Cacat dalam Mekanika Kuantum dan Beberapa Kesalahan Konsep

Tadris Fisika FT IAIN Walisongo
M. Ardhi K.
Cacat dalam Mekanika Kuantum dan Beberapa Kesalahan Konsep
dalam Buku Teks Mekanika Kuantum∗
M. Ardhi K.
email : muhammad [email protected]
web : http://abu-khadijah.web.id
2 Mei 2013
é<Ë@ Õæ„.
á Ô gQË@
Õæ
k QË@
berlaku di dunia mikro, semisal perilaku probabilistik partikel.
Kerumitan dalam penyelesaian persamaan
Schrödinger sebenarnya tidak jauh dari kurangnya pengalaman dalam penyelesaian persamaan diferensial.
Tentunya bekal ilmu
kalkulus, penyelesaian persamaan diferensial,
masalah syarat batas menjadi modal yang diperlukan untuk dapat menyelesaikan persamaan
Schrödinger.
Perilaku yang tidak lazim pada dunia
mikro harus dipahami dengan terlebih dahulu
”melepaskan” doktrin dunia makro. Pada dunia
makro, benda bermassa tidak mungkin berperilaku yang akan disifati sebagai gelombang. Sementara pada dunia mikro, penjelasan mengenai perilaku partikel (setidaknya saat ini) melibatkan konsep probabilistik, yang membuat partikel tersebut memiliki sifat gelombang. Semakin besar ukuran partikel/benda, maka sifat
gelombang pada ”dirinya” semakin ”tidak terlihat”.
Sesungguhnya matematika mekanika kuantum
tidaklah (sesederhana) seperti yang lazim diajarkan dalam perkuliahan mekanika kuantum,
setidaknya pada level strata 1. Mekanika kuan-
”However, if you do not appreciate the
mathematics, you cannot see, among
the great variety of facts, that logic permits you to go from one to the other.”
–R. P. Feynman–
1
Pendahuluan
Mekanika kuantum, teori yang menjelaskan mengenai perilaku dunia mikro, telah menjadi sosok
yang menakutkan di kalangan penuntut ilmu.
Hal ini dikarenakan kerumitan matematika yang
diperlukan untuk memahami teori tersebut. Di
antara mereka mungkin ada yang melihat rumitnya proses penyelesaian persamaan Schrödinger
d
~2 2
i~ Ψ(~r, t) = −
∇ + V (~r) Ψ(~r, t) (1)
dt
2m
untuk berbagai sistem kuantum. Ada pula
yang melihat pada ketidak-laziman konsep yang
∗
disampaikan dalam kegiatan diskusi dosen Fakultas
Tarbiyah IAIN Walisongo, tanggal 2 Mei 2013. Makalah
ini sepenuhnya diketik dengan LATEX.
1
Tadris Fisika FT IAIN Walisongo
M. Ardhi K.
2
tum tidak lain merupakan suatu model peluang, yang berbeda dari model peluang klasik.
Model peluang ini disebut model peluang kuantum, yang komponen penyusunnya adalah aljabar von-Neumann dan keadaan-keadaan normal. Bagi siapa saja yang menghendaki pemahaman yang utuh mengenai bangunan matematis mekanika kuantum, maka pemahaman terhadap model peluang kuantum merupakan suatu
keharusan.
Namun dibalik kemegahan bangunan teori
mekanika kuantum, ternyata tercatat jejak cacat di beberapa tempat. Secara garis besar
dapat dikatakan bahwa mekanika kuantum
tidak lengkap. Untuk menunjukkan ketidaklengkapan mekanika kuantum, akan dibahas dua
topik berikut :
Sekilas tentang teori operator
Dalam matematika, operator Ô pada ruang vektor V didefinisikan sebagai pemetaan dari ruang
vektor V ke ruang vektor V juga, yakni
Ô : V −→ V.
(3)
Termasuk ke dalam kategori ruang vektor adalah
ruang Hilbert. Ruang Hilbert sendiri didefinisikan sebagai ruang vektor berproduk skalar
h , i yang lengkap. Istilah lengkap di sini
dimaksudkan bahwa setiap barisan Cauchy di
dalam ruang tersebut selalu konvergen, relatif
terhadap metrik d yang didefinisikan melalui
produk skalar h , i menurut :
1. ketakpastian Heisenberg,
d(ψ, φ) ≡
2. persamaan Schroedinger.
p
hψ − φ, ψ − φi.
(4)
Selain itu, dijumpai pada beberapa buku teks
adanya kesalahan penggunaan istilah terkait dengan obyek-obyek matematis yang digunakan
dalam mekanika kuantum.
Sebagai misal,
terkadang ditemukan istilah swadamping (selfadjoint) disamakan dengan istilah hermitan,
tanpa pensyaratan. Kemudian kesalahan lain
yang juga terkadang ditemukan dalam buku teks
mekanika kuantum adalah dituliskannya kaitan
komutasi antara operator momentum linier p̂x
dengan operator posisi x̂ seperti yang berikut
ini[1, 2]
Domain bagi operator Ô dituliskan sebagai
dom(Ô). Jika Ô1 dan Ô2 dua operator pada ruang vektor V , maka umumnya tidak dapat dijamin bahwa setiap vektor v ∈ dom(Ô1 ) juga
merupakan unsur di dom(Ô2 ). Hal ini bergantung pada definisi yang diberikan untuk Ô1 dan
Ô2 .
Setiap operator Ô di ruang Hilbert H, apapun
jenisnya, memiliki himpunan yang termuat
dalam himpunan semua bilangan kompleks C,
yang disebut sebagai spektrum bagi operator
tersebut. Spektrum bagi operator Ô didefinisikan menurut
[x̂, p̂x ] = x̂p̂x − p̂x x̂ = i~.
Sp(Ô) ≡ C\R(Ô),
(2)
Kedua hal tersebut, meskipun bukan merupakan kecacatan matematis dalam bangunan
teori mekanika kuantum, tetapi termasuk yang
akan dibahas dalam artikel ini.
(5)
dengan R(Ô) adalah himpunan resolvent operator Ô, yakni himpunan semua bilangan α ∈ C
yang membuat operator (Ô − αÎ)−1 ada dan
bersifat terbatas serta terdefinisikan secara rapat
2
Tadris Fisika FT IAIN Walisongo
M. Ardhi K.
di Ĥ. Di sini, Î merupakan operator identitas,
yakni operator yang didefinisikan menurut
I :H → H
ψ 7→ Îψ ≡ ψ
.
3. Di antara dua pengukuran yang berurutan, keadaan sistem kuantum berevolusi seiring dengan berubahnya waktu menurut
persamaan Schroedinger gayut waktu
d
~2 2
i~ Ψ(~r, t) = −
∇ + V (~r) Ψ(~r, t).
dt
2m
(8)
(6)
Berdasarkan definisi tersebut tentunya berlaku
dom(Î) = H.
Kemudian, sebuah operator Ô dikatakan terbatas jika norma operator tersebut, yang didefinisikan menurut
kÔψk
,
ψ∈H kψk
kÔk ≡ sup
4
kuantum
tidak
Asas-asas dalam teori mekanika kuantum
menentukan batas bagi bangunan teori tersebut. Seperti disebutkan dalam asas pertama,
setiap sistem kuantum diwakili oleh suatu ruang Hilbert. Tetapi sesungguhnya asas tersebut masih menyisakan suatu wilayah kosong
(mekanika kuantum tidak berdiri di atasnya).
Maksud dari kalimat tersebut adalah terdapat
vektor dalam ruang Hilbert yang tidak dapat menyatakan keadaan kuantum. Atas
dasar inilah dikatakan bahwa mekanika kuantum tidak lengkap.
Telah disebutkan di atas bahwa sebuah besaran fisis O diwakilkan oleh sebuah operator Ô
(yang swadamping), dan keadaan kuantum diwakilkan oleh vektor ψ dalam ruang Hilbert H.
Penetapan ini menghadirkan konsekuensi bahwa
vektor-vektor yang mewakili keadaan kuantum
haruslah termuat di dalam domain operator Ô.
Yakni, jika ψ ∈ H merupakan keadaan kuantum,
maka haruslah berlaku ψ ∈ dom(Ô). Lebih lanjut lagi, jika ditinjau dua besaran fisis, yakni dua
operator swadamping Ô1 dan Ô2 , maka setiap
keadaan kuantum ψ ∈ H harus termuat di dalam
irisan domain masing-masing operator tersebut,
yakni harus berlaku ψ ∈ dom(Ô1 ) ∩ dom(Ô2 ).
Sebuah operator Ô di H belum tentu memiliki domain yang sama dengan ruang Hilbert
(7)
bernilai berhingga.
3
Mekanika
lengkap
Asas-Asas Mekanika Kuantum
Sesungguhnya kecacatan matematika mekanika
kuantum bermula dari asas yang lazim ditetapkan, dan diungkapkan dalam berbagai buku
mekanika kuantum. Sehubungan dengan permasalahan yang telah disebutkan dalam 1,
berikut ini ditampilkan asas-asas yang terkait
dengan permasalahan tersebut[3]
1. Setiap sistem kuantum berpadanan dengan
suatu Ruang Hilbert H separabel (separable) dan keadaan-keadaan yang mungkin
bagi suatu sistem kuantum diwakili oleh
vektor-vektor satuan anggota ruang Hilbert
itu.
2. Pada saat tertentu, misalkan saat t, besaran
fisis O besaran fisika yang dapat diukur diwakili oleh operator swadamping (self adjoint) Ô yang bekerja pada H.
3
Tadris Fisika FT IAIN Walisongo
M. Ardhi K.
H itu sendiri. Hal ini bergantung pada definisi yang diberikan pada operator tersebut. Jika
terjadi kondisi demikian, maka tentu ada vektor dalam ruang Hilbert yang tidak termuat di
dalam domain operator tersebut. Vektor tersebut tentunya tidak layak untuk digunakan sebagai keadaan kuantum. Hal ini dikarenakan vektor tersebut tidak memuat informasi apapun mengenai besaran fisis yang diwakili oleh operator
tadi.
Seperti telah disebutkan di atas, untuk sembarang operator Ô1 dan Ô2 di H tidak selalu memenuhi dom(Ô1 ) = dom(Ô2 ). Terlebih
lagi jika ditinjau beberapa operator, katakanlah
Ô1 , . . . , Ôn , yang umumnya tidak memiliki domain yang sama dengan ruang Hilbert H tempat
mereka beroperasi. Maka pada kondisi seperti
ini hanya vektor-vektor ψ ∈ dom(Ô1 ) ∩ . . . ∩
dom(Ôn ) yang dapat digunakan sebagai keadaan
kuantum. Pada kondisi ini pula, bahkan sebuah
vektor yang termuat dalam domain suatu operator boleh jadi tidak termuat dalam domain operator lain. Vektor yang demikian, meskipun termuat dalam domain salah satu operator, tidak
dapat digunakan sebagai keadaan kuantum.
Sampai di sini tentunya dapat dipahami
bahwa asas-asas mekanika kuantum membuat
tersingkirkannya
vektor-vektor
yang tidak termuat dalam irisan domain
operator-operator
swadamping
yang
mewakili besaran fisis. Tetapi jika sebagai
ruang yang menampung keadaan-keadaan
kuantum adalah ruang yang unsurnya
adalah vektor-vektor yang termuat dalam
irisan domain operator-operator tersebut,
maka dapat dipastikan bahwa ruang tersebut tidak akan bersifat lengkap (secara
Cauchy), sehingga bukan lagi merupakan
ruang Hilbert. Hal ini membawa konsekuensi
bahwa pada ruang tersebut tidak boleh
diterapkannya
teorema-teorema
hanya berlaku pada ruang Hilbert.
5
yang
Ketakpastian Heisenberg
Seperti yang telah ditunjukkan pada pembahasan sebelumnya, pemahaman terhadap teori
operator akan memberikan pandangan yang
lebih jelas mengenai kecacatan dalam mekanika
kuantum. Pemahaman tersebut juga akan diterapkan dalam pembahasan mengenai ketakpastian Heisenberg.
Ketakpastian Heisenberg, sebagai sebuah konsekuensi dari asas-asas mekanika kuantum[4, 2],
tampil dalam bentuk[3]
1
2
2
(∆Âψ ) (∆B̂ψ ) ≥ h[Â, B̂]iψ .
(9)
2i
Ketaksamaan tersebut berbicara mengenai
keterbatasan hasil pengukuran sembarang dua
besaran A dan B. Pada keadaan ψ, jika kedua
operator  dan B̂ yang masing-masing mewakili
besaran A dan B tidak rukun, yakni [Â, B̂] 6= 0,
maka hasil pengukuran besaran A membatasi
hasil pengukuran besaran B, begitu juga sebaliknya. Pada kondisi demikian, jika besaran A
berhasil diukur dengan ketakpastian yang cukup
kecil, maka pengkuran besaran B pada saat yang
sama akan memiliki ketakpastian yang cukup besar sedemikian rupa sehingga ketaksamaan (9)
dipenuhi. Tetapi sebaliknya jika pada keadaan ψ
kedua operator tersebut rukun, yakni [Â, B̂] = 0,
maka pengukuran kedua besaran A dan B pada
saat yang sama tidak akan saling bergantung
satu dengan lainnya. Pada kondisi ini, ketakpastian pengukuran dua besaran tersebut masingmasing secara prinsip dapat dibuat bernilai nol.
Tetapi dari bentuk ketaksamaan (9) terdapat konsekuensi yang harus diterima, terkait dengan ψ ∈ H yang terlibat di dalamnya. Jika
4
Tadris Fisika FT IAIN Walisongo
M. Ardhi K.
dom(Â) = dom(B̂) = H, maka tentu saja
dom([Â, B̂]) = H. Namun beberapa operator
besaran fisika tidak terdefinisikan di mana-mana
sehingga ψ yang terlibat dalam ketaksamaan (9)
perlu disesuaikan.
Secara umum untuk sembarang dua operator
 dan B̂ berlaku
perilaku evolusi keadaan kuantum gayut waktu
Ψ(~r, t) di antara dua pengukuran.
Tidak bergantungnya potensial V terhadap
waktu t, memungkinkan penyelesaian persamaan
(1) dengan metode pemisahan peubah[1, 2, 4],
yakni
Ψ(~r, t) ≡ ϕ(~r)f (t),
(14)
(10) dengan ϕ ∈ H suatu fungsi yang hanya bergantung pada ~r , dan f (t) suatu fungsi yang hanya
Lebih tepatnya, dapat dituliskan
bergantung pada t. Dengan metode tersebut,
dihasilkan persamaan Schroedinger tak gayut
dom([Â, B̂]) ≡ {ψ ∈ dom(Â) ∩ dom(B̂)|
waktu
Âψ ∈ dom(B̂) ∧ B̂ψ ∈ dom(Â)}.
Ĥϕ = Eϕ,
(15)
(11)
dengan E merupakan energi sistem kuantum
Ketaksamaan (9) mengharuskan setiap ψ yang yang keadaannya diwakili oleh ϕ. Persamaan
dilibatkan termuat dalam dom([Â, B̂]). Bahkan (15) merupakan persamaan swanilai (eigen value
suatu ψ yang termuat dalam dom(Â) ∩ dom(B̂), equation). Operator Hamiltonan Ĥ mewakili beberdasarkan definisi dom([Â, B̂]) yang diberikan saran energi E. Bentuk Ψ(~r, t) sesungguhnya
dalam (11), belum tentu dapat digunakan merupakan lintasan di ruang Hilbert H.
Adanya persamaan (1) atau lebih khususnya
dalam ketakpastian Heisenberg. Sebagai kon(15),
jelas telah membatasi penggunaan ψ ∈ H.
sekuensinya, ψ ∈ H yang demikian tidak dapat
digunakan untuk mewakili suatu keadaan kuan- Setiap keadaan kuantum ψ, berdasarkan kedua
tum. Lagi-lagi hal ini telah membatasi penggu- persamaan tersebut, harus termuat di dalam
dom(Ĥ). Tetapi persyaratan ini tidak menjamin
naan ψ ∈ H.
bahwa ψ tersebut termuat dalam domain operator lain.
6 Persamaan Schroedinger
Permasalahan ini sekali lagi telah menghadirkan konsekuensi terbatasinya vektorPersamaan Schroedinger seperti yang ditampilvektor dalam ruang Hilbert H yang dapat
kan dalam pers.(1), dapat dituliskan menjadi
digunakan untuk mewakili keadaan kuantum.
d
i~ ψ = Ĥψ,
(12)
dt
dom([Â, B̂]) ⊂ dom(Â) ∩ dom(B̂).
7
dengan Ĥ didefinisikan sebagai
Ĥ ≡ −
~2 2
∇ + V (~r).
2m
(13)
Sesungguhnya swadamping
(self-adjoint) tidak sama
dengan hermitan
Operator Ĥ disebut sebagai operator Hamilto- Seperti disebutkan dalam asas pertama di atas,
nan. Persamaan Schroedinger (1) menjelaskan unsur dalam ruang Hilbert, yang disebut sebagai
5
Tadris Fisika FT IAIN Walisongo
M. Ardhi K.
tor swadamping, bukan operator hermitan.
vektor, mewakili keadaan kuantum suatu sistem
kuantum. Maka besaran (fisis) kuantum diwakili oleh operator swadamping yang memetakan
sebuah vektor ke vektor lain dalam suatu ruang
Hilbert.
Jika sebuah operator mewakili suatu besaran
fisis, maka spektrum bagi operator tersebut
berisikan nilai-nilai yang mungkin keluar pada
pengukuran besaran fisis tersebut. Digunakannya operator yang swadamping dikarenakan terjaminnya unsur-unsur yang berupa bilangan riil
pada spektrum bagi operator tersebut. Hal ini
sejalan dengan kenyataan bahwa hasil pengukuran besaran fisis selalu berupa bilangan riil.
Membahas mengenai definisi operator
swadamping dan operator hermitan akan
menampilkan kerumitan tersendiri sebelum
dapat mengambil gambaran perbedaan antara
keduanya. Oleh karena itu, ada baiknya penulis
akan tampilkan langsung perbandingan antara
kedua operator tersebut. Operator swadamping,
apakah bersifat terbatas (bounded) ataupun tak
terbatas (unbounded), bekerja di ruang Hilbert
berdimensi berhingga maupun tak berhingga,
selalu sekaligus merupakan operator hermitan.
Hal yang sebaliknya tidak berlaku.
Tetapi
jika ruang Hilbert yang dilibatkan berdimensi
berhingga, maka setiap operator hermitan pasti
sekaligus merupakan operator swadamping.
Dari penjelasan di atas, jelaslah bahwa secara
umum kedua operator tersebut, yakni
operator swadamping dan operator hermitan, bukanlah operator yang sama. Kedua istilah tersebut hanya dapat dipertukarkan manakala ruang Hilbert yang
dilibatkan dalam pembicaraan berdimensi
berhingga. Maka untuk memberikan bangunan teori yang tepat secara matematis, seharusnya yang digunakan sebagai operator yang
akan mewakili besaran fisis adalah opera-
8
[x̂, p̂x ] 6= i~
Dalam membahas kaitan komutasi antara operator x̂ dengan p̂x beberapa penulis buku sampai pada kesimpulan seperti yang tertera pada
pers.(2). Berikut ini langkah yang biasa ditempuh sampai pada kesimpulan tersebut. Dalam
wakilan posisi, kedua operator tersebut masing∂
masing berbentuk x dan hi ∂x
. Maka untuk
mencari kaitan komutasi antara kedua operator tersebut, komutator kedua operator tersebut
dikenakan pada sebuah ψ ∈ H seperti berikut
ini
h ∂
[x̂, p̂x ]ψ = x,
ψ
i ∂x
h ∂
h ∂
= x
−
x ψ
i ∂x
i ∂x
h ∂
h ∂
(16)
=x
ψ−
(xψ)
i ∂x
i ∂x
h ∂
h
h ∂
=x
ψ− ψ−x
ψ
i ∂x
i
i ∂x
h
= − ψ = i~ψ.
i
Sampai di sini beberapa penulis ada yang
mengambil kesimpulan berlakunya kaitan
komutasi[1, 2]
[x̂, p̂x ] = i~.
(17)
Padahal secara matematis hal tersebut tidaklah tepat. Karena komutator dua buah operator juga merupakan operator, maka sisi kanan
pers.(17) juga harus merupakan operator di H.
Oleh karena itu sesungguhnya pers.(17) seharusnya (atau dapat ditafsirkan) berbentuk
[x̂, p̂x ] = i~Î,
6
(18)
Tadris Fisika FT IAIN Walisongo
M. Ardhi K.
dengan Î operator identitas di H.
Tetapi
pada hampir semua kasus fisis, domain komutator [p̂x , x̂] tidaklah sama dengan H, yakni
dom([x̂, p̂x ]) 6= H. Sehingga ungkapan seperti
dalam pers.(17) tidak dapat dibenarkan secara
matematis. Kaitan komutasi antara operator p̂x dan x̂ yang benar adalah
[x̂, p̂x ]ψ = i~ψ,
untuk setiap ψ ∈ dom([x̂, p̂x ]).
9
Overview
teori operator tidak diajarkan pada kuliah standar mekanika kuantum, baik itu di tingkat S1
fisika maupun S2 Ilmu fisika, kesalahan konsep
tersebut tetap harus dihindari dalam penyampaian materi mekanika kuantum kepada mahasiswa.
Dengan menunjukkan kesalahan konsep yang
ada pada beberapa buku teks mekanika kuan(19) tum, diharapkan mahasiswa terdorong untuk
mengkaji lebih dalam teori mekanika kuantum.
Setidaknya, pengajar telah berusaha untuk tidak
terjatuh dalam kesalahan menyampaikan materi
mekanika kuantum.
10
Kecacatan pada mekanika kuantum seperti
yang telah ditunjukkan di atas bermuara pada
asas yang digunakan sebagai fondasi bangunan
mekanika kuantum. Kecacatan tersebut secara mudah dapat diungkapkan sebagai ketidaklengkapan mekanika kuantum.
Rosyid[6] bersama dengan penulis[3] telah
membuat suatu formulasi baru dengan
menawarkan konsep peluang majemuk.
Tetapi meskipun konsep tersebut mampu
menghindari permasalahan ketidaklengkapan
mekanika kuantum, sampai saat ini belum
terselesaikan secara sempurna.1 Untuk menyelesaikan konsep tersebut, perlu melibatkan kajian
di bidang geometri ruang Wasserstein, salah
satu topik kajian dalam bidang matematika
yang sedang berkembang.
Kemudian terkait permasalahan kesalahan
konsep dalam mekanika kuantum seperti yang
tampak di beberapa buku teks standar mekanika
kuantum, menurut penulis hal tersebut dikarenakan kurangnya pemahaman penulis buku
tersebut terhadap teori operator. Meskipun
Ucapan Terimakasih
Penulis mengucapkan terimakasih kepada
Dr.rer.nat. M. Farchani Rosyid, yang telah
membimbing penulis, terutama dalam penelitian
tesis mengenai topik Peluang Majemuk[3], sehingga dari sebagian dalam tesis tersebut dapat
dituangkan ke dalam makalah ini. Penulis juga
mengucapkan terimakasih kepada pimpinan
Fakultas Tarbiyah yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk menyampaikan
makalah ini dalam kegiatan diskusi dosen pada
tanggal 2 Mei 2013.
Daftar Pustaka
[1] Goswami, A., Quantum Mechanics (Wm. C.
Brown Publisher, ,1992)
[2] Griffith, D., Introduction to Quantum Mechanics (2nd Edition) (Pearson Prentice
Hall, , 2004)
[3] Khalif, M. A., Peluang Majemuk : Sebuah Inspirasi Dari Mekanika Kuantum UnFormulasi baru ini akan diselesaikan dalam penelitian
tuk Matematika, Dan Untuk Kembali Ke
selanjutnya, atau dalam disertasi penulis, insya Allah.
1
7
Tadris Fisika FT IAIN Walisongo
M. Ardhi K.
Mekanika Kuantum, Tesis S2 (Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta, 2010)
[4] Rosyid, M. F., Mekanika Kuantum :
Model Matematis Bagi Fenomena Alam
Mikroskopis - Tinjauan Nonrelativistik
[5] Boccara, N., Functional Analysis : An Introduction for Physicists (Academic Press Inc,
San Diego, 1990)
[6] Rosyid, M. F., A Varian of Kolmogorov
Probability Emerging From Quantum Theory
(The 3rd Asian Physics Symposium, Bandung,2009)
8