perbandingan trigonometri pada segitiga siku
advertisement
UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI home MARI KITA BELAJAR TRIGONOMETRI !!! UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI HOME Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran ini siswa mampu: 1. Menghayati pola hidup disiplin, konsisten, kritis, dan bertanggungjawab. 2. menghayati ras apercaya diri, motivasi internal dan sikap peduli kepada lingkungan. 3. Memahami konsep perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku 4. Menemukan sifat-sifat dan hubungan antar perbandingan trigonometri dalam segitiga siku-siku. 5. Memahami dan menentukan hubungan perbandingan trigonometri dari sudut disetiap kuadran. 6. Memahami konsep fungsi trigonometri dan menganalisis grafik fungsinya serta menentukan hubungan nilai fungsi trignometri sudut-sudut istimewa. Pengalaman Belajar Melalui pembelajaran materi trigonometri, siswa memperoleh pengalaman belajar: 1. Menemukan konsep perbandingan trigonometri melalui pemecahan masalah otentik. 2. Berkolaborasi memcahkan masalah actual dengan pola interaksi social kultur. 3. Berpikir tingkat tinggi dalam menyelediki dan mengaplikasikan konsep trignometri dalam memecahkan masalah otentik. UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI MATERI MATERI PENGERTIAN TRIGONOMETRI UKURAN SUDUT PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU - SIKU NILAI PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT ISTIMEWA GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI APA ITU TRIGONOMETRI UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI MATERI PENGERTIAN TRIGONOMETRI TRIGONOMETRI Yunani Tri “Tiga” Gonomon “Sudut” Metria “Ukuran “ Sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI SEJARAH HOME Mesir kuno babilonia & Peradaban lembah Indus Matematikawan India Laghada Ahli matematika Yunani Hipparchus Ptolemy Silesia Bartholemaeus Pitiskus Al-Battani UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI SKETSA TRIGONOMETRI UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI HOME UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI SUDUT Dalam kajian geometris, sudut didefinisikan sebagai hasil rotasi dari sisi awal ke sisi akhir. Selain itu, arah putaran memiliki makna dalam sudut bertanda “positif” jika arah putarannya berlawanan dengan arah putaran jarum jam, dan bertanda “negative” jika arah putarannya searah dengan arah jarum jam. Arah putaran sudut juga dapat diperhatikan pada posisi sisi akhir terhadap sisi awal. Sudut bertanda positif Sudut bertanda negatif UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI UKURAN SUDUT Ukuran sudut Derajat “°” 1 ππ’π‘ππππ 360 1 ππ’π‘ππππ 4 Radian “Rad” 1 ππ’π‘ππππ 2 UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI 1 ππ’π‘ππππ Satu putaran penuh 2π rad UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI DERAJAT Derajat (secara lengkap, derajat busur), biasanya disimbolkan dengan °, adalah ukuran sudut yang dapat dibentuk pada sebuah bidang datar, menggambarkan 1οΌ360 dari sebuah putaran penuh. Artinya, besar 1 derajat adalah satu juring pada lingkaran yang dibagi menjadi 360 buah juring yang besarnya sama. Jika sudut tersebut dinyatakan terhadap sebuah meridian referensi, sudut tersebut menunjukkan sebuah lokasi pada sebuah lingkaran besar sebuah bola UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI RADIAN Satu radian diartikan sebagaiukuran sudut pusat α yang panjang busurnya sama dengan jarijari,Jika besar Jika besar <AOB = α, panjang AB = OA maka α = rad =1radian UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CONTOH MATERI 1 π πππ = β― ππ’π‘ππππ = β― ° 5 Penyelesaian 1 2 1 putaran = 360° = 2ππππ , jadi putaran = ππππ. 1 1 1 1 1 π πππ = × = ππ’π‘ππππ = × 360° = 36° 5 5 2 10 10 UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU- SIKU B P J Sinus merupakan perbandingan panjang sisi depan sudut dengan sisi miring. Cosinus merupakan panjang sisi disamping sudut dengan sisi miring. Tangen merupakan perbandingan panjang sisi di depan sudut dengan sisi di samping sudut. Cosecan merupakan perbandingan panjang sisi miring dengan sisi di depan sudut. Secan merupakan perbandingan panjang sisi miring dengan sisi di samping susdut. Cotangen merupakan perbandingan sisi di samping sudut dengan sisi di depan sudut. UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CONTOH MATERI Diberikan segitigasiku-siku ABC, siku-siku < π΄π΅πΆ. Jikapanjangsisi AB=3 satuan, BC=4 satuan. Tentukanlah sin A, cos A, dan tan A. Penyelesaian : Denganteoremaphytagorasdiperolehuntukpanjang AC=5 satuan. C πΆπ΅ 4 sin π΄ = = π΄π΅ 5 cos π΄ = 5 4 π΄π΅ 3 = π΄πΆ 5 π΅πΆ 4 tan π΄ = = π΄π΅ 3 A 3 UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI B NILAI PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT ISTIMEWA Di kuadran I : π₯ > 0, y>0 sinπΌ = + π¦ + π = +π cosπΌ = + π₯ + π = +π tanπΌ = + π¦ + π₯ = +π₯ π¦ sinπΌ = π₯ cosπΌ = π¦ Di kuadran III : π₯ > 0, y>0 sinπΌ = − π¦ + π₯ cosπΌ = − π¦ + π₯ tanπΌ = − π¦ − π₯ Di kuadran II : π₯ < 0, y>0 tanπΌ = + π¦ π¦ = + + π π − π₯ π₯ = − + π π + π¦ − π₯ π¦ = −π₯ Di kuadran IV : π₯ > 0, y<0 = π¦ −π₯ sinπΌ = − π¦ + π = −π π¦ = π¦ −π₯ cosπΌ = − π₯ + π = −π = π¦ +π₯ tanπΌ = − π¦ − π₯ = +π₯ π₯ UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI π¦ CONTOH 4 1. πππ ∅ = − 5 ,πberada di kuadran II, tentukannilai cosec πdancotanπ. Penyelesaian : Sudutπ yang terletak di kuadran II y menjadipenentutandanilaiperbandingantrigonometr i. 3 5 4 UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI 0 x Tabel lengkap Nilai perbandingan trigonometri pada kuadran I, II, III, dan IV 0° 30° 45° 60° sin 0 1 2 1 2 2 cos 1 1 3 2 1 2 2 tan 0 1 3 3 1 sudut 90° 120° 135° 1 3 2 1 1 3 2 1 2 2 1 2 0 − 3 Takterdefinisi 1 2 − 3 UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI − 150° 1 2 1 1 2 − 3 2 2 -1 − 1 3 3 180° 210° sin 0 1 − 2 cos -1 tan 0 sudut − 225° 1 1 − 2 − 3 2 2 1 1 3 − 2 2 2 1 3 3 240° 1 − 270° -1 300° 315° 330° 1 1 − 3− 2 2 2 1 2 0 1 2 1 2 2 3 Takterdefinisi − 3 -1 UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI − 1 2 1 3 2 − 1 3 3 360° 0 1 0 MATERI CONTOH Seorang anakinginmenentukanbesarsudutdarisebuahperbandingantrigo nometri. 1 Diberikankepadanyaperbandingansebagiberikut π πππΌ = . 2 TentukannilaiπΌ ! Penyelesaian : 1 sin πΌ = 2 πΌ= π ππ−1 1 2 πΌ = 30° UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI a. Grafik Fungsi y = sin x, x ∈ [0°, 360°]. UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI b. Grafik Fungsi y = cos x, x ∈ [0°,360°] Misalnya padapersamaan (cos π₯)2 −2. πππ π₯ = −1 . 2 Persamaan (cos π₯) −2. πππ π₯ = − 1 merupakanpersamaantrigonometriberbentukpersamaaankuadrat. Tentunya, untukpersamaankuadratkitamembutuhkanakarakarpersamaankuadrattersebut. Olehkarenaitudapatditulis : (cos π₯)2 −2. πππ π₯ + 1 = 0 ↔ (cos π₯ − 1)(cos π₯ − 1) = 0 Atau( cos π₯ − 1) 2 = 0 ↔ cos π₯ = 1 Nilai x memenuhipersamaancos x=1 adalahπ₯ = 0° dan x=360°. Nilaicos x =-1 berlakuuntuk x=180° dancos x=0 untuk x=90°dan x=270°. Akibatnya di dapat (0°,1),(90°,0),(180°,1),(270°,0)dan (360°,1) UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI HOME c. Grafik Fungsi y = tan x, x ∈ [0°,360°]. Dengancara yang sama, menggambarkangrafikfungsi y=sin x dan y=cosx, grafikfungsi y=tanx, untuk x ∈ [0 ° ,360 ° ] dapatdigambarkansebagaiberikut. Grafiktersebutberbedad engangrafik y=sinxdan y=cosx. Khususnyamengenainilai maksimumdan minimum fungsi. Perhatikannilaifunsidi saat x=90 ° dan x=270 ° darikanan,, nilai y=tan x menujutakterhingga, Sebaliknyauntuk x=90°dan x=270°darikiri, nilaai y=tanxmenuju negative takterhingga UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI HOME LATIHAN 1. Sudut yang dibentukjarum jam, saatpukul 11.55, samadenganberaparadian? 2. PadasegitigaXYZ dengansiku-siku di Y, cos Z= 20 tentukannilai tan x dan tan z. 40 3. Diketahuisin x + cos x = 3 dantan x= 1, tentukanlahnilai sin x dancosx! 1 4. Jikatan x= − 3danx tumpulberapakahnilaidaricos x? 3 5. Tentukan nilai θ jika tan θ= 0! 6. Misalkan diketahui titik-titik berikut ini A(–12,5) dan ∠XOA= α. Dan B(15,–8) dan ∠XOB = θ.Tentukanlah nilai sin αdan tan α, serta cos θdan tan θ! 7. Diketahuisuatusegitigasiku-siku, dengannilai sinus 3 salahsatusudutlancipnyaadalah . Tentukanlahnilai 2 cosinus, tangensuduttersebut. UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI Pembelajaran tdak di dapat dengan kebetulan Ia harus dicari dengan semangat Dan disimak dengan tekun Abigail Adams UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI