hitung integral

BAB 14
HITUNG INTEGRAL
1.Integral tak tentu (tanpa batas)
a. Rumus-rumus
1)  x n dx 
1 n 1
x  c, n  1
n 1
2)  a.x n dx 
3)  adx  ax  c
a n 1
x  c, n  1
n 1
1
x
4)  x 1dx   dx  ln x  c
b. Sifat-sifat Integral
1)  k. f ( x)dx  k. f ( x)dx
2)  ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g ( x)dx
Contoh :
7
2
1.  (7 x  5)dx  x 2  5 x  c
1
5
4
3
2.  x2 ( x  2)2 dx   x2 ( x2  4 x  4)dx =  ( x 4  4 x3 )  4 x 2 dx  x5  x 4  x3  c
1
3
3.  x xdx   x.x 2 dx   x 2 dx 
1
x
3
1
2
3
1
2
c 
2 52
x c
5
A. Pemakaian Integral tak tentu
Contoh :
Diketahui f(x) = 4x + 1 dan F(2) = 17 ; Tentukan fungsi F
f(x) = 4x + 1
F ( x)   f ( x)dx   (4 x  1)dx  2 x 2  x  c
F(2)=17  2(2)2  2  c  17
10  c  17  c  7 Jadi F(x)= 2 x2  x  7
b. Menentukan persamaan kurva y=f(x) jika diketahui
dy
dan sebuah titik pada kurva.
dx
Contoh :
Gradien garis singgung dari y=f(x0 disetiap titik (x,y) adalah 2x – 4 dan grafik dari y = f(x)
melalui titik ( 1 , 5 ). Tentukan persamaan dari fungsi tersebut.
Gradien garis singgung dari y = f(x) disetiap titik (x,y) adalah 2x – 4 , berarti
dy
 2 x  4 atau dy  (2 x  4)dx
dx
didapat bahwa y = f(x) =  dy   (2 x  4)dx = x2  4 x  C
grafik melalui titik (1,5) maka 5  12  4(1)  C  C  8
Jadi fungsi tersebut adalah y  x2  4 x  8
Matematika SMA
73
c. Penerapan pada Fisika

Jika diketahui persamaan kecepatan yang merupakanfungsi dari waktu (v(t)), maka
persamaan jaraknya (s) diperoleh dengan : v 

ds
 s   vdt
dt
Jika diketahui persamaan percepatan merupakan fugsi waktu (a(t)) maka persamaan
kecepatannya (v(t)) diperoeh dengan : a 
dv
 v   a dt
dt
Contoh :
Sebuah partikel bergerak sepanjang s meter setelah t detikdan v adalah kecepatan partikel
pada t detik. Jika v = 3 – t dan s = 0 untuk t = 4. Tentukan panjang lintasan partikel itu.
v
ds
1
 s   vdt   (3  t )dt  3t  t 2  c
dt
2
1
2
s = 0 untuk t = 4  0  3.4  .42  c
1
2
Jadi , s   t 2  3t  4
c=-4
II. Integral Tertentu
Contoh :
4
Hitung integral tertentu

xdx
0
4
2 32 4
x
3 0
  xdx 
0
2
2 3
2
1
 (4 2  0 3 )  (8  0)  5
3
3
3
b
Jika diperhatikan bentuk
b
 f ( x)dx  F ( x) a = F(b) – F(a)
a
a
= - F(a) – F(b) =   f ( x)dx
b
a
Untuk
 f ( x)dx  F (a)  F (a)  0
a
Sifat-sifat :
b
b
b
a
a
a
1.  [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx
a
a
b
b
2.  kf ( x)dx  k  f ( x)dx , k=konstanta
b
3.

a
c
b
a
c
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx, dengan a<c<b
Matematika SMA
74
b
4.  dx  b  a
a
Luas sebagai limit suatu jumlah
Secara umum Penggunaan integral sebagai berikut:
1. Menentukan luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x0 dan sumbu X
a. Diatas sumbu X
y=f(x)
b
L   f ( x)dx
a
a
b. Dibawah sumbu X
a
b
b
y=f(x)
b
a
a
b
L    f ( x)dx atau L=  f ( x )dx
c. Luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x) dan y = g(x) ; pada interval x = a dan x =
b
y2  g ( x)
y1  f ( x)
y1  f ( x)
a
b
L
b
b
(y
1
a
 y2 )dx atau L=  { f ( x)  g ( x)}dx
a
Contoh :
Luas daerah dibatasi oleh parabola y  x2 dan y  4  x 2 adalah …
A. 8 2
B.
16 2
3
C. 4 2
D.
8 2
3
E.
2
Jawab :
Titik potong kedua parabola
Cara cerdik :
x2  4  x2  2 x2  4
L
x2  2  x   2
x2  4  x  2 x2  4
Matematika SMA
D D
; D  b 2  4ac
2
6a
75
2
L

 2
(4  2 x 2 )dx   4 x  23 x3 
2
D = 32  L 
 2
32 32 16

2
6.22
3
 8 2  83 2  163 2
Untuk bentuk :
(p,q)
4
L  . p.q
3
2. Volume benda putar yang terjadi jika daerah dibatasi : y = f(x) , sumbu X , x = a dan
x=b
yang diputar mengelilingi sumbu X atau sumbu Y
(i) Diputar mengelilingi sumbu X
X
b
V    y 2 dx
a
b
   ( f ( x)) 2 dx
b
a
a
(ii)
Diputar mengelilingi sumbu Y
b
d
V    x 2 dy
c
d
   ( g ( y ))2 dy
a
c
3. Volume benda putar yang terjadi jika yang dibatasi oleh kurva y1  f ( x) dan y2  g ( x)
diputar mengelilingi sumbu X atau sumbu Y
(i)
Diputar mengelilingi sumbu X
y1  f ( x)
y2  g ( x)
X
b
V  b  ( y1  y2 )dx
V    {(af ( x))2  ( g ( x)2 }dx
2
2
a
y
(ii)
Diputar mengelilingi sumbu Y
x1  f ( y)
d
x2  g ( y)
V    ( x1  x2 )dy
2
2
c
d
=   (( f ( y)) 2  ( g ( y)) 2 dy
c
Matematika SMA
76
Contoh :
X
y   x 2  3 diputar 360 o mengelilingi
Tentukan volume benda putar jika
sumbu X
Cara cerdik : V 
 .D. D
30. a
3
V 
 .92. 9
30. 1
3

81

10
III. Aturan Rantai untuk mencari Turunan Fungsi
Ingat kembali rumus Deferensial fungsi
1. f ( x)  axn  f '( x)  anx n1
5. f ( x)  sin x  f '( x)  cos x
2. f ( x)  u( x).v( x)  f '( x)  u '( x)v( x)  u( x)V '( x)
6. f ( x)  cos x  f '( x)   sin x
3. f ( x) 
u ( x)
u '( x)v( x)  u ( x)v '( x)
 f '( x) 
v( x)
(v( x))2
7. f ( x)  tan x  f '( x) 
1
cos2 x
4. f ( x)  u( x)  v( x)  f '( x)  u '( x)  v '( x)
Untuk mencari turunan/deferensial untuk fungsi yang lebih rumit (majemuk) tetapi dapat
dipandang sebagai hasil dari komposisi beberapa fungsi digunakan aturan rantai turunan
fungsi.
1. Jika F(x)=(fog)(x) dengan f(x) dan g(x) fungsi-fungsi yang dapat diturunkan , berlaku
F'(x)=f'(g(x)).g'(x)
2. Jika F(x)= (fogoho….), berlaku F'(x)=f'(h(h…..)).g'(h(..)).h'(…).
3. a. dalam notasi Leibniz:
Jika y = F(x)=fog)(x) dengan v = g(x); berlaku :
b. y = F(x) = (fogoho…), maka : y ' 
dy dy dv
 .
dx dv dx
dy dy dv dw
...
 . . ......
( Dalil Rantai)
dx dv dw ...
dx
Pengertian fungsi komposisi ( majemuk ).
a
A
F(a
)
B
g(f(a))
C
Jika fungsi f : A  B dan g : B  C maka fungsi F: A  C yang melalui dua fungsi f dan g
dapat dinyatakan sebagai fungsi komposisi F : a  ( g  f )(a)  g ( f (a))
Contoh : f ( x)  3x2  2 dan g ( x)  cos x maka :
F  g  f : x  ( g  f )( x)  g ( f ( x))  g (3x 2  2)  cos(3x 2  2)
Matematika SMA
77
Contoh :
Tentukan F'(x) jika diketahui F(x) = ((2 x  3) 

1 3
)
2x  3
1 3
1
) maka f ( x)  x3 , g ( x)  x  , dan
2x  3
x
Jika F(x) = f(g(h(x))) = ((2 x  3) 
h( x)  2 x  3
Sehingga F'(x) = f'(g(h(x))).g'(h(x)).h'(x)
= 3((2 x  3) 
1 2
1
) .(1 
.(2)
2x  3
(2 x  3)2 ).
= 6((2 x  3) 
1 2
1
) .(1 
2x  3
(2 x  3)2 )
Catatan :
Dalil rantai sering digunakan untuk menentukan nilai stasioner suatu fungsi.
Nilai stasioner y = F(x) dicari dengan memperhatikan hal-hal sebagai berikut:
F(a) adalah nilai balik maksimum jika F'(a) = 0 dan F''(a) < 0
F(a) adalah nilai balik minimum jika F'(a) = 0 dan F''(a) > 0
F(a) adalah nilai balik horizontal jika F'(a) = 0 dan F''(a) = 0, dan F''(a)  0
Contoh :
Tentukan nilai stasioner dari f ( x)  (2 x  1)3  3 (2 x  1) dan sifatnya.
3
1
 f ( x)  (2 x  1) 2  3(2 x  1) 2
1
1
1
1


3(2 x  1)  3
3
1
f '( x)  (2 x  1) 2 .2  3. (2 x  1) 2 .2 = 3(2 x  1) 2  3(2 x  1) 2 =
1
2
2
(2 x  1) 2

1
2
1
1
2

1
f" (x) = 3. (2 x  1) 2 .2  3( )(2 x  1) 2 .2
= 3(2 x  1)  3(2x  1)
1
2

1
2
Syarat stasioner f'(x) = 0
Jadi ,
3(2 x  2)
 0  2x  2  0
(2 x  1)
 x 1
Untuk x =1 maka :
F(1) = -2
F"(x) = 6 (positip)
Jadi , f(1) = -2 adalah nilai balik minimum
Matematika SMA
78
IV. Integral Fungsi Trigonometri
Rumus Integral Trigonometri
1.  sin xdx   cos x  c
1
 sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  c
2.  cos xdx  sin x  c
4.  cos ec2 xdx   cot anx  c
1
 cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  c
2
3.  sec2 xdx  tan x  c
5.  tan x sec xdx  sec x  c
1
 sec (ax  b)dx  a tan(ax  b)  c
2
1
 cos ec (ax  b)dx   a cot(ax  b)  c
6.  cot x cos ecxdx   cos ecx  c
Contoh :
 sin
3
x.cos xdx 
A. 14 sin 4 x  c B. 12 sin 4 x  c
C.  14 cos2 x  c
D. 13 sin x  c E.  13 sin 4 x  c
Jawab :
 sin
3
x.cos xdx   cos x(sin x)3 dx 
 sin
Misal : y = sin x
dy
dx
Cara cerdik :
 cos x  dx  cosdyx
3
x.cos xdx  sin 3 xd (sin x)
1
4
sin 4 x  c
  cos x( y)3 cosdyx
  y3dy  14 y 4  c  14 sin 4 x  c
V. Integral Substtitusi dan Integral parsial.
a. Integral Substitusi
a.  x n dx 
1 n 1
x c
n 1
 u du  n  1 u
1
n 1
 (ax  b)
dx 
1
(ax  b)n 1  c, n  1
a(n  1)
n
n
 c dengan u=f(x),n  -1
b.  cos xdx  sin x  c
 cos udu  sin u  c dengan u  f ( x)
v
1
c.
 v.u dx  u ' . n  1 u
d.
 v sin udx   u ' cos u  c
n
n 1
 c , u = f(x)
v
v
 v cos udx  u ' ( f ( x))
Matematika SMA
n
d ( f ( x))
79
=
1
( f ( x))n 1  c
n 1
Contoh :
dx
Tentukan
dx
2x  5

2x  5

1
2
du
u
1
2
 ……misal u = 2x + 5 
du
 2 du = 2 dx 
dx
1
du
2
dx =
1
c
1 1
1
  u 2 du  .2.u 2
2
2
1
= u 2  c  2x  5  c
Catatan : Ciri suatu integral substitusi adalah jika integral tersebut merupakan integral hasil
kali dua fungsi yang satu merupakan kelipatan/turunan dari fungsi yang lain.
Contoh :
 2x (4x
2
A.
1
2
3
 1)3 dx 
(4 x3  1)4  c B. 18 (4 x3  1)2  c C. 14 (4 x3  1)3  c D.
1
16
(4 x  1)5  c E.
1
24
(4 x3  1)4  c
Jawab :
Misal : y  4 x3  1
Cara cerdik :
dy
dy
 12 x 2  dx 
dx
12 x 2
 af
 2 x (4 x
2
=
3
 1)3 dx   2 x 2 ( y)3
1 3
1 4
y dy 
y c

6
24
dy
12 x 2
Hasil =
n
a
f n1 , syarat n  1
f '( x)(n  1)
( x)dx 
a  2 x2 , f ( x)  4 x3  1, n  3
1
(4 x3  1)4  c
24
2x2
(4 x3  1) 4  c
2
12 x (3  1)
1
 (4 x3  1) 4  c
24
 af
1
( x) 
a
ln f ( x)  c
f '( x)
b. Integral Substitusi Trigonometri.
Suatu integral yang variabelnya memuat bentuk
a 2  x2 , a 2  x2 atau
x2  a2 diselesaikan
dengan merasionalkan dengan menggunakan substitusi variable trigonometri.
FUNGSI INTEGRAN
SUBSTITUSI DENGAN
HASIL SUBSTITUSI
a2  x2
x = a sin t
a 1  sin 2 t  a cos t
a2  x2
x = a tan t
a 1  tg 2t  a sec t
x2  a2
x = a sec t
a sec2 t  1  a tan t
Matematika SMA
80
Contoh :

16  x 2 
Misal x = 4 sin t  x2  16sin 2 t
16  x2  16  16sin 2 t  16(1  sin 2 t )  4 cos 2 t  4cos t
Jadi
x  4sin t  dx  4cos tdt

1 1
16  x 2  4cos t.4cos tdt  16 cos 2 tdt  16 (  cos 2t )dt  8 dt  8 cos 2tdt
2 2
= 8t  8 cos 2t
d (2t )
 8t  4sin 2t  c  8t  8sin t cos t  c
2
c. Integral Parsial
Jika dalam mengintegralkan dengan substitusi tidak membuahkan hasil maka digunakanlah
integral ganda/bagian demi bagian atau integral Parsial.
Dengan memisalkan bahwa u = f(x) dan v = g(x)
Didapat du = f'(x) dx dan dv = g'(x) dx
Sehingga didapat rumus integral Parsial :
Atau :
 udv  uv   vdu.
 f ( x) g '( x)d '( x)  f ( x) g ( x)   g ( x). f '( x)dx
Jika f(x) mempunyai turunan ke-n=0, maka beraku :
 f ( x).g ( x)dx   f ( x)  integral I g ( x)
 turunan I f(x) x integral II g(x)  turunan II f(x) x
integral III g(x)  …… (tanda  selalu berselang-seling)
Contoh :
 x cos 2x dx  ...
1
dv  cos 2 xdx  v  sin 2 x
2
1
1
 x cos 2x dx  2 x sin 2x  2  sin 2xdx
u  x  du  dx
= 12 x sin 2 x  14 cos 2 x  c
contoh :
Tentukan  x 2 cos 2 xdx  ..
Turunan
x2
integral
cos 2x
2x
1
2
2
1
 cos 2 x
4
sin 2x
1
 sin 2 x
8
x
2
cos 2 xdx  x 2 . 12 sin 2 x  (2 x.  14 cos 2 x)  2( 18 sin 2 x)  c
Matematika SMA
81
= 12 x2 sin 2x  12 x cos 2x  14 sin 2x  c
Soal Latihan :
 ( x  2)
1.
2
dx adalah …
x4
4
d.  1x  x22  x33  c
4
4
e.  1x  x22  x33  c
a.  1x  x22  x33  c
4
b.  1x  x22  x23  c
4
c.  1x  x22  x33  c
2.

x x  12 x 2
x2 x
dx 
a. ln x  x  c
d. ln x  2 x  c
b. ln x  x  c
e. ln x  x  c
c.
x  ln x  c
d2y
3. Persamaan kurva yang memenuhi persyaratan
 6 kurva melalui ( 1 , 2 ) san sejajar
dx 2
8x – y + 10 = 0 adalah …
a. f ( x)  3x 2  14 x  9
d. f ( x)  x 2  4 x  3x
b. f ( x)  3x 2  3x  1
e. f ( x)  x3  2  4
c. f ( x)  x 2  x  2 x
4. Luas daerah yang dibatasi oleh grafik y  9  x 2 dan y = x + 3 adalah …
a. 9
4
5.

1
3
4
b. 8
c.
b. 1 4
c. 1 2
d.
9
2
e.
8
3
x 1
dx  ...
x2
a. 3 4
d. 4 5
e. 4 6
6. Luas daerah yang dibatasi oeh grafik y  x 4  4 x 2 dan y  5x 2 adalah
a. 64 34
b. 21 54
c. 20 56
d. 50 56
e. 56 65
7. Volume daerah yang dibatasi oleh y  x 2 dan y   x 2  2 diputar pada sumbu x adalah
a. 25 12 
b. 20 34 
c. 23 52 
d. 6 53 
e. 5 13 
8. Gradien garis singgung kurva dititik (x,y) sama dengan 2x – 5. Jika kurva melalui ( 4 , 7 )
memotong sumbu y di :
a. ( 0 , 11 )
b. ( 0 , 10 )
c. ( 0 , 9 )
d. ( 0 , 8 )
e. ( 0 , 7 )
9.  8cos(2 x   )dx 
a. 8tg (2 x   )  c
d. 4sin(2 x   )  c
b. 8cos(2 x   )  c
e. 4cos(2 x   )  c
Matematika SMA
82
c. 8sin(4 x   )  c
10.  tg 3x sec3x  cot(2 x   ) cos ec(2 x   )dx  ..
4
a.  cot(3x)  sin(2 x   )  c
3
b.
1
1
d.  tg (3x)  ( )tg (2 x   )  c
3
2
1
1
cos ec3x  ( ) cos ec(2 x   )  c
3
2
2
1
e.  sec(3x)  ( x) cos ec(2 x   )  c
3
2
1
1
c.  sec(3x)  ( ) cos(2 x   )  c
3
2
11.  8sin 2 7 x.sin xdx  ...
1
2
sin 8 x  sin 6 x  c
4
3
d.
1
2
sin 8 x  sin 6 x  c
2
3
1
2
b.  sin 8 x  sin 6 x  c
2
3
e.
1
2
sin 8 x  sin 6 x  c
2
3
a.
1
2
c.  sin 8 x  sin 6 x  c
2
3
12.  sin 6 x cos xdx, adalah
a.
1
sin 7 x  c
8
b.
1
sin 7 x  c
6
c.
1
cos 7 x  c
7
d.
1
sin 7 x  c
7
e.
1
sin 7 x  c
5
13.  (2 x  1)2/ 3 dx, adalah...
14.
a.
3
(2 x  1)3 2 x  1  c
10
d.
2
(2 x  1)3 2 x  1  c
10
b.
2
(2 x  1)3 2 x  1  c
10
e.
2
(2 x  1)3 2 x  1  c
10
c.
3
(2 x  1)3 2 x  1  c
10
 x sin xdx  ...
a. –x cos x + sin x + c
d. –x tg x - sin x + c
b. x sin x - sin x + c
e. –x cos x + tg x + c
c. –x cos x + sin x + c
15.
x
a.
b.
c.
d.
e.
x  1dx  ...
2
4
x( x  1) x  1  ( x  1)2 x  1  c
3
15
3
4
x( x  1) x  1  ( x  1)2 x  1  c
2
15
2
4
x( x  1) x  1  ( x  1)2 x  1  c
3
15
2
4
x( x  1) x  1  ( x  1)2 x  1  c
3
15
2
4
 x( x  1) x  1  ( x  1) 2 x  1  c
3
15
Matematika SMA
83
Soal – soal Integral Ujian Nasional
Materi pokok : Integral tentu dan Teknik pengintegralan
3
1. Diketahui
 (3x
2
 2 x  1)dx  25. Nilai
a
d. – 2
e. – 4
1
a
2
=….
a. – 4
b. – 2
c. – 1
d. 1
e. 2

7. Hasil dari sin 3x. cos 5 xdx  ....

2
0
a.
b.

c.
2. Nilai sin 2 x. cos x dx  ....

0
a.
b.
c.
d.
e.
d.
4
3
1

3
1
3
2
3
4
3

e. 0

8.
a.
b.
c.
1
d.
e.
0
b.
c.
d.
e.
7
2
8
3
7
3
4
3
2
3
4. Hasil dari
9. Nilai
1

2
 2 x  sin x.dx  ....
0
a.
b.
 cos
5
xdx  ....
c.
1
 cos 6 x. sin x  C
6
1
b.
cos 6 x. sin x  C
6
2
1
c.  sin x  sin 3 x  sin 5 x  C
3
5
2 3
1 5
d. sin x  sin x  sin x  C
3
5
2 3
1
e. sin x  sin x  sin 5 x  C
3
5
2
5. Hasil dari ( x  1). cos xdx  ....
d.
e.
10. Nilai
a.
b.
c.
d.
e.

11.
x2 sin x + 2x cos x + C
( x2 – 1 )sin x + 2x cos x + C
( x2 + 3 )sin x – 2x cos x + C
2x2 cos x + 2x2 sin x + C
2x sin x – ( x2 – 1 )cos x + C
6. Diketahui

4

3

2

3
2
a.
a.
b.
c.
d.
e.
 x.sin xdx  ....
0
3. Hasil dari 3x. 3x 2  1 dx  ....

a.
10

16
8

16
5

16
4

16
3
 (3x
p
=….
a. 2
b. 1
c. – 1
Matematika SMA
2
 2 x  2)dx  40. Nilai
 x.sin( x
2
 1)dx  ....
– cos ( x2 + 1 ) + C
cos ( x2 + 1 ) + C
–½ cos ( x2 + 1 ) + C
½ cos ( x2 + 1 ) + C
– 2cos ( x2 + 1 ) + C
 x.sin 2 xdx  ....
a.
b.
c.
1
p
2
1 2
 1
4
1 2

4
1 2
 1
4
1 2
 1
2
1 2
 1
2
d.
e.
1
1
sin 2 x  x cos 2 x  C
4
2
1
1
sin 2 x  x cos 2 x  C
4
2
1
1
sin 2 x  cos 2 x  C
4
2
1
1
 cos 2 x  x sin 2 x  C
4
2
1
1
cos 2 x  x sin 2 x  C
4
2
84

2
12.
 (sin
2
x  cos 2 x)dx  ....
d. 18
e. 10 2
3
18. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah
…satuan luas.
0
a. –½
b.  1 
2
c. 0
d. ½
e. 1 
2
13. Hasil
a.
b.
c.
d.
e.
4x sin ½ x + 8 cos ½ x + C
4x sin ½ x – 8 cos ½ x + C
4x sin ½ x + 4 cos ½ x + C
4x sin ½ x – 8 cos ½ x + C
4x sin ½ x + 2 cos ½ x + C
14. Hasil
a.
b.
c.
d.
e.
1
 2 x. cos 2 xdx  ....
x
9  x 2 dx  ....
1
 (9  x 2 ) 9  x 2  C
3
2
 (9  x 2 ) 9  x 2  C
3
2
(9  x 2 ) 9  x 2  C
3
2
2
(9  x 2 ) 9  x 2  (9  x 2 ) 9  x 2  C
3
9
1
1
2
2
(9  x ) 9  x 
9  x2  C
3
9
a. 2/3
b. 3
c. 5 1
d.
3
2
6
3
e. 9
19. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah
…satuan luas.
1
15. Nilai  5 x(1  x) 6 dx  ....
0
a.
b.
c.
d.
e.
75
56
10
56
5
56
7

56
10

56
16. Hasil dari
a.
b.
c.
d.
e.
a.
b.
c.
 cos x. cos 4x.dx  ....
1
1
 sin 5 x  sin 3x  C
5
3
1
1
sin 5 x  sin 3x  C
10
6
2
2
sin 5 x  sin 3x  C
5
3
1
1
cos 5 x  cos 3x  C
2
2
1
1
 sin 5 x  sin 3x  C
2
2
d.
e.
1
2
1
5
6
5
5
6
1
13
6
1
30
6
4
20. Luas daerah arsiran pada gambar di bawah ini
adalah …satuan luas.
Materi pokok : Luas Daerah
17. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2
dan garis x + y = 6 adalah …satuan luas.
a. 54
b. 32
c. 20 5
a. 5
6
Matematika SMA
90
b.
7
2
3
c. 8
d. 9 1
e.
3
1
10
3
21. Jika f(x) = ( x – 2 )2 – 4 dan g(x) = –f (x) , maka
luas daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g
adalah … satuan luas.
a. 10 2
b.
c.
d.
e.
3
1
21
3
2
22
3
2
42
3
1
45
3
22. Luas daerah D yang dibatasi oleh parabola y =
x2 dikuadran I, garis x + y = 2, dan garis y = 4
adalah …satuan luas
a. 4 1
6
b. 5
c. 6
d. 6 1
e.
6
1
7
2
23. Luas daerah yang dibatasi oleh y = x3 – 1,
sumbu x , x = –1 , dan x = 2 adalah … satuan
luas.
a. 3
4
b. 2
c. 2 3
d.
e.
4
1
3
4
3
4
4
Materi pokok : Volume Benda Putar
24. Volume benda putar bila daerah yang dibatasi
kurva y = – x2 + 4 dan y = – 2x + 4 diputar 3600
mengelilingi sumbu y adalah … satuan volume.
a. 8 
b. 13 
2
c. 4 
d. 8 
e.
3
5

4
25. Volume benda putar yang terjadi, jika daerah
antara kurva y = x2 + 1 dan y = x + 3, diputar
mengelilingi sumbu x adalah …satuan volum.
a. 67 
b.
5
107

5
Matematika SMA
c.
d.
e.
117

5
133

5
183

5
26. Volume benda putar yang terjadi jika daerah
1
yang dibatasi oleh kurva y = 2x 2 , garis y =
1 dan garis x = 4 diputar 3600 terhadap
x
2
sumbu x adalah ….satuan volume.
a. 23 1 
b.
c.
d.
e.
3
2
24 
3
2
26 
3
1
27 
3
2
27 
3
27. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan x +
y – 2 = 0, diputar mengelilingi sumbu x sejauh
3600. Volume benda putar yang terjadi adalah
…satuan volum.
a. 15 2 
3
b. 15 2 
c.
d.
e.
5
3
14 
5
2
14 
5
3
10 
5
28. Volume benda putar yang terjadi jika
daerah yang dibatasi oleh y = 2x2 + 1, x = 1
, sumbu x, dan sumbu y diputar 3600
mengelilingi sumbu x adalah … satuan
volum.
a.
b.
c.
d.
e.
12

15
2
27

15
47

15
4
29. Volume benda putar yang terjadi bila
daerah yang dibatasi oleh kurva y = 9 – x2
dan y = 5 diputar mengelilingi sumbu y
sejauh 3600 adalah ….
a.
b.
c.
d.
e.
4
16

3
8
16
92

3
91
30. Volume benda putar yang terjadi bila
daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 – 1
dan sumbu x dari x=1, x = –1, diputar
mengelilingi sumbu x sejauh 3600 adalah
….
a.
b.
c.
d.
e.
4

15
8

15
16

15
24

15
32

15
31. Volume benda putar yang terjadi bila
daerah pada kuadran pertama yang
2
dibatasi oleh kurva y  1  x , sumbu x,
4
sumbu y diputar mengelilingi sumbu x
adalah … satuan volume.
a.
b.
c.
d.
e.
52

15
16

12
16

15

12

15
Kunci Jawaban Integral
1. D 2. E 3. C 4. D 5. B 6. C 7. D 8. D 9. C 10. C 11. A 12. A
13. A 14. A 15. C 16. B 17. C 18. D 19. C 20. D 21. B 22. A 23. E 24. D
25. B 26. C 27. D 28. D 29. D 30. C 31. C
Matematika SMA
92
1.
 3x

3
Diketahui
2
1
a
2
 2 x  1 dx  25 , nilai
a
3
3 3 2 2

 3 x  2 x  x  =25

a
3 3 2 2
 3 3 2 2

 3 3  2 3  3   3 a  2 a  a   25

 

27  9  3  a 3  a 2  a  25


39  a 3  a 2  a  25


 a 3  a 2  a  14
a 3  a 2  a  14  0
2
2.
1
1
2
1
6
-14
14
1
3
7
0
a  2
1
a 1
2
(D)
2
Nilai  sin 2 x. cos x dx=
0

1
=  sin 3x  sin x dx
20

1
 1

  cos 3x  cos x 
2
 6
0
1
1
 1
  1

  cos 3  cos     cos 30  cos0
6
2
6
2

 

1
1
 1
  1

   cos 540 0  cos 180 0     cos 0 0  cos 0 0 
6
2
6
2

 

 1
 1
  1  1 
    1    1     1    1
 6
 2
  6  2 

1 1 1 1
  
6 2 6 2
1 3 1 3 8 4
  (E)
6
6 3
5
Hasil  cos x dx

3.
=  cos x. cos 4 dx


x
=  cos x.  cos 2 x dx

=  cos x. 1  sin 2
2
2
dx
=  cos x  1  2 sin 2 x  sin x dx
=  cos x  2 cos x  sin 2 x  cos x  sin 4 x
= sin x 
Matematika SMA
2 3
1
sin x  sin 5 x  C
3
5
90
2 3
1
sin x  sin 5 x  C ( D )
3
5
2
 x  1  cos x dx
= sin x 
4.
x 2  1(  )
cos x
2 x 
sin x
 cos x
2(+)
0
 sin x
2
= x sin x  sin x  2 x cos x  2 sin x +C
= x 2 sin x  sin x  2 x cos x  C
= x 2  1 sin x  2 x cos x  C ( B )
5.
 
 3x  2 x  2dx  40
3
2
p
3x
2

3
 2 x  2 p dx  40
3
3
3
3 3 2 2

 3 x  2 x  2 x dx  40

p
 

 3  23   p    p   2 p   40
2
3
2
27  9  6   p 3  p 2  2 p   40
24  p 3  p 2  2 p  40
-2
-1
1
2
3
-1
 p 3  p 2  2 p  16  0
 p  2
-2
-16
-6
16
1
-8
0
p  1
2
(C)
6.

2
Hasil dari  sin 3x. cos 5 xdx  …
o

2
1
sin 3  5  sin 3  5dx
2
0


2
1
sin 8x  sin 2 xdx
2
0


2
1
1
  sin 8 x  sin 2 xdx
2
2
0
90
1
 1

  cos 8 x  cos 2 x 
4
 16
0
1
1
 1
  1

cos 720  cos 180   cos 0  cos 0
4
4
 16
  16

 
1
1 
 1
 1
  1   1   1  1
4
4 
 16
 16
 1 4  1 4 



 16   16 
 55


 16 
Matematika SMA
91

7.
10
(A)
16
1
2
Nilai  2 x  sin xdx  ...
0

1

2
1

2
0
0
 2 xdx   sin xdx

 x 2  cos x
0
1
2
 1  2

     cos 90  0 2  cos 0
 2 

1
 2 1 ( C )
4

8.
Nilai
 x sinx

2
 1dx  ...
 x 2 x 1
  x sin x 2  1 d

2


1
  sin x 2  1 d x 2  1
2
1
  cos x 2  1  c ( C )
2
 x sin 2 xdx  ...

9.


x
sin 2 x
1
1  cos 2 x
2
1
0  sin 2 x
4
1
1
jadi  sin 2 x  x cos 2 x  c ( C )
4
2
10.

2
 sin
2

x  cos 2 x dx  ...
0

2
   cos 2 xdx
0

2
   cos 2 x
0
d (2 x)
2

2
1
   cos 2 xd (2 x)
2
0
90
 1

  sin 2 x 
 2
0
 1
  1

  sin 2.90   sin 2.0
 2
  2

 1   1 
  .0   .0
 2   2  (C)
0
Matematika SMA
92
11.
Hasil
1
 2 x cos 2 xdx  ...
1
cos x
2
1
2 sin x
2
1
 4 cos x
2
2 x 
2  
0
 4 x sin
12.
Hasil

1
1
x  8 cos x  c ( A )
2
2
x
9  x 2 dx  ...

1
  x 9  x 2 2 dx
 92xx 

2
1
  x 9  x2 2 d

 

1
1
9  x2 2 d 9  x2
2
3
1 2
  . 9  x2 2
2 3
1
  9  x2 9  x2  c ( A )
3
 


13.


1
Nilai  5 x1  x  dx  ...
6
0
1  x 6
5x  
5
 
0
1
1  x 7
7
1
1  x 8
56

1
5
 5
7
1  x 8 
  x1  x  
56
 7
0
5
5
 5
 5
7
8
7
8
  11  1  1  1    01  0  1  0 
56
56
 7
  7

14.
5

 0  0   0  
6

5
(C)

56
Hasil dari  cos x cos 4 xdx  ...
1
cos 5x  cos 3x dx
2
1
1
  cos 5 x  cos 3xdx
2
2
1
1
 sin 5 x  sin 3x  c ( B )
10
6
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
y  x 2 dan garis x  y  6 adalah . . satuan
luas.
Jawab:

15.
Matematika SMA
93
x y  6  y  6 x
y  x2
6  x  x2
0  x2  x  6
a  1, b  1, c  6
D  b 2  4ac
D  12  4.1.  6
D  25
D D
6a 2
25 25
L
6 .1
25.5
L
6
125
L
6
5
L  20
6
(C)
Luas daerah yang diarsir pada gambar
adalah …satuan luas.
x=3
y  x 2 4 x 3
L
16.
y  x 2  6 x 5
Jawab:
3
   x 2  6 x  5  x 2  4 x  3dx
1
3
   2 x 2  10 x  8dx
1
 2

  x 3  5 x 2  8 x 31
 3

2

  2

   .(27)  5(9)  24      5(1)  8 
 3
  3

 2

  18  45  24     5  8 
 3

2
 3  3 
3
2
6 (D)
3
Matematika SMA
94
17.
Luas daerah D yang dibatasi oleh parabola
y= x2 dikuadran I, garis x + y = 2, dan garis
y = 4 adalah …satuan luas.
Jawab:
y  2 x
y  x2
2 y  x
0  x2  x  2
0  x  2x  1
x  2ataux  1
1
2
L   4  (2  x)dx   4  x 2 dx
0
1
1
18.
1 

 1
L  2 x  x 2   4  
2 0 
3

1
8 
1


L   2    0  8     4  
2
3 
3


1
8
1
L  2 8 4
2
3
2
6  (3  16  2)
L
6
11
L  6
6
25
L
6
1
L4
6
(A)
Volume benda putar bila daerah yang
dibatasi kurva y = -x2 + 4 dan y = -2x + 4
diputar 360o mengelilingi sumbu y
adalah….satuan volume.
Jawab:
y = -x2 + 4
y = -2x + 4
x2 = 4 – y
2x = 4 – y
x = 2 – ½y
 4  y 
 2   4  y
(16 - 8y  y 2 )
4-y
2
16  8 y  y 2  16  4 y
2
y2  4y  0
y ( y  4)  0
y  0atauy  4
Matematika SMA
95
2
1 

V    4  y    2  y  dy
2 

0
4
1 

V    4  y    4  2 y  y 2 dy
4 

0
4
4
V    4  y   4  2 y 
0
4
V   y 
0
1 2
y dy
4
1 2
y dy
4
4
19.
1 
1
V   y 2  y3 
12  0
2
64
V 8 
12
16
V 8 
3
8
V  
3
(D)
Volume benda putar yang terjadi jika
1
daerah yang dibatasi oleh kurva y  2x 2 ,
1
garis y  x dan garis x = 4 diputar 360o
2
terhadap sumbu x adalah …satuan volume.
Jawab:
1
y2 x
y x
2
1
2 x x
2
1
4x  x
4
1
0  x 2  4x
4
1

0  x x  4 
4

x  0ataux  16
4
 
V  2 x
0
4
V    4x 
0
2
2
1 
  x  dx
2 
1 2
x dx
4
4
1 

V   2 x 2  x 3 
12  0

16 

V   32  
12 

2
V  26 
3
Matematika SMA
96
20.
(C)
Volume benda putar yang terjadi bila darah
yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 1 dan
sumbu x dari x = 1, x = -1, diputar
mengelilingi sumbu x sejauh 360o adalah…
Jawab:
1


V    x 2  1 dx
2
1
1
V    x 4  2 x 2  1dx
1
1
2
1

V    x 5  x 3  x
3
5
 1
 1 2   1 2 
V      1      1
 5 3   5 3 
1 2 
1 2
V     1    1
5 3 
5 3
16
V  
15
(C)
Matematika SMA
97