
2.
Dalam bentuk pangkat positif dan bentuk akar,
x -1 - y -1
1
1
x2 + y2
= ....
(A)
x- y
xy
(B)
y- x
xy
(C)
x+ y
xy
(
xy (
(D) xy
x+
(E)
x-
)
y)
y
Jawab : (B)
3.
2
æ1ö
32 5 - ç ÷
è5ø
Nilai dari
1
49 2
-2
adalah ....
(A) – 3
(B) – 2
1
(C) 7
(D) 1
(E) 3
Jawab : (A)
-15-
4.
æ 12 -3
a b
Bentuk ç
çç -1 - 32
a b
è
....
b
(A)
a
a
(B)
b
(C) ab
(D) a b
2
ö3
÷ dapat disederhanakan menjadi
÷÷
ø
(E) b a
Jawab : (B)
5.
Diketahui x = 216 dan y = 64 maka nilai
x
- 23
4
. y 3 = ....
1
3
1
(B) -7
9
4
(C)
9
1
(D) 7
9
1
(E) 21
3
Jawab : (D)
(A) -21
6.
(
1
3
Ditentukan N = a b
2
5
1
2
) . Nilai N untuk a = 27
dan b = 32 adalah ....
(A) 2 3
(B) 2 6
(C) 6
(D) 12
(E) 144
Jawab : (A)
2
7.
æ x 34 ö
2 3
1
x
Bentuk ç 1 ÷ . x 2 y 3 : 3
dapat
ç y3 ÷
y
è ø
disederhanakan menjadi ....
(
)
(A) x3 3 x 2 y 5
(B) x y 3 x 2 y 2
(C) x 2 y
3
x2 y2
(D) x 2 y 3 x 2
(E) x 2 y 3 y 2
Jawab : (C)
-16-
5
8.
1
1
a6 b2 - a3 b
4
1
1
= ....
3
a3 b2 - a3 b2
1
1
1
1
(A) a 2 + b 2
(B) a 2 - b 2
(
(D) ( a
(E) ( a
(C)
1
)
-b )
+b )
-1
1
a2 + b2
1
2
1
2
1
2
-1
1
2
- 12
Jawab : (C)
9.
Jika a > 0 dan b > 0 maka
ìïæ a ö 12 æ b ö 12 üï ( a . b ) 2
= ....
íç ÷ - ç ÷ ý . 1
1
2
2
b
a
îïè ø è ø þï a + b
1
a+
(A)
b
1
(B)
a+b
(C)
a-b
(D)
a-
b
1
(E)
a-b
Jawab : (D)
(
10. Jika a > 0 maka a 2 - a- 2
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
1
2
a
1
a2
1
2
a
1
a2
1
a2
1
(a
2
-1
(a
4
-1
4
- a2 + 1
(a
)
1
) .( a
2
1
2
+a
- 12
)
2
= ....
2
)
)
2
( a - 1)4
(a
4
)
+1
Jawab : (A)
-17-
11. Nilai x yang memenuhi persamaan
32 x + 3 = 5 27 x + 5 adalah ....
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
–2
–1
0
1
2
Jawab : (C)
12. Nilai x yang memenuhi persamaan
42 x + 1 .34 x + 1 = 432 adalah ....
1
2
(A) (B) 0
1
(C)
2
(D) 1
(E) 2
Jawab : (D)
-3
3
3
13. Jika a 2 = b 2 . c 4 , maka c dinyatakan dalam a dan
b adalah ....
4 1 3
(A) a 2 b 2
3
4 12 - 23
(B) a b
3
1
3
(C) a 2 b 2
2
(D) a 3 b -2
(E) a2 b2
Jawab : (E)
14. Nilai x yang memenuhi persamaan
27
= 81-0,125 adalah ....
2x -1
3
3
4
3
4
3
4
3
1
4
1
2
4
(A) -1
(B)
(C)
(D)
(E)
Jawab : (E)
-18-
15. Nilai x yang memenuhi persamaan
1
1
= 2 + 3. -1 adalah ....
x-2
2
2
( )
(A) – 4
(B) – 2
(C) 0
(D) 2
(E) 4
Jawab : (A)
16. Nilai x yang memenuhi persamaan
1 x-3
0, 09 2 ( )
= 1 adalah ....
0,33 x + 1
(A) – 2
(B) – 1
(C) 0
(D) 1
(E) 2
Jawab: (A)
17. Penyelesaian persamaan
1
-2 x + 2
3
= 81 adalah ....
(A) – 3
(B) – 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
Jawab : (E)
(
18. Jika 81p = 3 2 3
) (2) æççè 2 1 2 ö÷÷ø (3 ) maka p
- 54
2
sama dengan ....
(A) 0
1
(B)
9
1
(C)
3 3
1
3
(E) 1
Jawab : (A)
(D)
1
19. Diketahui x 2 + x
(A) 7
(B) 8
(C) 9
(D) 10
(E) 11
Jawab : (A)
- 12
= 3 maka x + x-1 = ....
-19-
æ1ö
20. Pertidaksamaan ç ÷
è3ø
6
(A) x >
5
6
(B) x < 5
5
(C) x >
6
(D) x < - 2
(E) x < 2
2x + 1
>
27
3x - 1
adalah ....
Jawab : (D)
-20-
PR
1.
Nyatakan dalam pangkat positif dan bentuk akar.
a.
b.
2.
(
a 2 b -1
(a
3
b -5 c -3
ìï é 2 2
íê x 5 y 4
ïî ë
(
(
5
a 6 b 3 c -2
)
- 14
)
)
1
2
1
3
10
(
ù
- 14 14
ú : x y
û
)
-3 ü
ï
ý
ïþ
Diketahui p = 16 dan q = 27, hitunglah :
a.
b.
2p
- 12
+ q3 -
114
- 2q
5p
4
1 112
p + 2q0
4
113
p
3.
)
1
2
- 34
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut :
a.
( 2)
6x - 4
æ1ö
=ç ÷
è4ø
x-9
-21-
3
b.
1
92 - x = 3x + 1
27
3x
4.
æ 1 ö
Jika x0 memenuhi persamaan ç 3
ç 243 ÷÷
è
ø
5.
Jika 2x + 2- x = 5 tentukanlah nilai dari 4 x + 4- x .
æ 3 ö
= ç x-2 ÷
è3
ø
2
3
3
1
tentukanlah nilai dari 1 - x0 .
4
9
BENTUK AKAR
(MAT- 1)
v Sifat Bentuk Akar
a.
Penjumlahan dan Pengurangan
Untuk a, b, c Î R, dan c ³ 0
b.
• a
c + b c = (a + b) c
• a
c - b c = (a - b) c
Perkalian dan Pembagian
Untuk a, b, p, m, dan n Î R
•
p
a.p b =
•
p
am . an =
p
a
•
c.
a2 = a
a. a =
•
p
p
b
=
p
p
a .b
p
am + n
a
b
Bentuk Lainnya
-22-
Untuk a, p, dan q Î R
1
• ap =
p
a
p
• aq = q ap
•
d.
q p
a =
pq
a
Sifat Bantu
•
( a - b )( a + b ) = a 2 - b2
•
( a + b )2 = a 2 + 2 a b + b 2
•
( a - b )2 = a 2 - 2 a b + b 2
-23-
Contoh 1
75 + 108 + 147 -
Bentuk sederhana dari
867 adalah ....
Jawab :
75 + 108 + 147 -
867 =
25.3 +
36.3 +
49.3 -
289.3
= 5 3 + 6 3 + 7 3 - 17 3
3
=
Contoh 2
Jika a = 2 +
7 dan b = 2 –
7 maka a2 + b2 – 4ab = ....
Jawab :
Gunakan : ( a + b ) = a 2 + 2 a b + b 2
2
Sehingga, a2 + b2 – 4ab = ( a + b ) - 6 a b
2
(
a.b= 2+
)(
)
7 = 4 – 7 = – 3 → ingat : ( a - b )( a + b ) = a 2 - b2
7 . 2-
a2 + b2 – 4ab = ( a + b ) - 6 a b
2
= (4)2 – 6 (– 3) = 34
Contoh 3
Jika f ( x ) = x 2 - 1 dan g ( x ) = x - 1 maka
f ( x)
= ....
g ( x)
Jawab :
f ( x)
g ( x)
=
=
=
x2 - 1
x -1
( x + 1)( x - 1)
x -1
( x + 1) (
)(
x -1
x -1
)
x +1
= ( x + 1)
(
)
x +1
-24-
LATIHAN SOAL
1.
Bentuk sederhana dari
2 175 - 5 343 + 63 - 3 112 = ....
(A) -29
7
(B) -31 7
(C) -32
7
(D) -34
7
(E) -37
7
Jawab : (D)
2.
(
)(
)
Hasil dari 4 3 + 5 3 4 4 3 - 5 3 4 = ....
(A) 48 - 25 6 16
(B) 48 - 25 3 16
(C) 48 - 50 3 2
(D) 96 - 25 6 16
(E) 96 - 50 3 2
Jawab : (B)
3.
Hasil operasi :
48 - 2 18 +
75 + 4 50 -
125 + 2 169 + 45 - 4 20 sama dengan ....
(A) 6 3 + 14 2
27
576
(B) 6 3 + 14
(C) 6 3 + 7
2
(D) 3 3 + 14
(E) 3 3 + 7
2
2
Jawab : (E)
4.
Diketahui x = 4 - 7 dan y = 4 +
x2 – y2 + 2 xy = ....
(A) 18 + 16 7
(B) 23 + 4
7 . Nilai
7
(C) 18 - 4 7
(D) 23 - 16 7
(E) 18 - 16
7
Jawab : (E)
-25-
5.
(
5-
....
(A)
3+
2
2
(
4(
3-
2
)
2
adalah
)
15 )
10 - 15
(C)
10 -
15 + 10
(E) 4 15 +
Jawab : (C)
10
Nilai dari
(
(
5+
10 - 15
(B) 2
(D)
6.
) -(
2+
3+2+
)(
5 . - 2+
)
3+2-
)
5 .
10 + 2 3 = ....
(A) – 4
(B) – 2
(C) 0
(D) 2
(E) 4
Jawab : (E)
7.
(9 + 5 )( 2
5 +1
) = ....
5 +1
(A) 21 5
(B) 19
(C) 8 5
(D) 15
(E) 5 5
Jawab : (B)
Jika p = 1 + 3 maka p2 – 2 = ....
(A) p
(B) 2p
(C) 1 – p
(D) 1 + p
(E) 2(1 + p)
Jawab : (B)
8.
9.
Jika x = 2 (A) 0
1
(B)
3
(C) 3
(D) 3 3
(E) 31 +
Jawab : (B)
3 maka 3x
2
- 4x
= ....
3
-26-
24 +
10.
54 - 150
96
= ....
(A) -2 6
(B) 0
(C) 1
(D)
2
3
(E)
Jawab : (B)
11. Bentuk sederhana dari
(
3+
5-
(A) 16 +
15
(B) 16 -
15
7
) .(
2
3+
5+
7
)
2
= ....
(C) 61 + 4 15
(D) 61 - 4 15
(E) 64 +
Jawab : (C)
15
(
2+
12. Hasil perkalian 2
3
)(
2
)
6 + 1 adalah ....
(A) 5 6 + 20
(B) 15 6 + 25
(C) 15 6 + 30
(D) 15 6 + 35
(E) 15 6 + 45
Jawab : (B)
13.
a
- 54 4
. a -3 .
a
a -3 . a
a -3
a
- 13
= ....
35
(A) a 24
5
(B) a 24
1
(C) a 24
(D) a - 24
5
(E) a - 24
Jawab : (A)
35
-27-
14. é8ëê
1
3
3 ù9
ûú
= ....
(A) – 2
(B) 0,5
(C) 2
(D) – 0,5
(E) 1
Jawab : (B)
15.
32 43 x
4 82 x
= ....
(A) 1
(B) 8
(C) 16
(D) 8 . 2x
(E) 16 . 2x
Jawab : (B)
16. Panjang sisi siku-siku suatu segitiga siku-siku
berturut-turut adalah 4 + 5 dan 2 + 3 . Luas
segitiga siku-siku tersebut adalah ....
(A) 8 + 4 3 + 2 5 + 15
(B) 4 + 2 3 +
(C) 4 +
3+
(D) 8 +
15
(E) 4 +
Jawab : (B)
1
2
1
15
2
5 + 15
5+
15
17. Diketahui
sebidang
tanah
berbentuk
persegipanjang luasnya 72 cm2. Jika panjangnya
tiga kali lebarnya, maka panjang diagonal bidang
tanah tersebut adalah ....
(A) 2 6 cm
(B) 6 6 cm
(C) 4 15 cm
(D) 4 30 c m
(E) 6 15 cm
Jawab : (C)
-28-
18. Jika a + ar = 25 dan ar2 + ar3 = 225 maka r = ....
(A) ± 3
(B) ± 5
(C) 3
(D) 5
(E) 9
Jawab : (C)
19. Diketahui suatu taman berbentuk persegipanjang
luasnya 216 m2. Jika panjang taman satu setengah
kali lebarnya, maka panjang diagonal bidang
taman tersebut adalah ....
(A) 6 5 m
(B) 6 13 m
(C) 6 18 m
(D) 18 10 m
(E) 18 13 m
Jawab : (B)
-1
-1
æ æ x ö2 ö 2 æ æ y ö2 ö 2
ç1 + ç ÷ ÷ . ç1 - ç ÷ ÷
ç è yø ÷ ç è xø ÷
ø
ø è
20. Nilai è
= ....
1
-1
æ æ x ö2
ö 2 æ æ y ö2
ö 2
ç ç ÷ - 1÷ . ç ç ÷ + 1÷
÷
çè y ø
÷ çè x ø
ø
è
ø è
(A) – 1
(B) 0
(C) 1
(D) x2 – y2
(E) y2 – x2
Jawab : (C)
-29-
PR
1.
Sederhanakanlah!
a.
1
8
b.
3
27 729
25. 3 0,2. 3 3.125
27 2 .53
c.
252 .34
(
d.
27 + 125
)(
3-
20
)
2.
Diketahui p = 5 +
3.
Diketahui p = 3 2 - 5 3 dan q =
4.
Jika a = 3 + 2 5 dan b = 3 - 2 5 , maka tentukan nilai dari 4ab – (a + b)4!
5.
Pada gambar, ABCD adalah persegipanjang dan BDE adalah segitiga siku-siku. Jika AB = 4 cm, AD = 2 cm,
dan DE = 5 cm, hitunglah panjang BD dan BE dalam bentuk akar yang paling sederhana!
6, q =
3-
2 , dan r = 2 3 - 3 2 . Tentukan nilai p . q. r!
2 + 5 3 . Tentukan nilai dari p2 – q2!
E
D
C
A
B
-30-
BENTUK AKAR
(MAT- 2)
v Merasionalkan Penyebut Pecahan
Jika suatu pecahan yang ada penyebutnya terdapat bilangan irrasional (bentuk akar) maka pecahan tersebut
harus dirasionalkan dengan cara mengalikan faktor kawan ataupun penyebut pada pecahan tersebut.
Faktor Kawan :
1.
2.
a+
b dan a -
a+
b saling sekawan
a-
b dan
b saling sekawan
3.
a + b c dan a - b c saling sekawan
4.
a b + c d dan a b - c d saling sekawan
Merasionalkan Penyebut Pecahan
•
a
b
a
•
•
b
•
b
a
=
b
c
a±
b
=
c
•
•
a
=
a±
b
d
a±
b
b
b
=
a b
b
=
ab
b
c
a±
=
a ±n b
c±
b
´
c
m
b
´
=
b
´
a
a
c
a±
=
b
b
b
´
=
d
a±
b
´
)
a -b
b
a
b
a ±n b
c±
b
2
a
c
m
(
c a
´
m
m
a
b
a
b
=
c
a
b
a
(
n b
n b
c±
(
c m
=
d
a
n b
2
2
m a-n b
)(
a-b
-31-
)
a-b
a
=
(
a
b
)
)
v Beberapa Bentuk Khusus dalam Akar
•
( x + y) ± 2
•
c c c c .... = c , dengan c ≥ 0
•
c+
c+
c+
c .... =
1
1 + 1 + 4c , dengan c > 0
2
•
c-
c-
c-
c .... =
1
-1 + 1 + 4c , dengan c ≥ 0
2
32 +
8
x. y =
x±
y , dengan x > y > 0
{
{
}
}
Contoh 1
128 -
Nilai dari bentuk
27
sama dengan ....
Jawab :
128 -
32 +
8
=
27
8 2 -4 2 +2 2
3 3
6 2
=
3 3
2
3
=
´
3
3
6
Contoh 2
8
Jika
5-
3
dirasionalkan penyebutnya maka bentuk tersebut menjadi....
Jawab :
8
5-
3
=
=
=
8
52 2
3
(
´
5+
5+
3
5+
3
3
)
5-3
10 +
6
-32-
Contoh 3
Jika a =
1-
3
1+
3
dan b =
1+
3
1-
3
maka a + b = ....
Jawab :
a=
b=
1-
3 1.
3 1-
1+
1+
3
3 1+
.
3 1+
1-
a+b=
3
(
3
3
=
4-2 3
=
1- 3
=
4+2 3
=- 3-2
1- 3
) (
3-2
)
3 - 2 + - 3 - 2 = -4
Contoh 4
Bentuk sederhana dari
7+
48 adalah ....
Jawab :
7+
( x + y) + 2
48 =
7 + 2 12 =
xy =
( 4 + 3) + 2
4.3 =
x+
y
4+
3=2+
3
Contoh 5
Bentuk sederhana dari
6+
6+
6+
6.... adalah ....
Jawab :
6+
6+
6+
6.... =
{
}
1
1 + 1 + 4 (6) = 3
2
-33-
LATIHAN SOAL
1.
Nilai x yang memenuhi persamaan x + x
3=
2
adalah ...
( 3 + 1)
( 3 - 1)
(1 - 3 )
2 ( 3 + 1)
2 ( 3 - 1)
(A)
2
2
(B)
2
2
(C)
2
2
(D)
(E)
Jawab :
2.
Dalam bentuk akar,
p7 -
(B)
p 7 - 4 q3
(D) p 2 (E)
7
p2 + q
- 32
- 34
= ....
1
(A)
(C) p 2 -
p7 - q
q3
4
1
4
q3
4
q3
p3 -
1
q3
Jawab :
3.
Jika
2-
3
2+
3
= a + b 6 , a dan b bilangan bulat
maka a + b = ....
(A) – 5
(B) – 3
(C) – 2
(D) 2
(E) 3
Jawab :
4.
Nilai dari
45 + 18
7 + 2 10
sama dengan ....
(A) 3
(B) 2 3
(C) 3 2
(D) 2 6
(E) 6
Jawab :
-34-
5.
Diketahui x + x- 1 = 7. Nilai
1
x+
x
= ....
5
(A)
(B) 3
11
(C)
(D) 5
(E) 9
Jawab :
6. Jika bilangan
asli
a
dan
b
memenuhi
17 + 4 15 = a 3 + b 5 maka b – a = ....
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Jawab :
7.
–2
–1
0
1
2
4
Bentuk
49 - 20 6
dapat
disederhanakan
menjadi ....
(A) 5 - 2 6
(B)
3-
(C)
7 - 2 30
2
(D) 7 - 2
6
2-
3
(E)
Jawab :
8. Nilai x yang memenuhi persamaan
x+
x+
(A)
2
(B)
3
x + .... =
x
x
x .... adalah ....
(C) 2
(D) 3
(E) 4
Jawab :
9.
4 x 2 - 3x + 2 +
Jika
4 x 2 - 3x + 2 -
nilai
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Jawab :
4 x 2 - 3x - 13 = 5 maka
4 x 2 - 3x - 13 = ....
1
2
3
5
7
-35-
10. Hasil operasi :
48 - 2 18 +
75 + 4 50 -
27
125 + 2 169 +
45 - 4 20 -
576
sama dengan ....
(A) 6 3 + 14
2
(B) 6 3 + 14
(C) 6 3 + 7
2
(D) 3 3 + 14
(E) 3 3 + 7
2
2
Jawab :
11. Dengan
merasionalkan
6-
2
2 6+
2
(
(
)
(
)
(
)
(E) 2 3
(
bentuk
= ....
1
14 - 3 3
22
1
(B)
7-3 3
11
1
(C)
3 3 - 14
4
1
(D)
7-2 6
2
(A)
penyebut,
3-
)
2
)
Jawab :
12. Diketahui p =
dari
2-
5 dan q =
2+
5 . Nilai
p.q
= ....
p+q
3
4
3
(B)
2
(A)
3
4
3
(D) 4
3
(E) 4
(C) -
2
2
2
5
6
Jawab :
-36-
1
13. Nilai
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
2+
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
1
-
3 -1
sama dengan ....
(3 - 3 )
(
3 -3
)
(3 - 3 3 )
(3
3-3
)
(1 - 3 3 )
Jawab :
2
14. Bentuk sederhana
2 -1
2+
2
6-2
(B)
6 -2 3 4
2+2
(C)
6 -2 3 2
2+2
(A)
(D)
(E)
2 3+
3+
2-
22
6
2+
2+
6
adalah ....
3
Jawab :
30
15. Nilai dari
30 +
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Jawab :
30 +
adalah ....
30 + ....
2
3
4
5
6
16. Bentuk rasional dari
10 + 2 24
11 - 2 30
(A) 6 + 2 5 + 2 6 +
30
(B) 6 - 2 5 + 2 6 -
30
adalah ....
(C) 2 6 - 2 5
(D) 6 + 2 6 -
5
(E) 6 + 2 5 -
30
Jawab :
-37-
17. Bentuk
12 + 2 27 dapat diubah menjadi ....
3 -3
(A)
(B) 3 -
3
(C) 9 -
3
(D) 3 +
3
(E) 9 +
3
Jawab :
18. Bentuk
89 - 28 10 dapat diubah menjadi ....
(A) 7 - 2 10
(B) 2 10 + 7
5-
(C)
2
(D) 2 3 +
2-
(E)
5
5
Jawab :
19.
2
+ 2 18 9
(A) 2 13
2
(B) 2 12
2
(C) 2 23
2
(D)
5
6
(E) -
98 +
1
2
= ....
2
1
6
2
Jawab :
20. Diketahui suatu segitiga siku-siku samakaki
memiliki keliling 8 cm. Panjang dari sisi
penyikunya adalah ....
(A) 4
(B)
(C)
(D)
(E)
2 cm
( 4 - 2 ) cm
( 4 - 2 2 ) cm
(8 - 2 2 ) cm
(8 - 4 2 ) cm
Jawab :
-38-
PR
1.
Sederhanakanlah!
a.
b.
2.
2-
3
2+
3
2-
3
2+
3
b.
4.
24
2
25 25 25 25 ....
3
4 3 4 3 4 3 4 ....
Sederhanakanlah!
a.
20 +
b.
æ
çç1 + 3 +
è
20 +
(
20 +
13 + 4 3
20 ....
)
1
2
1
ö2
÷÷
ø
Sederhanakanlah!
a.
b.
5.
75 +
Sederhanakanlah!
a.
3.
+
45 +
18
7 + 2 10
8+4 3
8-4 3
Tentukan bentuk sederhana dari
1
1+
2
+
1
2+
3
+
-39-
1
3+
4
+ .... +
1
22.499 +
22.500
LOGARITMA
v Pengertian
Logaritma adalah suatu bilangan b untuk bilangan pokok a, ditulis alog b, adalah bilangan berpangkat yang
menghasilkan b jika a dipangkatkan dengan eksponen itu.
a
log b = c → b = a c
Catatan :
a > 0 dan a ≠ 1 dan b > 0
v Sifat-Sifat Logaritma
1.
a
log a = 1
2.
a
log 1 = 0
3.
a
log b.c = alog b + alog c
4.
a
log
5.
a
log b n = n . alog b
6.
am
7.
a
log b . blog c = alog c
8.
a
log b = p maka blog a =
9.
a
log b =
b
= alog b – alog c
c
log b n =
10. alog b =
11. a
a
log b
n a
. log b
m
1
p
1
b
log a
x
log b
x
log a
=b
Tambahan :
•
a
log (ax2 + bx + c) = 0 → (ax2 + bx + c) = 1
•
log (ax2 + bx + c) = 1 → (ax2 + bx + c) = 10
Apabila pada suatu persamaan logaritma tidak ditulis bilangan pokoknya, maka nilai bilangan
pokoknya adalah 10.
-40-
v Persamaan Logaritma
•
Bentuk a log f ( x) = a log p atau a log f ( x) = c
Penyelesaian : f(x) = p atau f(x) = a c
•
Bentuk a log f ( x) = a log g ( x) atau
g ( x)
log f ( x) = c
Penyelesaian : f(x) = g(x) atau f(x) = g(x) c
•
Bentuk a log f ( x) = b log g ( x)
Penyelesaian : f(x) = g(x) = 1
•
Bentuk a f ( x) = b g ( x)
Penyelesaian : operasikan logaritma di kedua ruasnya
v Pertidaksamaan Logaritma
Bentuk a log f ( x) > a log g ( x)
•
Jika a > 1
→ f(x) > g(x)
•
Jika 0 < a < 1
→ f(x) < g(x)
Penyelesaian akhir diiris dengan syarat logaritma
-41-
Contoh 1
5
log
27 . 9 log 125 + 16log 32 = ....
Jawab :
5
log
3
2
27 . 9 log 125 + 16 log 32 = 5log 32 . 3 log 53 +
=
=
3 5
. log
2
24
log 25
3. 32 . 3log 5 + 54 . 2log 2
9 5 7
+ =
4 4 2
Contoh 2
16.
2
log 3
3
+ 27.
log
1
2
-
3.
2.
3
log 2
2
log 3
3
log 2
= ....
Jawab :
16.
2
log 3
3
+ 27.
log
1
2
-
3.
2.
2
log 3
= 24 .
= 2.
2
2
log 3
4
log 3
3
+ 33 .
3
+ 3.
log
1
2
-
2
3
3
æ1ö
log ç ÷
è2ø
-
2
3
3
2
æ1ö
= 34 + ç ÷ 2
3
è ø
= 81 +
1 2
11
- = 80
8 3
24
Contoh 3
Jika 5 log 3 = a dan 3 log 4 = b , maka 12 log 75 = ....
Jawab :
12
log 75 =
log 75 log ( 25.3) log 25 + log 3
=
=
log 12 log ( 4.3)
log 4 + log 3
Ambil bilangan pokok dari bilangan yang telah diketahui, ada di a dan b yaitu 3
2
+1
2+a
12
a
log 75 = 3
=
=
=
3
3
b + 1 a ( b + 1)
log 4 + log 3
log 4 + 1
3
log 25 + 3log 3
2. 3log 5 + 1
-42-
Contoh 4
(
Jika log 9 x + 4
)
1
2
- log 81x - 5 = 0 maka nilai x yang memenuhi persamaan itu adalah ....
Jawab :
(
log 9 x + 4
)
1
2
(
= log 81x - 5 → log 32( x + 4)
)
1
2
= log 34( x - 5)
→ log 3( x + 4) = log 34( x - 5)
→ x + 4 = 4 x - 20
→ x=8
Contoh 5
1
1
Nilai-nilai t yang memenuhi 4. 2 log t < 2 log 81 adalah ....
Jawab :
1
2
1 1
log t < . 2 log 81 →
4
1
2
1
1
log t < 2 log 814 →
1
2
1
log t < 2 log 3
Syarat : t > 0
Penyelesaian : t > 3
Irisan syarat dan penyelesaian adalah t > 3
-43-
LATIHAN SOAL
1.
Hasil dari
6
log 12 2 + 6 log
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Jawab :
3 + 6log 18 - 6log 2 - 6log 3 = ....
2
2,5
3
5
6
1 4
+ log 2
9
Nilai dari 3
= ....
- log 2. 25 log 3. 2 log 5
2. 3log
2.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Jawab :
– 16
–9
–7
7
9
0,5
3.
Nilai dari
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Jawab :
4.
log 72 + 2 log 144
- 3log
5 - 3log 3 5
= ....
–2
–1
0
1
2
Nilai dari 16.
2
log 3
3
+ 27.
log
1
2
- 4log 8 = ....
5
8
1
33
2
3
65
8
5
79
8
3
82
8
(A) 25
(B)
(C)
(D)
(E)
Jawab :
-44-
2
5.
Nilai dari
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Jawab :
2
log 2 8 - 2 log 2 2
log
8 - 2 log
2
= ....
2
4
5
8
10
1 8
. log 9. 5 log 64 . Nilai p yang
125
memenuhi adalah ....
(A) – 27
(B) – 12
(C) 6
(D) 12
(E) 27
Jawab :
6.
Diketahui p = 3log
7.
Ditentukan :
x = 3log 5 + 3log 12 – 3log 2 – 3log 10
y = 5log 7 + 3log 12 – 5log 14 + 5log 10
y
Nilai = ....
x
1
(A)
2
5
(B)
8
(C) 1
8
(D)
5
(E) 2
Jawab :
8.
Diketahui plog 81 – 2. plog 27 + plog 243 = 6.
Nilai p = ....
(A)
3
(B) 2
(C) 3
(D) 3
3
(E) 9
Jawab :
-45-
9.
Jika diketahui 9log 8 = m, maka 6log 4 = ....
(A)
m
3m + 2
(B)
4m
2m + 3
(C)
4m
2m + 1
(D)
2m
m+3
(E)
2m
m +1
Jawab :
10. Jika 2log 5 = a dan 5log 7 = b, maka 35log 40 = ....
a+3
(A)
a ( b + 1)
(B)
a +1
ab +1
(C)
a+3
b ( a + 1)
(D)
a+3
b +1
(E)
a +1
b +1
Jawab :
11. Jika 5log 6 = p maka 5log 30 – 5log 126 + 5log 7 –
25log36 + 5log 15 = ....
(A) 2p
(B) 3p
(C) 2 – p
2
(D)
p
(E) p2
jawab :
12. Diketahui 2log 3 = a dan 5log 2 = b, nilai 2log 30 = ....
a+2
(A)
b
b+2
(B)
a
a + b +1
b
ab + a +1
(D)
b
ab + b +1
(E)
b
Jawab :
(C)
-46-
13. Diketahui 7log 4 = p dan 4log 6 = q. nilai 24log 75 . 43 =
....
(A)
3 + 5p
p (1 + q )
(B)
5 + 3p
p (1 + q )
(C)
1 + p3
p (1 + q )
(D)
1 + p3
p+q
(E)
1 + p3
p2 q
Jawab :
14. Jika diketahui alog b = m dan blog c = n maka ablog bc
= ....
(A) m + n
(B) m . n
m (1 + n )
(C)
1+ m
(D)
(E)
n (1 + m )
1+ n
1+ mn
1+ m
Jawab :
15. Diketahui persamaan log x + 2. Log x2 + 3. log x3 =
3. log 63 + 5. log 3 – log 4. Harga x = ....
(A) 18
(B) 9
(C) 3 2
(D) 2
2
(E) 2 3
Jawab :
16. Jika x memenuhi persamaan
4
log 4log x – 4log 4log 4log 16 = 2 maka 16log x = ....
(A) 4
(B) 2
(C) 1
(D) – 2
(E) – 4
Jawab :
-47-
17. Persamaan x
10
log x
= 10000, dengan demikian
100
log x = ....
(A) – 4 atau 3
(B) – 3 atau 3
(C) – 2 atau 2
(D) – 1 atau 1
1
1
(E) – atau
2
2
Jawab :
18. Jika alog (3x – 1) . 5log a = 3, maka x = ....
(A) 35
(B) 36
(C) 42
(D) 48
(E) 50
Jawab :
19. Jika 2. log x + log 6x – log 2x – log 27 = 0 maka x
sama dengan ....
(A) 3
(B) – 3
(C) 3 dan – 3
(D) 9
(E) 9 dan – 9
Jawab :
20. Jika 2x + y = 8 dan log (x + y) =
3
log 2. 8log 36,
2
maka x2 + 3y = ....
(A) 28
(B) 22
(C) 20
(D) 16
(E) 12
Jawab :
-48-
PR
1.
2.
Diketahui log p = x dan log q = y. Nyatakan dalam x dan y bentuk berikut.
a.
log p
b.
log
c.
log
q
p3
q2
p3
q
Diketahui nilai log 2 = 0,301 dan log 3 = 0,477. Tentukan nilai dari :
a. log 60
b.
log
24
0,25
3.
Tentukan nilai dari
log 16 +
0,125
4
0,5
3 log 2 -
1
6
4.
Ditentukan m =
log
3
36 + 2 log
æ 1 ö
ç
÷
è 125 ø
5.
5
log 3
log 16
log 4
!
1
64 . Tentukan nilai m!
Tentukan nilai yang memenuhi :
a.
1
3 log
b.
4
c.
2
( 2x - 3 ) = 12
log ( log x ) = 0
log é log ( log x )ù = 1
ë
û
2
3
2
-49-
BENTUK
PERSAMAAN UMUM
MENENTUKAN AKAR-AKAR
PERSAMAAN KUADRAT
PERSAMAAN
KUADRAT
(EKSPONEN)
JENIS-JENIS AKAR
PERSAMAAN KUADRAT
JUMLAH DAN HASIL KALI
AKAR-AKAR PERSAMAAN
KUADRAT
PERSAMAAN
KUADRAT DAN
FUNGSI KUADRAT
MEMBENTUK PERSAMAAN
KUADRAT
BENTUK
PERSAMAAN UMUM
FUNGSI KUADRAT
(PARABOLA)
MENGGAMBAR GRAFIK
FUNGSI KUADRAT
SIFAT-SIFAT UMUM
FUNGSI KUADRAT
BEBERAPA SKETSA
PARABOLA
MEMBENTUK PERSAMAAN
FUNGSI KUADRAT
HUBUNGAN PARABOLA DAN
GARIS
PERGESERAN GRAFIK
-50-
PERSAMAAN KUADRAT
v Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
ax2 + bx + c = 0
Catatan : a, b, c Î R dan a ≠ 0
v Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat
•
Memfaktorkan
a(x – x1) (x – x2) = 0
•
Melengkapkan kuadrat sempurna
2
b ö
c æ b ö
æ
çx +
÷ = +ç ÷
2a ø
a è 2a ø
è
•
Rumus Al – Khawarizmi (rumus ABC)
x1,2 =
•
2
-b ±
b2 - 4ac
2a
Contoh penerapan rumus pada soal-soal x2 + 4x – 12 = 0
Memfaktorkan
Kuadrat Sempurna
x2 + 4x – 12 = 0
x2 + 4x – 12 = 0
(x + 6) (x – 2) = 0
x2 + 4x = 12
x + 6 = 0 atau x – 2 = 0
x2 + 4x + 4 = 12 + 4
x = – 6 atau x = – 2
(x + 2)2 = 16
x+2= ±4
x1 + 2 = 4 atau x2 + 2 = – 4
x1 = 2
atau x2 = – 6
-51-
Rumus ABC
x2 + 4x – 12 = 0
x1,2 =
=
-4 ±
42 - 4 (1)( -12 )
2 (1)
-4 ± 8
2
x1 = 2 atau x2 = – 6
v Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat
Jenis-jenis akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 tergantung pada nilai D = b2 – 4ac
•
Jika D ≥ 0 maka akar-akarnya real
•
Jika D > 0 maka akar-akarnya real dan berbeda
•
Jika D = 0 maka akar-akarnya real dan kembar (sama)
•
Jika D < 0 maka akar-akarnya tidak real (imajiner)
Contoh 1:
Jika persamaan kuadrat (p + 1) x2 – 2(p + 3) x + 3p = 0 mempunyai dua akar yang sama maka konstanta p = ....
Jawab :
Syarat dua akar sama : D = 0
4(p + 3)2 – 4(p + 1) (3p) = 0 → dibagi 4
p2 + 6p + 9 – 3p2 – 3p = 0
– 2p2 + 3p + 9 = 0
2p2 – 3p – 9 = 0
(2p + 3) (p – 3) = 0 → p =
3
atau p = 3
2
Contoh 2 :
Tentukan nilai k supaya persamaan kx2 + (2k – 1) x + k + 3 = 0 mempunyai akar-akar yang tidak real.
Jawab :
Syarat akar-akar tidak real : D < 0
(2k – 1)2 – 4(k) (k + 3) < 0
4k2 – 4k + 1 – 4k2 – 12k < 0
– 16k < – 1 → k >
1
16
Contoh 3 :
x2 + (2a – 1) x + (a2 – 3a – 4) = 0 akan mempunyai akar-akar yang real jika a = ....
Jawab :
Syarat akar real : D ≥ 0
(2a – 1)2 – 4(1) (a2 – 3a – 4) ≥ 0
-52-
4a2 – 4a + 1 – 4a2 + 12a + 16 ≥ 0
8a + 17 ≥ 0 → a ≥ -2 18
Contoh 4 :
Misal persamaan px2 – 2(p – 1) x + p = 0 mempunyai dua akar real yang berbeda. Berapakah nilai p?
Jawab :
Syarat dua akar real berbeda : D > 0
4(p – 1)2 – 4(p) (p) > 0 → dibagi 4
p2 – 2p + 1 – p2 > 0
– 2p > – 1 → p <
1
2
v Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar
•
•
Jika akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah x1 dan x2 maka :
Jumlah akar-akar adalah
: x1 + x2 = -
Hasil kali akar-akar adalah
: x1 . x2 =
Selisih akar-akar adalah
: x1 - x2 =
b
a
c
a
D
=
a
Bentuk pengembangan akar-akar persamaan kuadrat
1.
x12 + x2 2 = ( x1 + x2 ) 2 - 2 x1 x2
2.
x12 - x22 = ( x1 - x2 )( x1 + x2 )
3.
x13 + x23 = ( x1 + x2 )3 - 3 x1 x2 ( x1 + x2 )
4.
x13 - x23 = ( x1 - x2 )3 + 3 x1 x2 ( x1 - x2 )
5.
x14 + x2 4 = ( x12 )2 + ( x22 )2 = x12 + x22
6.
x14 - x24 = ( x12 - x22 )( x12 + x22 )
(
)
2
- 2 x12 x22
-53-
b2 - 4ac
a
7.
1
1 x1 + x2
+
=
x1 x2
x1. x2
8.
x2 x1 x12 + x2 2
+
=
x1 x2
x1. x2
9.
x2 x1 x2 2 - x12
=
x1 x2
x1. x2
Contoh 1 :
Akar-akar persamaan kuadrat x2 + 5x + k = 0 adalah x1 dan x2. Jika
x1 x2
73
maka nilai k adalah ....
+
=x2 x1
24
Jawab :
x2 + 5x + k = 0 → x1 + x2 = – 5 dan x1 . x2 = k
x 2 + x2 2
73
x1 x2
73
→ 1
=+
=x1 . x2
24
x2 x1
24
→
( x1 + x2 ) 2 - 2 x1 x2
73
=x1 . x2
24
→
(-5)2 - 2(k )
73
, dikali silang
=k
24
→ (24) (25) – (24) (2k) = – 73k
→ k=
600
= - 24
-25
Contoh 2 :
Akar-akar persamaan kuadrat x2 + 4x + k = 0 adalah x1 dan x2. Jika x12 – x22 = – 32, maka k = ....
Jawab :
x12 – x22 = – 32 → (x1 – x2) (x1 + x2) = – 32
æ
→ ç
ç
è
→
42 - 4(1)(k ) ö
÷ . (– 4) = – 32
÷
1
ø
16 - 4k = 8
→ 16 – 4k = 64 → k = – 12
-54-
Contoh 3 :
Jika a dan b merupakan akar-akar persamaan x2 + bx – 2 = 0 dan
a æ
1ö
= ç a - ÷ maka nilai b = ....
2b è
2ø
Jawab :
x2 + bx – 2 = 0 → a + b = - b dan a . b = - 2
a æ
1ö
= ça - ÷
2b è
2ø
→ a = 2a b - b
→ a + b = 2a b → – b = – 2 → b = 2
•
Akar-Akar Yang Saling Berelasi
Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai akar-akar real yang :
1.
æ
1 ö
Berkebalikan ç x1 =
÷ , jika a = c dan D ≥ 0
x
è
2 ø
2.
Berlawanan tanda (x1 = – x2), jika b = 0 dan D ≥ 0
3.
Keduanya positif (x1 > 0 dan x2 > 0), jika
b
c
< 0 dan
> 0 dan D ≥ 0
a
a
4.
Keduanya negatif (x1 < 0 dan x2 < 0), jika
b
c
> 0 dan
> 0 dan D ≥ 0
a
a
5.
Keduanya berbeda tanda (x1 > 0 dan x2< 0), jika
c
< 0 dan D > 0
a
Contoh :
Jika akar-akar persamaan x2 – (2 + 6a) x + 3a = 0 saling berkebalikan. Harga a adalah ....
Jawab :
Syarat : a = c → 1 = 3a → a =
1
3
-55-
v Membentuk Persamaan Kuadrat
•
Menggunakan perkalian faktor
x = x1 atau x = x2
(x–x1)(x–x2)=0
x – x1 = 0 atau x – x2 = 0
•
Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
Misalkan : ax2 + bx + c = 0
Maka : x 2 +
b
c
2
x + = 0 → x – (x1 + x2) x + x1 . x2 = 0
a
a
Contoh 1 :
Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + 6x + 3 = 0 adalah x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 + x2
dan x1 . x2 adalah ....
Jawab :
Misal : akar-akar persamaan kuadrat baru adalah m dan n
m + n = (x1 + x2) + (x1 . x2) → (– 3) +
m . n = (x1 + x2) . (x1 . x2) → (– 3) .
( 32 ) = - 32
( 32 ) = - 92
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya m dan n adalah :
x2 – (m + n) x + (m . n) = 0
x2 – ( - 32 ) x + ( - 92 ) = 0 → dikali 2 → 2x2 + 3x – 9 = 0
Contoh 2 :
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali akar-akar persamaan kuadrat x2 + 8x + 10 = 0 adalah ....
Jawab :
Jika akar-akar dari persamaan kuadrat x2 + 8x + 10 = 0 adalah m dan n maka akar-akar persamaan kuadrat baru
adalah 2m dan 2n.
Misal : akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q
p + q = 2m + 2n = 2(m + n) = 2(– 8) = – 16
p . q = 2m . 2n = 4 m . n = 4 . 10 = 40
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya p dan q adalah :
x2 – (p + q) x + (p . q) = 0
x2 – (– 16) x + (40) = 0 → x2 + 16x + 40 = 0
-56-
LATIHAN SOAL
1.
2.
3.
Nilai-nilai c agar salah satu akar persamaan
X2 + cx + 8 = 0 dua kali akar lainnya adalah ....
(A) C = –10 atau c = 10
(B) C = –8 atau c = 8
(C) C = –6 atau c = 6
(D) C = –4 atau c = 4
(E) C = –2 atau c = 8
Akar-akar persamaan kuadrat
2px2 – 4px + 5p = 3x2 + x – 8 adalah x1 dan x2.
Jika x1.x2 = 2(x1 + x2) maka x1 + x2 = ....
(A) 5
(B) 7
(C) 8
(D) 9
(E) 13
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan
2
æ1
1 ö
X2 + px + q = 0 maka ç - ÷ = ....
è x1 x2 ø
(A)
(B)
1
q
2
( p 2 - 4q )
1 2
( p - 4q )
q
(C) ( p2 - 4q)
(D) q ( p2 - 4q)
(E) q2 ( p2 - 4q)
4.
Hasil kali nilai-nilai x yang memenuhi
4m2 + 7m – 2 = 0 dengan m = 2log x adalah ....
1
(A) 2
1
(B)
2
(C) 2
- 74
(D) 2
- 54
3
(E) 2 2
-57-
5.
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat
x2 – 5x + (k + 3) = 0 dan x12 + x22 = 13 maka k
adalah ....
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 9
(E) 18
6.
Salah satu akar persamaan x2 + ax – 4 = 0 adalah
lima lebih besar dari akar yang lain. Nilai a adalah
....
(A) –1 atau 1
(B) –2 atau 2
(C) –3 atau 3
(D) –4 atau 4
(E) –5 atau 5
7.
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan
X2 + bx + c = 0 maka x12 + x22 = ....
(A) B4 – 2c2
(B) B4 – 2c2 + c2
(C) B4 – 4b2c2 + 2c2
(D) B4 – 4b2c + 2c2
(E) B4 – 4b2c2 – 2c2
8.
Jika dalam persamaan cx2 + bx – c = 0 diketahui
c > 0 maka kedua akar persamaan ini ....
(A) Positif dan berlainan
(B) Negatif dan berlainan
(C) Berlawanan
(D) Berlainan tanda
(E) Tidak real
9.
Kedua persamaan x2 + 2x + k = 0 dan
x2 + x – 2k = 0 mempunyai akar-akar real untuk
....
1
(A) - £ k £ 2
2
1
(B) - £ k £ 1
4
1
(C) - £ k £ 1
8
1
(D) - £ k £ 2
8
1
(E) - £ k < 1
8
-58-
10. Nilai-nilai m agar persamaan kuadrat
(m – 5) x2 – 4mx + (m – 2) = 0 mempunyai akarakar positif adalah ....
10
(A) M ≤ atau m ≥ 1
3
10
atau m > 5
3
(C) 1 ≤ m < 2
(D) M = 0
(E) 2 ≤ m < 5
(B) M ≤ -
11. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan
6x2 – 3x – 3 = 0 maka persamaan dengan akar1
1
akar
+ 1 dan
+ 1 dapat difaktorkan menjadi
x1
x2
....
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(y – 2) (y – 3)
(y – 2) (y – 1)
(y + 2) (y – 3)
(y + 2) (y – 1)
(y – 2) (y + 1)
12. Jika a dan b adalah akar-akar persamaan kuadarat
X2 + 4x – 2 = 0 maka persamaan kuadrat yang
akar-akarnya a2b dan ab2 adalah ....
(A) X2 – 8x + 6 = 0
(B) X2 – 6x + 6 = 0
(C) X2 + 6x + 8 = 0
(D) X2 + 8x – 8 = 0
(E) X2 – 8x – 8 = 0
13. Akar-akar persamaaan kuadrat 4x2 – 20x + 1 = 0
adalah x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar-
x1 - 1
x -1
dan 2
adalah ....
x2
x1
X2 – 78x – 15 = 0
X2 + 78x – 15 = 0
X2 + 78x + 15 = 0
X2 – 15x + 78 = 0
X2 + 15x + 78 = 0
akarnya
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
-59-
14. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan x2 + ax + 1 = 0
maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya
3
3
dan x13 + x23 adalah ....
+
x1 x2
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Y2 + a3y + 3a4 – 9a2 = 0
Y2 + a3y – 3a4 + 9a2 = 0
Y2 – a3y + 3a4 – 9a2 = 0
Y2 – a3y – 3a4 + 9a2 = 0
Y2 + a3y – 3a4 – 9a2 = 0
15. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan
ax2 + bx + c = 0 maka persamaan kuadrat yang
akar-akarnya x12 dan x22 adalah ....
(A) A2x2 + b2x + c2 = 0
(B) A2x2 – (b2 – 2ac) x + c2 = 0
(C) A2x2 + (b2 + 2ac) x + c2 = 0
(D) A2x2 – (b2 +2ac) x + c2 = 0
(E) A2x2 + (b2 – 2ac) x + c2 = 0
16. Jika p dan q akar-akar persamaan 3x2 – 2x – 5 = 0
maka pesamaan yang akar-akarnya (p + 2) dan
(q + 2) adalah ....
(A) 3x2 – 11x + 14 = 0
(B) 3x2 – 14x + 11 = 0
(C) X2 – 14x + 11 = 0
(D) X2 + 9x + 14 = 0
(E) X2 – 9x + 14 = 0
17. Jika akar-akar persamaan x2 + 5x + a = 0 dua kali
akar-akar persamaan 2x2 + bx – 3 = 0 maka nilai
a + b sama dengan ....
(A) 2
(B) 1
(C) –1
(D) –2
(E) –3
18. Jika α dan β merupakan akar-akar real persamaan
2
x2 + x = 2
maka nilai α . β adalah ....
x + x +1
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
2 dan –1
–2 dan 1
–2 dan –1
–2
–1
-60-
19. Akar-akar persamaan kuadrat
(p – 2) x2 + 4x + (p + 2) = 0 adalah α dan β. Jika
α2β + αβ2 = –20 maka p = ....
6
(A) –3 atau 5
(B) –3 atau (C) –3 atau
5
6
5
6
(D) 3 atau
5
6
(E) 3 atau
6
5
20. Dari sehelai karton persegpanjang akan dibuat
sebuah kotak tanpa tutup dengan cara membuang
bujur sangkar seluas 2 x 2 cm2 di masing-masing
pojoknya. Jika panjang bidang kotak 4 cm lebih
besar dari lebar nya dan isi kotak itu 90 cm3 maka
lebar kotak tersebut adalah ....
(A) 3 cm
(B) 4 cm
(C) 5 cm
(D) 6 cm
(E) 7 cm
-61-
PR
1.
Jumlah kuadrat akar-akar persamaan x2 – 3x + n = 0 sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar
persamaaan x2 + x – n = 0 maka nilai n sama dengan ....
(A) 12
(B) 10
(C) 8
(D) –6
(E) –10
2.
Batasan nilai m agar persamaan kuadrat 4x2 – 2(m – 1) x + 9 = 0 mempunyai akar kembar adalah ....
(A) 7 dan –5
(B) –7 dan 5
(C) –7 dan –5
3
3
(D)
dan 2
2
2
2
(E)
dan 3
3
3.
Persamaan (m + 3) x2 + 2(m – 7) x + (m – 3) = 0 akan mempunyai akar-akar positif jika ....
(A) –3 < m < 3
1
(B) 3 < m < 4
7
(C) –3 < m < 7
(D) –7 < m < 3
1
(E) –4 < m < –3
7
4.
Jika akar-akar persamaan x2 + 2x – 8 = 0 adalah x1 dan x2, sedangkan akar-akar persamaan
x2 + 10x – 16 p = 0 adalah 3x1 dan 4x2 maka nilai untuk p adalah ....
(A) 4
(B) 6
(C) 8
(D) 10
(E) 16
5.
Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan x2 – 5x + 9 = 0 maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya
æ 1
1
(x12 + x22) dan ç
+
çx2 x 2
è 1
2
2
(A) 81x + 7x + 49 = 0
(B) 81x2 – 7x + 49 = 0
(C) 81x2 – 574x + 49 = 0
(D) X2 – 7x + 7 = 0
(E) X2 + 574x + 49 = 0
ö
÷÷ adalah ....
ø
-62-
REVIEW
PERSAMAAN KUADRAT
1.
X1 dan x2 merupakan akar-akar persamaaan
kuadrat 3x2 + 4x – 1 = 0 maka
1
1
+
= ....
x1 x2
(A) 1
1
(B)
3
4
3
(D) 3
(E) 4
(C)
2.
Akar-akar persamaan x2 + ax – 4 = 0 adalah x1
dan x2. Jika x12 – 2x1.x2 + x22 = 8a maka nilai a
adalah ....
(A) 2
(B) 4
(C) 6
(D) 8
(E) 10
3.
Jika jumlah kedua akar persamaan
x2 + (2p – 3) x + (4p2 – 25) = 0 sama dengan nol
maka akar-akar itu adalah ....
3
3
(A)
dan 2
2
5
5
(B)
dan 2
2
(C) 3 dan –3
(D) 4 dan –4
(E) 5 dan –5
4.
Jika persamaan kuadrat
3x2 – (2 + p) x + (p – 5) = 0 mempunyai dua akar
yang saling berkebalikan maka konstanta p adalah
....
(A) 8
(B) 5
(C) 3
(D) 2
(E) –2
-63-
5.
Jika jumlah kuadrat akar-akar persamaan
X2 – (2m + 4) x + 8m = 0 sama dengan 52 maka
salah satu nilai m = ....
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 6
(E) 9
6.
Jika akar-akar persamaan 2x2 – x – 2 = 0 adalah
1
x1 dan x2 maka 3
= ....
x1 + x23
13
4
13
(B) 8
5
(C) 4
5
(D)
8
(A) -
(E)
13
8
7.
Jika selisih akar-akar persamaan x2 – nx + 24 = 0
sama dengan 5 maka jumlah akar-akar persamaan
adalah ....
(A) 11 atau –11
(B) 9 atau –9
(C) 8 atau –8
(D) 7 atau –7
(E) 6 atau –6
8.
α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat
x2 + 4x + (a – 4) = 0. Jika α = 3β maka nilai a
yang memenuhi adalah ....
(A) 1
(B) 3
(C) 4
(D) 7
(E) 8
9.
Jika jumlah kuadrat akar-akar persamaan kuadrat
x2 + (m + 1) x – (2m + 6) = 0 bernilai kurang dari
29 maka batasan m = ....
(A) –8 < m < 2
(B) –2 < m < 8
(C) m < –8 atau m > 1
(D) m < –2 atau m > 8
(E) m Î bilangan real
-64-
10. Persamaan kuadrat x2
mempunyai akar-akar
memenuhi adalah ....
(A) –8 ≤ m ≤ 4
(B) –4 ≤ m ≤ 8
(C) m ≤ –4 atau m ≥
(D) m ≤ –8 atau m ≥
(E) m ≤ –4 atau m ≥
+ (m – 2) x + 9 = 0
nyata. Nilai m yang
10
4
8
11. Persamaan kuadrat x2 + mx + m = 0 mempunyai
dua akar negatif yang berbeda. Ini memungkinkan
jika ....
(A) M < 0
(B) M > 4
(C) 0 < m < 4
(D) M < 0 atau m > 4
(E) M = 4
12. Jika α dan β merupakan akar-akar persamaan
kuadrat x2 – 2x – 5 = 0 maka nilai dari
α4 - 28α = ....
(A) 45
(B) 40
(C) 35
(D) 25
(E) 20
13. Jika α dan β merupakan akar-akar persamaan
kuadrat x2 – x – 3 = 0 maka nilai dari
a2 + b + 3
= ....
b2 +a - 3
(A) 1
(B) 4
(C) 7
1
(D)
4
1
(E)
7
14. Jika akar-akar persamaan y2 – 2y + a = 0 ternyata
3 lebih besar daripada akar-akar persamaan
X2 – bx – 32 = 0 maka a + b = ....
(A) –9
(B) 11
(C) –39
(D) 23
(E) –7
-65-
15. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua lebih
besar dari akar-akar persamaan 3x2 – 12x + 2 = 0
adalah ....
(A) 3x2 – 24x + 38 = 0
(B) 3x2 + 24x + 38 = 0
(C) 3x2 – 24x – 38 = 0
(D) 3x2 – 24x + 24 = 0
(E) 3x2 – 24x – 24 = 0
16. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya kebalikan
dari akar-akar persamaan 2x2 – 3x + 5 = 0 adalah
....
(A) 2x2 – 5x + 3 = 0
(B) 2x2 + 3x + 5 = 0
(C) 3x2 – 2x + 5 = 0
(D) 3x2 – 5x + 2 = 0
(E) 5x2 – 3x + 2 = 0
17. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan
ax2 + bx + c = 0 maka persamaan kuadrat yang
akar-akarnya x1 + x2 dan x1 . x2 adalah ....
(A) Ax2 + a(b – c)x – bc = 0
(B) A2x2 + a(b – c) x – bc = 0
(C) A2x2 + a(c – b) x – bc = 0
(D) A2x2 + a(c – b) x + bc = 0
(E) A2x2 + a(b – c) x + bc = 0
18. Persamaan kuadrat 3x2 – ax + b = 0 mempunyai
akar-akar x1 dan x2 dengan x1 ≠ 0 dan x2 ≠ 0.
1
1
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya
dan
x1
x2
adalah ....
(A) Bx2 – ax + 3 = 0
(B) Bx2 – ax – 3 = 0
(C) Bx2 + ax + 3 = 0
(D) Bx2 + ax – 3 = 0
(E) Bx2 – ax + 3a = 0
19. Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan
kuadrat 4x2 + bx + 4 = 0, b ≠ 0 maka
X1-1 + x2-1 = 16(x13 + x23) berlaku untuk (b2 – b)
sama dengan ....
(A) 0 atau 2
(B) 6 atau 12
(C) 20 atau 30
(D) 42 atau 56
(E) 72 atau 90
20. Selisih sisi terpanjang dan terpendek sebuah
-66-
segitiga siku-siku sama dengan dua kali selisih
sisi yang lain dengan yang terpendek. Jika luas
segitiga itu sama dengan150 cm2 maka
kelilingnya sama dengan ....
(A) 30 cm
(B) 45 cm
(C) 60 cm
(D) 90 cm
(E) 120 cm
-67-
FUNGSI KUADRAT
(PARABOLA)
v Bentuk Umum Fungsi Kuadrat
y = f(x) = ax2 + bx + c
catatan : a, b, c Î R dan a ≠ 0
v Menggambar Garafik Fungsi Kuadarat
•
Titik potong dengan sb-x
y = 0 → ax2 + bx + c = 0
D > 0 → 2 titik potong
D = 0 → menyinggung
D < 0 → tidak ada titik potong
•
Titik potong dengan sb-y
x=0 →y=c
Titik (0, c)
•
Titik puncak
Titik puncak : x = -
•
b
D
, y=2a
4a
Sumbu simetri
Garis sejajar sb-y dan melalui puncak.
x=•
b
2a
Ambil beberapa titik lain seperlunya
y
x
-68-
v Sifat-sifat Umum Fungsi Kuadrat
•
a > 0 → parabola terbuka keatas (nilai ekstrim minimum)
a < 0 → parabola teruka kebawah (nilai ekstrim maksimum)
•
Titik puncak = titik ekstrim = titik balik
x=-
b
→ sumbu simetri
2a
y=-
D
→ nilai ekstrim/ nilai puncak/ nilai balik
4a
v Beberapa Sketsa Parabola
•
Untuk a > 0
D<0
D>0
D=0
Definit positif
•
Untuk a < 0
Definit negatif
D>0
D=0
D<0
-69-
Contoh 1 :
Jika fungsi f(x) = px2 – (p + 1) x – 6 mencapai nilai tertinggi untuk x = – 1 maka nilai p = ....
Jawab :
( p + 1)
2p
= - 1 → p + 1 = –2p → p = -
1
3
Contoh 2 :
Nilai tertinggi fungsi f(x) = ax2 + 4x + a ialah 3, sumbu simetrinya adalah x = ....
Jawab :
y=-
42 - 4 ( a )( a )
D
→ 3=
→ –12a = 16 – 4a2 → 4a2 – 12a – 16 = 0, dibagi 4
-4 ( a )
4a
a2 – 3a – 4 = 0 difaktorkan menjadi (a – 4) (a + 1) = 0 → a = 4 atau a = –1
maksimum a < 0 → a = –1
sumbu simetri : x = -
4
b
→ x==2
2 ( -1)
2a
contoh 3 :
Parabola y = mx2 – 4x + m selalu dibawah sumbu-x, apabila ....
Jawab :
Selalu dibawah sumbu-x, definit negatif
Syarat :
a < 0 dan D < 0
1) m < 0
2) 16 – 4(m) (m) < 0
16 – 4m2 < 0 dibagi –4 → m2 – 4 > 0
(m + 2) (m – 2) > 0
m = –2 atau m = 2
m < –2 atau m > 2
penyelesaiannya diperoleh dari irisan 1) dan 2) yaitu m < –2
-70-
Membentuk Persamaan Fungsi Kuadrat
•
y = ax2 + bx + c
→ digunakan untuk kurva yang melalui 3 titik sembarang
•
y = a(x – x1) (x – x2)
→ digunakan untuk kurva yang memotong
sumbu-x di dua titik dan melalui satu titik
sembarang
y = a(x – xp)2 + yp
•
→ digunakan untuk kurva yang mempunyai titik
puncak (xp, yp) dan melalui satu titik
sembarang
Contoh 1 :
Tentukan persamaan parabola yang melalui titik (0, 5), (1, 10) dan (2, 19).
Jawab :
melalui 3 titik gunakan persamaan y = ax2 + bx + c
(0, 5) → c = 5
(1, 10 ) → 10 = a + b + 5 → a + b = 5 → b = 5 – a
(1)
(2, 19) → 19 = 4a + 2b + 5 → 14 = 4a + 2b → 2a + b = 7 (2)
Subtitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) sehingga diperoleh :
2a + (5 – a) = 7 → a = 2 dan b = 3
Dengan demikian persamaan parabola adalah : y = 2x2 + 3x + 5
Contoh 2 :
Tentukan persamaan parabola yang memotong sumbu-x di titik (1, 0) dan (4, 0) serta melalui titik (5, 8).
Jawab :
memotong sumbu-x di dua titik dan melalui satu titik sembarang gunakan persamaan y = a(x – x1) (x – x2)
8 = a(5 – 1) (5 – 4) → a = 2
-71-
Dengan demikian persamaan parabola adalah : y = 2(x – 1) (x – 4) atau y = 2x2 – 10x + 8
Contoh 3 :
Tentukan persamaan parabola yang diketahui mempunyai titik minimum (2, –2) dan melalui titik (0, 3).
Jawab :
persamaan parabola dengan titik minimum gunakan persamaan y = a(x – xp)2 + yp
3 = a(0 – 2)2 + (–2) → a =
5
4
Dengan demikian persamaan parabola adalah : y =
5
5
(x – 2)2 + (–2) atau y = x2 – 5x + 3
4
4
v Hubungan Parabola dan Garis
Diketahui :
parabola → y = px2 + qx + r
Garis lurus → y = mx + n
Jika kedua persamaan di atas disubtitusikan maka diperoleh :
y=y
px2 + qx + r = mx + n → px2 + (q – m) x + (r + n) = 0
Dengan memandang bentuk ini merupakan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, hubungan garis dan
parabola dapat ditentukan berdasarkan nilai diskriminannya (D = b2 – 4ac)
•
D > 0 → garis dan parabola berpotongan pada dua titik
•
D = 0 → garis dan parabola bersinggungan (berpotongan di 1 titik)
•
D < 0 → garis dan parabola tidak berpotongan (terpisah)
-72-
Contoh 1 :
Persamaan parabola yang titik puncaknya (2, 1) dan menyinggung garis y = 2x + 1 adalah ....
Jawab :
Persamaan parabolanya : y = a(x – 2)2 + 1
Persamaan garisnya : y = 2x + 1
Kedua kurva bersinggungan ketika :
y = y → a(x – 2)2 + 1 = 2x + 1 → ax2 + (4a – 2) x + 4a = 0
syarat bersinggungan adalah :
D = 0 → (4a – 2)2 – 4(a) (4a) = 0 → 16a + 4 = 0 → a = -
1
4
1
4
Dengan demikian persamaan parabolanya : y = - (x – 2)2 + 1 atau 4y + x2 – 4x = 0
Contoh 2:
Garis y = x + 8 memotong parabola y = ax2 – 5x – 12 di titik P(–2, 6) dan titik Q. Koordinat titik Q adalah ....
Jawab :
Parabola : y = ax2 – 5x – 12
Melalui (–2, 6) → 6 = 4a + 10 – 12 → a = 2
Kedua kurva berpotongan ketika :
y = y → 2x2 – 5x – 12 = x + 8 → 2x2 – 6x – 20 = 0, dibagi 2
x2 – 3x – 10 = 0 → (x – 5) (x + 2) = 0 → x = 5 atau x = –2
absis titik Q (xQ) = 5 → yQ = 5 + 8 = 13
Koordinat titik Q adalah (5, 13)
Contoh 3 :
Jika garis y = 7x – 3 menyinggung parabola y = 4x2 + ax + b di titik (1, 4), a dan b konstanta maka a – b = ....
Jawab :
y = 4x2 + ax + b melalui (1, 4) → 4 = 4 + a + b → a + b = 0 → b = –a
Kedua kurva bersinggungan ketika :
y = y → 4x2 + ax + b = 7x – 3 → 4x2 + (a – 7) x + (b + 3) = 0
Syarat bersinggungan : D = 0 → (a – 7)2 – 4(4) (b + 3) = 0 → a2 – 14a – 16b + 1 = 0
a2 – 14a – 16(–a) + 1 = 0 → a2 + 2a + 1 = 0 → (a + 1) (a + 1) = 0 → a = –1 dan b = 1 , maka a – b = –2
-73-
v Pergeseran Grafik
Fungsi asal y = f(x)
Geser a satuan
Kekanan
Kekiri
Keatas
Kebawah
Fungsi baru
y = f(x – a)
y = f(x + a)
y = f(x) + a
y = f(x) – a
-74-
LATIHAN SOAL
1.
Jika grafik fungsi y = x2 + ax + b mempunyai titik
puncak (1,2) maka nilai a dan b adalah ....
(A) 1 dan 3
(B) –1 dan –3
(C) –2 dan 3
(D) 0,5 dan 1,5
(E) 0, 5 dan –1,5
2.
Fungsi f(x) yang grafiknya dibawah ini akan
memotong sumbu-y di titik ....
2 4
(3, –1)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(0,5)
(0,6)
(0,7)
(0,8)
(0,9)
3.
Grafik 2x + y = a akan memeotong grafik
4x2 – y = 0 di dua titik bila ....
1
(A) A > 2
1
(B) A > 4
(C) A < 1
1
(D) A <
4
(E) A < –1
4.
Kurva y = x2 – 8x + 18 terletak di bawah kurva
y = –x2 + 8x – 6 untuk ....
(A) –18 < x < 6
(B) –6 < x < 8
(C) –4 < x < 4
(D) 2 < x < 6
(E) 6 < x < 18
-75-
5.
Supaya garis y = 2x + a memotong grafik fungsi
f(x) = x2 – x + 3 maka haruslah ....
4
(A) A >
3
(B) A > -
4
3
3
4
3
(D) A ≥
4
(C) A >
(E) A ≥ -
6.
3
4
Grafik fungsi f(x) = ax2 + bx + c seperti gambar di
bawah. Jika b2 – 4ac > 0 maka ....
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
A
A
A
A
A
>
>
<
>
<
0 dan c > 0
0 dan c < 0
0 dan c > 0
0 dan c = 0
0 dan c < 0
7.
Jika garis lurus y = 2x + 1 menyinggung parabola
y = mx2 + (m – 5) x + 10 maka nilai m sama
dengan ....
(A) 1
(B) 49
(C) –1 atau 49
(D) 1 atau 49
(E) 1 atau –49
8.
Jumlah absis titik-titik potong antara grafik fungsi
f(x) = x – 1 dan grafik fungsi f(x) = x2 – 4x + 3
adalah ....
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
-76-
9.
Jika suatu fungsi kuadrat f(x) diketahui bahwa
f(1) = f(3) = 0 dan mempunyai nilai maksimum 1
maka f(x) adalah ....
(A) X2 – 4x + 3
(B) –x2 + 4x – 3
(C) X2 – 2x + 3
(D) –x2 + 2x + 3
(E) X2 – 2x – 3
10. Jika grafik fungsi y = mx2 – 2mx + m di bawah
garis y = 2x – 3 maka ....
(A) M < 0
(B) –1 < m < 0
(C) 0 < m < 1
(D) M > 1
(E) M tidak ada
11. Jika grafik fungsi y = x2 + 2mx + m di atas grafik
fungsi y = mx2 + 2x maka ....
(A) M < 1
1
(B) M <
2
1
(C)
< m < 1
2
(D) 1 < m < 2
(E) M > 1
12. Jarak kedua titik potong parabola y = x2 – px + 24
dengan sumbu x adalah 5 satuan, panjang p = ....
(A) ± 6
(B) ± 8
(C) ± 10
(D) ± 11
(E) ± 12
13. Gambar di bawah ini paling cocok sebagai grafik
fungsi ....
(–2,0)
(0, –1)
(A) Y = - 12 x2 + 2
(B) Y = - 12 x2 – 2
(C) Y = - 12 (x – 2)2
(D) Y = - 12 (x + 2)2
(E) Y = - 14 (x+ 2)2
-77-
14. Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai minimum 2
untuk x = 1 dan mempunyai nilai 3 untuk x = 2
adalah ....
(A) Y = x2 – 2x + 1
(B) Y = x2 – 2x + 3
(C) Y = x2 + 2x – 1
(D) Y = x2 + 2x + 1
(E) Y = x2 + 2x + 3
15. Parabola y = 2x2 – px – 10 dan y = x2 + px + 5
berpotongan di titik (x1,y1) dan (x2,y2).
Jika x1 –x2 = 8 maka nilai p sama dengan ....
(A) 2 atau –2
(B) 2 atau –1
(C) 1 atau –2
(D) 1 atau –1
(E) 1 atau –3
16. Garis y = ax + b diketahui memotong parabola
Y = 2x2 + 5 di titik (x1,y1) dan (x2,y2).
Jika x1 + x2 = 4 dan x1 . x2 = 3 maka nilai a dan b
adalah ....
(A) 8 dan –2
(B) 8 dan –1
(C) –8 dan –1
(D) –8 dan 1
(E) –8 dan 2
17. Garis y = x + n menyinggung parabola
y = 2x2 + 3x – 5 jika nilai n = ....
(A) 4,5
(B) –4,5
(C) 5,5
(D) –5,5
(E) 6,5
18. Garis g melalui titik T(1,3) dan memiliki gradien
m. Agar g memotong grafik y = –x2 pada dua
titik yang berbeda maka haruslah ....
(A) M > 2
(B) 2 < m < 6
(C) –6 < m atau m > 2
(D) m ≤ –6 atau m ≥ 2
(E) m < –6 atau m > 2
-78-
19. Garis y = 6x – 5 memotong kurva
y = x2 – kx + 11 di titik puncak P. Koordinat titik
puncak P adalah ....
(A) (2,7)
(B) (1,1)
(C) (–2, –7)
(D) (–1, –11)
(E) (3,13)
20. Jika fungsi kuadrat 2ax2 – 4x + 3a mempunyai
nilai maksimum 1 maka 27a3 – 9a = ....
(A) –2
(B) –1
(C) 30
(D) 6
(E) 18
-79-
PR
1.
Jika P parabola y = x2 – 4x + 3, maka :
(1) Tidak memotong sumbu x
(2) P terbuka keatas
(3) Titik (0,0) di bawah parabola P
(4) P menyinggung garis y = –1
2.
Garis y = mx + 3 memotong parabola y = x2 – 4mx + 4n di titik A dan B. Jika A(1,5) maka ....
(1) M = 2 dan n = 3
(2) B(9,21)
(3) Sumbu simetri parabola adalah x = –4
(4) Parabola itu terbuka keatas
3.
Jika nilai-nilai a, b, c dan d positif, maka grafik fungsi ay – bx2 – cx + d = 0 akan memiliki ....
(1) Dua titik potong dengan sumbu x
(2) Nilai maksimum
(3) Nilai minimum
(4) Titik singgung dengan sumbu y
4.
Agar kuva y = mx2 – 2mx + m seluruhnya terletak di atas kurva y = 2x2 – 3 konstanta m memenuhi ....
(A) M > 6
(B) M > 2
(C) 2 < m < 6
(D) –6 < m < 2
(E) –6 < m < –2
5.
Jika y = bx – a memotong y = ax2 + bx + (a – 2b) di titik (1,1) dan (x0,y0), maka x0 + y0 = ....
(A) –6
(B) –5
(C) –4
(D) 0
(E) 2
-80-
REVIEW
FUNGSI KUADRAT
1.
Nilai minimum fungsi yang ditentukan oleh rimis
f(x) = 2x2 – 8 + p adalah 20. Nilai f(2) adalah ....
(A) –28
(B) –20
(C) 12
(D) 20
(E) 28
2.
Fungsi kuadrat y = f(x) yang grafiknya melalui
titik (2,5) dan (7,40) serta mempunyai sumbu
simetri x = 1 mempunyai ekstrim ....
(A) Minimum 2
(B) Minimum 3
(C) Minimum 4
(D) Maksimum 3
(E) Maksimum 4
3.
Jika fungsi f(x) = –2x2 – (a + 1) x + 2a
mempunyai nilai maksimum 8. Maka nilai a = ....
(A) 3
(B) –21
(C) –3
(D) 3 atau –21
(E) 3 atau 21
4.
Garis y = –x – 3 menyinggung parabola
y2 – 2y + px = 15. Absis puncak parabola adalah
....
(A) –4
(B) –2
(C) –1
(D) 1
(E) 2
5.
Diketahui parabola y = mx2 – (m + 3) x – 1 dan
garis lurus y = x -
1
2
, jika parabola dan garis lurus
itu saling bersinggungan maka nilai m = ....
(A) –2 atau 8
(B) –4 atau 4
(C) 2 atau –8
(D) –2 atau –8
(E) 2 atau 8
-81-
6.
Fungsi f(x) = –x2 + (m – 2) x – (m + 2)
mempunyai maksimum 4 untuk x > 0 maka nilai
m2 – 8 = ....
(A) –8
(B) –6
(C) 60
(D) 64
(E) 92
7.
Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (–1,3)
dan titik terendahnya sama dengan puncak dari
grafik f(x) = x2 + 4x + 3 adalah ....
(A) Y = 4x2 + x + 3
(B) Y = x2 – x – 3
(C) Y = 4x2 + 16x + 15
(D) Y = 4x2 + 15x + 16
(E) Y = x2 + 16x + 18
8.
Fungsi y = (x – 2a)2 + 3b mempunyai nilai
minimum 21 dan memotong sumbu y di titik yang
berordinat 25, nilai a + b adalah ....
(A) 8 atau –8
(B) 8 atau 6
(C) –8 atau 6
(D) –8 atau –6
(E) 6 atau –6
9.
Jika fungsi kuadrat y = ax2 + 6x + (a + 1)
mempunyai sumbu simetri x = 3, maka nilai
maksimum fungsi itu adalah ....
(A) 1
(B) 3
(C) 5
(D) 9
(E) 18
10. Suatu garis lurus mempunyai gradien –3 dan
memotong parabola y = 2x2 + x – 6 di titik (2,4).
Titik potong lainnya mempunyai koordinat ....
(A) (4,2)
(B) (3,1)
(C) (7,1)
(D) (3, –2)
(E) (–4, 22)
-82-
11. Supaya garis lurus y = mx + 8 menyinggung
parabola y = x2 – 8x + 12 maka nilai m adalah ....
(A) –6 atau –2
(B) –12 atau –4
(C) –8 atau –6
(D) 6 atau 2
(E) 12 atau 4
12. Syarat agar grafik fungsi linier f(x) = mx – 2
menyinggung grafik fungsi kuadrat
g(x) = 4x2 + x – 1 adalah ....
(A) M = 5
(B) M = 3
(C) M = 3 atau m = 5
(D) M = –3 atau m = 5
(E) M = –3 atau m = –5
13. Agar parabola y = 3px2 + 2px + 1 menyinggung
sumbu x, maka p = ....
(A) 0
(B) 3
(C) –1
(D) –1 dan 3
(E) 1 dan 3
14. Parabola y = x2 + ax + 6 dan garis y = 2mx + c
berpotongan di titik A dan B. Titik C membagi
ruas garis AB menjadi dua sama panjang maka
ordinat titik C adalah ....
(A) 4m2 + 2am + c
(B) 4m2 – 2am + c
(C) 2m2 + 2am + c
(D) 2m2 – am + c
(E) 4m2 +2am – c
15. Jika fungsi kuadrat y = f(x) mencapai minimum di
titik (1, –4) dan f(4) = 5 maka f(x) = ....
(A) X2 + 2x + 3
(B) X2 – 2x + 3
(C) X2 – 2x – 3
(D) –x2 + 2x + 3
(E) –x2 + 2x – 3
-83-
16. Agar parabola y = ax2 + 2x dan garis y = x – a
selalu berpotongan di dua titik maka a haruslah ....
(A) A <
1
2
(B) A >
1
2
(C) - 12 < a <
1
2
(D) A < - 12 atau a >
(E)
1
2
1
2
< a < 1
17. Garis y = 2x + k memotong parabola
y = x2 – x + 3 di titik (x1, y1) dan (x2,y2).
Jika x12 + x22 = 7, nilai k = ....
(A) –1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
(E) 3
18. Suatu peluru ditembakkan ke atas. Tinggi peluru
pada t detik dirumuskan oleh h(t) = 40t – 5t2
(dalam meter). Tinggi maksimum yang dapat
ditempuh oleh peluru tersebut ....
(A) 75 meter
(B) 80 meter
(C) 85 meter
(D) 90 meter
(E) 95 meter
19. Nilai p untuk grafik fungsi y = –x2 – px + 1 – p
pada gambar di bawah adalah ....
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
P≠2
P > 1
0 < p < 1
0 < p < 2
1 < p < 2
4x -1
æ1ö
20. Jika 9 x - 1 = ç ÷
maka F(y) = y2 + 2xy + 4x2
è3ø
mempunyai nilai minimum ....
(A)
1
2
(B)
2
3
(C)
3
4
(D)
4
9
(E) 1
-84-
DUAVARIABEL
BENTUK-BENTUK
SISTEMPERSAMAAN
TIGA
VARIABEL
LINIERDAN
KUADRAT
SISTEM
PERSAMAAN
GRAFIK
PENYELESAIANSISTEM
PERSAMAAN
SUBTITUSI
ELIMINASI
-85-
SISTEM PERSAMAAN
v Bentuk-Bentuk Sistem Persamaan
•
Sistem persamaan linear dengan dua variabel
Bentuk Umum :
ax + by = c
dx + ey = f
•
Sistem persamaan linear dengan tiga variabel
Bentuk Umum :
ax + by + cz = d
ex + fy + gz = h
ix + jy + kz = l
•
Sistem persamaan linear dan kuadrat
y = mx + k
y = ax2 + bx + c
v Penyelesaian Sistem Persamaan
Untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan dapat dilakukan dengan cara berikut ini :
•
Grafik
•
Subtitusi
•
Eliminasi
•
Gabungan (eliminasi dan sibtitusi)
-86-
Contoh 1 :
Diketahui sistem persamaan :
3x + y = 5
2x + 3y = 8
Tentukan penyelesaiannya metode subtitusi.
Jawab :
3x + y = 5 → y = 5 – 3x , subtitusikan ke persamaan 2x + 3y = 8 diperoleh :
2x + 3(5 – 3x) = 8 → –7x = –7 → x = 1 dan y = 2
Contoh 2 :
Tentukan penyelesaian sistem persamaan berikut ini :
x + 3y + 2z = 11
2x + 3y + z = 13
4x + 2y + z = 17
Jawab :
x + 3y + 2z = 11 .... (1);
2x + 3y + z = 13 .... (2);
4x + 2y + z = 17 .... (3)
Eliminasi z, dengan menggunakan persamaan (1) dan (2) kemudian persamaan (2) dan (3).
x + 3y + 2z = 11 x 1
x + 3y + 2z = 11
2x + 3y + z = 13
2x + 3y + z = 13 x 2
4x + 6y + 2z = 26
4x + 2y + z = 17
–3x – 3y
–2x + y
= –15 .... (4)
–3x – 3y = –15 x 1
–3x – 3y = –15
–2x + y
–6x + 3y = –12
= –4 x3
–9x
+
= –27 → x = 3, y = 2, z = 1
-87-
= –4 .... (5)
Contoh 3 :
Tentukan penyelesaian sistem persamaan berikut ini.
y = 6x + 10
y = x2 + 4x – 5
Jawab :
y = 6x + 10 subtitusi ke y = x2 + 4x – 5 → 6x + 10 = x2 + 4x – 5 → x2 – 2x – 15 = 0
→ (x – 5) (x + 3) = 0
x = 5 atau x = –3
Untuk x = 5, y = 40 dan untuk x = –3, y = –8
Penyelesaiannya adalah : (5, 40) dan (–3, –8)
-88-
LATIHAN SOAL
1.
x
dari sistem persamaan
y
Nilai
8 10
- =2
x y
y x xy
- =
4 5 20
adalah ....
(A) –1
(B) -
1
2
1
4
1
(D)
3
(C)
(E)
1
2
y=x+c
2.
Sistem persamaan
y = x2 + 3x
diketahui
mempunyai penyelesaian tunggal. Nilai c dan
x + y berturut-turut adalah ....
(A) –1 dan –3
(B) –1 dan –1
(C) –1 dan 0
(D) 1 dan –3
(E) 1 dan 3
3.
Jumlah x, y dan z yang memenuhi sistem
persamaan linier berikut ini adalah ....
2x + 3y + z = 1
x + 2y + 3z = 5
3x + y + 2z = 6
(A) –1
(B) 0
(C) 2
(D) 4
(E) 5
4.
Nilai x + y yang memenuhi persamaan
2x + 3 y + 4
x- y+7
= 3 dan
= - 3 adalah
3x - y - 10
-2 x + y + 5
....
(A) –3
(B) –1
(C) 1
(D) 3
(E) 5
-89-
5.
Agar ketiga garis 3x – y + 1 = 0, 2x – y – 3 = 0,
dan x – ay – 7 = 0 berpotongan pada satu titik
maka a harus diberi nilai ....
(A) –2
(B) –1
(C) 1
(D) 2
(E) 3
6.
Jika
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
7.
8.
2x + y = 1
2y – z = –1 maka x + y + z = ....
x+z=3
2
3
4
6
8
Jika x dan y memenuhi sistem persamaan
2x + 1 – 3y = 7 dan –2x – 1 + 3y + 1 = 1 maka nilai
x + y adalah ....
(A) 0
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
Nilai x yang memenuhi
23 x - 2 y =
1
128
x + 2y = 3
adalah ....
(A) –2,5
(B) –2
(C) –1
(D) 1
(E) 2,5
9.
Diketahui sistem persamaan 5log x + 5log y = 5
dan 5log x4 – 5log y3 = –1. Nilai x dan y yang
memenuhi persamaan itu mempunyai jumlah ....
(A) 225
(B) 150
(C) 100
(D) 75
(E) 50
-90-
10. Nilai y yang memenuhi kedua persamaan
(2x + 3y)log (x – y) = 1 dan 2x + y + 1. 2x + y – 1 = 64
adalah ....
(A) –3
(B) –2
(C) –1
(D) 1
(E) 3
11. Uang
Amir
Rp20.000,00
lebih
banyak
dibandingkan uang Budi ditambah dua kali uang
Doni. Jumlah uang Amir, Budi dan Doni adalah
Rp100.000,00. Selisih uang Budi dan Doni adalah
Rp5.000,00. Uang Amir adalah ....
(A) Rp22.000,00
(B) Rp33.000,00
(C) Rp51.000,00
(D) Rp67.000,00
(E) Rp80.000,00
12. Sebuah tangki air mempunyai dua saluran
pengisian dan satu saluran pembuangan yang
lajunya konstan. Saluran I dan II masing-masing
dapat mengisi penuh tangki dari keadaan kosong
dalam waktu 4 jam dan 12 jam. Saluran III dapat
mengosongkan tangki dari keadaan penuh dalam
waktu 6 jam. Jika ketiga saluran dijalankan secara
bersamaan pada saat tangki kosong maka tangki
tersebut akan penuh dalam waktu ....
(A) 4 jam
(B) 6 jam
(C) 7 jam
(D) 8 jam
(E) 9 jam
13. Jumlah dua bilangan positif adalah 32. Jika
jumlah dari kebalikan setiap bilangan tersebut
adalah
2
15
maka selisih dari bilangan terbesar dan
terkecil adalah ....
(A) 16
(B) 12
(C) 10
(D) 8
(E) 9
-91-
14. Pada tahun 2002 usia seorang anak sama dengan
seperempat usia ibunya (dalam tahun). Jika pada
tahun 2006 usia anak itu sepertiga usia ibunya
maka tahun lahir anak tersebut adalah ....
(A) 1988
(B) 1990
(C) 1992
(D) 1994
(E) 1996
15. Enam tahun yang lalu, umur Budi 4 tahun lebih
muda dari seperenam umur ayahnya. Umur Budi
sekarang 3 tahun lebih tua dari seperdelapan umur
ayahnya. Jumlah umur Budi dan ayahnya
sekarang adalah ....
(A) 60 tahun
(B) 57 tahun
(C) 56 tahun
(D) 54 tahun
(E) 52 tabun
16. Dari dua toko serba ada yang masih termasuk
dalam satu perusahaan diperoleh data penjualan
daging dan ikan dalam satu minggu seperti
tercantum pada tabel berikut ini.
Daging
Ikan Hasil penjualan total
(kg)
(kg) (dalam ribuan rupiah)
Toko A
80
20
2960
Toko B
70
40
3040
Harga ikan /kg pada kedua toko tersebut adalah
....
(A) Rp16.000,00
(B) Rp18.000,00
(C) Rp20.000,00
(D) Rp25.000,00
(E) Rp32.000,00
17. Jika pembilang dari suatu pecahan ditambah 2 dan
penyebutnya ditambah 1 akan diperoleh hasil bagi
sama dengan
1
2
. Jika pembilang ditambah 1 dan
penyebut dikurangi 2 diperoleh hasil bagi sama
dengan
(A)
2
3
(B)
6
21
(C)
8
12
(D)
2
7
(E)
3
4
3
5
. Pecahan dimaksud adalah ....
-92-
18. Ali berangkat dengan mobil dari kota A ke kota B
dengan kecepatan rata-rata 60 km/jam. Badu
menyusul 45 menit kemudian. Ali dan Badu
masing-masing berhenti selama 15 menit dalam
perjalanan, sedang jarak A dan B adalah 225 km.
Kecepatan yang harus diambil Badu agar dapat
tiba di kota B pada waktu yang sama adalah ....
(A) 70 km/jam
(B) 75 km/jam
(C) 80 km/jam
(D) 85 km/jam
(E) 90 km/jam
19. Antara pukul 06.30 dan pukul 07.00 jarum
panjang dan jarum pendek suatu arloji akan
berimpit pada pukul 6 lebih ....
9 menit
(A) 31 11
3 menit
(B) 32 11
8 menit
(C) 32 11
3 menit
(D) 33 11
9 menit
(E) 33 11
20. Sepuluh tahun yang lalu perbandingan umur adik
dan kakak adalah 2 : 3. Jika perbandingan umur
mereka sekarang adalah 4 : 5 maka perbandingan
umur mereka 10 tahun yang akan datang adalah
....
(A) 5 : 6
(B) 6 : 7
(C) 7 : 8
(D) 8 : 9
(E) 9 : 10
-93-
x2 – xy + y2 – 7 = 0
2x – y – 1 = 0
PR
1.
Jika x dan y memenuhi sistem persamaan
2 1
1 2
1
+ = 1 dan
- = 8 maka
= ....
x y
x y
x+ y
(A) - 32
(B)
5
6
(C)
6
5
(D) 5
(E) 6
2.
Himpunan penyelesaian sistem persamaan
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
adalah ....
{(0, –1), (1, 1)}
{(3, 5), (–3, –7)}
{(2, 3), (–1, –3)}
{(2, 3), (3, 5)}
{(–1, 3), (2, –3)}
3.
Untuk x dan y yang memenuhi sistem persamaan 5x – 2y + 1 = 25x – 2y dan 4x – y + 2 = 32x – 2y + 1 maka nilai
x . y = ....
(A) 6
(B) 8
(C) 10
(D) 15
(E) 20
4.
Diketahui jumlah dua bilangan 16 dan jumlah kuadratnya 146. Mana dari himpunan berikut yang paling
sedikit memuat satu dari kedua bilangan itu?
(1) {1, 2, 3, 4}
(2) {4, 5, 6, 7}
(3) {7, 8, 9, 10}
(4) {9, 10, 11, 12}
5.
Pada suatu hari Andi, Bayu dan Jodi panen jeruk. Hasil kebun Jodi 10 kg lebih sedikit dari hasil kebun Andi
dan lebih banyak 10 kg dari hasil kebun Bayu. Jika jumlah hasil panen dari ketiga kebun itu 195 kg maka
hasil panen Andi adalah ....
(A) 55 kg
(B) 65 kg
(C) 75 kg
(D) 85 kg
(E) 95 kg
-94-
REVIEW
SISTEM PERSAMAAN
1.
Nilai x + y yang memenuhi persamaan
2 x +3
y = 31
3 x -2
y =1
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
2.
adalah ....
8
12
50
64
74
Diketahui persamaan x + ay – a2 = 0 dan
x + by – b2 = 0. Jika x dan y merupakan
penyelesaian persamaan tersebut maka
x - a2
= ....
y
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
3.
A
B
–a
–b
–ab
Perbandingan nilai x dan nilai y yang memenuhi
persamaan :
5
2
+
=8
x-2 y -3
4
2
= 10
x-2 y -3
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
4.
adalah ....
2:1
3:2
1:3
4:3
5:4
Himpunan penyelesaian sistem persamaan
x+y=7
x2 + y2 = 25 adalah {(x1, y1), (x2, y2)}.
Nilai x1 + x2 = ....
(A) –7
(B) –1
(C) 7
(D) 8
(E) 15
-95-
5.
Jika x, y dan z penyelesaian sistem persamaan
x y
y z
z x
+ = 6; - = -2; + = 4
2 4
6 2
4 3
Maka x + y + z = ....
(A) 4
(B) 6
(C) 8
(D) 10
(E) 26
6.
Nilai x dan y berturut-turut yang memenuhi
sistem persamaan :
4x – 2y + 1 = 82x – y
3x + y + 1 = 92x – y – 4 adalah ....
(A) 1 dan 2
(B) 1 dan –2
(C) 2 dan –1
(D) 2 dan –2
(E) Tidak ada
7.
Carilah nilai x yang memenuhi persamaan
3x + y = 29
x–y=1
1 3log
2
(A)
1
2
+
(B)
1
2
(log 3 + log 29)
29
(C) 1 + 3log 29
(D) log 3 + log 29
(E)
1
2
+ 3log 29
8.
Nilai-nilai x yang memenuhi kedua persamaan
32(9x – y – 2) – 10.39x – y – 1 + 81 = 0
8x – y + 4 = 0
adalah ....
(A) 9 atau –33
(B) 33 atau 9
(C) –7 atau –9
(D) 7 atau 9
(E) –7 atau 9
9.
Diberikan sistem persamaan berikut :
1
25x + y = (0,25)x – 2y + 1 2
log (x – y) =
1
3
log 5 + 3log 2
.
nilai-nilai x dan y yang memenuhi kedua
persamaan tersebut mempunyai hubungan ....
(A) X = y
(B) X = 2y
(C) Y = 2x
(D) Y = –2x
(E) X = –2y
-96-
10. Ada dua kubus yang selisih rusuknya 4 cm dan
selisih volumenya 784 cm3. Salah satu rusuk
kubus itu adalah ....
(A) 14 cm
(B) 13 cm
(C) 12 cm
(D) 11 cm
(E) 10 cm
11. Jumlah dua bilangan adalah 62. Jika bilangan
yang besar dibagi dengan yang kecil hasil baginya
adalah 2 dan sisanya 11. Selisih kedua bilangan
tersebut adalah ....
(A) 17
(B) 28
(C) 30
(D) 45
(E) 51
12. Sebuah
bilangan
berupa
pecahan.
Jika
pembilangnya ditambah 2 maka nilai pecahan
tersebut menjadi
1
4
dan jika penyebutnya
dikurangi 5 maka nilai pecahan tersebut menjadi
1
5
. Jumlah nilai pembilang dan penyebut pecahan
tersebut adalah ....
(A) 16
(B) 18
(C) 20
(D) 23
(E) 26
13. Pak Agus bekerja selama 6 hari dengan 4 hari
diantaranya lembur mendapat upah Rp74.000,00.
Pak Bardi bekerja selama 5 hari dengan 2 hari
diantaranya lembur mendapat upah Rp55.000,00.
Pak Agus, Pak Bardi dan Pak Dodo bekerja
dengan aturan upah yang sama. Jika pak Dodo
bekerja selama 5 hari dengan terus-menerus
lembur maka upah yang akan diperoleh adalah ....
(A) Rp60.000,00
(B) Rp65.000,00
(C) Rp67.000,00
(D) Rp70.000,00
(E) Rp75.000,00
-97-
14. Suatu kios fotocopy mempunyai dua buah mesin,
masing-masing berkapasitas 4 rim/jam dan
2 rim/jam. Jika pada suatu hari jumlah kerja
kedua mesin tersebut 10 jam dan menghasilkan 34
rim maka mesin dengan kapasitas 4 rim/jam
bekerja selama ....
(A) 3 jam
(B) 4 jam
(C) 5 jam
(D) 6 jam
(E) 7 jam
15. Suatu mobil meluncur dengan kecepatan 40 km
selama satu jam, kemudian pada jam-jam
berikutnya dengan kecepatan 45 km. Persamaan
yang menyatakan jarak yang ditempuh setelah t
jam adalah ....
(A) d = 45 t – 40
(B) d = 95 t – 40
(C) d = 45 t – 5
(D) d = 95 t – 5
(E) d = 75 t + 5
16. Sebelum ada kenaikan harga BBM, pengeluaran
bensin adalah 10% dari pendapatan. Jika harga
BBM naik 30%, sedangkan semua yang lainnya
dianggap tetap maka pengeluaran bensin akan ....
(A) naik 30% dari pendapatan
(B) naik 20% dari pendapatan
(C) naik 15% dari pendapatan
(D) naik 10% dari pendapatan
(E) naik 3% dari pendapatan
17. Siswa-siswi suatu kelas akan mengadakan wisata
dengan bus. Sewa bus Rp120.000,00. Untuk
memenuhi tempat duduk, 2 orang siswa kelas lain
diajak serta. Dengan demikian, ongkos bus per
anak berkurang Rp100,00. Tempat duduk yang
tersedia adalah ....
(A) 52
(B) 50
(C) 48
(D) 44
(E) 42
-98-
18. Dua buah mobil menempuh jarak 450 km.
Kecepatan mobil kedua setiap jamnya adalah 15
km lebih dari pada kecepatan mobil pertama. Jika
waktu perjalanan mobil kedua 1 jam lebih pendek
dari waktu perjalanan mobil pertama maka ratarata kecepatan kedua mobil tersebut adalah ....
(A) 97,5 km/jam
(B) 92,5 km/jam
(C) 87,5 km/jam
(D) 85,0 km/jam
(E) 82,5 km/jam
19. Antara pukul 05.00 dan pukul 05.30 jarum
panjang dan jarum pendek arloji akan berimpit
pada pukul 5 lebih ....
1 menit
(A) 27 11
2 menit
(B) 27 11
3 menit
(C) 27 11
4 menit
(D) 27 11
5 menit
(E) 27 11
20. Dua tahun yang lalu umur seorang ayah 6 kali
umur anaknya. 18 tahun medatang umur ayah
adalah dua kali umur anaknya. Sekarang masingmasing umur ayah dan anak adalah ....
(A) 32 tahun dan 5 tahun
(B) 32 tahun dan 7 tahun
(C) 26 tahun dan 5 tahun
(D) 26 tahun dan 7 tahun
(E) Bukan salah satu diatas
-99-
SIFAT-SIFAT
PERTIDAKSAMAAN
PERTIDAKSAMAAN
GARIS
BILANGAN
PERTIDAKSAMAAN
LINIER
PERTIDAKSAMAAN
KUADRAT
PERTIDAKSAMAAN
PANGKATTINGGI
JENIS-JENIS
PERTIDAKSAMAAN
PERTIDAKSAMAAN
BENTUKPECAHAN
PERTIDAKSAMAAN
BENTUKAKAR
PERTIDAKSAMAAN
BENTUKNILAI
MUTLAK
-100-
PERTIDAKSAMAAN
v Sifat-Sifat Pertidaksamaan
•
a+b>c → a+b–c>0
•
a > b → a ± c > b ± c , dengan c suatu konstanta
•
a > b dan c < 0 → a . c < b . c dan
•
a < b < 0 → an > bn untuk n Î bilangan bulat genap
•
a > b > 0 → an > bn untuk n Î bilangan bulat genap
•
a > b → an > bn untuk n Î bilangan bulat ganjil
•
a > b dan c > d → a + c > b + d
•
x > 0 dan y < 0 → x . y < 0
•
x > a → (x – a) > 0
a b
<
c c
(x – a) . (y – b) < 0
y < b → (y – b) < 0
v Garis Bilangan
Beberapa contoh cara memberi tanda (+) dan (–) pada setiap ruas garis bilangan sebagai berikut.
Misal : a < b dan amati tanda (+) dan (–) dari bentuk (x – a)p (x – b)q
No.
1.
2.
3.
4.
Garis Bilangan
+++
a
– – –
a
– – –
a
+++
a
– – –
Bilangan Berpangkat
p dan q Î bilangan bulat ganjil
+++
b
+++
p Î bilangan bulat ganjil dan
q Î bilangan bulat genap
p Î bilangan bulat genap dan
q Î bilangan bulat ganjil
p dan q Î bilangan bulat genap
+++
b
– – –
+++
b
+++
+++
b
-101-
v Jenis-jenis Pertidaksamaan
•
Pertidaksamaan Linier
Langkah umum penyelesaiannya yaitu dengan cara memisahkan variabel x pada ruas kiri.
Contoh :
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3x -
82 42 x - 1
adalah ....
>
5
5
Jawab :
3x -
82 42 x - 1
→ dikali 5
>
5
5
15 x – 82 > 42x – 1
–27x > 81 → dibagi (–27) → x < –3
•
Pertidaksamaan Kuadrat
Langkah umum penyelesaian sebagai berikut :
Ø
Jadikan ruas kanan nol
Ø
Tentukan pembuat nol fungsinya dengan cara memfaktorkan dalam bentuk faktor-faktor linier
Jika bentuk ax2 + bx + c sulit difaktorkan maka analisis nilai diskriminannya (D = b2 – 4ac)
-
Untuk D > 0 → gunakan rumus abc untuk mencari pembuat nol fungsinya.
-
Untuk D < 0 → analisis nilai a nya
Jika a > 0 → fungsi definit positif
Jika a < 0 → fungsi definit negatif
Ø
Notasi Penyelesaian
-
Jika x1 < x2 dan (x – x1) (x – x2) < 0 → x1 < x < x2
-
Jika x1 < x2 dan (x – x1) (x – x2) > 0 → x < x1 atau x > x2
Contoh :
Nilai x yang memenuhi x2 – 3x – 2 < 10 – 2x adalah ....
Jawab :
x2 – 3x – 2 < 10 – 2x → x2 – 3x – 2 – 10 + 2x < 0 → x2 – x – 12 < 0 → (x – 4) (x + 3) < 0
penyelesaian : –3 < x < 4
-102-
•
Pertidaksamaan Pangkat Tinggi
Langkah umum penyelesaian sebagai berikut :
Ø
Jadikan ruas kanan nol
Ø
Tentukan pembuat nol fungsinya dengan cara memfaktorkan dalam bentuk faktor-faktor linier
Ø
Buat garis bilangan untuk menentukan penyelesaian
Contoh :
Jika (x3 – 4x) (x2 – 2x + 3) > 0 maka nilai x yang memenuhi adalah ....
Jawab :
x (x2 – 4) (x2 – 2x + 3) > 0
a > 0 dan D < 0 → def Å
x (x2 – 4) . Å > 0 → x (x – 2) (x + 2) > 0
–
+
–2
•
–
0
+
Nilai x yang memenuhi adalah –2 < x < 0 atau x > 2
2
Pertidaksamaan Bentuk Pecahan
Ciri umum pada bentuk pecahan :
a
b
→ b≠0
Langkah umum penyelesaian sebagai berikut :
Ø
Jadikan ruas kanan nol
Ø
Tentukan pembuat nol fungsinya dengan cara memfaktorkan pembilang dan penyebut dalam
bentuk faktor-faktor linier
Ø
Buat garis bilangan untuk menentukan penyelesaian
Contoh :
Nilai x yang memenuhi pertaksamaan
x2 - 4 x + 4
Jawab :
+
x 2 + x - 12
–
–
+
£0 →
x2 - 4 x + 4
x 2 + x - 12
( x - 2) 2
£0
( x + 4) ( x - 3)
nilai x yang memenuhi adalah –4 < x < 3
-103-
£ 0 adalah ....
xjikax>0
x < k y x
< k , y ¹ –4
0
y
•
0 jikax=0
2
3
-xjikax<0
Pertidaksamaan Bentuk Akar
Ciri umum pada bentuk akar :
a → a ≥0
Langkah umum penyelesaian sebagai berikut :
Ø
Seimbangkan dan pastikan di kedua ruas nilainya positif
Ø
Kuadratkan di kedua ruasnya
Ø
Jadikan ruas kanan nol
Ø
Tentukan pembuat nol fungsinya dengan cara memfaktorkan dalam bentuk faktor-faktor linier
Ø
Buat garis bilangan untuk menentukan penyelesaian
Ø
Iriskan syarat akar dengan penyelesaian
Contoh :
Jika
2 x + 4 < 4 maka nilai x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah ....
Jawab :
2 x + 4 < 4 → dikuadratkan di kedua ruasnya
2x + 4 < 16 → 2x < 12 → x < 6 ....................................... (1)
Syarat
: (2x + 4) ≥ 0 → x ≥ –2 ................................... (2)
Irisan (1) dan (2) adalah –2 ≤ x < 6
•
Pertidaksamaan Bentuk Nilai Mutlak
Ciri umum pada harga mutlak : x =
x2 =
Sifat-sifat nilai mutlak :
Ø
x < a ® -a < x < a
Ø
x > a ® x < - a atau x > a
Ø
→ (x + ky) (x – ky) < 0, (syarat k > 0)
-104-
x
> k, y ¹ 0
y
Ø
→ (x + ky) (x – ky) > 0, (syarat k > 0)
Langkah umum penyelesaian sebagai berikut :
§
Gunakan sifat penyelesaian harga mutlak
§
Jadikan ruas kanan nol
§
Tentukan pembuat nol fungsinya dengan cara memfaktorkan dalam bentuk faktor-faktor linier
§
Buat garis bilangan untuk menentukan penyelesaian
Contoh 1 :
Tentukan penyelesaian dari 2x - 3 ³ 5
Jawab :
2x – 3 ≤ –5 atau 2x – 3 ≥ 5 → 2x ≤ –2 atau 2x ≥ 8 → x ≤ –1 atau x ≥ 4
Contoh 2 :
Nilai-nilai x yang memenuhi x + 3 £ 2x adalah ....
Jawab :
x + 3 £ 2x ®
{( x + 3) - 2 x}{( x + 3) + 2 x}
£ 0
→ (3 – x) (3x + 3) ≤ 0
Nilai x yang memenuhi x ≤ –1 atau x ≥ 3
Contoh 3 :
Nilai dari
2x + 7
³ 1 dipenuhi oleh ....
x -1
Jawab :
2x + 7
³ 1 →
x -1
2x + 7
x -1
³ 1 , dikali silang →
{( 2 x + 7 ) - ( x - 1)}{( 2 x + 7 ) + ( x - 1)}
2x + 7 ³ x - 1 dan x ≠ 1
³ 0 → (x + 8) (3x + 6) ≥ 0
-105-
Nilai x yang memenuhi adalah x ≤ –8 atau 0 – 2 ≤ x < 1 atau x > 1
LATIHAN SOAL
1.
Jika a < x < b dan a < y < b maka berlaku ....
(A) A < x – y < b
(B) B – a < x – y < a – b
(C) A – b < x – y < b – a
(D)
1
2
(b – a) < x – y <
1
2
(a – b)
(E)
1
2
(a – b) < x – y <
1
2
(b – a)
2.
Pertidaksamaan a3 + 3ab2 > 3a2b + b3 dipenuhi
oleh setiap a dan b yang mempunyai sifat ....
(A) A dan b positif
(B) A dan b berlawanan tanda
(C) A positif dan b negatif
(D) A > b
(E) A2 > b2
3.
Jika pertidaksamaan 2 x - 3a >
3x - 1
+ ax
2
mempunyai penyelesaian x > 5 maka nilai a
adalah ....
(A) - 34
(B) - 83
(C)
3
8
(D)
1
4
(E)
3
4
4.
Solusi pertidaksamaan 2x2 + 3x – 9 ≤ 0 yang
bukan solusi pertidaksamaan 2x2 – x – 10 ≥ 0
adalah ....
(A) –3 < x < –2
(B) –3 ≤ x ≤ 1,5
(C) 1,5 ≤ x < 2,5
(D) –2 < x ≤ 1,5
(E) x ≤ –2 atau x ≥ 2,5
5.
Jika { x Î R │ a < x < b } adalah himpunan
penyelesaian dari pertidaksamaan
( x - 1)2 +
( x - 1)2 < 6 maka nilai (a + b)
adalah ....
(A) 4
(B) 2
(C) 1
(D) –2
-106-
(E) –4
6.
Nilai x yang memenuhi x2 – 3x – 2 < 10 – 2x
adalah ....
(A) X < 4
(B) X > –3
(C) –3 < x < 4
(D) –4 < x < –3
(E) X > 4 atau x < –3
7.
Jika y = 2x + 1 maka nilai y untuk x yang
memenuhi x2 – 8x + 15 < 0 adalah ....
(A) 4 < y < 6
(B) 5 < y < 9
(C) 6 < y < 10
(D) 7 < y < 11
(E) 8 < y < 12
8.
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
(x2 + 2)2 – 5(x2 + 2) > 6 adalah ....
(A) X < –1 atau x > 6
(B) X < –5 atau x > 2
(C) X < –2 atau x > 6
(D) X < –2 atau x > 5
(E) X < –2 atau x > 2
9.
Jika (x2 – x – 2) (x2 + x – 6) < 0 maka nilai x
yang memenuhi adalah ....
(A) X > –1
(B) X < –3
(C) –1 < x < 2
(D) –1 < x < –2
(E) –3 < x < –1
10. Nilai x positif yang memenuhi pertidaksamaan
10
6
adalah ....
>
6-x
x + 10
(A) X > 0
(B) X > 6
(C) X > 10
(D) 0 < x < 6
(E) 4 < x < 10
11. Jika x2 + 3x – 10 > 0 dan
f ( x) =
( x + 5) ( x 2 - 3 x + 3)
maka nilai f(x) yang
x-2
memenuhi untuk setiap nilai x adalah ....
(A) F(x) > 0
(B) F(x) < 0
(C) –3 < f(x) < 2
-107-
(D) –2 < f(x) < 5
(E) 1 < f(x) < 4
12. Solusi pertidaksamaan
x-2
x +1
adalah ....
>
x-5
x-4
(A) –4 < x < 5
(B) 5 < x < 6 12
(C) X < 4
(D) 4 < x < 5 atau x > 6 12
(E) X < 4 atau x > 6 12
x2 - 2 x - 1
13. Penyelesaian dari
x2 + 2 x + 1
< 0 dan
x
< 0 adalah ....
x-3
2 atau x > 3
(A) X < 1 –
(B) X < 0 atau x > 1 +
2
(C) X < 0 atau x > 3
(D) 0 < x < 3
(E) 0 < x < 1 +
2
14. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
( x - 1)2 ( x + 2)
x2 - 4 x + 5
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
³ 0 adalah ....
X ≤ –2 atau x ≥ 1
–2 ≤ x ≤ 1
X ≥ 5 atau x ≤ –2
X ≥ –2
X > 2
15. Nilai x yang memenuhi pertaksamaan
x - 3 > 5 - x adalah ....
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
4 < x < 7
3 < x < 7
X > 4
X ≥ 4
3 ≤ x ≤ 5
16. Nilai-nilai x yang memenuhi
( x + 2) >
10 - x 2 adalah ....
(A) - 10 £ x £
10
(B) X < –3 atau x > 1
(C) 2 ≤ x ≤
10
(D) 1 < x ≤
10
-108-
(E) –3 < x ≤
10
17. Himpunan jawaban dari 2x + 5 £ x + 3 adalah
....
(A) { x │ –
8
≤ x ≤ –1 }
3
(B) { x │ –
7
≤ x ≤ –1 }
3
(C) { x │ –
8
≤ x ≤ –2 }
3
(D) { x │ –
7
≤ x ≤ –2 }
3
(E) { x │ –
5
≤ x ≤ –2 }
3
18. 2│x – 1│ > │x + 1│, harga x yang memenuhi
adalah ....
(A) X <
1
3
atau x > 3
(B) X ≤
1
3
atau x ≥ 3
(C)
1
3
< x < 3
(D) X ≤ 1 atau x ≥ 3
(E) 1 < x < 3
19. Pertidaksamaan
2x - 1
< 1 dipenuhi oleh ....
2x + 1
(A) X < - 12 , x Î R
(B) X < - 12 atau x > 0, x Î R
(C) - 12 < X < 0, x Î R
(D) - 12 < X < 0 atau x > 0, x Î R
(E) X > 0, x Î R
20. Nilai-nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
│x – 3│2 > 4│x – 3│ + 12 adalah ....
(A) –2 < x < 9
(B) –3 < x < 9
(C) X > 9 atau x < –1
(D) X > 9 atau x < –2
(E) X > 9 atau x < –3
-109-
PR
1.
Himpunan semua nilai x yang memenuhi
2 + x – x2 ≥ 0 dan 3x – x2 ≤ 0 adalah ....
(A) X ≤ –1 atau x ≥ 3
(B) X ≤ 2 atau x ≥ 3
(C) 0 ≤ x ≤ 2
(D) –1 ≤ x ≤ 0
(E) –1 ≤ x ≤ 2
2.
Penyelesaian dari
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
3.
x 2 - 3x - 18
( x - 6)2 ( x - 2)
< 0 adalah ....
–3 < x < 6
2 < x < 6 atau x < –3
–3 < x < 2
X > –3
2 < x < 6
Sebuah bilangan positif x memenuhi pertidaksamaan
(A) X >
x < 2 x jika dan hanya jika ....
1
4
(B) X ≥ 4
(C) X > 4
(D) X <
1
4
(E) X ≤ 4
4.
Himpunan penyelesaian dari
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
5.
x
- 2 £ 6 adalah ....
3
{ x │ 2 ≤ x ≤ 12 }
{ x │ –2 ≤ x ≤ 12 }
{ x │ –12 ≤ x ≤ 24 }
{ x │ 12 ≤ x ≤ 24 }
{ x │ 2 ≤ x ≤ 24 }
Nilai x yang memenuhi ketaksamaan x - 2 < 5 dan 2 x - 3 > 7 adalah ....
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
–3 < x < 5 atau x > 7
X < –3 atau –2 < x < 7
–3 < x < –2 atau 5 < x < 7
X < –2 atau 5 < x < 7
–3 < x < –2 atau x > 5
-110-
REVIEW
PERTIDAKSAMAAN
1.
Nilai-nilai a yang memenuhi a3 < a2 adalah ....
(A) A < 1
(B) A > 1
(C) 0 < a < 1
(D) A < 0 atau 0 < a < 1
(E) Tidak ada
2.
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
Y – x + 1 < 0 dan 2x + y > 2 adalah ....
(A) X > 0
(B) X > 1
(C) X > 2
(D) X < 0
(E) X < 1
3.
Nilai terbesar x agar x (A)
(B)
(C)
(D)
(E)
4.
3x
3x 1
³
+ adalah ....
4
8 2
1
–1
–2
–3
–4
x - 1 ax
+
2
3
mempunyai penyelesaian x > 5. Nilai a adalah
....
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
Pertidaksamaan 2 x - a >
5.
Jawaban dari pertidaksamaan (x – 4) (x + 5) ≥ 0
adalah ....
(A) { x │ x ≤ –5 atau x ≥ 4 }
(B) { x │ –5 ≤ x ≤ 4 }
(C) { x │ –4 ≤ x ≤ 5 }
(D) { x │ x ≥ –5 }
(E) { x │ x ≤ 4 }
6.
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
(x + 1)2 – 5(x + 1) + 6 > 0 adalah ....
(A) X < 2 atau x > 3
(B) 2 < x < 3
(C) X < 1 atau x > 2
(D) X > 2 atau x < –4
(E) X > 0 atau x < –4
-111-
7.
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
3x2 + 2x – 1 < 0 dan 2x2 + x – 3 < 0 adalah ....
(A) 0 – 1 < x < 13
(B) - 32 < x < 0 – 1
(C)
1
3
< x < 1
(D) 0 – 1 < x < 1
(E) - 32 < x < 13
8.
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
(x – 2) (3 – x) ≥ 4(x – 2) adalah ....
(A) { x │ 2 ≤ x ≤ 3 }
(B) { x │ x ≤ 2 atau x ≥ 3 }
(C) { x │ –2 ≤ x ≤ 1 }
(D) { x │ –1 ≤ x ≤ 2 }
(E) { x │ x ≤ –1 atau x ≥ 2 }
9.
Agar bentuk x (x2 – 2x – 3) < (x2 + 6x + 5)
dipenuhi maka ....
(A) X < – 1
(B) X < 5
(C) –1 < x < 5
(D) X < –1 atau x > 5
(E) X < –1 atau –1 < x < 5
10. Penyelesaian pertidaksamaan
....
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
11. Jika
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
2x + 7
£ 1 adalah
x -1
–8 ≤ x < 1
–4 ≤ x < 1
X ≥ –4 atau x < 1
0 ≤ x ≤ 1
1 < x ≤ 8
5
7
maka ....
>
x-7
x+5
X < –5 dan –5 < x < 7
7 < x < 37
X < –5 dan 7 < x < 37
–5 < x < 7
X > 37 dan –5 < x < 7
12. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
x2 - 4 x + 3
£ 0 adalah ....
x 2 - 3x - 10
(A) X < –2 atau 3 ≤ x ≤ 5
(B) –2 ≤ x ≤ 1 atau 3 ≤ x ≤ 5
(C) –2 < x ≤ 1 atau 3 ≤ x ≤ 5
(D) 1 ≤ x ≤ 3 atau x ≥ 5
-112-
(E) 1 ≤ x < 3 atau x > 5
13. Agar pecahan
....
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
X
X
X
X
X
<
<
<
<
<
x 2 + 7 x + 10
x 2 - 3x + 5
bernilai positif maka
–3 atau x > 5
–5 atau x > 3
–3 atau x > –2
2 atau x > 5
–5 atau x > –2
14. Penyelesaian pertidaksamaan
8 x 2 - 3 x + 10
£ 2 x - 1 adalah ....
5x - 2
(A) -1 £ x £
(B)
2
5
2
5
£ x £ 4 atau x ≤ –1
(C) -1 £ x <
(D)
2
5
atau x ≥ 4
2
5
atau x ≥ 4
< x £ 4 atau x ≤ –1
(E) -1 £ x £ 4
15.
3
2
x - 3x + 2
(A) X >
5
<
2
x - 4x + 3
berlaku untuk ....
1
2
(B) X > 2
(C) X > 3
(D) 12 < x < 3
(E) 2 < x < 3
16. Himpunan penyelesaian
( x - 1) (2 x + 4)
pertidaksamaan
< 1 adalah ....
( x 2 + 4)
(A) { x │ x > 2 }
(B) { x │ x < –4 }
(C) { x │ x < 2 }
(D) { x │ x > –4 }
(E) { x │ –4 < x < 2 }
17. Penyelesaian
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
x 2 - x - 2 < 2 adalah ....
–2 < x < 3
–1 ≤ x ≤ 2
X ≤ –1 atau x ≥ 2
X < –2 atau x > 3
–2 < x ≤ –1 atau 2 ≤ x < 3
18. Pertidaksamaan
x2 - x <
2 mempunyai
himpunan jawab ....
(A) { x │ –1 < x < 2 }
(B) { x │ –1 < x ≤ 2 }
(C) { x │ –1 ≤ x ≤ 2 }
(D) { x │ 1 ≤ x < 2 atau –1 < x ≤ 0 }
(E) { x │ 1 ≤ x ≤ 2 atau –1 ≤ x ≤ 0 }
-113-
19. Semua nilai x yang memenuhi 0 < │x – 3│ < 3
adalah ....
(A) 0 < x < 3 atau 3 < x < 6
(B) 0 ≤ x < 3 atau 3 < x < 6
(C) 0 ≤ x ≤ 3 atau 3 < x ≤ 6
(D) 0 ≤ x ≤ 3 atau 3 < x < 6
(E) 0 < x ≤ 3 atau 3 < x < 6
20. Nilai x yang memenuhi
pertidaksamaan
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
x2 - x
x -1
> 0 adalah ....
X > 1
X < 1
0 < x < 1
0 ≤ x < 1
X < 0 atau x > 1
-114-
-115-
-116-