bab i pendahuluan - Institut Teknologi Bandung

PENGGUNAAN FUNGSI LAMBERT-W UNTUK
MENYELESAIKAN MASALAH NILAI ASIMTOTIK MODEL
SIR DAN SOLUSI DARI PERSAMAAN DIFERENSIAL
TUNDAAN LINIER DENGAN KOEFISIEN KONSTAN
TUGAS AKHIR
Diajukan untuk Memenuhi Persyaratan
Sidang Sarjana Program Studi Matematika ITB
oleh
M.Maulana Yasin J.
10107027
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG
BANDUNG
2011
PENGGUNAAN FUNGSI LAMBERT-W UNTUK
MENYELESAIKAN MASALAH NILAI ASIMTOTIK MODEL
SIR DAN SOLUSI DARI PERSAMAAN DIFERENSIAL
TUNDAAN LINIER DENGAN KOEFISIEN KONSTAN
TUGAS AKHIR
oleh
M.Maulana Yasin J.
10107027
Bandung, Oktober 2011
Telah diperiksa dan disetujui oleh
Pembimbing
Dr. Kuntjoro Adji S.
NIP: 195309041977101001
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG
BANDUNG
2011
ii
ABSTRAK
Model SIR merupakan model persebaran penyakit menular sederhana. Pada
model ini, populasi diasumsikan terbagi menjadi 3 golongan, Susceptible,
Infected, dan Recovered. Kegunaan dari membangun model ini adalah kita dapat
memprediksi seberapa parah persebaran penyakit tersebut, sehingga dapat
digunakan sebagai pertimbangan untuk mengambil langkah pencegahan dan
antisipasi penyakit tersebut. Caranya dengan mengetahui jumlah individu pada
masing-masing golongan saat sistem berada pada keadaan setimbang. Masalah ini
disebut dengan masalah nilai asimtotik. Namun tidak mudah menyelesaikan
masalah ini secara analitik untuk mendapatkan solusi eksplisitnya. Persamaan
diferensial tundaan linier dengan koefisien konstan merupakan salah satu bentuk
dari persamaan diferensial. Penyelesaian masalah ini pun tidak sederhana seperti
halnya menyelesaikan persamaan diferensial biasa. Terdapat beberapa metode
untuk menyelesaikan masalah ini, namun kebanyakan metode tersebut tidak
praktis dan sulit digunakan. Fungsi Lambert-W, suatu fungsi yang belum banyak
diketahui, namun telah banyak digunakan untuk memecahkan permasalahan dari
berbagai
bidang
keilmuan.
Fungsi
Lambert-W
akan
digunakan
untuk
menyelesaikan masalah nilai asimtotik model SIR dan persamaan diferensial
tundaan linier dengan koefisien konstan dengan lebih mudah dan lebih praktis
digunakan daripada metode lainnya.
Kata kunci : fungsi Lambert-W, model SIR, persamaan diferensial tundaan linier,
masalah nilai asimtotik
i
ABSTRACT
SIR model is a simple model of an infectious disease spreadness. In this model,
the population is assumed to be divided into 3 groups, Suscepted , Infected , and
Recovered . The usefulness of constructing this model is we can predict whether
the disease will spread severely or not, thus we can use this prediction as a
consideration to decide the preventive and anticipation action that should be
taken. To do so, is by finding out the amount of people on each group when the
system has reached the steady state. This problem is called asymptotic value
problem. But it is not easy to solve this problem analytically and get the solution
in explicit form. Linear delay differential equation with constant coefficient is one
form of differential equation problem. Solving a linear delay differential equation
problem is not as easy as solving an ordinary differential equation problem. There
are few method to solve it, but most of them are not practical and hard to be
applied. Lambert-W function, a function that has not been well-known yet, but it
has been used to solve many problem from various field of study. Lambert-W
function will be used to solve asymptotic value problem of SIR model and linear
delay differential equation with constant coefficient in easier way and more
practical to use than other methods.
Keywords: Lambert-W function, SIR model, linear delay differential equation,
asymptotic value problem
ii
PRAKATA
Alhamdulillahi Rabbil’aalamin, puji dan syukur penulis panjatkan sebesarbesarnya kepada Allah SWT, karena atas kasih, rahmat, karunia, dan kuasa-Nya
penulis memperoleh kesehatan, kekuatan, dan kemampuan untuk mengerjakan
dan menyelesaikan tugas akhir ini.
Tugas akhir ini disusun untuk memenuhi persyaratan dalam menyelesaikan
Program Sarjana di Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Bandung. Penulisan tugas akhir ini juga
ditujukan untuk memberikan sumbangan bagi kemajuan ilmu matematika.
Tugas akhir ini dapat diselesaikan berkat dukungan dan bantuan dari segenap
pihak. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terima kasih sedalamdalamnya kepada segenap pihak yang telah berperan dalam penyusunan tugas
akhir ini dan juga yang telah membantu penulis selama mengikuti Program
Sarjana di Program Studi Matematika Institut Teknologi Bandung, yaitu:
1.
Epi Syahadat dan Wiwik Nugeraheni, orangtua penulis, yang tiada hentihentinya
mendoakan,
menyayangi,
dan
mendukung
penulis.
Membahagiakan kalian adalah motivasi saya untuk terus maju.
Melindungi dan mensejahterakan kalian adalah cita-cita saya di masa
depan.
2.
M.Maulana Yusuf Jayasatria dan Siti Syarifah Anugeraheni, saudara
kandung dari penulis yang selalu memberikan dukungan pada penulis.
3.
Keluarga penulis di Bandung, Subekti Kartasasmita, Lestari Pudjiastuti,
Rd. Rizki , Dita Asriati, Alvin Rianto dan Marcia Aisyah, terima kasih
atas dukungan dan bimbingannya selama penulis melaksanakan studi di
Bandung.
iii
4.
Keluarga besar Sadiman Hadiatmodjo dan keluarga besar Tutang
Sumarna, terima kasih atas doa dan dukungannya kepada penulis.
5.
Bapak Dr. Kuntjoro Adjie Sidarto, sebagai dosen pembimbing yang telah
bersedia meluangkan waktu, tenaga, pikiran, dan tak pernah lelah dalam
memberikan bimbingan, pengarahan dan petunjuk dalam penyusunan
tugas akhir ini.
6.
Dosen Penguji ibu Dr. Nuning Nuraini dan bapak Drs. Warsoma Djohan,
M.Si yang bersedia meluangkan waktunya untuk memberikan kritik
membangun untuk tugas akhir ini.
7.
Bapak Iwan Pranoto, selaku dosen wali akademik yang memberikan
pengarahan selama penulis melakukan studi di Program Studi
Matematika.
8.
Bapak Dr. Janson Naiborhu, sebagai ketua Program Studi Matematika.
9.
Seluruh staf pengajar Program Studi Matematika yang telah mendidik
dan mengajarkan banyak ilmu bermanfaat bagi penulis.
10. Ibu Diah, dan seluruh staf tata usaha Program Studi Matematika yang
selalu membantu penulis mengenai administrasi akademik selama
menjalani studi dan juga dukungannya kepada penulis.
11. Ade Apriza Pratiwi, yang selalu memberikan semangat dukungan kepada
penulis dalam mengerjakan tugas akhir.
12. Teman-teman satu dosen bimbingan : Ajar Ashaq, Rinaldy Dasilfa,
Zulva Algiftiah, Irwan Jaenudin, dan Eki Junanta yang saling
mendukung dan membantu satu sama lain selama menyelesaikan tugas
akhir.
13. Teman-teman sepermainan dan seangkatan penulis, Silfa, Prasandi,
Agus, Krisha , Ajar, Aem Ridho, Irwan, Rudi dan lainnya. Terima kasih
atas keceriaan dan bantuannya selama penulis melaksanakan studi.
14. Keluarga besar HIMATIKA ITB yang memfasilitasi dan menjadi tempat
bernaung penulis selama melaksanakan studi.
iv
15. Teman-teman atlet dan olahraga HIMATIKA, suatu kebanggaan buat
saya bisa berjuang dengan kalian untuk mengharumkan nama
HIMATIKA.
16. Teman-teman badminton HIMATIKA, Agus, Robieth, Saras, Awal,
Dika, Irsyad, Nikko, Yongki, Aby dan lainnya. Terima kasih telah
membantu
menghilangkan
kepenatan
belajar
selama
penulis
melaksanakan studi.
17. Teman-teman alumni dan mahasiwa Matematika ITB, khususnya
angkatan 2007.
18. Teman-teman TPB dan satu band, Rudi, Fakri, Haekal, Yudhis, Fikri,
Kun, Yunus, Lulus dan lainnya. Terima kasih atas bantuan dan keceriaan
yang kalian bawakan.
19. Teman-teman sepermainan SMA, Fajar, Ferdy, Abas, Bejo yang sampai
sekarang masih setia menemani penulis setiap pulang kampung.
20. Kepada bintang-bintang Hallyu Wave dari Korea, terutama Girls
Generation, IU, Yoo Jae Suk, dan lainnya atas keceriaan yang kalian
berikan pada penulis untuk menghilangkan kepenatan selama penulis
melaksanakan studi.
21. Kepada pihak-pihak lainnya yang tidak penulis sebutkan, terimakasih
untuk bantuan dan motivasinya.
Semoga Allah SWT senantiasa membalas seluruh kebaikan mereka
dengan kesehatan, keselamatan serta rahmat dan lindungan-Mu. Amin.
Dalam penyusunan tugas akhir ini, penulis menyadari masih terdapat
banyak kekurangan. Oleh karena itu, penulis terbuka akan segala saran dan
kritik yang terkait dengan tugas akhir ini. Penulis berharap tulisan ini dapat
bermanfaat bagi siapapun yang membacanya.
Bandung, September 2011
Penulis
v
vi
DAFTAR ISI
ABSTRAK ............................................................................................................... i
ABSTRACT ............................................................................................................ ii
PRAKATA ............................................................................................................. iii
DAFTAR ISI........................................................................................................... vii
DAFTAR GAMBAR ................................................................................................ ix
BAB 1
PENDAHULUAN ....................................................................................1
1.1
Latar Belakang ..........................................................................................1
1.2
Tujuan Penelitian.......................................................................................2
1.3
Sistematika Penulisan ................................................................................2
BAB 2 MODEL SIR, FUNGSI LAMBERT-W
DAN PERSAMAAN
DIFERENSIAL TUNDAAN LINEAR ...................................................................3
2.1 Model SIR ....................................................................................................3
2.1.1 Pembangunan Model SIR ...................................................................5
2.1.2 Syarat Epidemik untuk Model SIR ....................................................9
2.1.3 Permasalahan Nilai Asimtotik untuk Model SIR ..............................10
2.2 Fungsi Lambert-W .....................................................................................13
2.3 Mencari Cabang Kompleks Fungsi Lambert-W ........................................17
2.3.1 Cabang Fungsi Logaritma Kompleks ...............................................18
2.3.2 Cabang Kompleks Fungsi Lambert-W .............................................21
2.4 Persamaan Diferensial Tundaan .................................................................24
2.4.1 Persamaan Diferensial Tundaan Linier dengan Koefisien Konstan .25
2.4.2 Metode Langkah................................................................................25
BAB 3 PENGGUNAAN FUNGSI LAMBERT-W ...............................................27
3.1 Solusi Nilai Asimtotik SIR Menggunakan Fungsi Lambert-W .................27
vii
3.2 Penggunaan Fungsi Lambert-W Untuk Solusi Persamaan Diferensial
Tundaan Linier Dengan Koefisien Konstan...............................................28
3.2.1 Kasus 1 :
....................................................................29
3.2.2 Kasus 2 :
.................................................................30
3.2.3 Hampiran Menggunakan Lambert-W dan Konstanta
..................32
BAB 4 SIMULASI PENGGUNAAN METODE DARI FUNGSI LAMBERT-W...
.................................................................................................................36
4.1 Simulasi Penyelesaian Masalah Nilai Asimtotik Model SIR ....................36
4.2 Simulasi Penyelesaian Persamaan Diferensial Tundaan Linier Dengan
Koefisien Konstan ......................................................................................39
BAB 5 KESIMPULAN ..........................................................................................46
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................47
viii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Grafik dari fungsi
.......................................................14
Gambar 2.2 Grafik dari cabang fungsi Lambert-W bernilai riil ............................15
Gambar 4.1 Grafik dari Kasus 1 ............................................................................37
Gambar 4.2 Grafik dari Kasus 2 ............................................................................38
Gambar 4.3 Grafik solusi contoh kasus 1 menggunakan Metode Langkah ..........40
Gambar 4.4 Perbandingan grafik dari solusi contoh kasus 1 .................................42
Gambar 4.5 Solusi Contoh Kasus 2 Menggunakan Metode Langkah ...................43
Gambar 4.6 Perbandingan grafik dari solusi contoh kasus 2 .................................45
ix