BAB 3. TRIGONOMETRI

BAB 3. TRIGONOMETRI
Name:
Class: 10 -
Trigonometri adalah ilmu ukur segitiga. Mengapa ‘segitiga’ begitu penting sehingga perlu diukur-ukur?
Karena segitiga adalah bentuk dasar dari bangun datar apapun. Segi-4, segi-5, segi-8, bahkan lingkaran pun bisa
diturunkan/dihasilkan dari gabungan segitiga-segitiga.
Mengapa kita perlu mempelajari trigonometri?
Dalam kehidupan sehari-hari, prinsip trigonometri sering digunakan. Perhatikan gambar-gambar berikut ini:
A. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU
Perbandingan trigonometri adalah perbandingan sisi-sisi dari segitiga siku-siku. Jadi perbandingan trigonometri
hanya berlaku di segitiga siku-siku saja. Bila segitiga itu tidak siku-siku, maka dapatlah kita ubah bentuknya
menjadi beberapa segitiga siku-siku.
Perhatikan segitiga siku-siku berikut ini:
Jika semua sisi-sisinya kita bandingkan, seperti a/b, b/c, a/c, c/b, . . . . .
Ada istilah trigonometri untuk menyatakan hal-hal itu, yakni:
C

sin α 
a
b

A
cosec α 
1
a

sin α
b
cos α 
bawah
c

miring
a
sec α 
1
a

cos α
c
tan α 
sin α
depan
b


cos α
bawah
c
cotg α 
1
c

tan α
b
B
c
depan
b

miring
a
Dalam segitiga siku-siku, berlaku pula teori Phytagoras:
2
2
a =b +c
2
Soal:
1. Tentukan perbandingan trigonometri di sudut  :

5
sin  =
cosec =
cos  =
sec  =
tan  =
cotg =
13
12
1
2. Tentukan sin , cos , dan tan  dari:
3. Jika tan  = 4/3 tentukan sec  + 2 cosec  = ?
sin  =
6

cos  =
10
tan  =
4. Jika cosec A = 5/4 tentukan cos A – tan A = ?
5. Segitiga ABC panjang sisinya 12, 10, dan 10 cm.
Tentukan sin A – 2 sec B = ?
C
A
B
o
o
6. Clement (176 cm) ingin tahu tinggi tiang bendera.
7. Tentukan panjang a dan b (cos 37 = 4/5, sin 53 = 4/5)
Ia berdiri sejauh 50 m dari tiang dan dapat melihat
o
ujung tiang dengan sudut elevasi 37 .
Tentukan tinggi tiang itu.
20
b
53
a
0
37
0
B. SUDUT ISTIMEWA
Dalam trigonometri, ada beberapa sudut ‘istimewa’, artinya kita dapat menentukan nilai perbandingan
trigonometrinya tanpa bantuan kalkulator.
Berikut adalah tabel sudut istimewa: (harus dihafal)
o
o
o
o
o
sudut
0
30
37
sin 
0
1
2
3
5
1
2
2
4
5
cos 
1
4
5
1
2
2
3
5
tan 
0
1
2
3
1
3
3
4
45
1
53
4
3
o
60
1
2
3
1
2
3
o
90
1
0
~
Dari tabel di atas, tampak bahwa:
sin 30o = cos 60o
sin 60o = cos 30o
sin 45o = cos 45o
Sehingga dapat disimpulkan bahwa, untuk sudut lancip berlaku:
sin A = cos (90 – A)
2
C. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SISTEM KOORDINAT
Prinsip trigonometri pada segitiga siku-siku diterapkan pada sistem koordinat.
Perbedaannya, pada sistem koordinat, terdapat 4 kuadran/ruang dan perbandingan trigonometri dapat negatif.
y
II
I
x
III
IV
Perhatikan gambar berikut ini:
KUADRAN I
Y
Misalkan ada sebuah titik P di kuadran I.
P(x, y)
y
Koordinat titik itu adalah P(x, y) dan berjari-jari r ( r 
x2  y 2 )
r

x
Tampak bahwa:
X
sin  = y/r
(+)
cos  = x/r
(+)
tan  = y/x
(+)
KUADRAN II
Y
P
Misalkan ada sebuah titik P di kuadran II.
y
r
Koordinat titik itu adalah P(–x, y) dan berjari-jari r

Tampak bahwa:
–x
X
sin  = y/r
(+)
cos  = –x/r
(–)
tan  = y/–x = –y/x
(–)
( r 
x2  y 2 )
KUADRAN III
Y
Misalkan ada sebuah titik P di kuadran III.
Koordinat titik itu adalah P(–x, –y) dan berjari-jari r

–x
Tampak bahwa:
X
r
–y
P
sin  = –y/r
(–)
cos  = –x/r
(–)
tan  = –y/–x = y/x
(+)
( r 
x2  y 2 )
(–x, –y)
KUADRAN IV
Y
Misalkan ada sebuah titik P di kuadran IV.
Koordinat titik itu adalah P(x, –y) dan berjari-jari r
x

–y
P(x, –y)
Tampak bahwa:
X
sin  = –y/r
(–)
cos  = x/r
(+)
tan  = –y/x = –y/x
(–)
( r 
x2  y 2 )
3
Dari uraian perbandingan trigonometri di keempat kuadran di atas, dapat disimpulkan perbandingan trigonometri
yang bernilai positif adalah:
y
SIN
ALL
x
TAN
COS
REFERENCE ANGLE (SUDUT PATOKAN)
Untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri:
-
pada segitiga: sudah dibahas
-
pada sistem koordinat: menggunakan prinsip Reference Angle (RA)
o
o
o
o
Dalam segitiga, rentang sudut adalah 0 – 180 , tetapi dalam sistem koordinat, rentang sudut 0 – 360 .
o
o
Reference Angle adalah suatu sudut antara 0 – 90 (sudut lancip) yang digunakan untuk mengkonversi/mengubah
besar sudut dalam sistem koordinat.
Jadi, berapapun besar sudut dalam sistem koordinat, pasti bisa dinyatakan dengan RA.
Mengapa kita perlu mengetahui RA?
Pada kebanyakan buku teks, perbandingan trigonometri di kuadran II, III, dan IV selalu dinyatakan dengan rumus,
sin 150o = sin (180o – 150o) = sin 30o
misalnya:
cos 240o = –cos (180o + 60o) = –cos 60
o
dan sebagainya.
Untuk mencegah siswa tidak hafal rumus-rumus tersebut, maka digunakanlah prinsip RA yang lebih sederhana.
Kita cukup menghafal nilai perbandingan trigonometri (sin, cos, tan) di kuadran I saja.
Prinsip menentukan RA:
1. RA selalu dibentuk terhadap sumbu x.
2. Uraikan sudut yang diminta ke sumbu x.
3. Gunakan prinsip nilai trigonometri di berbagai kuadran.
Soal:
1.
Tentukan besar Reference Angle pada sudut-sudut berikut ini:
o
o
a. 145
Jawab:
a.
145
b. 245
95
o
d. 310

RA = 180 – 145 = 35
o

RA = 245 – 180 = 65

RA = 180 – 100 = 80
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
d. 310

RA = 360 – 310 = 50
o

RA = 65
e.
2.
o
o
b. 245
c.
c. 100
65
o
e. 65
o
Tentukan nilai perbandingan trigonometri untuk . . . . .
a. sin 210o
b. tan 300o
c. cos 135o
d. sin 500o
Jawab:
o
a. sin 210 =
o
b. tan 300 =
o
c. cos 135 =
o
d. sin 500 =
4