Ukuran Pemusatan Data

Ukuran Pemusatan Data
Arum Handini Primandari, M.Sc
Notasi untuk Populasi dan Sampel
Notasi:
Sample
Populasi
Mean (rata-rata)
x
μ
Variansi
s2
σ2
Simpangan baku
s
σ
Ukuran Pemusatan Data
1. Mean (rata-rata)
2. Median
3. Modus
Mean
1. Mean untuk data tunggal
• Mean sampel dari himpunan n observasi: x1, x2, x3, …, xn,
dirumuskan:
n
x
•
•
x
i 1
i
n
Contoh: The birth weights in pounds of five babies born in a
hospital on a certain day are 9.2, 6.4, 10.5, 8.1, and 7.8.
The mean birth weight for these data is
9.2  6.4  10.5  8.1  7.8 42
x

 8.4
5
5
•
Mean sampel dari himpunan n observasi: x1, x2, x3, …, xn,
yang mempunyai frekuensi berturut-turut f1, f2, f3, …, fn,
Nilai
Frekuensi
x1
f1
x2
f2
x3
f3
…
…
xn
fn
dirumuskan:
n
x
fx
i 1
n
i i
f
i 1
i
Latihan: Mean
• Loss of calcium is a serious problem for older women. To
investigate the amount of loss, a researcher measured the
initial amount of bone mineral content in the radius bone of
the dominant hand of elderly women and then the amount
remaining after one year. The differences, representing the
loss of bone mineral content, are given in the following table
(courtesy of E. Smith).
2. Estimasi Mean data berkelompok
a) Menghitung mean data kelompok dengan metode biasa
• Penyajian data berkelompok:
•
Interval/ Selang
Titik Tengah (xi)
Frekuensi (fi)
Limit kelas ke-1
X1
f1
Limit kelas ke-2
X2
f2
…
…
…
Limit kelas ke-n
Xn
fn
Mean dihitung dengan formula:
n
fi xi

x  i 1n
 fi
i 1
• Contoh:
Interval Kelas
Titik Tengah
Kelas (xi)
Frekuensi
(fi)
fixi
7–9
8
2
16
10 – 12
11
8
88
13 – 15
14
14
196
16 – 18
17
19
323
19 – 21
20
7
140
Jumlah
50
763
n
x
fx
i 1
n
i i
f
i 1
i
763

 15.26
50
b) Menghitung mean data kelompok dengan metode
simpangan rata-rata
• Jika A merupakan rataan hitung sementara yang diperoleh
dari:
x1: limit bawah kelas pertama
x1  xn
A
xn: limit atas kelas terakhir
2
• Maka rataan hitung dirumuskan:
n
x  A
fd
i 1
n
i i
f
i 1
i
di: xi – A
xi: nilai tengah masing-masing kelas
fi: frekuensi kelas
• Contoh:
Interval
Kelas
Titik
Tengah
Kelas (xi)
Deviasi
(di)
Frekuensi
(fi)
fi di
7–9
8
-6
2
-12
10 – 12
11
-3
8
-24
13 – 15
14
0
14
0
16 – 18
17
3
19
57
19 – 21
20
6
7
42
50
63
Jumlah
Untuk banyak
interval kelas ganjil,
‘0’ pasti terletak di
kelas yang tengah
n
7  21
A
 14
2
x  A
fd
i 1
n
i i
f
i 1
i
63
 14 
 15.26
50
c) Mean berkelompok dengan metode coding
• Jika A merupakan rataan hitung sementara yang diperoleh
dari:
x1  xn
A
2
x1: limit bawah kelas pertama
xn: limit atas kelas terakhir
• Mean dengan metode coding dirumuskan:
n
x  A  p
fc
i 1
n
i i
f
i 1
i
ci: kode untuk setiap kelas
xi: nilai tengah masing-masing kelas
fi: frekuensi kelas
p: panjang kelas
• Contoh:
Interval
Kelas
Kode
(ci)
Frekuensi
(fi)
fi ci
7–9
-2
2
-4
10 – 12
-1
8
-8
13 – 15
0
14
0
16 – 18
1
19
19
19 – 21
2
7
14
50
21
Untuk banyak
interval kelas ganjil,
‘0’ pasti terletak di
kelas yang tengah
n
7  21
A
 14 x  A  p 
2
fc
i 1
n
i i
f
i 1
i
21
 14  3   15.26
50
3. Mean data gabungan
• Sample berukuran n1, n2, …, nk diambil dari k populasi,
masing-masing memiliki mean x1 , x2 ,..., xk , maka mean
gabungan:
k
xc 
n x
i 1
k
i i
n
i 1
i
4. Mean terboboti
• Terdapat k buah nilai x1, x2, …, xk dengan bobot masingmasing w1, w2, …, wk, maka mean dirumuskan:
k
xw 
w x
i 1
k
w
i 1
•
•
i i
i
Contoh:
Komponen
Tugas
Quiz
UTS
UAS
Bobot
20%
10%
30%
40%
Nilai
80
75
65
75
Nilai akhir: xw
0.2  80    0.1  75    0.3  65    0.4  75 


 73
0.2  0.1  0.3  0.4
Latihan 1
• Tentukan mean dari data berikut:
Hasil Ujian Statistik Komunikasi
Kelas Nilai
Frekuensi (f)
30 – 39
5
40 – 49
10
50 – 59
15
60 – 69
25
70 – 79
20
80 – 89
10
90 – 99
5
Median
1. Median data tunggal
• Median sampel dari himpunan n observasi: x1, x2, x3, …, xn,
adalah nilai tengah dari observasi terurut dari yang terkecil
hingga terbesar.
• Letak median:
– Ukuran data ganjil
n 1
Median terletak di data ke2
– Ukuran data genap
n
n
Median terletak diantara data ke- dan data ke-  1
2
2
• Contoh 1 (median):
Data 5 bobot bayi ketika lahir: 3.04; 4.20; 3.28; 3.12; 2.56
Diurutkan: 2.56, 3.04, 3.12, 3.28, 4.20 (n = 5)
51
Median terletak pada data ke 3, yaitu 3.12.
2
Data: 3, 15, 46, 64, 126, 623 (n = 6)
6
6
Median terletak pada data ke-  3 dan ke-  1  4, yaitu:
2
2
46  64
 55
2
• Contoh 2 (median)
Lamanya enam pasien pencangkokan jantung adalah sebagai berikut: 15,
3, 46, 623, 126, dan 64 hari.
Data terurut: 3, 15, 46, 64, 126, 623
Median-nya adalah 55, sementara mean-nya 146.2
Perhatikan: jika dilihat dari nilai mean, maka hanya ada 1 pasien yang
hidup di atas 146.2 hari. Di sini median menjadi indikator yang lebih baik,
yaitu ada 3 pasien yang bertahan hidup lebih dari 55 hari.
Contoh ini menunjukkan bahwa median tidak dipengaruhi oleh nilai-nilai ekstrem
pada sampel.
Bagi distribusi yang tidak simetrik, kiranya median akan menjadi ukuran nilai tengah
yang lebih bermakna daripada mean
2. Estimasi median data berkelompok
• Rumus untuk median data berkelompok (data yang disajikan
dalam tabel distribusi frekuensi):
1
 2 n  fk
Me  b  p  
 fme






b: batas bawah kelas median
p: panjang kelas
n: banyak data
fk: frekuensi kumulatif sebelum kelas median
fme: frekuensi kelas median
Modus
• Modus suatu sampel adalah nilai yang paling banyak muncul
atau paling tinggi frekuensinya.
• Estimasi modus untuk data berkelompok:
 d1 
Mo  b  p  

d

d
 1 2
• dimana:
d1  fmo  fmo1
d2  fmo  fmo1
b: batas bawah kelas modus
p: panjang kelas
fmo: frekuensi kelas modus
fmo-1: frekuensi kelas sebelum kelas modus
fmo+1: frekuensi kelas setelah kelas modus
Latihan 2
• Tentukan mean dan median dari data berikut:
Hasil Ujian Statistik Komunikasi
Kelas Nilai
Frekuensi (f)
30 – 39
5
40 – 49
10
50 – 59
15
60 – 69
25
70 – 79
20
80 – 89
10
90 – 99
5
Persentil
• Persentil adalah nilai-nilai yang membagi segugus
pengamatan menjadi 100 bagian yang sama.
• Nilai-nilai tersebut dilambangkan dengan P1, P2, …, P99, yang
bersifat 1% dari seluruh data terletak di bawah P1, 2% terletak
di bawah P2,…, dan 99% terletak di bawah P99.
• Menghitung persentil ke-p:
– Urutkan data dari yang terkecil ke terbesar.
– Tentukan hasil kali: banyak data × proporsi = np.
• Jika np bukan bilangan bulat, maka lakukan pembulatan ke atas dan tentukan data
pada urutan tersebut.
• Jika np adalah bilangan bulat (misalkan: k), hitung rata-rata dari data ke-k dan ke(k+1).
Desil
• Desil adalah nilai-nilai yang membagi segugus pengamatan
menjadi 10 bagian yang sama.
• Nilai-nilai tersebut dilambangkan dengan D1, D2, …, D9 yang
bersifat 10% data berada di bawah D1, 20% di bawah D2, …,
dan 90% di bawah D9.
Kuartil
1. Kuartil data tunggal
• Kuartil adalah nilai-nilai yang membagi segugus pengamatan
menjadi 4 bagian sama besar.
•
Dilambangkan dengan:
–
–
–
•
Q1 (25% data jatuh di bawah nilai Q1)
Q2 (50% data jatuh di bawah nilai Q2)
Q3 (75% data jatuh di bawah nilai Q3)
Contoh:
2 5 7 7 8 9 9 11 13 15
Q1
Q2 8.5
Q3
• Contoh:
Data Pengukuran Tingkat Kebisingan Lalu Lintas (Decibel)
52
55.9 56.7 59.4 60.2
61
62.1 63.8 65.7 67.9
54.4 55.9 56.8 59.4 60.3 61.4 62.6
64
66.2 68.2
54.5 56.2 57.2 59.5 60.5 61.7 62.7 64.6 66.8 68.9
55.7 56.4 57.6 59.8 60.6 61.8 63.1 64.8
55.8 56.4 58.9
60
60.8
62
67
69.4
63.6 64.9 67.1 77.1
• Kuartil ke-1:
– letak: 0.25 × 50 = 12.5 (pecahan), maka bulatkan ke atas
menjadi 13. Kuartil pertama adalah data ke-13 yaitu 57.2.
• Persentil ke-10:
– letak: 0.1 × 50 = 5 (bilangan bulat), sehingga letak persentil
ke sepuluh adalah di antara data ke 5 dan 6 yaitu: (55.8 +
55.9)/2 = 55.85
2. Estimasi Kuartil, Desil, dan Persentil Data Berkelompok
Rumus menghitung kuartil data berkelompok:
Qi: kuartil ke-i, Di: desil ke-i, Pi: persentil ke-i
 i

n

f
k 
b: batas bawah kelas kuartil, desil, atau
4
Qi  b  p  
persentil

p: panjang kelas
 fQ 
n: banyak data


fk: frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil,
 i

desil, atau persentil.
 10 n  fk 
fQ: frekuensi kelas kuartil, fD: frekuensi kelas
Di  b  p  

desil, fP: frekuensi kelas persentil.
fD




 i

n

f
k 
 100
Pi  b  p  

f
P




Latihan
1. Delapan peserta lomba sepeda mencatat waktu tempuh
sebagai berikut: 28, 22, 26, 33, 21, 23, 37, 24. Hitunglah
mean dan mediannya.
2. Perhatikan tabel banyak anak pada setiap keluarga di
Kampung Sejahtera.
Banyak anak
Frekuensi
1
2
2
4
3
21
4
18
5
10
6
4
7
1
Tentukan mean dan
mediannya.
3. Perhatikan diagram tangkai-daun skor ujian akhir mata
kuliah statistika berikut:
2 48
3 155
4 002
5 03368
6 0124479
7 22355689
8 004577
9 0025
Hitunglah:
a. Mean
b. Median
c. Kuartil: Q1, Q2, dan Q3
4. Berdasarkan dari data berikut:
Hitung:
a) Mean
b) Median
c) Modus
d) Kuartil pertama
e) P45
5. Berdasarkan data berikut:
Hitung:
a) Mean
b) Median
c) Modus
d) Kuartil pertama
e) P45
6. Seorang mahasiwa mendapatkan nilai 87.4 untuk mata
kuliah Metode Statistika. Nilai yang diperoleh mahasiswa
tersebut dan bobot nilai pada mata kuliah Metode Statistika
adalah sebagai berikut:
Penilaian
Bobot
Nilai
Tugas
20%
88
Quiz
10%
75
UTS
30%
85
UAS
40%
x
Berapakah nilai UAS yang diperoleh mahasiswa tersebut?
Referensi
• Bhattacharya, G. K., dan R. A., Johnson, 1997,
Statistical Concept and Methods, John Wiley
and Sons, New York.
• Walpole, R.E., 1995, Pengantar Statistika Edisi
ke-3, diterjemahkan oleh: Bambang Sumantri,
Gramedia Pustaka Utama, Jakarta.