soal – soal dan jawaban

SOAL – SOAL DAN JAWABAN
PERMASALAHAN SISTEM DINAMIK
Kartika Yulianti, M.Si.
Jurusan Pendidikan Matematika
FPMIPA - UPI
Problem 2-4
Suppose that a very long conductor has been fixed in a vertical straight line : a constant
current I passes though the conductor. A small conductor, length l and mass m, had been
placed in vertical straight line; it has been fixed to a spring which can move horizontally.
A constant current I passes through the small conductor. The small conductor will be put
into motion in x-direction but it remains parallel to the long conductor; without
deformation of the spring, its position is x=0. The fixed position of the long conductor is
given by x=a. the equation of motion of the small conductor is
..
m x kx
2 Iil
a x
0
With k positive and x<a.
a. Show that, putting
2Iil / k , the equation can be written as
..
x
k x 2 ax
m
a x
0
b. Put the equation in the frame work of Hamiltonian systems.
c. Copute the critical points and characterize them. Does the result agree with the
Hamiltonian nature of the problem?
d. Skech the phase-plane for various value of
Jawab:
a. mx kx
2 Iil
a x
substitusikan
0 ...... (*)
2Iil
ke persamaan (*)
k
1
k
mx kx
k ax x 2
mx

x
0
a x
0
a x
ax
k x2
0
m a x
a x kx
a x
akx kx 2
mx
a x
x
mx
0
x
0
b.
x
y
dx
dy
x
y
x 2 ax
k
m a x
y
2
k
x ax
m a x
k
x 2 ax
m a x
k
x 2 ax
m a x
m a x
k
x a x
m a x
m a x
dx
ydy
dx
ydy
dx
ydy
a
k 1 2
x k
ln a x
m2
m
k 1 2
x k ln a x
m2
m
F x, y
1 2
x C
2
1 2
x C
2
k 1 2
x k ln a x
m2
m
1 2
y : first integral
2
2
Dengan memasukan
p
mx
q
x
sehingga hamiltoniannya
1 ka 2
2 m
H p, q
k
m
1 p2
2 m
ln a q
karena :
p
H
q
q
H
p
kq
m
kx 1
.
1
m a q
kq
m
k
m a q
p
m
c.
x
y
y
k
x 2 ax
m a x
Titik kritis diperoleh dari
x
0
y
0
k
x 2 ax
m a x
k x 2 ax
0
0
karena k bilangan positif maka x 2 ax
jadi x1,2
a
0
a2 4
2
Titik kritis tergantung dari nilai a 2 4
1) Jika
a2 4
0 maka a 2
4
a2
4
Jadi untuk
x1
a
a2 4
2
a2
terdapat 2 titik kritis yaitu x1,0 dan x2 ,0
4
dan x2
a
a2
2
4
3
x1 ,0 membentuk saddle dan
x2 ,0 membentuk centre
2) Jika
a2 4
0 maka a 2
4
a2
4
Jadi untuk
a2
terdapat 2 titik kritis yang bergabung menjadi titik kritis
4
degenerate.
3) Jika
a2 4
0 maka a 2
4
a2
4
Jadi untuk
a2
tidak ada titik kritis sehingga tidak ada titik setimbang.
4
d) Sketsa
4
Problem 2-5
Find the critical points of the system
.
x
.
y
y
x 2x 3
Characterize them the critical points by linier analysis and determine their attraction
properties.
Penyelesaian:
Misalkan :
.
x
y
(2.5.1)
.
3
y x 2x
Titik kritis dari sistem (2.5.1) diperoleh dari persamaan :
.
x
0
y
0
x 2 x3
.
y
0
0
sehingga diperoleh titik kritis : (0, 0), ( 1
2, 0) .
2
Proses linierisasi dipersekitaran titik kritis akan menghasilkan bentuk :
x
y
x
x1
y
x1
x
x2
y
x2
x
y
x
x1
y
x1
Misalkan J
+
x
x2
, maka J
y
x2
(2.5.2)
0
1 6x
1
2
0
dan persamaan karakteristik dari (2.5.2) diberikan oleh :
I J
0
(2.5.3)
Uji titik kritis:
 Di titik (0,0), diperoleh :
5
0 1
J (0,0)
0 1
sehingga diperoleh persamaan karakteristik :
2
1 0
Jadi diperoleh nilai eigen
1.
Oleh karena di titik (0,0) sistem (2.5.1) mempunyai dua nilai eigen real yang berbeda
tanda, berarti titik kritis (0,0) merupakan saddle point.
 Di titik ( 1
J(
2
2, 0) , diperoleh :
0
1
1
2,0)
2 1
sehingga diperoleh persamaan karakteristik :
2
2 0
2 i.
Jadi diperoleh nilai eigen
1
2, 0) sistem (2.5.1) mempunyai dua nilai eigen imajiner
Oleh karena di titik (
2
murni, berarti titik kritis ( 1 2, 0) berupa centre.
2
2
6
7
Problem 2-6
Consider the system
.
x
x
.
y
y
a. find the first integral
b. Can we derive the equation from a Hamiltonian function?
Penyelesaian:
Pandang F : R2
R
Agar F menjadi sebuah integral pertama, maka nilai F harus konstan sepanjang solusi.
d
F ( x(t ), y (t )) 0
dt
F
F
x
y 0
x
y
F
F
x
y
x
y
dy y
dx x
1
1
dy
dx
y
x
ln y ln x c
y
ln
c
x
y
ec k
x
y
x
Sehingga F ( x, y )
Karena div( f )
f1
x
f2
y
1 1 2
0 maka vector field-nya tidak volume preserving,
akibatnya system persamaan tersebut bukan Hamiltonian System.
8
Problem 2-7
.
Consider in R n the system x
f ( x) with divergence
0 . So the phase flow is
. f ( x)
volume preserving. Does this mean that a first integral exist; solve for n=2
Penyelesaian:
misal x
y
f ( x, y )
g ( x, y )
...(*)
fase flow persamaan (*) ditentukan oleh
dy
dx
g ( x, y )
f ( x, y )
dy
f ( x, y )
g ( x, y ) 0
dx
jika persamaan (**) eksak maka
f ( x, y )
x
...(**)
g ( x, y )
y
Akibatnya terdapat F(x, y) = c yang memenuhi persamaan (**).
Persamaan
Sehingga x
f ( x, y )
x
g ( x, y )
f ( x, y )
ekivalen dengan
y
x
f ( x) di R n dengan f ( x)
g ( x, y )
y
0
.f
0.
0 integral pertamanya akan ada jika persamaan
untuk phase flow-nya membentuk persamaan diferensial eksak.
9
Problem 2-8
Determine the critical points of the system
.
x2
x
.
y3
2 x( x 2
y
y)
Are there attractor in the system? Determine the first integral. Do the periodic solutions
exist?
Penyelesaian:
Akan ditentukan integral pertama dari system persamaan diferensial di atas.
dy
dx
2 x3 2 xy
x2 y3
( x2
y 3 )dy (2 x3 2 xy )dx 0
Misal M(x, y) = ( x 2
Karena
M
x
N
y
y 3 ) dan N(x, y) = (2 x3 2 xy )
2x
Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial eksak, sehingga ada F(x, y) = k
F ( x, y )
y
yang memenuhi
x2 y
1 4
x c( y )
2
F ( x, y )
y
x 2 c`( y )
Sedangkan
F ( x, y )
x
F ( x, y )
R.
(2 xy 2 x 3 )dx
F ( x, y )
c( y )
M ( x, y ) dan F : R2
x2
y 3 sehingga c`(y) = - y3
1 4
y k
4
x2 y
1 4
x
2
1 4
y k
4
adalah bentuk integral pertamanya.
10