ÿþM icrosoft W ord - modullogika - Belajar Matematika

-1-
LOGIKA
PENDAHULUAN
Logika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari benar atau salahnya suatu pernyataan tetapi
tidak boleh keduanya (benar dan salah).
1. PERNYATAAN DAN INGKARAN (NEGASI)
1.1 PERNYATAAN
Pernyataan adalah suatu kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan
salah. Pernyataan biasanya dilambangkan dengan huruf kecil. Benar atau salahnya suatu pernyataan
disebut nilai kebenaran. Nilai kebenaran suatu pernyataan tergantung pada kebenaran atau
ketidakbenaran realitas yang dinyatakannya (kebenaran faktual). Pernyataan ada 2 macam, yaitu
pernyataan tunggal dan pernyataan majemuk. Pernyataan majemuk yaitu gabungan dari beberapa
pernyataan tunggal. Penggabungannya bisa menggunakan kata “dan”, “atau”, “jika …. maka …..”
atau “…..jika dan hanya jika …..”.
Contoh 1 : Di
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Jawab
bawah ini merupakan pernyataan atau bukan
2 merupakan bilangan prima
3 merupakan bilangan genap
Di mana rumahmu ?
Ambilkan buku itu !
x+3=5
(a  b) 2  a 2  2ab  b 2
: Yang merupakan pernyataan adalah a, b dan f karena sudah jelas benar atau salahnya.
Kalimat c merupakan kalimat tanya dan kalimat d merupakan kalimat perintah.
Kalimat e belum jelas benar atau salahnya tergantung harga x penggantinya. Kalimat seperti
itu disebut kalimat terbuka. Himpunan yang memuat semua penyelesaian yang mungkin
disebut himpunan penyelesaian.
1.2 INGKARAN (NEGASI) SUATU PERNYATAAN
Ingkaran suatu pernyataan p dilambangkan dengan ~p atau –p atau p , nilai kebenarannya selalu
berlawanan dengan nilai kebenaran pernyataan semula. Jika suatu pernyataan bernilai benar maka
ingkaran pernyataan itu bernilai salah dan sebaliknya. Kalimat pada ingkaran atau negasi suatu
pernyataan yaitu dengan menambahkan kata “tidak benar” atau “bukan” di tengah kalimat pada
pernyataan itu.
Jika dilambangkan dengan tabel kebenaran sebagai berikut :
p
~p
B
S
S
B
Contoh 2 : Tentukan ingkaran dan nilai kebenarannya dari pernyataan berikut :
a. p : Jakarta adalah ibukota Indonesia
b. q : 7 bukan bilangan prima
c. r : 2 + 3 = 6
Jawab : a. ~p : Tidak benar Jakarta ibukota Indonesia atau Jakarta bukan ibukota Indonesia. (S)
b. ~q : 7 bilangan prima (B)
c. ~r : Tidak benar 2 + 3 = 6 atau 2  3  6 (B)
Matematika kelas 10 semester 2
http://annotohariman.webs.com
-2-
LATIHAN SOAL
1. Mana yang merupakan pernyataan dan mana yang bukan pernyataan ?
a. Bandung ibukota Jawa Barat
b. Ambilkan buku itu !
c. 2 + 3 = 7
d. Kapan kamu pulang ?
2. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut :
a. 2 adalah bilangan prima genap
b. sin
30 = cos 60

c. Jumlah sudut bangun segilima adalah 720
d. Diagonal-diagonal pada bangun persegi saling berpotongan tidak tegak lurus
e. Persegi panjang adalah trapesium
f.
13 adalah rasional
3. Tentukan himpunan penyelesaiannya agar menjadi kalimat pernyataan yang benar !
a. 3n –5 = 7
b.
x2  2x  8  0
x2  1  0
c.
d. k bilangan prima kurang dari 30
e.
f.
x 2  y 2  25 dimana x dan y bilangan bulat
a  b  2 a 2  2ab  b 2
4. Tentukan ingkaran pernyataan-pernyataan berikut ini serta tentukan nilai kebenarannya !
a. 5 + 6 = 11
b. 2 + 4 > 5
c. Bogor kota hujan
d. Segitiga lancip adalah segitiga yang salah satu sudutnya kurang dari atau sama dengan
e. Jumlah sudut dalam suatu segitiga adalah
g. Ali beragama Islam
h.
2
90
360
625 adalah bukan bentuk akar
KONJUNGSI DAN DISJUNGSI
2.1 KONJUNGSI
Konjungsi merupakan pernyataan majemuk dengan menggunakan kata hubung “dan” , “walaupun”,
“meskipun” atau “tetapi”. Konjungsi dari pernyataan p dan q dilambangkan dengan “ p  q ”. Nilai
kebenaran suatu konjungsi p  q hanya akan benar jika nilai kebenaran p dan q keduanya benar.
Jika dinyatakan dengan tabel kebenaran sebagai berikut :
p
q
pq
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
S
Contoh 1 : Jika p : 5 merupakan faktor dari 100 dan q : 5 bilangan prima. Tentukan pernyataan majemuk
dari :
a. p  q
b. ~ p  q
c.
~ ( p  q)
Jawab : a. 5 merupakan faktor dari 100 dan 5 bilangan prima
b. 5 bukan merupakan faktor dari 100 dan 5 bilangan prima
c. Tidak benar bahwa 5 merupakan faktor dari 100 dan 5 bilangan prima
Matematika kelas 10 semester 2
http://annotohariman.webs.com
-3-
Contoh 2 : Tentukan nilai kebenaran dari konjungsi berikut ini :
a. 2 adalah bilangan genap dan prima
b. 9 adalah bilangan ganjil dan prima
c. Bandung adalah ibukota Jawa Timur dan Bogor kota dodol.
Jawab
: a. 2 adalah bilangan genap (B)
2 adalah bilangan prima (B)
Jadi 2 adalah bilangan genap dan prima (B)
b. 9 adalah bilangan ganjil (B)
9 adalah bilangan prima (S)
Jadi 9 adalah bilangan ganjil dan prima (S)
c. Bandung adalah ibukota Jawa Timur (S)
Bogor adalah kota dodol (S)
Jadi Bandung adalah ibukota Jawa Timur dan Bogor kota dodol (S)
Contoh 3
Jawab
: Tentukan x agar kalimat “ x + 2 = 5 dan 5 bilangan ganjil” merupakan pernyataan yang :
a.
benar
b. salah
: a. Karena 5 bilangan ganjil (B) maka x + 2 = 5 (B). Jadi x = 3
b. Karena 5 bilangan ganjil (B) maka x + 2 = 5 (S). Jadi x  3
2.2 DISJUNGSI
Disjungsi merupakan pernyataan majemuk dengan menggunakan kata hubung “atau”. Disjungsi dari
pernyataan p dan q dilambangkan dengan “ p  q ”. Nilai kebenaran suatu disjungsi p  q hanya
akan salah jika nilai kebenaran p dan q keduanya salah. Jika dinyatakan dengan tabel kebenaran
sebagai berikut :
p
q
pq
B
B
S
S
B
S
B
S
B
B
B
S
Contoh 1 : Tentukan nilai kebenaran pernyataan berikut :
a.
2 bilangan ganjil atau prima
b. Malaysia termasuk negara ASEAN atau kepala negaranya seorang presiden
c.
Gunung Bromo ada di Yogyakarta atau Candi Borobudur ada di Semarang.
Jawab
: a. B
b. B
c. S
Dalam kelistrikan, konjungsi dan disjungsi bisa disamakan dengan hubungan seri untuk
konjungsi dan hubungan paralel untuk disjungsi. Dimana benar dan salah diganti dengan hidup (ON)
dan mati (OFF).
Matematika kelas 10 semester 2
http://annotohariman.webs.com
-4-
LATIHAN SOAL
1. Diketahui pernyataan-pernyataan :
p : Hari ini hujan deras
q : Hari ini berangin kencang
Tentukan pernyataan majemuk yang dinyatakan dengan notasi berikut :
a. q  p
b. p  ~ q
c. ~ (~ p  ~ q )
2. Misalkan p : bunga mawar baunya harum
q : mawar berduri
Nyatakan kalimat-kalimat berikut dalam bentuk simbol :
a. Bunga mawar baunya harum tetapi berduri
b. Walaupun bunga mawar baunya harum tetapi tangkainya berduri
c. Tidak benar bahwa bunga mawar berbau harum dan berduri
d. Tidak benar bahwa mawar tidak berduri juga tidak berbau harum
3. Jika diketahui pernyataan-pernyataan :
k : 5 adalah bilangan prima
l : Indonesia adalah negara Asean
m : 7 adalah bilangan ganjil
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan yang dinyatakan oleh notasi berikut :
a. k  ~ l
b. ~ k  ~ m
c. ~ (~ k  l )
4. Untuk x  R, tentukan nilai x pada kalimat terbuka berikut ini agar pernyataan majemuk yang
dinyatakan dengan notasi p(x)  q di bawah ini benar !
a. p : 2x + 5 = 7
q : 25 adalah bilangan kuadrat
4x  8
3
2
7
q : 2 x4  2
c. p : 2x + 3  9
2
2
2
q : 6  4   6  4
b. p :
5. Misalkan pernyataan-pernyataa :
p : Budi pemain basket
q : Ani seorang peragawati
Tentukan pernyataan majemuk yang dinyatakan oleh notasi :
a. ~ p  q
b. ~ (~ p  ~ q )
6. Jika p : Putri gemar Matematika
q : Putri gemar Fisika
r : Dina gemar Kimia
Nyatakan dengan lambang !
a. Putri gemar Fisika tetapi Dina gemar Kimia
b. Putri gemar Matematika atau Fisika, tetapi Dina gemar Kimia
c. Dina gemar Kimia atau tidak benar bahwa Putri gemar Matematika atau tidak gemar Fisika
7. Jika diketahui pernyataan-pernyataan :

p : Sudut lancip adalah sudut yang besarnya 90
q : Candi Borobudur terletak di Jawa Tengah
r:9+3=7
Pernyataan majemuk manakah yang benar dari pernyataan di bawah ini :
Matematika kelas 10 semester 2
http://annotohariman.webs.com
-5-
p ~ q
a.
b. ~ p  ~ r
c. ~ q  ~ r
8. Untuk x  R , tentukan nilai x pada kalimat terbuka di bawah ini agar pernyataan yang dinyatakan
dengan notasi p ( x )  q benar !
a. p : x besar sudut pada segitiga sama sisi
q : 5 : 5 – 3= 7
sin 30  cos 60  0
2
q : x  36  0
b. p :
3
IMPLIKASI DAN BIIMPLIKASI
3.1 IMPLIKASI (KONDISIONAL)
Implikasi merupakan pernyataan majemuk dengan menggunakan kata hubung “Jika ….maka …..”.
Implikasi dari pernyataan p dan q dilambangkan dengan “ p  q ” atau “ p  q ”. p  q dibaca
“Jika p maka q”. Pada implikasi p  q , p disebut anteseden/hipotesa/sebab dan q disebut
konsekuen/konklusi/akibat. Nilai kebenaran suatu implikasi p  q hanya akan salah jika nilai
kebenaran p (B) dan nilai kebenaran q (S) Jika dinyatakan dengan tabel kebenaran sebagai berikut :
P
pq
Q
B
B
B
B
S
S
S
B
B
S
S
B
Dalam implikasi tidak diharuskan adanya hubungan antara pernyataan p dan q. Nilai kebenarannya
bergantung dari nilai kebenaran pernyataan tunggalnya.
Contoh 1: Jika p : Hari Minggu hari libur dan q : Dokter bertugas di Rumah Sakit. Nyatakan dengan
kalimat majemuk dari lambang berikut ini :
a.
pq
b. ~ p  q
c. ~ q  ~ p
Jawab : a. Jika hari Minggu hari libur maka dokter bertugas di Rumah Sakit
b. Jika hari minggu bukan hari libur maka dokter bertugas di Rumah Sakit
c. Jika dokter tidak bertugas di Rumah Sakit maka hari minggu bukan hari libur
Contoh 2 : Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut :
a. Jika 2 bilangan prima maka 3 bilangan ganjil
b. Jika 2 > 3 maka 4 > 5
c. Jika x = 2 maka x + 1 = 4
Jawab
: a. B
b. B
c. S
Contoh 3 : Tentukan x agar pernyataan “Jika x + 2 = 5 maka
salah.
Jawab
x 2  0 , untuk setiap nilai x  R ” bernilai
: Karena x  0 untuk setiap x  R bernilai salah, maka agar pernyataan itu menjadi salah,
maka
x + 2 = 5 harus benar. Sehingga x = 3.
2
Matematika kelas 10 semester 2
http://annotohariman.webs.com
-6-
p ( x)  q ( x) dikatakan implikasi logis jika himpunan penyelesaian dari p(x) atau P
merupakan himpunan bagian dari himpunan penyelesaian dari q(x) atau Q. Jadi P  Q.
Suatu implikasi
Contoh 4 : Suatu implikasi “Jika x = 2 maka
Jawab
x2  4
“ logis atau tidak ?
: Himpunan penyelesaian x = 2 adalah P = {2} dan himpunan penyelesaian dari
Q = {-2,2}. Karena
P  Q. maka implikasi tersebut logis.
Jadi p(x) implikasi logis q(x) jika dan hanya jika
pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar.
x 2  4 dalah
p ( x)  q ( x) suatu tautologi. Tautologi adalah
3.2 BIIMPLIKASI (BIKONDISIONAL)
Biimplikasi merupakan pernyataan majemuk dengan menggunakan kata hubung “….jika dan hanya
jika …..”. Biimplikasi dari pernyataan p dan q dilambangkan dengan “ p  q ” atau
“ p  q ”. p  q dibaca “p jika dan hanya jika q”. Atau bisa juga diartikan Jika p maka q dan jika
q maka p. Nilai kebenaran suatu biimplikasi p  q hanya akan salah jika nilai kebenaran p dan q
berbeda atau hanya akan benar jika nilai kebenaran p dan q sama. Jika dinyatakan dengan tabel
kebenaran sebagai berikut :
P
Q
pq
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
Dalam biimplikasi tidak diharuskan adanya hubungan antara pernyataan p dan q. Nilai kebenarannya
bergantung dari nilai kebenaran pernyataan tunggalnya.
Contoh 1 : Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut :
a. 2 > 3 jika dan hanya jika 5 > 4
b.
2
25  32 jika dan hanya jika log 32  5
Jawab : a. S
b. B
p(x) biimplikasi logis dengan q(x) jika himpunan penyelesaian p(x) atau P sama dengan himpunan
penyelesaian q(x) atau Q. Jadi P = Q.
Contoh 2 : Dari pernyataan di bawah ini, mana yang merupakan biimplikasi logis !
2
a. x = 2 jika dan hanya jika x  4
b.
Jawab : a.
logis.
b.
x 2  5 x  4  0 jika dan hanya jika 1  x  4 untuk x  Bulat
x = 2 maka P = {2} dan
x 2  4  x  2 atau Q={-2,2}. Karena P  Q maka tidak
x 2  5 x  4  0  ( x  1)( x  4)  0 atau 1  x  4 . Karena P = Q maka logis.
Jadi p(x) biimplikasi logis dengan q(x) jika bersifat tautologi.
Matematika kelas 10 semester 2
http://annotohariman.webs.com
-7-
LATIHAN SOAL
1. Tentukan nilai kebenaran p  q dari tiap-tiap pernyataan berikut ini jika p dan q diketahui.
a. p :  2   8
q : Indonesia adalah negara kepulauan
3
1
1
2
q : sin 2  0
b. p : -
2. Jika x adalah bilangan real, tentukan himpunan penyelesaian kalimat terbuka di bawah ini agar
menjadi pernyataan (implikasi) yang benar.
2
a. p(x) : x
q:8<2
x0
log x  3
2
2
q : 2 3  5
1

c. p : cos 30 
2
2
q : 4 log16  x  1
b. p(x) :
2
2
3. Dari implikasi di bawah ini, manakah yang merupakan implikasi yang logis ?
a. Jika x = 5, maka x  25
b. Jika x + 1 > 2, maka x > 1
2
x2  9
d. Jika x  5  x  7 , maka x = -1
1
1
e. Jika sin x  , maka x  
2
6
c.
Jika x > 3, maka
2
4. Tentukan nilai kebenaran biimplikasi berikut :
log 8  3 jika dan hanya jika 2  8
a.
b. 7 adalah bilangan ganjil jika dan hanya jika 7 tidak dapat dibagi 2
2
c.
3
cos x   cos  x   jika dan hanya jika sin x   sin  x  
5. Diketahui p(x) kalimat terbuka dengan peubah x dan q suatu pernyataan. Jika x merupakan anggota
bilangan real, tentukan himpunan p(x) agar p(x)  q bernilai seperti yang ditentukan di bawah ini :
a. p(x) : x faktor 8
q : 2(47+3)=150
p(x)  q bernilai benar
x2  6x  8  0
2
2
q: 3 4 5
p(x)  q bernilai salah
2
b. p(x) : log x  5
b. p(x) :
21
q : 4(-1) = -4
p(x)  q bernilai benar
6. Apakah biimplikasi berikut ini merupakan biimplikasi logis ?
a. 2x = 8  x = 4
b.
x 2  25  x = 5
Matematika kelas 10 semester 2
http://annotohariman.webs.com
-8-
1
1
3  cos x 
2
2
3
4
log 81  4  3  81
d.
c. sin x 
1
TABEL KEBENARAN
Cara menentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu
dengan membagi beberapa bagian (kolom). Nilai kebenarannya terletak pada kolom yang terdapat
operasi logika yang terakhir dan akan diberi tanda *. Banyaknya baris yang tersedia tergantung
n
banyaknya pernyataan yang ada dengan menggunakan rumus 2 dimana n adalah banyaknya
pernyataan tunggal yang menyusun pernyataan majemuk tersebut. Pernyataan yang pertama diisi
dengan setengah B dan setengah S. Pernyataan kedua diisi dengan seperempat B dan berselangseling dengan seperempat S dan seterusnya.
(( p  q )  ~ p ) ~ q
Contoh 1: Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan
Jawab : Karena ada 2 pernyataan yaitu p dan q maka terdapat
Tabel kebenarannya :
((p

q)

B
B
S
S
B
S
S
S
B
S
B
S
S
B
B
B
22 = 4 baris.
~p)

S
S
B
B
S
B
B
B
*
~q
S
B
S
B
Jadi nilai kebenarannya SBBB.
LATIHAN SOAL
Tentukan nilai kebenaran berikut ini dengan menggunakan tabel kebenaran !
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
~ pq
~ ( p  q)
p  (~ q  r )
 p  q  r
 p  q   ~ p ~ r 
~ pq
~ q  p   q  p 
 p ~ q  p
p  ~ (q  ~ r )  (~ p  r ) 
(~ p  q)  ( p  ~ q)
5. PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN
Dua pernyataan majemuk p dan q dikatakan ekuivalen dan ditulis p  q jika dan hanya jika p dan q
mempunyai nilai kebenaran yang sama. Untuk itu membuktikannya dengan menggunakan tabel
kebenaran.
Contoh 1: Tunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa
Matematika kelas 10 semester 2
( p  (q  r ))  (( p  q )  r )
http://annotohariman.webs.com
-9-
Jawab :
(p
B
B
B
B
S
S
S
S

B
S
B
B
B
B
B
B

(q
B
B
S
S
B
B
S
S
B
S
B
B
B
S
B
B

r))
B
S
B
S
B
S
B
S
((p
B
B
B
B
S
S
S
S

B
B
S
S
S
S
S
S
q)
B
B
S
S
B
B
S
S

B
S
B
B
B
B
B
B
r)
B
S
B
S
B
S
B
S
Karena nilai kebenaran ruas kiri dan kanan sama yaitu BSBBBBBB maka keduanya ekuivalen.
LATIHAN SOAL
1. Tunjukkan bahwa dua pernyataan di bawah ini ekuivalen !
a.
pq  q p
b.
p  q  r    p  q   r
e.
p  q  r   ~ r   p  q 
c. p  q  r    p  q    p  r 
d. ~ p  q  p  q
2. Tentukan ingkaran (negasi) pernyataan berikut ini.
a. Rina atlet lompat tinggi atau Rina penari balet
b. 2  8 dan 4  16
c. Jika Ani naik kelas, maka ia dibelikan sepeda
d. Jika tim tenis SMU Persada menang, maka pemainnya mendapat beasiswa atau bebas SPP
e. Jika 2 < 5 maka 22 < 52
3
2
6. KONVERS, INVERS DAN KONTRAPOSISI
Konvers, invers dan kontraposisi dari suatu implikasi mempunyai ketentuan sebagai berikut :
Jika suatu implikasi
p  q maka :
Konversnya : q  p
Inversnya : ~ p  ~ q
Kontraposisinya : ~ q  ~
p
Contoh 1 : Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari implikasi “Jika hari libur maka anak-anak tidak
masuk sekolah”
Jawab
: Konversnya : Jika anak-anak tidak masuk sekolah maka hari libur
Inversnya : Jika hari tidak libur maka anak-anak masuk sekolah
Kontraposisinya : Jika anak-anak masuk sekolah maka hari tidak libur
Jika kita buat tabel kebenaranya untuk melihat hubungan implikasi, konvers, invers dan kontraposisi
sebagai berikut :
Matematika kelas 10 semester 2
http://annotohariman.webs.com
-10-
p
q
~p
~q
pq
q p
~ p ~ q
~ q ~ p
B
B
S
S
B
S
B
S
S
S
B
B
S
B
S
B
B
S
B
B
B
B
S
B
B
B
S
B
B
S
B
B
Dari tabel di atas terlihat bahwa :
Implikasi ekuivalen dengan kontraposisi
Konvers ekuivalen dengan invers.
LATIHAN SOAL
1. Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari tiap pernyataan berikut ini :
a. Jika Sandra selesai bekerja, maka ia bermain tenis
b. Jika Ali kuliah di ITB, maka ia kuliah di Bandung
c. Jika segitiga ABC sama sisi, maka A  B
d. Jika ABCD persegipanjang, maka AB = CD
e. Jika
22  (2) 2 , maka 2 = -2
2. Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan berikut ini dan tentukan nilai
kebenarannya !
a. Jika x = 5, maka
x 2  25
2
b. Jika x bilangan asli, maka x bilangan asli
c. Jika segiempat ABCD trapesium, maka AB sejajar CD
d. Jika diskriminan persamaan kuadrat kurang dari nol, maka persamaan tersebut tidak mempunyai
akar real
e. Jika x merupakan sudut pada segitiga sama sisi, maka x =
60
7. PENARIKAN KESIMPULAN
Pada umumnya penarikan kesimpulan suatu argumen tersusun atas beberapa pernyataan tunggal
atau majemuk yang saling terkait dan telah diketahui nilai kebenarannya. Kemudian diturunkan suatu
pernyataan tunggal atau pernyataan majemuk sebagai kesimpulannya. Himpunan pernyataan tunggal
atau majemuk yang diketahui disebut Premis. Pernyataan tunggal atau majemuk yang diturunkan dari
premis-premis disebut Konklusi (kesimpulan). Kesatuan antara premis-premis dan konklusi disebut
Argumen.
Suatu argumen dikatakan sah (valid) jika argumen itu bersifat tautologi (selalu benar) untuk semua
nilai kebenaran premis-premisnya. Cara membuktikan sah atau tidaknya suatu argumen yaitu dengan
tabel kebenaran. Gabungan beberapa premis dengan menggunakan konjungsi (dan) dan hubungan
antara premis dan konklusi dengan menggunakan implikasi.
Contoh 1 : sah atau tidak argumen di bawah ini :
Jika tidak ada awan maka akan turun hujan
Langit ada awan
Jadi, tidak turun hujan
Jawab
: Misal p : tidak ada awan
q : akan turun hujan
Jadi argumen di atas bisa ditulis sebagai berikut :
pq
~p
 ~q
Matematika kelas 10 semester 2
http://annotohariman.webs.com
-11-
Sehingga kita harus membuktikan bahwa
Tabel kebenarannya :
( p  q) ~ p )  ~ q
tautologi (BBBB)
(*)
(p

q)

~p)

~q
B
B
S
S
B
S
B
B
B
S
B
S
S
S
B
B
S
S
B
B
B
B
S
B
S
B
S
B
Karena kolom (*) tidak tautologi (BBSB) maka argumen di atas tidak sah.
Beberapa bentuk argumen yang sudah sah (valid) diantaranya :
1. Modus Ponnens
Bentuk argumennya :
Premis 1 : p 
Premis 2 : p
Konklusi
q
(Benar)
(Benar)
: q
(Benar)
Contoh : Premis 1 : Jika x < 2 maka x + 3 < 5 (B)
Premis 2 : 1 < 2
(B)
Konklusi : 1+3 < 5
2. Modus Tollens
Bentuk argumennya :
Premis 1 : p 
Premis 2 : ~q
Konklusi
q
: ~p
(B)
(Benar)
(Benar)
(Benar)
Contoh : Premis 1 : Jika seseorang sudah berumur 17 tahun maka ia boleh mempunyai KTP (B)
Premis 2 : Ali belum mempunyai KTP (B)
Konklusi : Ali belum berumur 17 tahun (B)
3. Silogisma
Bentuk argumennya :
Premis 1 : p  q (Benar)
Premis 2 : q  r (Benar)
Konklusi :
p  r (Benar)
Contoh : Premis 1 : Jika rajin belajar maka ia naik kelas (B)
Premis 2 : Jika naik kelas maka ia dibelikan sepeda (B)
Konklusi : Jika rajin belajar maka ia dibelikan sepeda (B)
4. Silogisma Disjungtif
Premis 1 : p  q
(Benar)
Premis 2 : ~q
(Benar)
Konklusi : p
(Benar)
Contoh : Premis 1 : Andi latihan bulu tangkis hari Senin atau Kamis (B)
Premis 2 : Andi tidak latihan di hari Kamis (B)
Konklusi : Andi latihan di hari Senin (B)
Matematika kelas 10 semester 2
http://annotohariman.webs.com
-12-
LATIHAN SOAL
1. Tunjukkan bahwa pernyataan berikut ini merupakan tautologi !
a.  p  q   p   q
b.  p  q  ~ q   p
c. ~ p ~ q   q  p 
d .  p ~ q   ~ q ~ p
e. ~  p  q   ~ p  ~ q 
2. Tentukan argumen mana yang sah dari tiap argumen berikut ini :
a. Jika a + b = 0 maka a = 0 dan b = 0
a  0 atau b  0
Jadi, a + b  0
b. Jika saya belajar maka saya tahu banyak hal
Jika saya tahu banyak hal maka saya menjadi siswa teladan
Jadi, saya menjadi siswa teladan jika saya belajar
c. Semua pencuri adalah penjahat
Semua koruptor adalah penjahat
Jadi, semua koruptor adalah pencuri
d. Jika hari hujan, maka jalanan banjir
Jika saluran PAM rusak, maka jalanan tidak banjir
Jadi, hari tidak hujan
e. Anjing adalah hewan yang setia
Anjing adalah binatang buas
Jadi, anjing adalah binatang buas yang setia
Matematika kelas 10 semester 2
http://annotohariman.webs.com