Aljabar Linier – 2011 – UTS II

MA 3022 Aljabar Linier
UTS II - Semester I - 2011 / 2012
2 Desember 2011
Diketahui F suatu lapangan, V ruang hasil kali dalam real dan T : V −→ V suatu operator
linier pada V.
1. Misalkan λ1 , λ2 , · · · , λk nilai eigen dari T. Jika W = Eλ1 + Eλ2 + · · · + Eλk , tunjukkan
bahwa T (w) ∈ W untuk setiap w ∈ W.
(Eλi adalah ruang eigen dari vektor eigen yang berkorespondensi dengan nilai eigen
λi )
2. Jika || T (v)|| = ||v|| untuk semua v ∈ V, tunjukkan bahwa T satu-satu.
3. Operator linier T dikatakan operator proyeksi jika T 2 = T. Jika P dan Q adalah operator proyeksi pada V yang memenuhi P + Q = I dan P ◦ Q = Q ◦ P = 0, tunjukkan
bahwa V = Peta( P) ⊕ Peta( Q).
4. Jika T self-adjoint, tunjukkan bahwa Peta( T ) ⊆ (Ker ( T ))⊥ .


 
2 2
1



5. Diberikan A = 2 2 dan b = 0.
2 2
2
Tentukanlah solusi kuadrat terkecil optimal (optimal least square) dari Ax = b.
Catatan : Nilai eigen dari At A adalah 0 dan 24 yang berturut-turut berkorespondensi
dengan vektor eigen (−1, 1) dan (1, 1).