dengan (¯β ⊗ ξ)

101
berderajat-k pada M 5 , didefinisikan β̄ ⊗ ξ ∈ Λk (M, g) dengan
(β̄ ⊗ ξ)(X1 , . . . , Xk ) := β̄(X1 , . . . , Xk )ξ
(4.34)
dengan X1 , . . . , Xk ∈ Tm M . Lebih lanjut, jika ada η ∈ g dan forma bernilai R
lain pada M , θ̄ maka dapat dibuktikan bahwa
[β̄ ⊗ ξ, θ̄ ⊗ η] = (β̄ ∧ θ̄) ⊗ [ξ, η]
(4.35)
dengan β̄ ∧ θ̄ adalah perkalian wedge yang memenuhi definisi (2.2.21).
Jika {ei |i = 1, . . . dim G} adalah basis bagin g, maka menurut defini
Pdim G k
(2.3.8) tentang konstan struktur nilai dari [ei , ej ] =
k=1 cij ek . Oleh karek
l
na itu, untuk ω̃ ∈ Λ (M, g) dan α̃ ∈ Λ (M, g) akan ada forma bernilai R yang
tunggal, yaitu ω̄ i dan ᾱj untuk i, j = 1, . . . , dim G sedemikian rupa sehingga
ω̃ =
dim
XG
i
ω̄ ⊗ ei
dan α̃ =
dim
XG
i=1
ᾱj ⊗ ej
j=1
Dengan menggunakan ini, dapat ditentukan [ω̃, α̃] ∈ Λk+l (M, g) pada persamaan
(4.33) dalam bentuk komponen aljabar Lie g, yaitu
dim
XG
i
ω̄ ⊗ ei ,
[ω̃, α̃] = [
i=1
=
dim
XG
dim
XG
ᾱj ⊗ ej ]
j=1
(ω̄ i ∧ ᾱj ) ⊗ [ei , ej ]
i,j=1
=
dim
XG
(ω̄ i ∧ ᾱj ) ⊗ ckij ek
(4.36)
i,j,k=1
Persamaan (4.36) dan sifat struktrur konstan pada definisi (2.3.8) akan mengimbas teorema berikut ini.
Teorema 4.3.1. Diberikan ω̃ ∈ Λk (M, g),α̃ ∈ Λl (M, g) dan ρ̃ ∈ Λm (M, g).
ω̃, α̃, ρ̃ memenuhi
1. [α̃, ω̃] = (−1)kl [ω̃, α̃] (Antisetangkup)
5
pada bab sebelumnya ditulis β saja, namun dibedakan di sini agar tidak rancu dengan
anggota aljabar Lie g
102
2. (−1)km [[ω̃, α̃], ρ̃] + (−1)ml [[ρ̃, ω̃], α̃] + (−1)lk [[α̃, ρ̃], ω̃] = 0 (identitas Jacobi)
Pembuktian teorema ini dapat di lihat di (Bleecker, 1981). Teorema
ini menunjukkan bahwa aljabar yang mengatur hubungan antarforma bernilaig pada keragaman M adalah aljabar Lie diperluas (Graded Lie Algebra).
Aljabar Lie diperluas ini berlaku pada ruang Λ(M, g) = g ⊕ Λ1 (M, g) ⊕ . . . =
∞
L
Λk (M, g).
k=0
Turunan eksterior d juga dapat diperluas penerapannya untuk aljabar
Lie diperluas melalui teorema berikut ini.
Teorema 4.3.2. Diberikan ω̃ ∈ Λk (M, g) dan α̃ ∈ Λl (M, g). Jika d adalah turunan eksterior diperluas untuk forma bernilai-g, maka untuk [ω̃, α̃] ∈
Λk+l (M, g) berlaku
d[ω̃, α̃] = [dω̃, α̃] + (−1)k [ω̃, dα̃]
(4.37)
Persamaan (4.37) senada dengan proposisi (2.2.1) poin 2.
4.3.2
Turunan Kovarian Eksterior
Cara lain memandang turunan kovarian (medan vektor) adalah sebagai
pemetaan yang bersifat eksterior. Diberikan untingan serat utama P (M, G)
dan dibangun untingan vektor sekawan ζ[V ] = (PV , M, πV , V ). Telah diketahui
pula, bahwa pada keragaman M dapat dibangun medan vektor X : M → T M .
Jika dibangun keragaman T ∗ M ⊗PV yang didefinisikan ∀T ∈ T ∗ M ⊗PV berlaku
T : T M → PV , tampang lintang ψ ∈ Γ(PV ), maka dapat dibangun pemetaan
∇ : Γ(PV ) → Γ(T ∗ M ⊗ PV ) : ψ 7→ ∇ψ
dengan nilai
∇ψ : M → T ∗ M ⊗ PV : m 7→ ∇ψ(m)(Xm ) = ∇X ψ(m)
(4.38)
Keragaman T ∗ M ⊗ PV tak lain beranggotakan forma-1 bernilai PV atau dapat
ditulis dalam bentuk Λ1 (M, PV ) sehingga pemetaan ∇ dapat ditulis kembali
menjadi
∇ : Λ0 (M, PV ) → Λ1 (M, PV )
103
dengan Λ0 (M, PV ) ≡ M .
Sejatinnya pemetaan ∇ ini mirip seperti turunan eksterior yang dibahas
pada bab 2 subbab (2.2.6) dan mengingat bahwa turunan kovarian bergantung
pada koneksi ω̃, maka pemetaan ∇ biasa ditulis
D ω̃ : Λk (M, PV ) → Λk+1 (M, PV ) : α 7→ D ω̃ α
yang memiliki nilai
k+1
X
j
D α(X1 , . . . , Xk+1 ) :=
(−1) ∇Xj α(X1 , . . . , X̂j , . . . , Xk+1 )
ω̃
j=1
+
X
(−1)i+j α(LXi Xj , X1 , . . . , X̂i , . . . , X̂j , . . . , Xk+1 )
(4.39)
i<j
dengan memperluas penerapannya pada forma-k pada M bernilai PV dan LXi Xj
= [Xi , Xj ]. Pemetaan D ω̃ biasa disebut sebagai turunan kovarian eksterior
(exterior covariant derivative).
Sejauh ini, penggambaran turunan kovarian eksterior dibangun pada ruanga basis M yang bernilai pada untingan sekawan PV . Namun pada kenyataannya, wakilan yang banyak digunakan adalah matriks yang merupakan anggota
aljabar Lie g sehingga harus ada cara untuk memindah konsep turunan eksterior
kovarian dalam wakilan g. Cara tersebut adalah menggunakan konsep pseudo
tensorial dan tensorial.
Definisi 4.3.2. Andaikan α̃ ∈ Λk (P, V ) adalah forma-k pada untingan serat
utama P bernilai anggota ruang vektor berdimensi berhingga V . Andaikan
r : G → GL(V ) adalah wakilan G pada V . α̃ dikatakan pseudo tensorial tipe
(r, V ) jika memenuhi
(R̃g )∗ α̃ = r(g −1 )α̃, ∀g ∈ G
Koneksi forma-1 ω̃ pada P bernilai g yang memenuhi persamaan (3.32) tidak lain adalah pseudo tensorial tipe (Ad, g). Sementara itu, forma α ∈ Λk (P, V )
dikatakan horizontal, jika memenuhi
α(X1 , . . . , Xk ) = 0
meskipun beberapa Xi , 1 ≤ i ≤ k vertikal.