statistika
advertisement
STATISTIKA Distribusi Normal Distribusi Binomial Ingat contoh pemilihan 1 kegiatan (Kegiatan A) dari 4 kegiatan untuk didanai Distribusi Binomial Statistika Distribusi Normal Histogram Distribusi Probabilitas Sukses 2 1 Distribusi Binomial Ilustrasi contoh pemilihan kegiatan Statistika Setiap tahun dalam 5 tahun dilakukan pemilihan acak untuk menetapkan alokasi dana kepada 1 dari 4 kegiatan (A,B,C,D). Setiap kali dilakukan pemilihan, masing-masing kegiatan memiliki peluang yang sama untuk terpilih (mendapatkan dana). Berapa persen peluang kegiatan A mendapatkan dana 5×, 4×, 3×, 2×, 1×, 0×? 3 Distribusi Normal Distribusi Binomial (2) (3) Setiap kali pemilihan prob(As) = probabilitas kegiatan A terpilih prob(As) = ¼ = 0.25 = p prob(Ag) = probabilitas kegiatan A tak terpilih prob(Ag) = 1 – p = 0.75 = q Dalam 5 kali pemilihan peluang terpilih (sukses) 3 kali adalah ⎛ 5⎞ f X ( x; n, p ) = f X (3;5,0.25) = ⎜⎜ ⎟⎟ 0.253 0.752 = 0.088 ⎝ 3⎠ Statistika Distribusi Normal 4 2 Distribusi Binomial (4) koefisien binomial Dalam 5 kali pemilihan (n = 5) jumlah sukses jumlah kejadian peluang terjadi 0 1 0.237 1 5 0.396 2 10 0.264 3 10 0.088 4 5 0.015 5 1 0.001 ∑= Statistika 1.000 5 Distribusi Normal 0.45 0.40 0.40 0.35 0.25 0.26 0.24 0.20 n = 5 tahun probabilitas 0.30 Distribusi probabilitas Kegiatan A mendapatkan dana 0.15 0.09 0.10 0.05 0.01 0.00 0.00 0 1 2 3 4 5 frekuensi perolehan dana Statistika Distribusi Normal 6 3 Distribusi Binomial Apabila pemilihan dilakukan untuk waktu yang lebih panjang 10 tahun 20 tahun n tahun diperoleh n + 1 kemungkinan hasil Kegiatan A dapat memperoleh dana sejumlah n kali, n – 1 kali, ... 0 kali Statistika 0.30 0.28 Distribusi probabilitas Kegiatan A mendapatkan dana 0.25 0.25 0.20 probabilitas 7 Distribusi Normal 0.19 0.15 0.15 n = 10 tahun 0.10 0.06 0.06 0.05 0.02 0.00 0.00 0.00 0.00 7 8 9 10 0.00 0 1 2 3 4 5 6 frekuensi perolehan dana Statistika Distribusi Normal 8 4 0.25 Distribusi probabilitas Kegiatan A mendapatkan dana 0.20 0.19 0.20 0.15 0.13 0.11 n = 20 tahun probabilitas 0.17 0.10 0.07 0.06 0.05 0.03 0.02 0.01 0.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00 0.00 0.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 frekuensi perolehan dana Statistika 9 Distribusi Normal Distribusi Binomial vs Kurva Normal Apabila pemilihan (experimen) dilakukan sejumlah n kali dan n >> histogram distribusi probabilitas sukses (Kegiatan A memperoleh dana) memiliki interval kecil garis yang melewati puncak-puncak histogram → kurva mulus berbentuk seperti lonceng Kurva Normal Statistika Distribusi Normal 10 5 0.25 Distribusi probabilitas Kegiatan A mendapatkan dana 0.15 0.10 n = 20 tahun probabilitas 0.20 0.05 0.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 frekuensi perolehan dana Statistika Distribusi Normal 11 Kurva Normal Distribusi Normal Kurva Normal berbentuk seperti lonceng dengan karakteristik tertentu tidak setiap kurva berbentuk seperti lonceng adalah kurva normal Kurva Normal menggambarkan suatu distribusi yang disebut Distribusi Normal Permasalahan distribusi binomial dapat diselesaikan dengan pendekatan distribusi normal Lebih mudah dilakukan karena karakteristik distribusi normal telah diketahui (didefinisikan) tabel distribusi normal perintah dalam MS Excel Statistika Distribusi Normal 12 6 Distribusi Normal Karakteristik simetri terhadap nilai rata-rata (mean) score mengumpul di sekitar nilai rata-rata kisaran score tak terbatas, namun sangat sedikit yang berada di luar kisaran 3 kali simpangan baku dari nilai rata-rata Statistika 13 Distribusi Normal Distribusi Normal Luas = 1 –∞ μ−4σ μ−3σ μ−2σ Statistika μ−σ μ Distribusi Normal μ+σ +∞ μ+2σ μ+3σ μ+4σ X 14 7 Luas = 0.9973 Luas = 0.00135 Luas = 0.00135 Distribusi Normal –∞ +∞ μ−3σ μ−2σ μ−σ Statistika μ μ+σ μ+2σ μ+3σ X 15 Distribusi Normal pdf pX(x) Ν(μ,σ2) μ –∞ ( p X (x ) = 2πσ2 Statistika ) +∞ −1 2 −1 2( x−μ ) σ2 Distribusi Normal e 16 8 pdf pX(x) Ν(μ1,σ12) μ1 = μ2 = μ3 σ1 < σ2 < σ3 Ν(μ2,σ22) Ν(μ3,σ32) μ –∞ Statistika +∞ 17 Distribusi Normal pdf Ν(μ1,σ12) –∞ Statistika Ν(μ2,σ22) pX(x) μ Distribusi Normal Ν(μ3,σ32) μ1 < μ2 < μ3 σ1 = σ2 = σ3 +∞ 18 9 Distribusi Normal Jika X berdistribusi normal, N(μ,σ2), maka probabilitas X ≤ x dapat dicari dengan: prob( X ≤ x ) = PX ( x ) = ∫ (2πσ ) x 2 −1 2 −1 2(t −μ )2 σ2 e dt −∞ luas di bawah kurva pdf Æ cdf Statistika 19 Distribusi Normal pdf - cdf PX(x) 1 pX(x) cdf pdf –∞ Statistika μ Distribusi Normal +∞ 0 20 10 Distribusi Normal Luas di bawah kurva menunjukkan probabilitas suatu event menunjukkan percentile rank prob(X ≤ x) = prob(–∞ ≤ X ≤ x) = luas di bawah kurva antara –∞ s.d. x prob(–∞ ≤ X ≤ +∞) = 1 = luas di bawah kurva antara –∞ s.d. +∞ prob(X ≥ x) = prob(+∞ ≥ X ≥ x) = luas di bawah kurva antara x s.d. +∞ = 1 – prob(X ≤ x) Statistika Distribusi Normal 21 Distribusi Normal Probabilitas Statistika prob(X ≤ μ) = prob(X ≥ μ) = 0.50 prob(μ−x ≤ X ≤ μ) = prob(μ ≤ X ≤ μ+x) Distribusi Normal 22 11 Distribusi Normal Probabilitas prob(X = x) = luas di bawah kurva antara x s.d. x =0 prob(X ≤ x) = prob(X < x) prob(X ≥ x) = prob(X > x) prob(xa ≤ X ≤ xb) = prob(xa < X < xb) Statistika Distribusi Normal 23 Distribusi Normal Standar Distribusi normal umumnya disajikan dalam bentuk distribusi normal standar dipakai nilai z scores zX = X −μ σ Z berdistribusi normal dengan μ = 0 dan σ = 1, N(0,1) Æ distribusi normal standar Statistika Distribusi Normal 24 12 Distribusi Normal Standar pZ ( z ) = 1 −z2 e 2π 2 prob(Z ≤ z ) = PZ ( z ) = −∞ ≤ z ≤ +∞ z ∫ −∞ Statistika 1 −t 2 2 e dt 2π 25 Distribusi Normal Distribusi Normal Standar –∞ +∞ −3 −2 −1 0 μ−3σ μ−2σ μ−σ Statistika μ Distribusi Normal 1 2 3 μ+σ μ+2σ μ+3σ Z X 26 13 Tabel Distribusi Normal Standar Tabel z vs ordinat kurva normal standar z vs ordinat pdf (probability density function) Tabel z vs luas di bawah kurva z vs cdf (cumulative distribution function) luas kurva dari 0 s.d. zx luas kurva dari –∞ s.d. zx Statistika Distribusi Normal 27 Perintah (Fungsi) MS Excel Distribusi Normal NORMDIST(x,mean,standard_dev,cumulative) NORMINV(probability,mean,standard_dev) Statistika x = nilai yang diinginkan untuk dicari distribusi normalnya mean = nilai rata-rata (aritmetik) standard_dev = nilai simpangan baku cumulative = TRUE atau FALSE; TRUE jika ingin menghitung cdf, FALSE jika ingin menghitung pdf probability = probabilitas suatu distribusi normal mean = nilai rata-rata (aritmetik) standar_dev = nilai simpangan baku Distribusi Normal 28 14 Perintah (Fungsi) MS Excel Distribusi Normal Standar NORMSDIST(z) NORMSINV(probability) menghitung nilai cdf distribusi normal standar kebalikan dari NORMSDIST(z) mencari nilai z apabila probabilitasnya diketahui Ingat Distribusi Normal Standar mean = 0 simpangan baku = 1 Statistika Distribusi Normal 29 Perintah (Fungsi) MS Excel Contoh 1 NORMDIST(15,12,3,TRUE) NORMINV(0.8,12,3) Statistika rata-rata = 12 simpangan baku = 3 prob(X < 15) = NORMDIST(15,12,3,TRUE) = 0.841 prob(X < x) = 0.8 x = NORMINV(0.8,12,3) = 14.52 Distribusi Normal 30 15 Perintah (Fungsi) MS Excel Contoh 2 NORMSDIST(3) rata-rata = 0 simpangan baku = 1 prob(Z < 3) = NORMSDIST(3) = 0.9987 prob(0 < Z < 3) = NORMSDIST(3) – 0.5 = 0.4987 prob(1 < Z < 3) = NORMSDIST(3) – NORMSDIST(1) prob(Z > 1.5) = 1 – NORMSDIST(1.5) NORMSINV(0.65) prob(Z < z) = 0.65 z = NORMSINV(0.65) = 0.385 Statistika Distribusi Normal 31 Perintah (Fungsi) MS Excel Tugas Buatlah tabel distribusi normal standar Statistika tabel pdf tabel cdf Dapat memakai perintah MS Excel untuk mengerjakannya Distribusi Normal 32 16 Fungsi Linear Distribusi Normal Variabel random X berdistribusi normal, N(μ,σ2) Jika Y = a + b X, maka Y berdistribusi normal N(a + b μ, b2σ2) Statistika Distribusi Normal 33 Teorema Limit Sentral Xi, i = 1,2,…,n Æ masing-masing variabel random yang berdistribusi n normal N(μ,σ2) sn = ∑ X i i =1 Jika n → ∞ Statistika Æ distribusi sn mendekati (asimtotis) distribusi normal N(nμ,nσ2) Distribusi Normal 34 17 Kurva Normal Data Pengamatan Perbandingan antara data pengamatan vs distribusi normal Contoh data debit maximum (lihat tabel) klas ke-2: 200 – 300 m3/s Æ 250 m3/s debit rata-rata 659 m3/s ≈ 660 m3/s simpangan baku debit 212 m3/s ≈ 210 m3/s Statistika 35 Distribusi Normal Data Debit Puncak Sungai XYZ Tahun ke- Debit (m3/s) Tahun ke- Debit (m3/s) Tahun ke- Debit (m3/s) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Statistika 473 544 872 657 915 535 678 700 669 347 580 470 663 809 800 523 580 672 115 461 524 943 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 1110 717 961 925 341 690 734 991 792 626 937 687 801 323 431 770 536 708 894 626 1120 440 Distribusi Normal 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 843 450 284 460 804 550 729 712 468 841 613 871 705 777 442 206 850 829 887 602 403 505 36 18 Debit puncak Sungai XYZ selama 66 tahun 1200 1000 3 Debit (m /s) 800 600 400 200 0 0 10 20 30 40 50 60 70 Tahun ke- Statistika 37 Distribusi Normal Histogram Data Pengamatan Debit Puncak Sungai XYZ selama 66 tahun 0.20 0.18 0.16 Frekuensi Relatif 0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 100-200 200-300 300-400 400-500 500-600 600-700 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 1100-1200 3 m /s Statistika Distribusi Normal 38 19 Pengamatan vs Teoretik Debit Puncak Sungai XYZ selama 66 tahun 0.20 Distribusi Normal Teoretik 0.18 Frekuensi Relatif 0.16 Data Pengamatan 0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 100-200 200-300 300-400 400-500 500-600 600-700 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 1100-1200 m3/s Statistika 39 Distribusi Normal Pengamatan vs Teoretik Expektasi frekuensi relatif klas ke-2 −1 2 f Q (q = 250 ) = ∫ (2 πsQ 2 ) 300 −1 2 (q − Q ) 2 e sQ 2 dq 200 −1 2 ∫ (2 ⋅ π ⋅ 210 ) 300 = 2 e −1 2 (q − 660 ) 2 210 2 dq 200 = FQ (300 ) − FQ (200 ) ⎛ 300 − 660 ⎞ ⎛ 200 − 660 ⎞ = FZ ⎜ ⎟ − FZ ⎜ ⎟ 210 ⎝ 210 ⎠ ⎝ ⎠ = 0 .4857 − 0 .4564 = 0 .0293 Statistika Distribusi Normal 40 20 Pengamatan vs Teoretik Cara lain untuk memperkirakan frekuensi relatif dalam suatu interval klas fQ (qi ) = Δqi ⋅ pQ (qi ) pQ (qi ) = pZ (zi ) Statistika d z pZ (zi ) = σQ dq Distribusi Normal 41 Pengamatan vs Teoretik Cara lain … (lanjutan) i = 2: Δqi = 100 m3 s qi = 250 m3 s → zi = pZ (zi ) = 0.0593 250 − 660 = −1.95 210 ⎛ 0.0593 ⎞ fQ (qi ) = 100⎜ ⎟ = 0.028 ⎝ 210 ⎠ Statistika Distribusi Normal 42 21 Hitungan dan Penggambaran Hitungan dan penggambaran dilakukan dengan spreadsheet: ST Contoh Data Debit Statistika Distribusi Normal 43 Distribusi Normal vs Distribusi Random Kontinu Umumnya distribusi normal cukup baik untuk mendekati distribusi-distribusi yang lain, baik distribusi diskrit atau kontinu khususnya di bagian tengah distribusi kurang baik di sisi pinggir (tail) Apabila distribusi kontinu dipakai untuk mendekati distribusi diskrit, diperlukan koreksi Statistika koreksi tengah interval, x – ½, x + ½ misal: prob(X = x) Æ prob(x – ½ < X < x + ½) Distribusi Normal 44 22 Distribusi Normal vs Distribusi Random Kontinu Diskrit X=x x≤X≤y X≤x X≥x X<x X>x Statistika Kontinu x−½≤X≤x+½ x−½<X<y+½ X<x−½ X>x+½ X≤x−½ X≥x+½ Distribusi Normal 45 23