2. Ukuran Tendensi Sentral

III. Ukuran Tendensi Sentral dan Penyimpangan
Mean untuk Data Tunggal
Definisi .
Jika suatu sampel berukuran n dengan anggota x1 , x2 , x3 , … ,
xn ,
maka mean sampel didefinisiskan :
n
X 1  X 2  ...  X N
X 
n

 Xi
i 1
n
Mean untuk Data Kelompok
Definisi
Mean dari data yang dikelompokan adalah :
n

X
f
i 1
n
n
i
xi
 fi

f
i 1
i
xi
n
i 1
dengan
:
xi = titik tengah pada kelas interval ke – I
fI = frekuensi pada kelas interval ke-I
n = banyak data (sampel)
Contoh
Kelas Interval
35 - 44
45 - 54
55 - 64
65 - 74
75 - 84
85 - 94
95 - 104
Jumlah
xi
fi
fi xi
39,5
49,5
59,5
69,5
79,5
89,5
99,5
-
4
3
10
22
18
19
4
80
158
148,5
595
1529
1431
1700,5
398
5960
n
Sehingga mean
:
X

f x
i 1
n
i
f
i 1
i
n
i

f x
i 1
i
n
i
= (5960) / 80 = 74,5
MODUS
Modus pada umumnya digunakan untuk menyatakan kejadian
yang sering muncul. Sehingga ukuran ini dalam keadaan tidak
disadari sering dipakai untuk menentukan rata-rata yang
berasal dari data kualitatif.
Modus untuk Data Tunggal
Untuk menentukan modus dari suatu data yaitu dengan cara
mencari frekuensi paling banyak.
Modus untuk data kelompok
Definisi :
Data nilai yang berbentuk
dapat dicari dengan rumus sbb :
Mo
distribusi frekuensi , modus
 L MO  c(
a
)
ab
Di mana :
LMo : batas bawah interval modus
a
: frek. kelas modus dikurangi frekuensi interval kelas
sebelumnya.
b
: frek. kelas modus dikurangi frekuensi interval berikutnya.
c
: panjang interval.
Contoh
Kelas Interval
35
45
55
65
75
85
95
-
44
54
64
74
84
94
104
fi
4
3
10
22
18
19
4
Dari tabel di atas kelas modusnya adalah interval keempat ,
dengan L M = 64,5
a= 22 - 10
= 12
;
b = 22 - 18 = 4 dan c = 10
Sehingga :
Mo
 L MO
a
 c(
)
ab
= 64,5 + 10 (12)/(12+4) = 64,5 + 7,5
= 72
Median
Definisi Median untuk data tunggal :
Jika suatu data yang telah diurutkan dari yang kecil
samapai terbesar dengan notasi X(1) , X(2) , X(3) , …
, X(n)
, maka
1. Untuk sampel berukuran ganjil
Mediannya adalah data paling tengah atau
Me = X((n + 1)/2) .
2. Untuk sampel berukuran genap.
Mediannya adalah rata-rata dari dua data tengah
atau
Me = ½ { X(n /2) + X((n/2)+1) } .
Diberikakan data nilai mahasiswa untuk mata kuliah statistika
matematika I sbb :
a) 45 55
70
65
b) 45
55
70
65
Tentukan mediannya.
75
75
40
40
75
75
50
Penyelesaian :
a. Data diurutkan telebih dahulu mulai dari yang terkecil sampai
terbesar
40
45
55
65
70
75
75
Jadi median untuk nilai statistika matematika I adalah 65.
b. Data diurutkan telebih dahulu mulai dari yang terkecil sampai
terbesar
40
45
50
55
65
70
75
75
Dua data ditengah
Sehingga mediannya adalah (55 + 65) / 2 = 60
Median untuk Data Kelompok
Definisi
Sedangkan untuk data yang disajikan dalam tabel frekuensi,
maka median dapat dicari sebagai berikut :
( n / 2)  F
Me  L me  c(
)
f
Di mana :
Lme : batas bawah kelas median
F
: jumlah frekuensi semua interval sebelum klas median.
c
: panjang interval
f
: frekuensi kelas median
CONTOH :
Kelas Interval
35
45
55
65
75
85
95
-
44
54
64
74
84
94
104
fi
4
3
10
22
18
19
4
Dari kelas median batas bawahnya adalah 74,5 ; panjang interfal : 10
f : frekuensi kelas median adalah 18 serta F = 4 + 3 + 10 + 22 = 39
Sehingga :
Me  L me
( n / 2)  F
 c(
)
f
= 74,5 + 10 ( 40 – 39 )/18
= 74,5 + 0,556 = 75,056
Kuantil (N – til)
Definisi :
Kuantil (N-til) merupakan sekumpulan data yang dibagi menjadi
(N-1) kelompok dan untuk menentukan letak data , terlebih
dahulu data diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar.
Sehingga :
untuk N = 4 disebut kuartil artinya setelah data dirutkan ,
kemudian dibagi dalam 3 kelompok ;
N = 10 disebut desil artinya setelah data diurutkan ,
kemudian dibagi dalam 9 kelompok
N = 100 disebut persentil artinya setelah data diurutkan ,
kemudian dibagi dalam 99 kelompok
Kuantil Untuk Data Tunggal
Definisi
Untuk menentukan letak data ke –i dari suatu kuantil digunakan
rumus :
Letak Ke i = data ke
Dengan :
I = letak ke i
n = banyak data
N = jenis kuantil
i(n  1)
N
Diberikan data sampel seperti berikut.
63 52 35
55
60
40
64 35 45
43
Tentukan :
Kuartil ke 1 (K1)
Kuartil ke 3 (K3)
45
70
30
Penyelesaian :
Data diurutkan terlebih dahulu :
30 35 35
40
43
45
45
52
55
63
70
berarti n = 12 dan N = 4
a) Kuartil ke – 1 adalah
Letak (K1)
= data ke (1(12+1)/4) = 3,25
Sehingga K1 = data ke- 3 + (1/4) (data ke-4 - data ke-3)
= 35 + (1/4)(40-35)
= 35 + (5/4) = 36,25
b) Kuartil ke – 3 adalah
Letak (K3)
= data ke (3(12+1)/4) = 9,75
Sehingga K3 = data ke- 9 + (3/4)(data ke-10 - data ke-9)
= 35 + (3/4)(60 – 55) = 58,75
60
Kuantil untuk Data yang Dikelompokkan
Definisi :
Untuk menentukan letak kuantil ke-i dari data yang
dikelompokkan digunakan rumus seperti berikut.
Kuantil ke- i =
L Ki
((i.n) / N)  F
 {
}c
f
Dengan :
Lki
N
F
f
= batas bawah kelas ke-i
= jenis kuantil
= jumlah frekuensi sebelum kelas ke-I
= frekuensi kelas ke-I
Ukuran Penyimpangan
Ukuran ini menunjukan adanya penyimpangan (sebaran/deviasi) tiap
observasi data terhadap suatu harga tengah.
Karena merupakan ukuran pusat , maka penyimpangan yang terjadi
pada masing-masing data terhadap rata-rata adalah
( x1  x )( x2  x ) ( xn  x )
Penyimpangan untuk Data Tunggal
Deviasi rata-rata
Definisi :
Deviasi rata-rata adalah harga rata-rata sebaran tiap observasi data terhadap
meannya.
Andaikan ada data nilai X 1, X 2 , … , X n dengan mean X , maka deviasi
rata-rata adalah
n
d.r

X
i 1
i
n
X
Definisi :
(1)
Variansi sampel dari sekumpulan n data : X 1, X 2 , … , X n
.adalah
n

S2
 (Xi  X)
2
i 1
n 1
(2) Deviasi standar (simpangan baku) dari sekumpulan n data : X
1, X 2 , … , X n
adalah
n
S.D =
S2

 (Xi  X)
i 1
n 1
2
Deviasi untuk Data Kelompok
Definisi :
Untuk sekumpulan n data : X 1, X 2 , … , X n yang
telah diubah dalam tabel distribusi frekuiensi , maka
(1) Deviasi rata-ratanya adalah
n
d.r

f
i 1
i
Xi  X
n
(2) Variansi
sampelnya adalah
n
S2
di mana
:
i
: 1 , 2 , 3, … , n
fi
: frekuensi
Xi
: data ke-i
X
: mean data sampel

2
f
(
Xi

X
)
 i
i 1
n 1
Theorema
n
S
2

 f i (Xi  X)
i 1
n 1
n
2

n
n  f i X i  ( f i X i ) 2
i 1
2
i 1
n (n  1)