UKURAN PENYEBARAN (VARIABILITAS)

UKURAN PENYEBARAN
(VARIABILITAS)
PENGUKURAN DISPERSI, KEMIRINGAN, DAN
KERUNCINGAN DATA
• DISPERSI DATA
Dispersi/ variasi/ keragaman data: ukuran penyebaran suatu
kelompok data terhadap pusat data.
• Ukuran Dispersi yang akan dipelajari:
Jangkauan (Range)
Simpangan rata – rata (mean deviation)
Variansi (variance)
Standar Deviasi (Standard Deviation)
Simpangan Kuartil (quartile deviation)
Koefisien variasi (coeficient of variation)
Dispersi multak
Dispersi relatif
RANGE/ JANGKAUAN DATA (r)
• Range: Selisih nilai maksimum dan nilai minimum
Rumus:
Range (r) = Nilai max – nilai min
• Range untuk kelompok data dalam bentuk distribusi
frekuensi diambil dari selisih antara nilai tengah kelas
maksimum – nilai tengah kelas minimum
Simpangan Rata2/ Mean Deviation (SR)
• Simpangan rata – rata: jumlah nilai mutlak dari selisih
semua nilai dengan nilai rata – rata, dibagi banyaknya
data.
• Rumus
• Untuk data tidak berkelompok
SR 
 X X
n
Dimana:
X = nilai data
X = rata – rata hitung
n = banyaknya data
• Untuk data berkelompok
SR 
( f X  X )
Dimana:
X = nilai data
X = rata – rata hitung
n = Σf = jumlah frekuensi
n
2
VARIANSI/ VARIANCE ( s )
• Variansi adalah rata – rata kuadrat selisih atau
kuadrat simpangan dari semua nilai data terhadap
rata – rata hitung.
2
s
2

= simbol untuk sample
= simbol untuk populasi
• Rumus untuk data tidak berkelompok
S 
2
 X  X 
2
n 1
• Untuk data berkelompok
S 
2
 f X  X 
n 1
2
STANDAR DEVIASI/ STANDARD DEVIATION
(S)
• Standar deviasi: akar pangkat dua dari variansi
• Rumus:
Untuk data tidak berkelompok
S 
2
 X  X 
2
n 1
Untuk data berkelompok
S 
2
 f X  X 
n 1
2
Contoh Soal
• Data tidak berkelompok
Diketahui sebuah data berikut:
20, 50, 30, 70, 80
Tentukanlah:
a. Range (r)
b. Simpangan Rata – rata (SR)
c. Variansi
d. Standar Deviasi
• Jawab:
a. Range (r) = nilai terbesar – nilai terkecil = 80 – 20 = 60
b. Simpangan Rata – rata (SR):
SR 
X
 X X
n
20  50  30  70  80
 50
5
n=5
SR 
20  50  50  50  30  50  70  50  80  50
5
30  0  20  20  30 100
SR 

 20
5
5
2
(
s
)
• Variansi
S 
2
 X  X 
2
n 1
2
2
2
2
2
(20

50)

(50

50)

(30

50)

(70

50)

(80

50)
S2 
5 1
S2 
900  0  400  400  900 2600

 650
4
4
• Standar Deviasi (S)
S S
2
S  650  25, 495
Contoh Soal
• Data Berkelompok
Diketahui data pada tabel dibawah ini:
Modal
Frekuensi
112 - 120
4
121 - 129
5
130 - 138
8
139 - 147
12
148 -156
5
157 -165
4
166 - 174
2
40
Tentukan:
a. Range (r)
b. Simpangan rata – rata (SR)
c. Variansi
d. Standar Deviasi
JAWAB
• Range (r)= (nilai tengah tertinggi – nilai tengah terendah)/2
• Simpangan rata – rata
SR 
( f X  X )
n
n = jml frekuensi
• Variansi
S 
2
 f X  X 
2
n 1
• Standar Deviasi
S 
2
 f X  X 
n 1
2
• Untuk memudahkan mencari jawaban, maka dibuat tabel
sesuai dengan keperluan jawaban
Modal
f
Nilai
Tengah
(X)
112 - 120
4
116
24,525
121 - 129
5
125
130 - 138
8
139 - 147
( X  X )2
f ( X  X )2
98,100
601,476
2405,902
15,525
77,625
241,026
1205,128
134
6,525
52,200
42,576
340,605
12
143
2,475
29,700
6,126
73,507
148 -156
5
152
11,475
57,375
131,676
658,378
157 -165
4
161
20,475
81,900
419,226
1676,902
166 - 174
2
170
29,475
58,950
868,776
1737,551
Jumlah
40
X X
f X X
455,850
8097,974
Maka dapat dijawab:
• Range (r) = 170 – 116 = 54
• Simpangan rata – rata
455,850
SR 
 11,396
40
• Variansi
8097,974 8097,974
S 

 207, 64
40  1
39
2
• Standar Deviasi
S  207, 64  14, 41
JANGKAUAN QUARTIL
DAN JANGKAUAN PERSENTIL 10-90
• Jangkauan kuartil disebut juga simpangan kuartil, rentang
semi antar kuartil, deviasi kuartil. Jangkauan persentil 10-90
disebut juga rentang persentil 10-90
• Jangkauan kuartil dan jangkauan persentil lebih baik daripada
jangkauan (range) yang memakai selisih antara nilai
maksimum dan nilai minimun suatu kelompok data
• Rumus:
Jangkauan Kuartil:
1
JK  (Q3  Q1 )
2
Ket:
JK: jangkauan kuartil
Q1: kuartil bawah/ pertama
Q3: kuartil atas/ ketiga
• Rumus Jangkauan Persentil
JP1090  P90  P10
• KOEFISIEN VARIASI/ DISPERSI RELATIF
 Untuk mengatasi dispersi data yang
sifatnya mutlak, seperti
simpangan baku, variansi, standar deviasi, jangkauan kuartil,dll
 Untuk membandingkan variasi antara nilai – nilai bersar dengan nilai
– nilai kecil.
 Untuk mengatasi jangkauan data yang lebih dari 2 kelompok data.
Rumus:
S
KV  *100%
X
Ket:
KV: Koefisien variasi
S : Standar deviasi
X : Rata – rata hitung
KOEFISIEN VARIASI KUARTIL
• Alternatif lain untuk dispersi relatif yang bisa digunakan jika
suatu kelompok data tidak diketahui nilai rata – rata hitungnya
dan nilai standar deviasinya.
• Rumus:
Q3  Q1
KVQ 
Q3  Q1
atau
(Q3  Q1 ) / 2
KVQ 
Med
NILAI BAKU
• Nilai baku atau skor baku adalah hasil transformasi antara nilai
rata – rata hitung dengan standar deviasi
• Rumus:
X1  X
Zi 
S
Nilai i = 1, 2, 3, …, n
Contoh Soal untuk Koefisien Variasi dan
Simpangan Baku
• Koefisien Variasi
Ada dua jenis bola lampu. Lampu jenis A secara rata – rata
mampu menyala selama 1500 jam dengan simpangan baku
(standar deviasi) S1 = 275 jam, sedangkan lampu jenis B
secara rata – rata dapat menyala selama 1.750 jam dengan
simpangan baku S2 = 300 jam. Lampu mana yang kualitasnya
paling baik?
Jawab:
S1
275
KV 
*100% 
*100%  18,3%
Lampu jenis A: 1 X 1
1500
Lampu jenis B: KV2  S2 *100%  300 *100%  17,1%
X2
1750
• Nilai rata – rata ujian akhir semester mata kuliah Statistika
dengan 45 mahasiswa adalah 78 dan simpangan baku/standar
deviasi (S) = 10. Sedangkan untuk mata kuliah Bahasa Inggris
di Kelas itu mempunyai nilai rata – rata 84 dan simpangan
bakunya (S) = 18. Bila dikelas itu, Desi mendapat nilai UAS
untuk kalkulus adalah 86 dan untuk bahasa Inggris adalah 92,
bagaimana posisi/ prestasi Desi di kelas itu?
• Jawab
• Untuk mengetahui posisi/ prestasi Desi, maka harus dicari
nilai baku (Z) dari kedua mata kuliah tersebut.
X X
Z
S
dengan nilai X adalah nilai UAS yang diperoleh Desi
• Untuk Mata Kuliah Statistika
X = 86
Maka:
X  78
S = 10
86  78
Z
 0,8
10
• Untuk Mata Kuliah Bahasa Inggris
X = 92
S = 18
X  84
Maka:
92  84
Z
 0, 4
18
Karena nilai baku (Z) untuk mata kuliah Statistika
lebih besar dari B. Inggris, maka posisi Desi lebih baik
pada mata kuliah Statistika dari pada B. Inggris
KEMIRINGAN DATA
• Kemiringan:
derajat/
ukuran
dari
ketidaksimetrian (asimetri) suatu distribusi
data
• 3 pola kemiringan distribusi data, sbb:
– Distribusi simetri (kemiringan 0)
– Distribusi miring ke kiri (kemiringan negatif)
– Distribusi miring ke kanan (kemiringan positif)
• Beberapa metoda yang bisa dipakai untuk
menghitung kemiringan data, yaitu:
– Rumus Pearson
– Rumus Momen
– Rumus Bowley
• Rumus Pearson (α)
X  Mod

S
atau
3( X  Med )

S
• Rumus tersebut dipakai untuk data tidak
berkelompok maupun data berkelompok.
– Bila α = 0 atau mendekati nol, maka dikatakan
distribusi data simetri.
– Bila α bertanda negatif, maka dikatakan distribusi
data miring ke kiri.
– Bila α bertanda positif, maka dikatakan distribusi
data miring ke kanan.
– Semakin besar α, maka distribusi data akan
semakin miring atau tidak simetri
RUMUS MOMEN ( 3 )
• Cara lain yang dipakai untuk menghitung
derajat kemiringan adalah rumus momen
derajat tiga, yaitu
• Untuk data tidak berkelompok:
3
(X  X )


3
3
nS
• Untuk data berkelompok
3 
3
(
f
(
X

X
)
)

3
f
S

• Khusus untuk data berkelompok dalam bentuk
tabel distribusi frekuensi , derajat kemiringan
α3 dapat dihitung dengan cara transformasi
sebabai berikut:
3
2


  fU
fU
fU
c 

3  3 
 3


 n
S  n
n



3
   fU
  2 
  n



3
– Jika α3 = 0, maka distribusi data simetri
– Jika α3 < 0, maka distribusi data miring ke kiri
– Jika α3 > 0, maka distribusi data miring ke kanan



– Untuk mencari nilai Standar
menggunakan variabel U:
2

n fU  ( fU ) 
2  
S c 

n(n  1)


– Variabel U = 0, ±1, ±2, ±3, dst.
• RUMUS BOWLEY
Q3  Q1  Q2

Q3  Q1
deviasi
(S)
KERUNCINGAN DISTRIBUSI DATA
• Keruncingan distribusi data adalah derajat
atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu
distribusi data terhadap distribusi normalnya.
• Keruncingan data disebut juga kurtosis, ada 3
jenis yaitu:
– Leptokurtis
– Mesokurtis
– Platikurtis
KERUNCINGAN DISTRIBUSI DATA
• Keruncingan distribusi data (α4) dihitung
dengan rumus:
• Data tidak berkelompok
4
(X  X )


nS
4
4
• Data Berkelompok
( f (X  X ) )


 f *S
4
4
4
• Khusus untuk transformasi
2
4
4
3
2

  fU    fU    fU    fU    fU  
c   fU
4  4 
 4

6

3








 








S  n
n  n   n  n   n  



4
• Keterangan
– α4 = 3, distribusi data mesokurtis
– α4 > 3, distribusi data leptokurtis
– α4 < 3, distribusi data platikurtis
• Selain cara di atas, untuk mencari keruncingan
data, dapat dicari dengan menggunakan
rumus:
1
(Q3  Q1 )
JK
K
2
P90  P10
P90  P10
K= Koefisien Kurtorsis Persentil
• Keterangan
– K = 0,263 maka keruncingan distribusi data mesokurtis
– K > 0,263 maka keruncingan distribusi data leptokurtis
– K < 0,263 maka keruncingan distribusi data platikurtis