jurusan matematika fakultas matematika dan ilmu
advertisement
JURUSAN MATEMATIKA Nurlita Wulansari (1210100045) Dosen Pembimbing: Drs. M. Setijo Winarko, M.Si Drs. Lukman Hanafi, M.Sc FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2014 Home Pendahuluan Tinjauan Pustaka Metodelogi Penelitian Pembahasan Kesimpulan Abstrak Pada Tugas Akhir ini menganalisis tentang model penyebaran penyakit menular . Model ini mempunyai kelas terisolasi dari kontak sexual yang bertujuan untuk mengurangi pertumbuhan jumlah populasi terinfeksi dan jumlah kematian pada populasi terinfeksi. Namun, model penyakit ini tidak memberi kelas kesembuhan. Pada model ini akan dicari titik setimbang dari bebas penyakit, titik setimbang endemik dan titik setimbang kepunahan populasi Susceptible. Selanjutnya akan dilakukan analisa kestabilan pada setiap titik setimbang tersebut dengan tujuan untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu penyakit. Selain itu dilakukan penyelesaian numerik untuk model SIA menggunkan metode Runge- Kutta orde empat. Metode ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang menyangkut nilai awal, dan memudahkan dalam menganalisa sehingga akan diketahui error selisih antara nilai eksak dengan numerik pada titik setimbang. Kata kunci — Model Epidemik Transmisi vertikal SIA, Metode RungeKutta orde 4. Home Pendahuluan 1.1 Latar Belakang 1.2 Rumusan Masalah Bertambahnya masyarakat pengidap penyakit yang disebabkan keturunan dan dari pasangannya 1.3 Batasan Masalah 1.4 Tujuan Model epidemik Tugas Akhir Sebelumnya Transmisi vertikal SIA Metode Numerik Runge-Kutta HSV 1.5 Manfaat 1.1 Latar Belakang 1.2 Rumusan Masalah 1.3 Batasan Masalah 1.4 Tujuan 1.5 Manfaat 1. Bagaimana menentukan kestabilan lokal dari setiap titik kesetimbangan pada model dengan transmisi vertikal? 2. Bagaimana interpretasi hasil analisis dari model epidemik transmis ivertikal dengan menggunakan metode Runge-Kutta? 1.1 Latar Belakang 1.2 Rumusan Masalah 1.3 Batasan Masalah 1.4 Tujuan 1.5 Manfaat Permasalahan yang dibahas pada proposal tugas akhir ini akan dibatasi pada model epidemik tipe SIA dengan S adalah individu rentan penyakit (Susceptible) I adalah individu terinveksi (Infected) A adalah individu yang terisolasi (Abstained class). 1.1 Latar Belakang 1.2 Rumusan Masalah 1.3 Batasan Masalah 1.4 Tujuan 1.5 Manfaat 1. Mengetahui syarat-syarat terjadinya penyakit endemik didalam masyarakat. 2. Mengintrepetasikan hasil analisis dari model epidemik transmisi vertikal dengan menggunakan metode Runge-Kutta. 1,1 Latar Belakang 1.2 Rumusan Masalah 1.3 Batasan Masalah 1.4 Tujuan 1.5 Manfaat 1. Mengetahui dinamika penyebaran per laju penyakit dan berusaha mengurangi penyebaran dengan memperhatikan syarat terjadinya endemik 2. Sebagai referensi bagi pihak medis/ badan pemerintahan yang terkait dalam menyelesaikan masalah mewabahnya penyakit HSV-2 (Herpes Simpleks Virus tipe 2) Home 2.1 Penelitian Terdahulu 2.2 Bilangan Reproduksi dasar (R0) 2.3 Kestabilan Titik Tetap 2.4 Stabil Asimtotis Lokal 2.5 Metode RungeKutta Model kestabilan transmisi vertikal sudah pernah dibahas sebelumnya. Diantaranya oleh : 1. Widiarto, Henry. 2010. membahas tentang model epidemik transmisi vertikal bertipe SIPA. 2. Inderajati, Setyanti Wibawaning. 2010. membahas tentang model epidemik transmisi vertikal bertipe SIQS. 3. Pada tugas akhir akan dibahas model epidemik transmisi vertikal bertipe SIA. 2.1 Penelitian Terdahulu 2.2 Bilangan Reproduksi dasar (R0) 2.3 Kestabilan Titik Tetap 2.4 Stabil Asimtotis Lokal 2.5 Metode RungeKutta Bilangan Reproduksi dasar adalah bilangan yang menunjukkan jumlah individu rentan yang dapat menderita penyakit disebabkan oleh satu individu infeksi. Kondisi yang akan timbul adalah satu diantara tiga kemungkinan berikut ( Giesecke, 1994): Jika Ro<1 , maka penyakit akan menghilang dalam populasi Jika Ro=1 , maka penyakit akan menetap dalam populasi. Jika Ro>1, maka penyakit akan meningkat menjadi wabah dalam populasi. 2.1 Penelitian Terdahulu 2.2 Bilangan Reproduksi dasar (R0) 2.3 Titik setimbang 2.4 Stabil Asimtotis Lokal 2.5 Metode RungeKutta Pandang persamaan diferensial Sebuah titik merupakan titik kesetimbangan dari persamaan (1) jika memenuhi dan karena turunan suatu konstanta sama dengan nol, maka sepasang fungsi konstan. merupakan penyelesaian kesetimbangan dari persamaan (1) untuk semua t. ( Thieme HR.1992) 2.1 2.4 Stabil 2.5 Metode 2.2 Bilangan 2.3 Titik Reproduksi Penelitian Asimtotis RungeSetimbang dasar (R0) Terdahulu Lokal Kutta Kestabilan asimtotis lokal pada titik kesetimbangan ditentukan oleh tanda pada bagian real dari akar-akar karakteristik sistem. (Thieme HR.1992) Teorema 1 : Titik setimbang dari matriks j= stabil asimtotis jika dan hanya jika nilai karakteristik mempunyai tanda negatif pada bagian realnya dan tidak stabil jika sedikitnya satu dari nilai karakteristik mempunyai tanda positif pada bagian realnya. Dari matriks jacobian yang dihitung disekitar titik kesetimbangan didapatkan akar-akar karakteristik sistem 2.4.1 Akar- Akar Karakteristik Definisi 2.4.4 ( Finizion, N. 1992) Jika J adalah matriks yang berukuran n x n maka vektor tak nol dinamakan vektor karakteristik dari J jika memenuhi (2) Skalar disebut nilai karakteristik dari j dan dikatakan vektor karakteristik yang bersesuaian dengan .. Untuk mencari nilai karakteristik matrik j yang berkuran n x n, maka persamaan (2) dapat ditulis (3) (3) mempunyai penyelesaian tak nol jika dan hanya jika (4) Jika matriks maka persamaan (4) dapat ditulis Atau Lanjutan Akar- Akar Karakteristik Akar-akar karakteristik Sifat stabilitas titik setimbang berdasarkan tanda bagian real dibagi menjadi 3 yaitu: 1.Stabil Titik setimbang dikatakan stabil jika dan hanya jika akar karakteristik mempunyai bagian real yang bernilai negatif atau mempunyai bagian real tak positif. 2. stabil asimtostis Titik setimbang dikatakan stabil asimtotis jika dan hanya jika akar karakteristik mempunyai bagian real negatif . 3.tidak stabil Titik setimbang dikatakan tidak stabil jika dan hanya jika terdapat sedikitnya satu akar karakteristik yang mempunyai bagian positif. 2.4.2 Kriteria kestabilan Routh-Hurwitz Kriteria kestabilan Routh –Hurwitz adalah suatu metode untuk menunjukkkan kestabilan sistem dengan memperhatikan koefisien dari persamaan karakteristik tanpa menghitung akar-akar karakteristik secara langsung. Jika diketahui suatu persamaan karakteristik dengan derajat n sebagai berikut Kemudian disusun koefisien persamaan karakteristik sehingga menjadi sebuah tabel sebagai berikut: Tabel 2.1. tabel koefisien persamaan karakteristik Lanjutan Kriteria kestabilan Routh-Hurwitz Dimana nilai Didefinisikan sebagai berikut: Tabel (2.1) tersebut dilanjutkan mendatar dan menurun hingga diperoleh nilai nol. Semua akar tersebut dilanjutkan bernilai negatif pada bagian realnya jika dan hanya jika elemen-elemen dari kolom pertama tabel (2.1) mempunyai tanda yang sama. 2.1 Penelitian Terdahulu 2.2 Bilangan Reproduksi dasar (R0) 2.3 Titik Setimbang 2.4 Stabil Asimtotis Lokal 2.5 Metode RungeKutta Pada metode ini nilai sebelumnya digunakan. Perhitungan dan bergantian dan Dengan Home III. METODELOGI PENELITIAN Studi Literatur Home Mengkaji model transmisi vertikal SIA . Mencari titik kesetimbangan dari model Menganalisis stabilitas titik kesetimbangan Menginterpretasikan model dengan menggunakan metode runge-kutta Menarik kesimpulan dan saran serta menyusun laporan tugas akhir. IV. PEMBAHASAN 4.1 Diagram Kompartemen 4.8 Kestabilan Lokal titik kesetimbangan kepunahan populasi susceptible 4,2 Model 4.9 Runge- Kutta 4.3 Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit 4.. 10 Simulasi 4.4 Titik Kesetimbangan Endemik 4.5 Titik Kesetimbangan kepunahan populasi susceptible 4.6 Kestabilan lokal titik kesetimbangan bebas penyakit 4,7 Kestabilan lokal titik kesetimbangan Endemik Home 4.1 Diagram Kompartemen Gambar 1. Diagram kompartemen model epidemik transmisi vertikal bertipe SIA dengan 4.2 MODEL Model dapat dituliskan sebagai berikut dengan 4.3 Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit titik kesetimbangan model didapatkan dengan Dari persamaan (1), (2) dan (3) ketika Titik kesetimbangan bebas penyakit adalah dengan 4.4 Titik Kesetimbangan Endemik Titik Kesetimbangan Endemik Dari persamaan (1), (2), dan (3) ketika Titik kesetimbangan endemik adalah Dengan (4) Dan (5) Ketika dan didapatkan endemik ada jika memenuhi (6) sehingga titik kesetimbangan 4.5 Titik Kesetimbangan Kepunahan Populasi Susceptible Titik kesetimbangan kepunahan populasi susceptible Dari persamaan (1), (2), dan (3) ketika Titik kesetimbangann kepunahan populasi susceptible adalah dengan dan dimana (7) (8) 4.6 Kestabilan lokal titik kesetimbangan bebas penyakit Kestabilan lokal titik kesetimbangan bebas penyakit Analisis kestabilan dilakukan untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu penyakit. Model epidemik transmisi vertikal SIA merupakan model persamaan yang tak linier, sehingga perlu dilakukan pelinieran dengan menggunakan ekspansi deret taylor pada persamaan (1) sampai (3). Matriks Jacobian persamaan (1) sampai (3) adalah dengan Lanjutan Kestabilan lokal titik kesetimbangan bebas penyakit 1 Teorema 1 Jika maka titik kesetimbangan kepunahan populasi susceptible, infected, dan abstained class stabil asimtotik lokal Jika penyakit dan stabil asimstotik lokal. maka titik kesetimbangan bebas Lanjutan Kestabilan lokal titik kesetimbangan bebas penyakit 2 Bukti matriks Jacobian kepunahan populasi susceptible, infected, abstained class sebagai berikut Selanjutnya akan dicari persamaan karakteristik dari matriks Jacobian tersebut dengan menggunakan Sehingga menjadi atau atau Lanjutan Kestabilan lokal titik kesetimbangan bebas penyakit 3 Berdasarkan Teorema 1 jika dan maka titik kesetimbangan kepunahan populasi susceptible, infected, dan abstained class stabil asimtotik lokal. Dengan diberikan dan , Sehingga Sedangkan untuk titik kesetimbangan bebas penyakit pada Jika maka Matriks Jacobian dari titik kesetimbangan bebas penyakit adalah dengan Lanjutan Kestabilan lokal titik kesetimbangan bebas penyakit 4 Selanjutnya akan dicari akar- akar karakteristiknya menggunakan Sehingga menjadi dengan Didapatkan Akar karakteristiknya adalah (9) Dan akar- akar karakteristik yang lain dapat ditulis dalam bentuk matriks Lanjutan Kestabilan lokal titik kesetimbangan bebas penyakit 5 Maka didapatkan dan Sehingga nilai dari M mempunyai bagian real negatif. Jika nilai eigen (9) Maka stabil asimtotik lokal untuk bebas penyakit dan ekuivalen dengan jadi titik kesetimbangan bebas penyakit stabil asimtotik lokal 4.7 Kestabilan lokal titik kesetimbangan Endemik Seperti kestabilan lokal titik bebas penyakit dilakukan pelinieran terlebih dahulu sebelum melakukan analisis kestabilan. Pada persamaan (1) sampai (3) dengan Teorema 2 Jika salah satu dan Terpenuhi maka titik kesetimbangan endemik Jika ada dan stabil asimtotik lokal. Maka titik kesetimbangan kepunahan populasi susceptible asimtotik lokal ada dan stabil Lanjutan Kestabilan lokal titik kesetimbangan Endemik 1 Bukti : Matriks Jacobian dari titik setimbang endemik adalah Selanjutnya akan dicari akar- akar karakteristiknya didapatkan dengan (10) Lanjutan Kestabilan lokal titik kesetimbangan Endemik 2 Untuk menentukan nilai dari akar- akar karakteristik dapat digunakan rumus Ruth- Hurrwitz. pada persamaan (10) Didapatkan karena . Elemen pada kolom pertama pada Tabel 1 memiliki tanda yang sama yaitu positif maka titik kesetimbangan endemik stabil asimtotik lokal Dari persamaan (4) dan (5) didapatkan (11) Lanjutan Kestabilan lokal titik kesetimbangan Endemik 3 Dan dari persamaan (9) substitusi ke persamaan (6) didapatkan (12) Pertama akan ditentukan bahwa sisi sebelah kiri positif . Dan juga ekuivalen dengan kuadrat dari sisi sebelah kiri pada persamaan (12) Untuk pertidaksamaan sebelah kanan pada persamaan (12) didapatkan Dan kuadrat dari sisi sebelah kanan pada persamaan (12) didapatkan . Sehingga kesetimbangan endemik ada dan stabil asimtotik lokal karena kondisi pada teorema 2 terpenuhi. 4.8 Kestabilan lokal titik kesetimbangan kepunahan populasi susceptible Matriks Jacobian dari persamaan (1) sampai (3) dengan setimbang kepunahan populasi susceptible adalah Selanjutnya akan dicari akar- akar karakteristik dari matriks Jacobian kepunahan populasi susceptible Sehingga akar karakteristiknya adalah ketika pada titik Lanjutan Kestabilan lokal titik kesetimbangan kepunahan populasi susceptible 1 Dan ekuivalen dengan Dan akar- akar karakteristik yang lain dapat ditulis dalam bentuk matriks Didapatkan Dari persamaan (7) dan (8) didapatkan Jadi titik kesetimbangan kepunahan populasi susceptible stabil asimtotik lokal dengan memenuhi teorema 2. 4.9 Runge- Kutta dengan Lanjutan Runge- Kutta 1 dengan Lanjutan Runge- Kutta 1 Dan h adalah langkah waktu Tabel Parameter 1 Berikut ini adalah tabel parameter untuk Bebas penyakit, Endemik, dan Kepunahan populasi susceptible pada penyakit HSV, yaitu Tabel Parameter 2 GUI Simulasi model SIA bebas penyakit Pada Gambar 2 menunjukkan bahwa populasi susceptible menuju ke titik setimbang S = 86, 1325 yang berarti 86 juta jiwa mulai dari hari ke 4.998. Populasi Infected menuju titik setimbang I = 0 mulai dari hari ke 27 dan populasi Abstained class menuju titik setimbang A= 13,87 yang berarti 14 juta jiwa mulai dari hari ke 4.902. sehingga menunjukkan tidak terjadinya penyebaran penyakit. Simulasi model SIA bebas penyakit Pada Gambar 3 menunjukkan bahwa populasi susceptible menuju ke titik setimbang S = 86, 130 yang berarti 86 juta jiwa mulai dari hari ke 4.242. Populasi Infected menuju titik setimbang I = 0 mulai dari hari ke 23 dan populasi Abstained class menuju titik setimbang A= 13,8696 yang berarti 14 juta jiwa mulai dari hari ke 4.021. sehingga menunjukkan tidak terjadinya penyebaran penyakit. Simulasi model SIA bebas penyakit Pada Gambar 3 menunjukkan bahwa populasi susceptible menuju ke titik setimbang S = 86, 130 yang berarti 86 juta jiwa mulai dari hari ke 4.242. Populasi Infected menuju titik setimbang I = 0 mulai dari hari ke 23 dan populasi Abstained class menuju titik setimbang A= 13,8696 yang berarti 14 juta jiwa mulai dari hari ke 4.021. sehingga menunjukkan tidak terjadinya penyebaran penyakit. Simulasi model SIA bebas penyakit Pada Gambar 4 tidak menunjukkan kestabilan pada populasi karena h yang begitu besar. PERILAKU SISTEM BERDASARKAN NILAI h PADA MODEL SIA BEBAS PENYAKIT Sehingga didapatkan perilaku sistem berdasarkan nilai h sebagai berikut: Grafik akan stabil jika nilai h kurang dari 159 Simulasi model SIA Endemik Pada Gambar 5 menunjukkan bahwa populasi susceptible menuju ke titik setimbang S = 73, 4732 yang berarti 74 juta jiwa mulai dari hari ke 14. 998. Populasi Infected menuju titik setimbang I = 5, 2637 yang berarti 5 juta jiwa mulai dari hari ke 14. 983 dan populasi Abstained class menuju titik setimbang A= 15,7299 yang berarti 16 juta jiwa mulai dari hari ke 14. 994. sehingga terjadinya penyebaran penyakit. Simulasi model SIA Endemik Pada Gambar 6 menunjukkan bahwa populasi susceptible menuju ke titik setimbang S = 73, 4734 yang berarti 74 juta jiwa mulai dari hari ke 11. 143. Populasi Infected menuju titik setimbang I = 5,2637 yang berarti 5 juta jiwa mulai dari hari ke 11.301 dan populasi Abstained class menuju titik setimbang A= 15,7299 yang berarti 16 juta jiwa mulai dari hari ke 10.257. sehingga terjadinya penyebaran penyakit. Simulasi model SIA Endemik Pada Gambar 7 tidak menunjukkan kestabilan pada populasi karena h yang begitu besar Perilaku sistem berdasarkan nilai h pada model SIA Endemik Sehingga didapatkan perilaku sistem berdasarkan nilai h sebagai berikut: Grafik akan stabil jika nilai h kurang dari 140 Simulasi model SIA Kepunahan Populasi Susceptible Pada Gambar 8 menunjukkan bahwa populasi susceptible menuju ke titik setimbang S = 0 mulai dari hari ke 16. Populasi Infected menuju titik setimbang I = 934,9515 yang berarti 935 juta jiwa mulai dari hari ke 1.049 dan populasi Abstained class menuju titik setimbang A= 1.165 yang berarti 1.165 juta jiwa mulai dari hari ke 488. sehingga terjadi kepunahan pada populasi susceptible maka sebaliknya populasi infected dan Abstained class meningkat. Simulasi model SIA Kepunahan Populasi Susceptible Pada Gambar 9. tidak menunjukkan kestabilan pada populasi karena h yang begitu besar Perilaku sistem berdasarkan nilai h pada model SIA Kepunahan Populasi Susceptible Sehingga didapatkan perilaku sistem berdasarkan nilai h sebagai berikut Grafik akan stabil jika nilai h kurang dari 50 KESIMPULAN 1. Titik Setimbang dan analisis kestabilan dari model epidemik bertipe SIA dengan transmisi vertikal. a. Titik setimbang bebas penyakit adalah Stabil asimtotik lokal jika b. Titik setimbang endemik stabil asimtotik lokal jika dan adalah LANJUTAN KESIMPULAN 1 Dan c. Titik setimbang kepunahan populasi susceptible adalah stabil asimtotik jika 2. Simulasi model epidemik bertipe SIA dengan menggunakan metode numerik Runge- Kutta langkah waktu (h) mempengaruhi waktu yang dibutuhkan untuk mendekati titik setimbang, semakin besar langkah waktu (h) yang digunakan maka semakin pendek pula waktu yang dibutuhkan untuk mendekati titik setimbang. 3. Error antara nilai eksak dan nilai numerik dengan menggunakan metode Runge- Kutta pada titik kesetimbngan sangat kecil . [1] Guihua Li, dkk. 2005. ”Global Stability of SEIR Epidemic Model with Infectious Force to Latent, Infected and Immune Period”. Chaos, Solitions and Fractals. hal.1177-1184. [2] Daniel Maxin, TIM Olson, Adam Shull. 2011. ”Vertical Transmission in Epidemic Models of Sexually Transmitted Diseases with Isolation from Reproduction” [3] Didit BN. 2009. Diktat kuliah. Program Studi Matematika Universitas Kristen Satya Wacana. Matematika Fakultas Sains dan [4] Widiarto, Henry. 2010. ”Analisa Stabilitas Dari Model Epidemik AIDS Dengan Transmisi Vertikal”. Tugas Akhir. Matematika ITS [5]. Inderajati, Setyanti Wibawaning. 2010. “ Pengaruh Karantina Terhadap Penyebaran Penyakit Menular dalam Model Epidemik Tipe SIQS”. Tugas Akhir. Matematika ITS. [6] Maxin, Daniel. 2007. “The Effect of Nonreproductive Groups on Persistent Sexually Transmitted Diseases”. Mathematical Biosciences and Enginering [7] Anonim. 2012. “ Penyakit Infeksi dan Menular”. (http://mhs.blog.ui.ac.id/putu01/2012/01/09/penyakit-infeksi-dan-menular/, diakses pada tangal 27 Agustus 2013 pukul 12.02) [8] Sun, Changjun, Hsieh, Ying-Hen. 2010.”Global Analysis of an SEIR Model with Varying Population Size and Vaccination”. Applied Mathematical Modelling