The Forced Oscillator - Behaviour

The Forced Oscillator
Behaviour, Displacement, Velocity and Frequency
Apriadi S. Adam M.Sc
Jurusan Fisika
Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga
Yogyakarta
Update 5 November 2013
A.S. Adam (UIN SUKA)
The Forced Oscillator
Update 5 November 2013
1 / 41
Overview
1
Vector form of Ohm’s Law
2
The Impedance of a Mechanical Circuit
3
Behaviour of a Forced Oscillator
4
Behaviour of Velocity in Magnitude and Phase versus Driving Force
5
Behaviour of Displacement versus Driving Force
6
Power Supplied to Oscillator by the Driving Force
7
Variation of Pav with ω. Absorption Resonance Curve
8
The Q-Value in Terms of the Resonance Absorption Bandwidth
9
The Q-Value as an Amplification Factor
A.S. Adam (UIN SUKA)
The Forced Oscillator
Update 5 November 2013
2 / 41
Vector form of Ohm’s Law
The Forced Oscillator in Circuit
Hukum Ohm menyatakan hubungan antara V = IR, dimana V adalah
tegangan yang melewati hambatan (resistor) R dan I adalah arus yang
mengalir. Relasi tersebut membentuk kondisi dimana tegangan dan arus
selalu dalam fase. Keduanya akan mengikuti bentuk kurva sin(ωt + φ)
atau cos(ωt + φ) dan nilai φ akan selalu sama untuk arus dan tegangan.
Namun, keberadaan salah satu atau keduanya dari dua komponen listrik
yang lain, induktansi L dan kapasistansi C, akan memasukkan sebuah
fase berbeda antara tegangan dan arus, dan Hukum Ohm dalam bentuk
vektor dapat dituliskan
V = IZe
dimana Ze disebut impedansi, menggantikan resistor, dan merupakan
vektor jumlahan dari resistansi efektif dari R, L dan C dalam rangkaian.
A.S. Adam (UIN SUKA)
The Forced Oscillator
Update 5 November 2013
4 / 41
Vector form of Ohm’s Law
Ketika tegangan bolak balik Va dengan frekuensi ω melewati sebuah
resistor, induktor, dan kondensor, maka kesetimbangan tegangan dapat
dituliskan sebagai berikut
Va = L
dI
q
+ RI +
dt
C
(1)
dan arus yang melalui rangkaian adalah I = I0 eiωt .
Tegangan yang melalui induktansi
dI
d(I0 eiωt )
VL = L = L
= iωLI
dt
dt
A.S. Adam (UIN SUKA)
The Forced Oscillator
(2)
Update 5 November 2013
5 / 41
Vector form of Ohm’s Law
Tapi ωL, berdimensi Ohm, maka nilai efektif resistansi digambarkan
oleh sebuah induktansi L terhadap sebuah arus berfrekuensi ω, sehingga
hasil ωLI berdimensi tegangan (volt).
Informasi yang didapatkan adalah bahwa fase tegangan yang melewati
induktansi adalah 90◦ didepan arus yang melewati rangkaian.
Dengan cara yang sama, tegangan yang melewati kondensor (kapasitor)
adalah
Z
Z
q
1
1
iI
VC = =
Idt = I0 eiωt dt = −
(3)
C
C
C
ωC
1/ωC diukur dalam Ohm, yaitu nilai efektif resistansi yang digambarkan
oleh kondensor terhadapa arus yang berfrekuensi ω.
Tegangan I/ωC melewati kondensor didahului oleh −i dan oleh karena
itu terlambat dari arus dengan fase sebesar 90◦ .
A.S. Adam (UIN SUKA)
The Forced Oscillator
Update 5 November 2013
6 / 41
Vector form of Ohm’s Law
Sedangkan arus dan tegangan yang melewati resistor se-fase atau
ωL = 1/ωC.
Kuantitas ωL dan 1/ωC disebut reaktansi dan tanda kurung
(ωL − 1/ωC) sering dituliskan Xe .
Hukum Ohm dapat dituliskan V = IZe = I[R + i(ωL − 1/ωC)] dengan
Ze = R + i(ωL − 1/ωC) dan besarnya impedansi
2 #1/2
1
Ze = R2 + ωL −
ωC
"
A.S. Adam (UIN SUKA)
The Forced Oscillator
(4)
Update 5 November 2013
7 / 41
Vector form of Ohm’s Law
Vektor Ze boleh dinyatakan dalam besar dan fasenya yaitu
Ze = Ze eiφ = Ze (cos φ + i sin φ)
sehingga
cos φ =
R
,
Ze
sin φ =
Xe
Ze
dan
Xe
R
dimana φ adalah beda fase antara total tegangan yang melintasi
rangkaian dan arus yang yang melewati rangkaian.
Nilai dari φ bisa positif atau negatif, bergantung pada nilai relatif ωL dan
1/ωC: Ketika ωL > 1/ωC, φ positif, tapi frekuensinya bergantung dari
komponen-komponennya, yang menunjukkan bahwa φ dapat berubah
tanda dan ukuran.
Besar Ze juga bergantung frekuensi dan mempunyai nilai minimum
Ze = R ketika ωL = 1/ωC.
tan φ =
A.S. Adam (UIN SUKA)
The Forced Oscillator
Update 5 November 2013
8 / 41
Vector form of Ohm’s Law
Dalam bentuk vektor Hukum Ohm, jika V = V0 eiωt dan Ze = Z0 eiφ ,
maka kita punya
V0 eiωt
V0 i(ωt−φ)
I=
=
e
(5)
Z0 eiωt
Z0
dengan amplitudo arus V0 /Z0 yang lebih lambat dari tegangan dengan
sudut fase φ.
A.S. Adam (UIN SUKA)
The Forced Oscillator
Update 5 November 2013
9 / 41
The Impedance of a Mechanical Circuit
The Impedance of a Mechanical Circuit
Impedansi mekanis didefinisikan sebagai gaya yang diperlukan untuk
menghasilkan kecepatan dalam osilator, yaitu Zm = F/v atau F = vZm .
Impedansi mekanis dituliskan sebagai
k
Zm = b + i ωm −
= b + iXm
ω
(6)
dimana Zm = Zm eiφ dan tan φ = Xm /b. φ merupakan beda fase antara
kecepatan dan gaya.
Besar Zm = [b2 + (ωm − k/ω)2 ]1/2 .
Massa berkelakuan seperti induktansi, menghasilkan positif reaktansi
mekanis sedangkan konstanta pegas berkelakuan seperti kapasistansi.
A.S. Adam (UIN SUKA)
The Forced Oscillator
Update 5 November 2013
11 / 41
Behaviour of a Forced Oscillator
Behaviour of a Forced Oscillator
Tinjau osilator mekanis (sistem pegas massa) bermassa m, konstanta
pegas k dan koefisien redaman b yang digerakkan oleh gaya F0 cos ωt,
dengan F0 amplitudo gaya. Ini analog dengan rangkaian RLC ketika
diterapkan tagangan bolak-balik V0 dalam rangkaian.
Persamaan gerak mekanis yaitu kesetimbangan gaya, sebagai berikut
mẍ + bẋ + kx = F0 cos ωt
(7)
dan persamaan tegangan dalam kasus listrik
q
Lq̈ + Rq̇ + = V0 cos ωt
C
A.S. Adam (UIN SUKA)
The Forced Oscillator
(8)
Update 5 November 2013
13 / 41
Behaviour of a Forced Oscillator
Solusinya terdiri atas dua bentuk yaitu
(1) Transient, bentuk yang lenyap seiring bertambahnya waktu, seperti yang
didiskusikan pada bab sebelumnya, persamaan mẍ + bẋ + kx = 0
memiliki solusi
2
2
x = Ce−bt/2m ei(k/m−b /4m )t
(9)
(2) Steady state, menggambarkan kelakuan dari osilator setelah bentuk
transient lenyap.
Kedua bentuk tersebut berkontribusi terhadap solusi awal, tapi untuk
sekarang kita fokuskan pada steady state. Untuk memulainya, kita
tuliskan kembali persamaan gaya dalam bentuk vektor dan bentuk cos ωt
digantikan dengan eωt ,
mẍ + bẋ + kx = F0 eωt
(10)
Solusi vektor x akan memberikan besar dan fase berkenaan dengan gaya
penggerak F0 eωt . Awalnya kita coba solusi x = Aeωt , dimana A bisa
kompleks, sehingga aoluai tersebut bisa jadi memiliki
komponen-komponen didalam dan diluar fase karena gaya penggerak.
Kecepatan dan percepatannya adalah
ẋ =Theiωx
, Oscillator
ẍ = −ω 2 x
Forced
A.S. Adam (UIN SUKA)
Update 5 November 2013
(11)
14 / 41
Behaviour of a Forced Oscillator
Persamaan (10) menjadi
−Aω 2 m + iωAb + Ak eωt = F0 eωt
(12)
yang mana benar untuk semua t ketika
A=
F0
iωb + (k − ω 2 m)
atau
A=
−iF0
ωZm
(13)
Sementara
−iF0 ei(ωt−φ)
x=
ωZm
(14)
dimana Zm = [b2 + (ωm − k/ω)2 ]1/2 .
A.S. Adam (UIN SUKA)
The Forced Oscillator
Update 5 November 2013
15 / 41
Behaviour of a Forced Oscillator
Bentuk vektor perilaku steady state ini, memberikan tiga informasi dan
secara lengkap mendefinisikan besar posisi x dan fasenya, yang sesuai
dengan gaya penggerak setelah bentuk transient lenyap. Informasi itu
adalah
1
2
3
Bahwa perbedaan fase φ ada, antara x dan gaya, oleh karena bagian reaktif
(ωm − k/ω) impedansi mekanis.
Bahwa sebuah tambahan perbedaan yang diperkenalkan oleh faktor −i
dan bahkan jika φ nol, posisi x akan ketinggalan dari F0 cos ωt dengan
sudut 90◦ .
Bahwa maksimum amplitudo dari posisi x adalah F0 /ωZm . Bisa dicek
bahwa secara dimensi, ini benar, karena kecepatan x/t mempunyai
dimensi F0 /Zm .
Digunakan F0 eiωt untuk menyatakan bagian riil F0 cos ωt sehingga bisa
diperoleh nilai sebenarnya dari x.
A.S. Adam (UIN SUKA)
iF0 ei(ωt−φ)
x=−
ωZm
iF0
[cos(ωt − φ) + i sin(ωt − φ)]
=−
ωZm
F0
iF0
(15)
=−
cos(ωt − φ) +
sin(ωt − φ)
16 / 41
Update 5 November 2013
ωZm The Forced Oscillator ωZm
{z
} |
{z
}
|
F0 cos ωt
F0 sin ωt
Behaviour of a Forced Oscillator
Kedua solusi ini memenuhi syarat bahwa beda fase total antara posisi dan
gaya adalah φ ditambah suku −π/2yang diperkenalkan oleh faktor −i.
Ketika φ = 0, posisi x = (F0 /ωZm ) sin ωt tertinggal dari gaya F0 cos ωt
dengan sudut persis 90◦ .
Kecepatan ayunan paksa dalam steady state dapat dituliskan
v = ẋ =
F0 i(ωt−φ)
e
Zm
(16)
Dari sini kita dapat mengetahui dua hal yaitu
1
2
Karena didepan tidak mengandung i, maka kecepatan dan gaya berbeda
fasenya hanya oleh φ, dan ketika φ = 0 kecepatan dan gaya sefase.
Amplitudo kecepatan adalah F0 /Zm , yang mana kita harapakan dari
definisi diawal tentang impedansi mekanis yaitu Zm = F/v.
Bagian riil dari vektor kecepatan adalah
v=
A.S. Adam (UIN SUKA)
F0
cos(ωt − φ)
Zm
The Forced Oscillator
Update 5 November 2013
17 / 41
Behaviour of a Forced Oscillator
Jadi kecepatan selalu eksak 90◦ didepan dari posisi dalam fase dan
berbeda dari gaya hanya oleh sudut fase φ, dimana
tan φ =
ωm − k/ω
Xm
=
b
b
sehingga gaya F0 cos ωt memberikan posisi dan kecepatan
x=
F0
sin (ωt − φ) ,
ωZm
A.S. Adam (UIN SUKA)
v=
F0
cos(ωt − φ)
Zm
The Forced Oscillator
Update 5 November 2013
18 / 41
Behaviour of Velocity in Magnitude and Phase versus Driving Force
Velocity in Magnitude and Phase versus Driving Force
Amplitudo kecepatan yaitu
F0
F0
= 2
Zm
[b + (ωm − k/ω)2 ]1/2
sehingga besarnya kecepatan akan bervariasi dengan frekeunsinya ω
karena ωZm juga bergantung pada frekuensi.
A.S. Adam (UIN SUKA)
The Forced Oscillator
Update 5 November 2013
20 / 41
Behaviour of Velocity in Magnitude and Phase versus Driving Force
Pada frekuensi rendah, suku −k/ω adalah suku paling besar dalam Zm
dan impeddansi dikatakan stiffness controlled. Pada frekuensi yang
tinggi, ωm merupakan suku yang dominan dan impedansi dikatakan
mass controlled.
Pada frekuensi ω0 dimana ω0 m = kω0 , impednasi memiliki nilai
minimumnya Zm = b dan merupakan besaran riil dengan reaktansi nol.
Kecepatan F0 /Zm kemudian meiliki nilai maksimum v = F0 /b, dan ω0
dikatakan sebagai frekuensi kecepatan resonansi. Catatan bahwa
tan φ = 0 pada ω0 , kecepatan dan gaya sefase.
Ketika ωm > k/ω, φ positif, kecepatan v akan tertinggal dari gaya
karena −φ tampak dalam bentuk kosinus. Ketika gaya penggerak
berfrekuensi ω sangat tinggi dan ω → ∞, maka φ → 90◦ dan kecepatan
tertinggal dari gaya karena jumlah.
Ketika ωm < k/ω, φ negatif, kecepatan v didepan dari gaya dalam
fasenya, dan pada frekuensi penggerak yang rendah seperti ω → ∞
maka suku k/ω → ∞ dan φ → -90◦ .
Pada frekuensi ω0 , ω0 m = kω0 dan φ = 0, sehingga kecepatan dan gaya
sefase.
A.S. Adam (UIN SUKA)
The Forced Oscillator
Update 5 November 2013
21 / 41
Update 5 November 2013
22 / 41
Behaviour of Velocity in Magnitude and Phase versus Driving Force
A.S. Adam (UIN SUKA)
The Forced Oscillator
Behaviour of Displacement versus Driving Force
Behaviour of Displacement versus Driving Force Frequency
ω
Fase posisi
F0
sin (ωt − φ)
ωZm
pada waktu kapanpun, eksak 90◦ dibelakang dari kecepatan. Sementara
grafik φ versus ω tetap sama, beda fase total antara posisi dan gaya, yaitu
menyangkut perlambatan tambahan 90◦ yang diperkenalkan oleh
operator −i.
Pada frekuensi rendah, dimana φ = −π/2 radian dan kecepatan didepan
dari gaya, posisi dan gaya sefase, seperti apa yang diharapkan.
Pada frekuensi tinggi, posisi tertinggal dari gaya oleh π radian dan secara
eksak keluar dari fase, sehingga gambar kurva menunjukkan sudut fase
antara posisi dan gaya ekuivalen dengan kurva φ versus ω, digeser
sebesar π/2 radian.
Amplitudo dari posisi x = F0 /ωZm , dan pada frekuensi rendah
Zm = [b2 + (ωm − k/ω)]1/2 , sehingga x ≈ F0 /k. Pada frekuensi tinggi
A.S. Adam (UIN SUKA)
The Forced
Update 5 November 2013
2 m, Oscillator
Zm → ωm, sehingga x ≈ F0 /ω
yang mana cenderung
menuju nol 24 / 41
seperti ω yang menjadi sangat besar. Pada frekuensi tinggi, kemudian,
Behaviour of Displacement versus Driving Force
amplitudo
posisi hampir nol oleh karena massa terkontrol atau efek dari
inersial.
x=
Kecepatan resonnasi terjadi ketika ω02 = k/m, dimana Zm dari kecepatan
amplitudo minimum, tetapi posisi resonansi akan terjadi, saat
x = (F0 /ωZm ) sin(ωt − φ), ketika pembagi ωZm minimum. Ini terjadi
ketika
d
d
(ωZm ) =
ω[b2 + (ωm − k/ω)]1/2 = 0
dω
dω 2ω b2 + 2m(ω 2 m − k) = 0
Solusinya
ω=0
A.S. Adam (UIN SUKA)
atau
2
ω =
The Forced Oscillator
ω02
b2
−
2m2
Update 5 November 2013
25 / 41
Behaviour of Displacement versus Driving Force
Posisi resonansi terjadi ketika frekuensi sedikit lebih kecil dari ω0 ,
frekuensi kecepatan resonansi. Untuk b yang kecil atau massa m besar,
terdapat dua resonansi, terjadi ketika frekuensinya ω0 .
Frekuensi posisi resonansi diberikan oleh
ωr =
k
b2
−
m 2m2
1/2
dan posisi maksimum adalah
xmax =
F0
ωr Zm
Nilai ωr Zm (dengan mudah dapat ditunjukkan) sama dengan ω 0 b dimana
k
b2
b2
2
ω = −
= ω0 −
m 4m2
4m2
02
A.S. Adam (UIN SUKA)
The Forced Oscillator
Update 5 November 2013
26 / 41
Update 5 November 2013
27 / 41
Behaviour of Displacement versus Driving Force
Sehingga nilai dari posisi resonansi x adalah
xmax =
F0
ω0b
dimana
ω0 =
A.S. Adam (UIN SUKA)
b2
2
ω0 −
4m2
The Forced Oscillator
1/2
Behaviour of Displacement versus Driving Force
A.S. Adam (UIN SUKA)
The Forced Oscillator
Update 5 November 2013
28 / 41
Power Supplied to Oscillator by the Driving Force
Power Supplied to Oscillator by the Driving Force
Berkaitan dengan sistem osilasi untuk kasus steady state dengan, gaya
penggerak harus digantikan dengan energi yang hilang dalam setiap kali
vibrasi karena adanya faktor redaman.
Dalam kasus steady state, amplitudo dan fase osilator penggerak teratur
sesuai dengan amplitudo dan fase mereka, sehingga rerata daya yang
disediakan oleh gaya penggerak sama dengan yang terdisipasi oleh gaya
hambat/gesek.
Daya yang tersedia adalah hasil kali gaya penggerak dengan kecepatan
pada saat/waktu itu, yakni
F02
P=
cos ωt cos(ωt − φ)
Zm
(17)
Rerata daya
Pav =
A.S. Adam (UIN SUKA)
Usaha total per getaran
periode osilasi
The Forced Oscillator
(18)
Update 5 November 2013
30 / 41
Power Supplied to Oscillator by the Driving Force
Bukti:
T
Z
Pav =
0
Pdt
T
Z T
F02
=
Zm T
cos ωt cos(ωt − φ) cos ωt cos(ωt − φ)
0
F02
cos φ
=
2Zm
(19)
Daya yang disediakan oleh gaya penggerak tidak tersimpan dalam
sistem, akan tetapi terdisipasi sebagai usaha dalam sistem yang bergerak,
yaitu gaya hambat/gesek bẋ.
Laju kerja yang dilakukan oleh gaya hambat adalah
F02
bẋẋ = bẋ = b 2 cos2 (ωt − φ)
Zm
2
A.S. Adam (UIN SUKA)
The Forced Oscillator
Update 5 November 2013
31 / 41
Power Supplied to Oscillator by the Driving Force
Rerata nilai ini dalam jangka waktu satu periode osilasi
F02
1 bF02
=
cos φ
2 Zm2
2Zm
untuk
b
= cos φ
Zm
Ini membuktikan bahwa pernyataan diawal bahwa daya yang tersedia
sama dengan daya yang terdisipasi!
Dalam rangkaian listrik, daya diberikan oleh VI cos φ, dimana V dan I
adalah nilai akar perata kuadrat instan dari tegangan dan cos φ sebagai
faktor daya.
V02
V2
VI cos φ =
cos φ =
cos φ
Ze
2Ze
karena
A.S. Adam (UIN SUKA)
V0
V=√
2
The Forced Oscillator
Update 5 November 2013
32 / 41
Variation of Pav with ω. Absorption Resonance Curve
Variation of Pav with ω
Rerata daya yang tersedia Pav maksimum ketika cos φ = 1, yaitu, ketika
φ = 0 dan ωm − k/ω = 0 atau ω02 = k/m.
Gaya dan kecepatan sefase dan Zm memiliki nilai minimumnya b, maka
Pav (max) = F02 /2b.
A.S. Adam (UIN SUKA)
The Forced Oscillator
Update 5 November 2013
34 / 41
Variation of Pav with ω. Absorption Resonance Curve
Seperti halnya kurva posisi versus ω, kurva ini juga mengukur respon
dari osilator; ketajaman dari puncaknya pada resonansi adalah juga
ditentukan oleh nilai dari konstanta redaman b, yang mana merupakan
satu-satunya bentuk yang tetap dalam Zm pada frekuensi resonansi ω0 .
Puncak maksimum terjadi pada frekuensi kecepatan resonansi ketika
daya yang diserap oleh sistem dari gaya penggerak maksimum; yang
diketahui sebagai kurva penyerapan osilator.
A.S. Adam (UIN SUKA)
The Forced Oscillator
Update 5 November 2013
35 / 41
The Q-Value in Terms of the Resonance Absorption Bandwidth
The Q-Value in Terms of the Resonance Absorption
Bandwidth
Ketajaman resonansi didefinisikan dengan rasio
Q=
ω0
ω0
=
ω2 − ω1
∆ω
dimana ω1 dan ω2 adalah frekuensi yang dipilih ketika daya yang tersedia
1
Pav = Pav (maksimum)
2
Perbedaan frekuensi ∆ω = ω2 − ω1 disebut sebagai lebar-pita
(bandwidth) resonansi.
Sekarang
1
1
Pav = bF02 /2Zm2 = Pav (maksimum) = F02 /2b
2
2
ketika Zm2 = 2b2 , yakni ketika
b2 + Xm2 = 2b2 The atau
Xm = ωm − k/ωUpdate
= ±b
Forced Oscillator
5 November 2013
A.S. Adam (UIN SUKA)
37 / 41
The Q-Value in Terms of the Resonance Absorption Bandwidth
Jika ω2 > ω1 , maka
ω2 m − k/ω2 = +b
ω1 m − k/ω1 = −b
Dengan mengeliminasi k antara kedua persamaan diatas memberikan
ω2 − ω1 = b/m
sehingga
Q = ω0 m/b
dan ω1 = ω0 − b/2m danω2 = ω0 + b/2m.
Faktor kualitas sebuah rangkaian listrik diberikan oleh
Q=
ω0 L
R
dimana ω02 = (LC)−1
Untuk nilai Q yang tinggi, dimana konstanta redaman b kecil, frekuensi
ω 0 dalam definisi Q = ω 0 m/b bergerak sangat dekat terhadap frekuensi
ω0 dan dua definisi Q menjadi ekuivalen.
A.S. Adam (UIN SUKA)
The Forced Oscillator
Update 5 November 2013
38 / 41
The Q-Value as an Amplification Factor
The Q-Value as an Amplification Factor
Kembali pada posisi pada resonansi
Amaks
F0
= 0
ωb
k
b2
dimana ω = −
m 4m2
02
Pada frekuensi rendah (ω → 0) posisi memiliki nilai A0 = F0 /k,
sehingga
Amaks 2
Q2
=
A0
[1 − 1/4Q2 ]
Untuk Q yang besar
Amaks
≈Q
A0
A.S. Adam (UIN SUKA)
The Forced Oscillator
Update 5 November 2013
40 / 41
Update 5 November 2013
41 / 41
The Q-Value as an Amplification Factor
A.S. Adam (UIN SUKA)
The Forced Oscillator