Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Grafik

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Grafik
Menyesaikan persamaan ax2+bx+c=0. Berarti menentukan nilai-nilai x
bila f(x) = 0, dimana f(x) = ax2+bx+c. apabila grafik fungsi f(x) telah dilukis,
maka koordinat x titik-titik potong kurva dengan sumbu X adalah penyelesaian
(akar-akar) dari persamaan ax2+bx+c = 0.
Manfaat lain dari metode penyelesaian persamaan kuadrat dengan grafik
yaitu dengan menggunakan grafik fungsi f(x) = ax2 + bx + c untuk menyelesaikan
persamaan ax2 + bx + p = 0.
Contoh
1. Selesaikan persamaan x2 + 3x – 10 = 0 dengan menggunakan grafik y = x2
+ 3x – 10.
Jawab:
Lukislah grafik y = x2 + 3x – 10 dengan langkah-langkah sebagai berikut:

Karena domain tidak diketahui, mula-mula tentukan koordinat titik
balik kurva untuk menentukan domain yang sesuai:
y = x2 + 3x – 10.
y + 10 = x2 + 3x
3
9
y + 10 = (𝑥 + 2)2 − 4
𝑦+
49
3
= (𝑥 + )2
4
2
3
49
Koordinat titik balik (− 2 , − 4 )

3
Tentukan domain dimana 𝑥 = − 2 sebagai patokan y = x2 + 3x – 10
Domain
-6
-5
-4
-3
-2
8
0
-6
-10 -12
−1
(x)
y
−
1 -1
2
0
49 -12 -10
4
1
2
3
-6 0
8

Dari pasangan titik pada label di atas lukislah grafik y = x2 + 3x – 10

Dari keterangan gambar, grafik y = x2 + 3x – 10 memotong sumbu X
di titik A(-5, 0) dan B (2,0)
jadi,
(i)
akar-akar x2 + 3x – 10 = 0 ialah 𝑥1 = −5 dan 𝑥2 = 2.
(ii)
Himpunan penyelesaian x2 + 3x – 10 = 0 adalah (-5, 2)
2. Selesaikan persamaan x2 + 3x – 15 = 0 dengan menggunakan grafik 𝑦 =
𝑥 2 + 3𝑥 – 10.
Jawab:
x2 + 3x – 15 = 0
x2 + 3x – 10 – 5 = 0
atau
5 = x2 + 3x – 10
………..(1)
Sedangkan,
y = x2 + 3x – 10
………..(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh y = 5, artinya penyelesaian persamaan x2 + 3x –
15 = 0 ialah titik titik pada kurva dengan koordinat y = 5, yaitu P(2,66;5)
dan Q(-5,66;5)
Jadi, penyelesaian persamaan x2 + 3x – 15 = 0 ialah x = -5,66 dan x = 2,66.
Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Akar-akar persamaan kuadrat ax2 +bx + c = 0, berhubungan erat dengan
koefisien-koefisien a,b, dan c.
Rumus akar-akar persamaan kuadrat:
𝑥=
−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
Misalkan akar-akar persamaan tersebut adalah 𝑥1 dan 𝑥2 , maka:
𝑥1 =
−𝑏+√𝑏 2 −4𝑎𝑐
2𝑎
dan
𝑥2 =
−𝑏−√𝑏 2 −4𝑎𝑐
2𝑎
Sehingga jumlah akar-akar:
𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎
Dan hasil kali akar-akar:
𝑥1 𝑥2 =
𝑐
𝑎
Contoh
Jika 𝑥1 dan 𝑥2 akar-akar persamaan kuadrat 2x2 – 5x + 6 = 0.
Tentukan nilai
a. 𝑥12 + 𝑥22
b. (𝑥1 −𝑥2 )
c.
d.
1
𝑥1
𝑥1
𝑥2
2
1
+𝑥
2
𝑥2
+𝑥
1
e. (𝑥1 − 1)2 + (𝑥2 − 1)2
Jawab:
2x2 – 5x + 6 = 0; a =2; b = -5; c = 6.
Catatan:
Persamaan 2x2 – 5x + 6 = 0 tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan
metode penyelesaian persamaan kuadrat, karena diskriminasinya D<0. Namun
kita dapat menghitung hasil jumlah dan hasil kali akar-akarnya.
𝑏
𝑥1 + 𝑥2 = − 𝑎
=−
dan
(−5)
2
5
=2
a. 𝑥12 + 𝑥22 = (𝑥1 + 𝑥2 )2 − 2𝑥1 𝑥2
5 2
= ( ) − 2(3)
2
25
=
−6
4
1
=
4
b. (𝑥1 −𝑥2 )2 = 𝑥21 + 𝑥22 − 2𝑥1 𝑥2
1
− 2(3)
4
23
=−
4
=
1
𝑥1
+
1
𝑥2
=
𝑥2 −𝑥1
𝑥1 𝑥2
5
5
=2=
3 6
d.
𝑥1
𝑥2
+
𝑥2
𝑥1
=
6
=2
=3
Sehingga,
c.
𝑐
𝑥1 𝑥2 = 𝑎
𝑥12 +𝑥22
𝑥1 𝑥2
1
1
=4=
3 12
e. (𝑥1 − 1)2 + (𝑥2 − 1)2 = (𝑥12 − 2𝑥1 + 1)2 + (𝑥22 − 2𝑥2 + 1)2
= 𝑥12 + 𝑥22 − 2(𝑥1 + 𝑥2 ) + 2
1
5
− 2( ) + 2
4
2
1
= −3
4
11
=−
4
=
Diskrimasi dan Penggunaannya
Kita tahu bahwa akar-akar persamaan kuadrat ax2 +bx + c = 0, (𝑎 ≠ 0)
dapat diperoleh dengan rumus berikut.
𝑥1,2
−𝑏 + √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
=
2𝑎
Kedua akar itu adalah:
𝑥1 =
−𝑏 + √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥2 =
−𝑏 − √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Atau
Sifat dari kedua akar tersebut sangat dipengaruhi oleh b2 – 4ac yang disebut
diskriminan (D). Jika a, b, dan c adalah bilangan real, maka diskriminan 𝐷 =
𝑏 2 − 4𝑎𝑐 menunjukkan jenis akar persamaan kuadrat sebagai berikut.
1. Jika 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 0, kedua akarnya samadan real.
2. Jika 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 < 0, kedua akarnya imajiner.
3. Jika 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 > 0, kedua akarnya real yang berbeda.
Apabila, a, b dan c rasional, maka:
(a) Jika 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 adalah bilangan kuadrat, maka akar-akarnya rasional,
(b) Jika 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 bukan bilangan kuadrat, maka kedua akarnya irasional.
Contoh 1:
Tentukan sifat-sifat akar persamaan kuadrat berikut ini dengan memperhatikan
diskriminan.
a. x2 + 2x + 1 = 0
b. x2 + 5x + 7 = 0
c. 2x2 + x – 3 = 0
d. x2 + 5x + 4 = 0
e. 4x2 + 12x + 9 = 0
f. x2 – x – 1 = 0
jawab:
a. x2 + 2x + 1 = 0
𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = (−2)2 − 4 . 1 . 1 = 4 − 4 = 0
Jadi, 𝑥1 = 𝑥2 ⟺ akar-akar real dan sama.
Di uji dengan menggunakan rumus akar persamaan kuadrat:
𝑥=
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 −(−2) ± √0 2
=
= =1
2𝑎
2.1
2
Jadi, 𝑥1 = 1 atau 𝑥2 = 1
b. x2 + 5x + 7 = 0
𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 52 − 4 .1 .7 = 25 − 28 = −3
Karena D = -3 < 0, maka kedua akarnya imajiner.
c. 2x2 + x – 3 = 0
𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 12 − 4 .2 . (−3) = 1 + 24 = 25 = 52
Karena D = 52, maka keduanya beda dan rasional.
Kita uji dengan rumus:
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 −1 ± √25 −1 ± 5
=
=
2𝑎
2.1
2
−1 + 5 4
𝑥1 =
= =2
2
2
𝑥=
atau
𝑥2 =
−1 − 5 −6
=
= −3
2
2
Jadi, HP = {-3,2}  dua akar yang berbeda.
d. x2 + 5x + 4 = 0
𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 25 − 16 = 9 = 32
Jadi, kedua akar beda dan rasional.
e. 4x2 + 12x + 9 = 0
𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 144 − 144 = 0
Jadi, kedua akarnya sama dan real.
f. x2 – x – 1 = 0
D = 1 + 4 = 5.
Jadi, kedua akarnya irasional.
Contoh 2:
Jika persamaan (𝑚 + 2)𝑥 2 + 2(𝑚 − 2)𝑥 + 𝑚 = 0 mempunyai akar sama,
tentukan nilai m yang memenuhi.
Jawab:
(𝑚 + 2)𝑥 2 + 2(𝑚 − 2)𝑥 + 𝑚 = 0; 𝑎 = (𝑚 + 2); 𝑏 = 2(𝑚 − 2), 𝑑𝑎𝑛 𝑐 = 𝑚.
Syarat dua akar sama:
𝐷=0
𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 0
{2(𝑚 − 2)}2 − 4(𝑚 + 2)(𝑚) = 0
4𝑚2 − 16𝑚 + 16 − 4𝑚2 − 8𝑚 = 0
−24𝑚+= 0
24𝑚 = 16
16
3
Jadi, 𝑚 = 24 = 2
Menyusun Persamaan Kuadrat
Kita dapat membangun atau menyusun suatu persamaan kuadrat
jikadiketahui akar-akar persamaannya.
Kita juga telah mengetahui 𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎
𝑐
dan 𝑥1 𝑥2 = . Jumlah dan
𝑎
hasil kali akar-akar persamaan kuadrat sangat bermanfaat di dalam menyusun
suatu persamaan kuadrat.
ax2 +bx + c = 0, 𝑎 ≠ 0
𝑏
𝑐
𝑎 (𝑥 2 + 𝑥 + ) = 0 ⟺ 𝑎(𝑥 2 − (𝑥1 + 𝑥2 )𝑥 + 𝑥1 𝑥2 ) = 0
𝑎
𝑎
Berarti,
𝑏
𝑐
𝑥 2 + 𝑥 + = 0 ⟺ 𝑥 2 − (𝑥1 + 𝑥2 )𝑥 + 𝑥1 𝑥2 = 0
𝑎
𝑎
Sedangkan,
𝑥 2 − (𝑥1 + 𝑥2 )𝑥 + 𝑥1 𝑥2 = 0
⟺ (𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ) = 0
Dari uraian diatas kita dapat memperoleh hubungan berikut.
(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ) = 0 ⟺ 𝑥 2 − (𝑥1 + 𝑥2 )𝑥 + 𝑥1 𝑥2 = 0
Jadi, persamaan kuadrat dapat disusun dari perkalian faktor-faktornya dan
dapat juga disusun dari jumlah dan hasil kali akar-akarnya.
Contoh
Susunlah suatu persamaan kuadrat dengan menggunakan perkalian faktor jika
akar-akarnya diketahui:
a. 3 dan 8
b. -8 dan 5
3
c. − 2 𝑑𝑎𝑛
1
2
Jawab:
Misalkan akar-akar persamaan tersebut adalah 𝑥1 dan 𝑥2 , maka:
a. 𝑥1 = 3 dan 𝑥2 = 8
(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ) = 0 ⟺ (𝑥 − 3)(𝑥 − 8) = 0
Jadi persamaan kuadrat tersebut adalah x2 - 11x + 24 = 0
b. 𝑥1 = −8 dan 𝑥2 = 5
(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ) = 0 ⟺ (𝑥 − (−8))(𝑥 − 5) = 0
(𝑥 + 8)(𝑥 − 5) = 0
Jadi, persamaan kuadrat tersebut adalah x2 + 3x – 40 = 0
c. Cara I:
3
1
𝑥1 = − 2 dan 𝑥2 = 2
(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ) = 0
3
1
(𝑥 + ) (𝑥 − ) = 0
2
2
3
𝑥2 + 𝑥 − 4 = 0
| 4 |
Persamaannya 4x2 + 4x – 3 = 0
Cara II:
3
Akar-akarnya 𝑥 = − 2 atau 𝑥 =
⇔ 2𝑥 = −3 atau 2𝑥 = 1
⟺ 2𝑥 + 3 = 0 atau 2𝑥 − 1 = 0
(2𝑥 + 3)(2𝑥 − 1) = 0
Persamaannya, 4x2 + 4x – 3 = 0
1
2